RUANG VEKTOR - 5 ALJABAR LINIER
Ruang Vektor berdimensi - n Untuk n= 1, 2 atau 3 : suatu vektor dapat
digambarkan, namun vektor tidak mungkin dapat digambarkan bila berada di ruang-n > 3 karena keterbatasan dari ruang. Dengan adanya definisi vektor yang diperluas,
maka suatu matrik dan fungsi dapat diklasifikasikan sebagai vektor
Ruang Vektor riel Suatu objek di dalam ruang vektor V disebut : vektor V dikatakan sebagai ruang vektor bila memenuhi 10
aksioma berikut : 1. Jika u dan v di dalam V, maka u + v juga harus di dalam V 2. u + v = v + u 3. u + (v + w) = (u + v) + w 4. Di dalam ruang vektor V ada objek 0, yang disebut sebagai
vektor 0 sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u, untuk semua u di dalam vektor V 5. Untuk setiap u di dalam V, ada objek yang disebut sebagai –u di dalam V, yang disebut sebagai negatip u, sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0
6. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah
objek di dalam ruang vektor V, maka ku juga ada di dalam ruang vektor V 7. k(u+v) = ku + kv 8. (k + m)u = ku + mu 9. k(mu) = (km)u 10. 1.u = u
Contoh soal : 1. Tunjukkan bahwa kumpulan matrik 2 x 2 dengan komponen riel adalah sebuah ruang vektor jika berlaku penjumlahan dan perkalian skalar. Jawab : Dalam kasus ini mungkin akan lebih mudah bila dibuktikan dengan aksioma yang urutannya sebagai berikut : 1, 6, 2, 3, 7, 8, 9, 4, 5 dan 10 Misalkan :
u11 u12 u= u u 21 22
v11 v12 dan v = v v 21 22
Untuk membuktikan bahwa matrik memenuhi aksioma 1, maka u + v di dalam ruang V atau merupakan matrik 2 x 2
u11 u12 v11 v12 u11 + v11 u12 + v12 u +v = + = u21 u22 v21 v22 u21 + v21 u22 + v22 Demikian juga dengan aksioma 6, untuk semua bilangan riel k :
u11 u12 ku11 ku12 ku = k = u u ku ku 21 22 21 22 ku juga merupakan matrik 2 x 2, maka ku di dalam V
Aksioma 2, 3 merupakan konsekuesi dari aksioma 1, sedangkan aksioma 7, 8 dan 9 terpenuhi karena aksioma 6. Untuk membuktikan aksioma 4, harus dapat ditemukan objek 0 di dalam ruang V, yakni : 0 0 0= 0 0
sehingga : u+0=0+u
0 0 u11 u12 u11 u12 = 0 0 + u u = u u = u 21 22 21 22
Sedangkan untuk aksioma 5, harus dapat ditemukan
–u untuk setiap u yang ada di dalam ruang vektor V sehingga –u + u = 0 −u11 − u12 u11 u12 0 0 ( −u ) + u = + = =0 −u21 − u22 u21 u22 0 0
2. Misal V = R2 dan operasi penjumlahan serta perkalian dari u = (u1,u2) dan v = (v1,v2) adalah sebagai berikut: u + v = (u1+v1, u2+v2) dan bila k adalah elemen bilangan riel, maka ku =(ku1,0) Tentukan apakah V adalah ruang vektor ? Jawab : Operasi penjumlahan dalam ruang ini adalah standar penjumlahan
sehingga pasti memenuhi aksioma yang mengandung penjumlahan yaitu aksioma 1 s/d 5. Sedangkan untuk perkalian, operasi ini tidak standar sehingga tidak memenuhi aksioma yang mengandung perkalian terutama aksioma 10 : 1.u= 1.(u1,u2) = (u1,0)≠u Jika ada satu saja dari 10 aksioma ada yang tidak dipenuhi, maka V adalah bukan ruang vektor
Sub-Ruang vektor
Sub ruang vektor adalah sebenarnya ruang vekctor juga, namun dengan syarat-syarat khusus Jika W adalah sekumpulan dari satu vektor atau lebih dari ruang vektor V, maka W disebut sebagai sub ruang V, jika dan hanya jika kedua kondisi di bawah ini berlaku : 1. Jika u dan v adalah vektor di W maka u+v juga ada di W 2. Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang vektor di W, maka ku juga ada di W
Contoh soal: Tentukan apakah W yang merupakan kumpulan titik titik (x,y) di ruang R2 dengan x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah sub ruang vektor R2 Jawab : Kondisi 1 memang terpenuhi Namun kondisi 2 tidak terpenuhi Jika u=(1,2) berada di dalam ruang vektor V dan k = -1, maka ku=(-1,-2) tidak berada di dalam ruang vektor V Oleh sebab itu W bukan merupakan sub ruang dari V
Contoh sub ruang dari R2 adalah :
1 {0} 2. Garis yang melalui titik (0,0) 3. R2 itu sendiri Contoh sub ruang dari R3 adalah :
1 {0} 2. Garis yang melalui titik (0,0,0) 3. Bidang yang melalui titik (0,0,0) 4. R3 itu sendiri
Kombinasi Linier dan Span Sebuah vektor w dikatakan merupakan suatu
kombinasi linier dari vektor-vektor v1, v2 ……vn jika vektor w dapat dituliskan sebagai : w = a1v1 + a2v2 + ……..+ anvn dengan a1, a2 ……an adalah sembarang skalar yang memenuhi persamaan. Jika dalam sistem persamaan linier homogen (Ax=0) dengan p persamaan dan n variabel, maka kumpulan dari solusinya adalah sub ruang vektor Rn
