Faktorisasi Aljabar Linear
Click to here
INTRO
SEJARAH ISI QUIS PENUTUP
FAKTORISASI ALJABAR TEAM SHINOBI
PRAKATA
INTRO
SEJARAH ISI QUIS PENUTUP
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena buku ini akhirnya dapat diselesaikan. Buku ini penulis hadirkan sebagai panduan bagi siswa dalam mempelajari matematika. Saat ini, masih banyak siswa yang menganggap matematika sebagai pelajaran yang sulit dan membosankan. Biasanya, anggapan ini muncul karena cara penyampaian materi yang berbelit-belit dan menggunakan bahasa yang sulit dipahami. Setelah mempelajari materi pada buku ini, siswa diharapkan memahami materi yang disajikan. Oleh karena itu, konsep yang disajikan secara logis, sistematis, dan menggunakan bahasa yang sederhana. Selain itu, buku ini juga memiliki tampilan yang menarik sehingga siswa tidak akan merasa bosan. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih pada semua pihak yang telah membantu terwujudnya buku ini. Semoga buku ini berguna dan dapat dijadikan panduan dalam mempelajari matematika. Percayalah, matematika itu mudah dan menyenangkan. Selamat belajar. Tim shinobi
SEJARAH ILMUWAN ALJABAR
INTRO
SEJARAH ISI QUIS
PENUTUP
Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī (Arab: )محمد بن موسى الخوارزميadalah seorang ahli matematika, astronomi, astrologi dan geografi yang berasal dari Persia. Beliau disebut sebagai Bapak Aljabar meski sebagian orang banyak yang mengatakan dia sebagai "Penemu Angka Nol" dan itu sepertinya kurang tepat. Beliau lahir sekitar tahun 780 di Khwārizm (sekarang Khiva, Uzbekistan) dan wafat sekitar tahun 850 di Baghdad.
Hampir sepanjang hidupnya, ia bekerja sebagai dosen di Sekolah Kehormatan di Baghdad. Buku pertamanya, al-Jabar, adalah buku pertama yang membahas solusi sistematik dari linear dan notasi kuadrat. Translasi bahasa Latin dari Aritmatika beliau, yang memperkenalkan angka India, kemudian diperkenalkan sebagai Sistem Penomoran Posisi Desimal di dunia Barat pada abad ke 12. Ia merevisi dan menyesuaikan Geografi Ptolemeus sebaik mengerjakan tulisan-tulisan tentang astronomi dan astrologi. Kontribusi beliau tak hanya berdampak besar pada matematika, tapi juga dalam kebahasaan. Kata Aljabar berasal dari kata al-Jabr, satu dari dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat, yang tercantum dalam buku beliau. Kata logarisme dan logaritma diambil dari kata Algorismi, Latinisasi dari nama beliau. Nama beliau juga di serap dalam bahasa Spanyol Guarismo dan dalam bahasa Portugis, Algarismo yang berarti digit. Sedikit yang dapat diketahui dari hidup beliau, bahkan lokasi tempat lahirnya sekalipun. Nama beliau mungkin berasal dari Khwarizm (Khiva) yang berada di Provinsi Khurasan pada masa kekuasaan Bani Abbasiyah (sekarang Xorazm, salah satu provinsi Uzbekistan). Gelar beliau adalah Abū ‘Abdu llāh atau Abū Ja’far.
ISI INTRO
SEJARAH
BENTUK ALJABAR DAN APLIKASINY A
OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR
ISI ALJABAR
QUIS PENUTUP
PEMECAHAN BENTUK ALJABAR
PEMFAKTOR AN ALJABAR
ALJABAR
Berdasarkan Kamus Besar Bahasa Indonesia, aljabar (algebra) merupakan cabang matematika yang menggunakan tanda-tanda atau huruf-huruf untuk menggambarkan atau mewakili angka-angka. Kita seringkali menjumpai masalah yang tidak dapat langsung kita selesaikan, khususnya masalah yang berkaitan dengan aljabar. Agar lebih mudah dalam menyelesaikan suatu masalah maka masalah tersebut harus diubah dahulu dalam bentuk aljabar. Sebagai contoh, kita ingin menentukan berapa banyak air yang harus ditambahkan ke 1 liter larutan asam 30% agar larutan asam tersebut menjadi larutan asam 20%. Materi yang akan kita pelajari antara lain bentuk aljabar dan unsurunsurnya, operasi bentuk aljabar, persamaan linear satu variabel, dan pertidaksamaan linear satu variabel serta penyelesaiannya.
