08/11/2015
ALJABAR LINIER Anita T. Kurniawati,M.Si.
APA ALJABAR LINIER?
Berkembang dari ide untuk menyelesaikan dan menganalisa sistem persamaan linier Teori dari matriks dan determinan Konsep abstrak dari Ruang vektor Akan kita lihat transformasi linier, nilai eigen,….
1
08/11/2015
Mengapa Aljabar Linier sangat menarik? Banyak
aplikasinya diberbagai bidang (komputer grafik, kimia, persamaan diferensial, ekonomi, bisnis, dll) Hubungannya antara teori dan komputasi Dapat menggunakan Matlab atau Maple
Apa Persamaan Linier? Persamaan Linier adalah suatu persamaan yang disajikan dalam bentuk:
a1 x1 a2 x2 ... an xn b
Suatu penyelesaian dari persamaan linier adalah sederetan n angka s1 , s2 ,..., sn sedemikian sehingga persamaan tersebut terpenuhi jika kita mensubstitusikan x1 s1 , x2 s2 ,..., xn sn
2
08/11/2015
Apa sistem dari persamaan Linier?
Sistem Persamaan Linier (SPL) adalah himpunan dari persamaan linier. Secara umum bentuknya:
a1,1 x1 a1, 2 x2 ... a1,n xn b1 a x a x ... a x b 2,n n 2 2,1 1 2, 2 2 . . . am ,1 x1 am , 2 x2 ... am ,n xn bm
Penyelesaian dari SPL adalah nilai dari variabel yang memenuhi semua persamaan linier tersebut.
Jika SPL tidak mempunyai penyelesaian disebut sebagai tak konsisten.
Jika paling tidak ada satu penyelesaian, maka SPL tersebut disebut konsisten.
3
08/11/2015
Sistem Homogen
Jika dari persamaan, nilai b=0, maka homogin Selalu konsisten Penyelesaian trivial/tunggal jika
Selain itu disebut non trivial /tidak tunggal
dinamakan Spl
CONTOH: x 3y 4 2x y 1
SPL ini konsisten, karena mempunyai penyelesaian x=1, y=1.
xy2 xy4
SPL ini tidak konsisten, MENGAPA?
4
08/11/2015
Dapatkan penyelesaian dari SPL berikut:
x 3y 4 2x 6y 8
Berapa banyak penyelesaian dari SPL?
Kita lihat grafik dari Matlab Kita lihat, SPL dapat tidak mempunyai penyelesaian, satu penyelesaian, atau tak terhingga penyelesaian. Kita dapat menemukan penyelesaian dari SPL dengan melihat grafik Hal ini sulit dilakukan jika variabelnya lebih dari tiga.
5
08/11/2015
Grafik:
Penyelesaian SPL secara aljabar, dengan prosedur matematis:
2x 3y z 5 y z 1 z3 Penyelesaiannya?
6
08/11/2015
SPL tersebut dalam bentuk eselon baris. Dua SPL (persamaan) ekivalen jika keduanya mempunyai penyelesaian sama. Metode penyelesaian SPL, antara lain: 1. Eliminasi Gauss-Jordan baris eselon tereduksi 2. Eliminasi Gaussian baris eselon
Sebuah matriks harus mempunyai sifat-sifat sbb: 1. Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka angka tak nol pertama dalam baris tersebut adalah angka 1 (utama 1) 2. Jika ada sebarang baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris ini dikelompokkan bersama dibagian bawah matriks 3. Jika sebarang dua baris yang berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, utama 1 dalam baris yang lebih bawah terletak disebelah kanan utama 1 dalam baris yang lebih atas 4. Masing-masing kolom yang berisi sebuah utama 1 mempunyai nol ditempat lain. Jika 4 tidak terpenuhi, maka matriks tersebut disebut mempunyai bentuk eselon baris
7
08/11/2015
Contoh 1: Selesaikan SPL berikut dengan Eliminasi Gaussian:
Penyelesaian:
8
08/11/2015
Latihan soal: 1
1I
IV
III
Review : MATRIKS
Definisi Susunan segiempat yang terdiri atas bilangan – bilangan real yang tersusun atas baris dan kolom a11 a12 a1n a a22 a2 n A 21 am1 am 2 amn
m baris
n kolom
di katakan matriks A berukuran m x n
9
08/11/2015
Baris ke-i dari A adalah :
ai1
ai 2 ain (1 i m)
• Kolom ke-j dari A adalah : a1 j a 2 j (1 j n) amj • Matriks A dapat juga ditulis : A = [aij] • Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur sangkar (b.s), dan bilangan a11, a22, …, ann disebut dengan diagonal utama
Jenis – jenis Matriks 1. Matriks Diagonal Matriks b.s. dengan elemen diluar diagonal utama adalah nol, yaitu aij = 0 untuk i j 2. Matriks Skalar Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah sama, yaitu aij = c untuk i = j dan aij = 0 untuk i j 3. Matriks Segitiga Atas Matriks b.s. dengan elemen dibawah diagonal utama adalah nol
10
08/11/2015
Jenis – Jenis Matriks 4. Matriks Segitiga Bawah Matriks b.s. dengan elemen diatas diagonal utama adalah nol 5. Matriks Identitas Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah 1 , yaitu aij = 1 untuk i = j dan aij = 0 untuk i j 6. Matriks Nol Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.