Contoh soal: Jika terdapat sistem persamaan linier berikut :
1 -2 3 x 0 -2 4 -6 y = 0 -1 2 -3 z 0 Tunjukkan bahwa solusi dari system persamaan adalah sub ruang vektor R3 Jawab : Dapat dibuktikan bahwa solusi dari persamaan adalah : x-2y+3z =0. Hasil ini menunjukkan suatu bidang yang melalui titik (0,0,0) yang merupakan sub ruang R3
Jika terdapat vektor u=(-1,1,2) dan v=(2,-3,0) di ruang R3, tentukan apakah vektor-vektor berikut ini adalah kombinasi linier dari u dan v : a) (-4,5,4) dan (1,-2,0) Jawab : Untuk mengetahui suatu vektor adalah kombinasi linier dari vektor yang lainnya, dibuat penulisan persamaan vektor sebagai berikut : w = a1u + a2v -4 -1 2 5 = a 1 + a -3 1 2 4 2 0 -4 = -a1 + 2a2; 5 = a1- 3a2; 4 = 2a1 Jadi : a1 = 2 dan a2= -1
Jika S={v1,v2,……,vr) adalah himpunan vektor di dalam ruang vektor V, maka sub ruang W dari V yang memuat semua kombinasi linier dari vektorvektor yang ada di S disebut sebagai spaced spanned dari v1,v2,……,vr dan dapat dikatakan bahwa v1,v2,……,vr adalah span W. Biasanya diatulis dengan notasi : W=span (S) atau W = span { v1,v2,……,vr}
Contoh soal : Tentukan apakah v1=(-2,1,2), v2=(0,1,3), v3=(-1,0,1) span dari ruang vektor R3
Jawab : Untuk menentukan span di ruang vektor R3, maka dicari kemungkinan setiap vektor di ruang R3 adalah kombina-si linier dari v1, v2 dan v3. Misalkan vektor a=(a1,a2,a3) di ruang vektor R3, maka a dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari v1,v2,dan v3 a1 a1 -2 0 -1 k1 -2 0 -1 a = k 1 + k 1 + k 0 → a = 1 1 0 k 1 2 3 2 2 2 a 3 a 3 2 3 1 k 3 2 3 1 Agar supaya ada nilai k1,k2 dan k3, maka matrik 3 x 3 tersebut harus mempunyai invers atau determinan tidak boleh sama dengan nol. Karena determinan matrik tersebut adalah -3, maka k1,k2 dan k3 didapatkan. Jadi disimpulkan bahwa v1,v2 dan v3 merupakan span dari ruang vektor R3
Bebas linier dan bergantung linier Jika terdapat sekumpulan vektor H={v1, v2, ….. vn}, maka persamaan linier homogen yang mengandung vektor-vektor tersebut yakni a1v1+a2v2+ …..+anvn=0 mempunyai jawaban minimal satu yaitu ketika setiap koefisiennya (a1,a2,….. an) sama dengan nol (0) sehingga H disebut sebagai kumpulan bebas linier (linearly independent). Jika ditemukan jawaban yang lain, maka H disebut sebagai kumpulan bergantung linier (linearly dependent).
Contoh soal: 1. Apakah vektor-vektor berikut v1=(1,0,1), v2=(2,-1,3) dan v3=(-3,1,-4) saling bebas atau bergantung linier? Jawab : Untuk mengecek kebergantungan linier, langkah yang dilakukan adalah dengan menuliskan persamaan homogen yang mengandung vektorvektor tersebut yakni : a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0 a1(1,0,1) + a2(2,-1,3) +a3(-3,1,-4) = 0 Diperoleh persamaan : a1+ 2a2 – 3a3=0; -a2 + a3 = 0 dan a1+ 3 a2 – 4 a3 = 0, didapatkan : a1 = a2 = a3 = 1 Jadi vektor v1, v2 dan v3 adalah bergantung linier.
2. Apakah polinomial-polinomial berikut ini bebas linier ? p1 = 1 – 2x + 3 x2 p2 = 5 + 6x – x2 p3 = 3 + 2x + x2 Jawab : Untuk menguji polynomial bebas atau bergantung linier, langkah yang dilakukan adalah dengan menuliskan persamaan homogen sebagai berikut : a1p1 + a2p2 + a3p3 = 0 1 a1 -2 + a 2 3
5 3 6 + a 2 = 0 → 3 -1 1
1 5 -2 6 3 -1
3 a1 2 a 2 = 0 1 a 3
Agar supaya a1, a2 dan a3 memiliki nilai, maka determinan dari matrik 3 x 3 harus nol (0). Hasil perhitungan determinan matrik 3 x 3 adalah 0, jadi nilai a1, a2 dan a3 ada. Dengan demikian polinomial-polinomial tersebut adalah bergantung linier.
Beberapa catatan : 1. Sebuah kumpulan vektor yang ada di dalam S, maka a)Saling bergantung linier jika dan hanya jika paling sedikit ada 1 vektor di dalam S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain yang juga di dalam S b)Saling bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor di dalam S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor lainnya di dalam S. 2. Sekumpulan vektor berjumlah berhingga yang memuat vektor nol (0) adalah saling bergantung linier. 3. Jika S ={v1, v2, v3, …. vn} adalah sekumpulan vektor di ruang Rm. Apabila n>m, maka himpunan S adalah saling bergantung linier.
Basis dan dimensi Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut : Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi : 1. S saling bebas linier 2. S span dari V