BENTUK ALJABAR DAN APLIKASINYA
Perhatikan ilustrasi berikut. Banyak boneka Rika 5 lebihnya dari boneka Desy. Jika banyak boneka Desy dinyatakan dengan x maka banyak boneka Rika dinyatakan dengan x
+ 5. Jika boneka Desy sebanyak 4 buah maka boneka Rika sebanyak 9 buah. Bentuk seperti (x + 5) disebut bentuk aljabar.
Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui.
Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar. Contoh bentuk aljabar yang lain seperti 2x, –3p, 4y + 5, 2x ² – 3x + 7, (x +
1)(x – 5), dan –5x(x – 1)(2x + 3). Huruf-huruf x, p, dan y pada bentuk aljabar tersebut disebut variabel. Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsur aljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku
sejenis, dan suku tak sejenis. Agar kalian lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentuk aljabar, pelajarilah uraian berikut.
1. Variabel, Konstanta, dan Faktor Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z. Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p x q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a. Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 x x atau 5x = 1 x 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x. Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku –6y adalah –6.
2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Contoh: 5x dan –2x, 3a ² dan a ², y dan 4y, ... Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. Contoh: 2x dan –3x ², –y dan –x, 5x dan –2y, ...
b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 3x, 2a ², –4xy, ...
c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 2x + 3, a ² – 4, 3x ² – 4x, ...
d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 2x ² – x + 1, 3x + y – xy, ... yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak. Bentuk aljabar
Catatan: Bentuk aljabar suku dua disebut juga binom, bentuk aljabar suku tiga disebut trinom, sedangkan bentuk aljabar suku banyakdisebut polinom. Di kelas IX nanti, kalian akan mempelajari pemfaktoran pada bentuk aljabar suku dua.
OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR Sebelum kita membahas mengenai operasi hitung pada bentuk aljabar sebaiknya terlebih dahulu kalian memahami tentang perkalian suatu konstanta dengan suku
banyak dan tentang substitusi bilangan pada variabel (peubah) dari suku banyak. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. 1. 2(a + 3) = 2a + 6 (sifat distributif) 2. – (x – 3) = – x + 3 3. 3m(x + 2y + 3) = 3mx + 6my + 9m Jika pada bentuk aljabar 3x + 5y, variabel x diganti dengan 2 dan variabel y diganti dengan 4, maka diperoleh: 3x + 5y = 3(2) + 5(4) = 6 + 20 Proses mengganti variabel dengan suatu bilangan disebut proses substitusi.
1. Penjumlahan dan Pengurangan Sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat juga berlaku pada bentuk aljabar tetapi operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis saja. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat
distributif. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut ini. Contoh 1. 3x + 5x = (3 + 5)x = 8x 2. 5a – 3a – 2a + 4a = (5– 3 – 2 + 4)a = 4a
3. 7a + 5b + a – 2b = 7a + a + 5b – 2b = (7 + 1)a + (5 – 2)b = 8a + 3b 4. 5x + 3y + 6
Operasi penjumlahan pada bentuk aljabar di atas tidak dapat dilakukan karena suku
sukunya tidak sejenis, yaitu 5x, 3y, dan 6 tidak sejenis.
5. Kurangkan bentuk aljabar berikut.
a. 8x –4y dari 5x – 7y b. 6x ² + 5x + 2 dari 7x ² + 2x – 3 Penyelesaian: a. 5x – 7y – (8x – 4y) = 5x – 7y – 8x+ 4y= –3x – 3y b. 7x ² + 2x – 3– (6x ² + 5x + 2) = 7x ² + 2x– 3 – 6x ² – 5x – 2 = x ² – 3x – 5
2. Operasi Hitung Perkalian dan Pembagian Pada bentuk-bentuk aljabar berlaku sifat-sifat penjumlahan dan perkalian seperti pada bilangan bulat. Beberapa sifat tersebut antara lain: a. Sifat komutatif penjumlahan, yaitu a + b = b + a b. Sifat asosiatif penjumlahan, yaitu a + (b + c) = (a + b) +c c. Sifat komutatif perkalian, yaitu a × b = b × d. Sifat asosiatif perkalian, yaitu a × (b × c) = (a × b) ×c e. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Pada perkalian antarsuku
aljabar,kita dapat menggunakan sifat distributif sebagai konsep dasarnya. Pada bahasan ini akan dipelajari mengenai perkalian suku satu dengan suku dua atau dengan suku banyak dan perkalian antara suku dua dengan suku dua.
Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua atau Suku Banyak Berikut ini disajikan beberapa contoh perkalian suku satu, baik perkalian dengan suku dua atau dengan suku banyak. Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut ini! a.4x (x - 2y) b.b. 8a (3ab - 2ab ² - 8ab)\ Penyelesaian: Gunakan sifat distributif untuk menyelesaikan permasalahan di atas. a. 4x (x – 2y) = (4x . x) – (4x (2y)) = 4x2 – 8xy b. 8a (3ab – 2ab ² – 8ab) = 8a ((3ab – 8ab) – 2ab ²) = 8a ((-5ab) – 2ab ²) = (8a x (-5ab)) - (8a . 2ab ²) = -40a ² b – 16a ² b ² (bagi dengan –8) = 5a ² b + 2a ² b ²
Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua Masih sama dengan perkalian sebelumnya, penyelesaian perkalian suku dua atau binomial
tetap menggunakan konsep dasar sifat distributif. Misalkan kita mempunyai suku dua (binomial) yang berbentuk (a + b) dan (c + d). Langkah- langkah penyelesaian yang harus dilakukan adalah seperti terlihat pada gambar berikut. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Jadi (a + b)(c + d) = (ac + bc) + (ad + bd). Perkalian suku dua dengan suku dua merupakan bentuk perkalian antara suku dua dengan dirinya sendiri atau dapat pula diartikan sebagai pengkuadratan suku dua. Misalkan kita mempunyai suku dua (x+y), maka langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut. (x+y)² = (x + y)(x + y) (pengkuadratan) = x (x + y) + y (x + y) (sifat distributif) = ((x.x) + (x.y)) + ((y.x) + (y.y)) (sifat distributif) = x² + xy + yx + y² (sifat komutatif) = x² + 2xy + y² `
Contoh Tentukan hasil kali dari (x + 2) ², kemudian sederhanakan! Penyelesaian: (x + 2) ² = (x + 2)(x + 2) = x ² + 2x + 2x + 2 × 2 = x ² + 2(2x) + 4 = x ² + 4x + 4 Jadi (x + 2)² = x ² + 4x + 4
Selisih Dua Kuadrat Setelah kita mempelajari tentang perkalian suku dua dengan dirinya sendiri (bentuk kuadrat), sekarang kita akan membahas perkalian suku dua antara (x+y) dan (x-y). Langkah-langkah penyelesaiannya sama saja dengan penyelesaian bentuk (x + y) ² dan (x – y) ² yaitu: (x + y)( x – y) = (x + y)(x - y) (selisih dua kuadrat) = x (x - y) + y (x - y) (sifat distributif) = ((x.x)–(x.y))+((y.x)–(y.y)) (sifat distributif) = x ² – xy + yx + y ² (sifat komutatif) =x²+y² Bentuk di atas dikenal dengan istilah selisih dua kuadrat. Agar lebih memahami tentang selisih dua kuadrat, pehatikan contoh berikut ini!
Contoh Tentukan hasil kali dari (x – 3)(x + 3)! Penyelesaian: (x – 3)(x + 3) = (x - 3)(x + 3) = (x.x) + (x.3) + ((-3)x) + ((-3)(3)) = x ² + (3x) –3x – 9 =x²–9 Jadi (x – 3)(x + 3) = x ² – 9
PEMFAKTORAN SUKU ALJABAR
Kalian masih ingat dengan istilah faktor suku aljabar? Bentuk aljabar xy merupakan perkalian dari x dengan y (xy = x × y). Maka yang menjadi faktor dari xy adalah x dan y. Begitu juga dengan bentuk a(x + y), dimana faktor dari a(x + y) adalah a dan (x + y). Jadi, yang dimaksud dengan pemfaktoran bentuk
aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan suku-suku ke dalam bentuk perkalian atau faktor.