Operasi Matriks
Persamaan Dua Matriks Penjumlahan Matriks Perkalian Skalar dan Matriks Transpose Matriks Perkalian Matriks
11
08/11/2015
Persamaan Dua Matriks Definisi Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika : aij = bij, 1 i m, 1 j n yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama. • Contoh :
1 A 2 0
2 3 4
1 4 5
dan
1 B 2 y
2 x 4
w 4 z
Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5
Penjumlahan Matriks
Definisi Jika A = [aij] dan B = [bij] adalah matriks ukuran m x n, maka jumlahan A dan B adalah matriks C = [cij] ukuran m x n dengan cij = aij + bij Contoh Diberikan Matriks A dan B adalah
1 2 4 A maka 2 1 3
1 2 4 B 1 3 1
1 0 0 A B 3 2 4
12
08/11/2015
Perkalian Skalar & Matriks Definisi Jika A = [aij] ukuran m x n dan r adalah sebarang skalar real, maka perkalian skalar rA adalah matriks B = [bij] ukuran m x n dengan bij = r aij • Contoh Jika r = -3 dan maka
A 1 2 4
rA 3 6 12
Transpose Matriks Definisi Jika A = [aij] adalah matriks ukuran m x n, maka transpose dari A adalah matriks At = [aijt] ukuran n x m dengan aijt = aji • Contoh
maka
4 2 3 A 0 5 2 0 4 A 2 5 3 2 t
13
08/11/2015
Perkalian Matriks
Definisi
Jika A = [aij] ukuran m x p dan B = [bij] ukuran p x n, maka perkalian A dan B, dinotasikan AB, adalah matriks C = [cij] ukuran m x n dimana cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj Ilustrasi Colj(B)
a11 a 21 rowi(A) a i1 am1
a12 a22
ai 2
am 2
a1 p a2 p aip amp
b11 b12 b1 j b1n b 21 b22 b2 j b2 n b b b b p2 pj pn p1
c11 c12 c c22 21 cm1 cm 2
c1n c2n cij cmn
rowi(A)colj(B) = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj = cij
Latihan Soal 1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut: 1 2 3 A 4 0 2 1 0 3 E 2 1 5 3 4 2
3 1 B 2 4 1 5
1 2 3 C 3 4 5 1 1 2
3 2 D 1 2
2 3 F 4 1
Jika mungkin, maka hitunglah a. AB d. CB + D b. BA e. AB + DF c. A(C + E) f. (D + F)A
g. BA + FD h. A(BD)
14
08/11/2015
INVERS MATRIKS Definisi
Matriks A berukuran n x n disebut invertible jika ada matriks B berukuran n x n sedemikian hingga : AB = BA = In Jika tidak demikian, maka dikatakan A tidak invertible. Matriks B disebut invers dari A, dinotasikan A-1 Contoh :
2 3 A 2 2
1 3 2 B 1 1
Sifat invers matriks 1. Jika A invertible maka A-1 juga invertible, dan (A-1)-1 = A 2. Jika A dan B invertible, maka AB juga invertible dan (AB)-1 = B-1 A-1 3. Jika A invertible, maka (At)-1 = (A-1)t 4. Jika A1,A2,…,Ak adalah matriks – matriks invertible, maka A1A2…Ak juga invertible dan (A1 A2…Ak)-1 = Ak-1 Ak-1-1…A1-1
15
08/11/2015
Bagaimana mendapatkan Invers Matriks? 1.
A. A1 I
2. Operasi baris Elementer (OBE) 3.
A1
1 adj ( A) A
DETERMINAN Cara mendapatkan determinan: 1. Determinan tingkat dua 2. Determinan tingkat tiga Ekspansi Laplace (Perluasan Kofaktor) atau Sarrus. 3. Determinan tingkat empat, dstEkspansi Laplace (Perluasan Kofaktor).
16
08/11/2015
Sifat-Sifat Determinan () : 1. 2. 3.
4. 5. 6. 7.
Nilai T = nilai Jika baris ke i = 0 (kolom ke-i = 0) maka nilai = 0. Jika baris ke i ditukar dengan baris ke-j (kolom i ditukar dengan kolom ke j) diperoleh det. Baru dengan nilai baru= -. Jika baris ke i = baris ke j (kolom ke i = kolom ke j) maka nilai = 0 Nilai det menjadi k kali jika semua elemen pada sebuah baris (kolom) digandakan dengan k≠0. jika ada 2 baris (2 kolom) yang sebanding maka nilai = 0. Nilai sebuah det. tetap tidak berubah, jika setelah semua elemen-elemen sebuah baris (kolom) di gandakan dengan kemudian ditambahkan (dikurangkan) pada elemen-elemen yang bersesuaian dari baris (kolom) lainnya.
Contoh 2:
17
08/11/2015
Contoh 3:
Contoh 4:
18
