KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor
TIM KALIN
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan mahasiswa diharapkan :
pertemuan
ini
– Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor – Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari subruang vektor – Dapat menghitung kombinasi linier dan span – Dapat mengetahui contoh aplikasinya
RUANG VEKTOR Surabaya, 3 September 2012
2 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 2
Ruang Vektor (bentuk Umum)
RUANG VEKTOR
3
Ruang Vektor V adalah himpunan tidak kosong Didefinisikan 2 operasi terhadap obyekobyek di V: penjumlahan, notasi u + v perkalian skalar, notasi kv Catatan: perlu diingat bahwa •penjumlahan tidak selalu seperti (2, 1) + (1, 3) = (3, 4) •perkalian skalar tidak selalu seperti 5( 2, 1) = (10, 5) RUANG VEKTOR
4
Ruang Vektor V disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 (sepuluh) aksioma berikut: 1.
Jika u, v ∈ V maka (u + v) ∈ V
2.
u+v=v+u
3.
u+(v+w)=(u+v)+w
4.
Ada vektor nol 0 ∈ V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u
5.
Untuk tiap u ∈ V, ada vektor –u ∈ V yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u + (– u) = (– u) + u = 0
6.
Jika k adalah skalar dan u ∈ V, maka ku ∈ V
7.
k (u + v) = ku + kv
8.
(k+m)u = ku + mu
9.
k(mu) = (km) u
10. 1u = u
RUANG VEKTOR
5
Ruang Vektor perhatikan aksioma 1, 4, 5, 6 berikut: 1.
Jika u, v ∈ V maka (u + v) ∈ V
4.
Ada vektor nol 0 ∈ V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u
5.
Untuk tiap u ∈ V, ada vektor –u ∈ V yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u +(-u) = (-u) + u = 0
6.
Jika k adalah skalar dan u ∈ V, maka k u ∈ V
ruang vektor
u -u v -v 0 u+v 1 RUANG VEKTOR
bukan ruang vektor
ruang vektor
bukan ruang vektor
0
u
0
u
v 0
u
ku ku
u+v
6 6
Teorema 5.1.1: V merupakan ruang vektor, u ∈ V dan k adalah skalar. Maka 1) 0u = 0 2) k0 = 0 3) (–1)u = -u 4) Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0
RUANG VEKTOR
7
Subruang (subspace) RUANG VEKTOR
8
Subruang : W merupakan subset dari V. W disebut subruang dari V jika dan hanya jika W adalah ruang vektor, di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan di V, artinya
RUANG VEKTOR
1.
Jika u, v ∈ W maka (u + v) ∈ W
6.
Jika k adalah skalar dan u ∈ W, maka ku ∈ W
9
V
V –u
W
W
0
u 0
v
(u+v) –u v – (u+v) –v
(u+v)
–v
W subspaceV RUANG VEKTOR
u – (u+v)
W bukan subspace V 10
Catatan: Setiap Ruang Vektor memiliki paling sedikit 2 subruang yakni; V sendiri adalah sebuah subruang, dan himpunan {0} yang merupakan vektor 0 yang dinamakan sebagai subruang nol.
RUANG VEKTOR
11
Contoh Subruang (1)
(Sumber: Howard Anton, Aljabar Linear 5e, “Subspace”, 1997) RUANG VEKTOR
12
Contoh Subruang (2)
RUANG VEKTOR
13
Contoh Subruang (3)
RUANG VEKTOR
14
Contoh Subruang (4) Tinjaulah vektor-vektor u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) di R3. Perlihatkan bahwa w = (9, 2, 7) adalah kombinasi linear u dan v serta w, = (4, -1, 8) bukanlah kombinasi linear u dan v.
Pemecahan:
RUANG VEKTOR
Kombinasi Linear?
15
Sub
Ruang
Hasil
Jawaban
SPL
Himpunan dari semua vektor yang merupakan jawaban dari sistem persamaan homogen merupakan subruang di Rn, dengan orde A adalah m x n. Contoh : Diberikan SPL homogin, x1 + 3x2 – 5x3 + 7x4 = 0 x1 + 4 x2 – 19x3 + 10x4 = 0 2x1 + 5x2 – 26x3 + 11x4 = 0 RUANG VEKTOR Surabaya, 3 September 2012
16 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 16
Matriks Eselon-nya :
x3 x4
1 0 −3 −2 0 1 −4 3 0 0 0 0
variable bebas, misal : x3 = s dan x4 = t x2 = 4s – 3t dan x1 = 3s + 2t
Jawaban dalam bentuk vektor :
x1 3s + 2t 3 2 x 4 −3 4 s − 3 t 2 = s +t x= = x3 s 1 0 t x 0 1 4 x = su + tv u = (3, 4,1, 0) dan v = (2, −3, 0,1)
Subruang dari jawaban SPL Homogin disebut Ruang Jawab. RUANG VEKTOR Surabaya, 3 September 2012
17 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 17
Kombinasi Linier (Linear Combination) & Rentang (Span) RUANG VEKTOR
18
Definisi: Vektor w disebut kombinasi linier dari v1, v2, …, vn jika w = k1 v1 + k2 v2 + ….. + kn vn k1 , k2 , ….. kn adalah skalar
Teorema 5.2.3.: Jika v1, v2, …, vn merupakan himpunan vektor di V, maka 1. Himpunan dari semua kombinasi linier dari v1, v2, …, vn, disebut himpunan W, adalah subspace V 2. W adalah subspace terkecil yang berisi v1, v2, …, vn RUANG VEKTOR
19
Teorema 5.2.3.: Jika v1, v2, …, vr merupakan himpunan vektor di V, maka 1.