Hukum distributif dan faktor persekutuan al jabar Masih ingat dengan hukum distributif untuk bilangan a, b, c anggota bilangan real? pada hukum distributif berlaku aturan a × (b + c) = (a × b) + (a × c) Faktor
Penjumlahan suku-suku Untuk memfaktorkan bentuk aljabar dapat menggunakan hukum distributif. Langkah pertama yang harus dilakukan
adalah mencari faktor
persekutuan terbesar dari setiap suku aljabar. Perhatikan contoh berikut: Contoh Faktorkanlah bentuk aljabar berikut ini! a. 2x ² + 8x ² y b. 3x ² y – 15xy ² z Penyelesaian: a. 2x ² + 8x ² y = 2x ² (1 + 4y) (FPB 2x ² dan 8x ² y = 2x ²) b. 3x ² y – 15xy ² z = 3xy(x - 5yz) (FPB 3x ² y dan 15xy ² z = 3xy)
Faktorisasi Bentuk x ² + 2xy +y ² Ayo kita tinjau kembali hasil perkalian bentuk (x + y) ². Hasil perkalian dari (x + y) ² adalah x ² + 2xy + y ². Bentuk seperti ini disebut sebagai bentuk kuadrat sempurna. Bentuk kuadrat sempurna mempunyai beberapa ciri khusus, yaitu:
a. Koefisien peubah pangkat dua (x ²) sama dengan 1. b. Konstanta merupakan hasil kuadrat setengah koefisien x. Perhatikan contoh berikut ini! Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x ² + 8x + 16! Penyelesaian: Konstanta = ( ½ × 8) ² = 42, maka x ² + 8x + 16 = x² + 8x + (4) ² = (x +4) ² = (x + 4)(x + 4) Selain dengan cara di atas, memfaktorkan bentuk kuadrat sempurna dapat diselesaikan dengan hukum distributif. Caranya adalah mengubah suku 2xy menjadi penjumlahan dua suku (xy + xy), kemudian
suku-suku tersebut difaktorkan.
Perhatikan contoh berikut ini! Contoh
Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x ² + 8x + 16! Penyelesaian: x ² + 8x + 16 = x ² + 4x + 4x + 16
= (x ² + 4x) + (4x + 16) = x (x + 4) + 4(x + 4 = (x + 4) (x + 4) = (x + 4) ² Jadi faktor dari x ² + 4x + 16 adalah (x + 4) ²
Faktorisasi bentuk kuadrat ax2 + bx + 0 Selain faktorisasi bentuk x ² + 2xy + y ², faktorisasi bentuk kuadrat terdapat pula dalam
bentuk ax ² + bx + c; dengan a, b, dan c merupakan bilangan real. a dan b merupakan koefisien, c adalah konstanta. Sedangkan yang menjadi peubah atau variabel adalah x ² dan x. Memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, jika a = 1 Untuk memfaktorkan bentuk aljabar seperti ini, kalian harus memperhatikan bentuk perkalian suku (x + y) dengan (x + z) berikut. (x + y)(x + z) = x(x + z) + y(x + z) (sifat distributif) = ((x.x)+(x.z))+((y.x)+(y.z)) (sifat distributif) = x ² + xz + xy + yz = x ² + (y + z)x + yz
Contoh Faktorkanlah bentuk aljabar dari x ² + 7x + 12!
Penyelesaian: x ² + 7x + 12 = x ² + (y + z)x + yz y+z=7 yz = 12 y dan z yang memenuhi adalah y = 3 dan z = 4 atau y = 4 dan z = 3. Jadi bentuk kuadrat dari x ² + 7x + 12 adalah: (x+y)(x+z) = (x + 3)(x + 4) atau (x+y)(x+z) = (x + 4)(x + 3).
Penyelesaian: Nilai p dan q yang memenuhi adalah p = –4 dan q = 7, atau p = 7 dan q = –4. Jadi,
• Untuk p = –4 dan q = 7 2x2 + 3x – 14 = 2(x + -42 )( x + 72 ) = (x - 2)(2x + 7) • Untuk p = 7 dan q = -4 2x2 + 3x – 14 = 2( x + 72 )(x + -42 ) = (2x + 7)(x - 2)
Jadi faktor dari 2x2 + 3x – 14 adalah (2x + 7)(x - 2)
PECAHAN DALAM BENTUK ALJABAR
Menyederhanakan pecahan bentuk aljabar Suatu pecahan bentuk aljabar dapat disederhanakan apabila pembilang dan penyebutnya memiliki faktor persekutuan atau faktor yang sama. Maka untuk menyederhanakan pecahan ini, kita harus mencari faktor persekutuan dari pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu. Perhatikan contoh berikut ini! Sederhanakanlah bentuk aljabar berikut ini! Contoh 8ax2 + 24xy2 Penyelesaian: 8ax2 + 24xy2 = 8x (ax + 3y2) (faktor dari 8ax2 dan 24xy2 = 8x).
Penggunaan Sifat Operasi Aljabar dalam Aritmetika Pada awal bab ini kalian disuguhi persoalan tentang pembelian barang di sebuah supermarket. Kalian harus menghitung berapa harga yang harus dibayar oleh si pembeli. Persoalan seperti ini merupakan salah satu hal yang dipelajari dalam aritmetika. Aritmetika merupakan cabang ilmu matematika yang berhubungan dengan kegiatan ekonomi, bisnis, dan sosial. Dengan adanya bentuk aljabar dan operasi hitungnya, kita dapat menyelesaikan perhitungan aritmetika sosial dan bidang ilmu lainnya.
QUIS INTRO
SEJARAH
ISI
QUIS
1. Sederhanakanlah bentuk berikut. a. (x – 5y + 2z) + (–10x + 3y – 10z) b. (2x ² + 5x + 3) – (x ² + x – 3)
PENUTUP
Penyelesaian: a. x – 5y + 2z –10x + 3y – 10z + –9x – 2y – 8z b. 2x ² + 5x + 3 x ² + 5x – 3 + x ² + 4x + 6
PENUTUP INTRO
SEJARAH
ISI
QUIS
PENUTUP
DAFTAR PUSTAKA • http://tokoh-ilmuwan-penemu.blogspot.com/2009/08/ilmuwan-matematikaaljabar-islam.html • Dame Rosida Monik.2009.Penunjang Belajar untuk SMP dan MTs kelas 7.Jakarta : pusat pembukuan Departemen Nasional • Nuharini Dewi:2008;Matematika konsep dan Aplikasinya 1.Jakarta pusat perbuatan, Departemen Nasional • http://abdulhakim86.blogspot.com/2011/04/pembelajaran-operasi-padabentuk.html
KLIK UNTUK MEMUTAR
Nama: Senna surya sentana Tempat, tanggal lahir: Kuningan, 12 september 1993 Alamat: Ds. Cirea Kec. Mandirancan Kab.Kuningan Cita – cita : Menjadikan seseorang berguna Hobi : Bermain catur Motto hidup : Sukses semuda mungkin dan tetap berkarya hingga nafas terakhir Deskripsi kerja sebagai pembuat link dan msik n vidio di tim ini. Nama: Afif Jamalullael Tempat, tanggal lahir : Cirebon, 14 Agustus 1993 Alamat: Ds. Gombang Kec.Plumbon Kab.Cirebon Cita – cita :Membahagiakan orang-orang terdekat Hobi : Main game Motto hidup : Bahagia dunia akherat Deskripsi kerja sebagai pembuat skenario pembelajaran di tim ini.
Nama: Nandi Gunardi Tempat, tanggal lahir: Cirebon, 24 Februari 1994 Alamat: Ds. Wangunharja Kec.Jamblang Kab.Cirebon Cita – cita : Mengamalkan ilmu yang bermanfaat. Hobi: Membantu Orang tua Motto hidup: Tiada hari tanpa bernapas Deskropsi kerja sebagai pembuat komik di tim ini. Nama : Ramadhan Rahmatullah Tempat, tanggal lahir: Cirebon, 22 Maret 1993 Alamat: BTN Karangsembung Permai Cita – cita: Menjadi pengusaha yang sukses Hobi: Bulutangkis Motto hidup: Hadapi masalah dengan pikiran yang tenang, maka masalah akan terselesaikan Deskripsi kerja sebagai pembuat data, slide dan animasi di tim ini.
Waawww………, Bagus sen Pinjem doong hehehe
Mauuuu ??? cari aja di
[email protected]