Himpunan dari semua kombinasi linier dari v1, v2, …, vr, disebut himpunan W, adalah subspace V
2.
W adalah subspace terkecil yang berisi v1, v2, …, vr
Bukti 1: W adalah subspace jika u, v ∈ W, maka (u + v) ∈ W Vektor u, v ∈ W; ki, ci, ai adalah skalar u = c1 v1 + c2 v2 + ….. + cr vr
kombinasi linier dari v1, v2, …, vr
v = k1 v1 + k2 v2 + ….. + kr vr
kombinasi linier dari v1, v2, …, vr
(u + v) = (c1 + k1)v1 + (c2 + k2)v2 + ….. + (cr + kr)vr = a1 v1 + a2 v2 + ….. + ar vr RUANG VEKTOR
kombinasi linier dari v1, v2, …, vr 20
Teorema 5.2.3.: Jika v1, v2, …, vr merupakan himpunan vektor di V, maka 1.
Himpunan dari semua kombinasi linier dari v1, v2, …, vr, disebut himpunan W, adalah subspace V
2.
W adalah subspace terkecil yang berisi v1, v2, …, vr
Bukti 1: W adalah subspace jika u ∈ W, maka ku ∈ W Vektor u ∈ W; k, ci, di adalah skalar u = c1 v1 + c2 v2 + ….. + cr vr
kombinasi linier dari v1, v2, …, vr
ku = kc1 v1 + kc2 v2 + ….. + kcr vr = d1 v1 + d2 v2 + ….. + dr vr kombinasi linier dari v1, v2, …, vr RUANG VEKTOR
21
Contoh Subruang (4) Penyelesaian: (9,2,7) = k1 (1,2,-1) + k2 (6,4,2) SPL nya : k1 + 6 k2 = 9 2k1 + 4 k2 = 2 -k1 + 2 k2 = 7 Jika diselesaikan, didapatkan k1 = -3 dan k2 = 2 Sehingga w = -3u + 2v Bagaimana dengan w’? RUANG VEKTOR Surabaya, 3 September 2012
22 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 22
Contoh : Nyatakanlah a=(7,7,9,11) sebagai kombinasi linier dari u1=(2,0,3,1), u2 = (4,1,3,2) dan u3 = (1,3,-1,3)
Jawab : Tentukanlah s1,s2, dan s3 yang memenuhi : a = s1 u1 + s2 u1 + s3 u3 Dalam bentuk matriks dinyatakanlah sebagai : 2 4 1 7 0 1 3 7 s1 + s2 + s3 = 3 3 −1 9 1 2 3 11
ATAU
2s1 + 4s2 + s3 = 7 4s2 + 3s3 = 7 3s1+ 3s2 – s3 = 9 s1 + 2s2 + 3s3 = 11
RUANG VEKTOR Surabaya, 3 September 2012
23 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 23
Matriks lengkapnya :
2 0 3 1
7 1 3 7 3 −1 9 2 3 11
Matriks Eselonnya :
2 0 0 0
7 1 3 7 0 13 39 2 2 0 0 0
4
4
1
1
s3 = 3, s2 = -2, dan s1 = 6 Dengan demikian dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari : a = 6u1 − 2u1 + 6u3
RUANG VEKTOR
Surabaya, 3 September 2012
24 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 24
Rentang: Jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear v1, v2, …, vr maka kita mengatakan bahwa vektor-vektor tersebut merentang V
Diketahui suatu Ruang Vektor V S = {v1, v2, …, vr } dan S ⊆ V W = { x | x merupakan kombinasi linier vektor-vektor S artinya: x = k1 v1 + k2 v2 + ….. + kn vr } maka S adalah rentang (span) W RUANG VEKTOR
25
Contoh (1): Tentukan apakah v1=(1,1,2), v2=(1,0,1), dan v3=(2,1,3) merentang pada R3 Contoh (2): Misalkan u=(2,0,-1,4) dan v=(2,-1,0,2). Tentukan apakah w=(-2,4,-3,4) merupakan span {u,v} Contoh (3): Diketahui u1=(2,0,-1,2,4), u2=(1,0,0,-1,2), dan u3=(0,1,0,0,-1). Apakah vektor-vektor tersebut span (merentang) w=(1,12,3,-14,-1)?
RUANG VEKTOR
26
Latihan: 1. Nyatakanlah persamaan berikut sebagai Kombinasi Linear: p1=2 + x + 4x2, p2=1 – x + 3x2, p3=3 + 2x + 5x2 a. 5x2 + 9x + 5 b. 3x2 + 2x + 2 2. Nyatakanlah vektor berikut sebagai kombinasi linear dari:
3. Tunjukkan apakah polinomial berikut merentang P2 p1=1 + 2x- x2 p2=3 + x2 p3=5 + 4x -x2 p4=-2 + 2x - 2x2 RUANG VEKTOR
27
