KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang ‘N’
TIM KALIN
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan mahasiswa diharapkan :
pertemuan
ini
– Dapat mengetahui definisi dan dapat menghitung perkalian vektor di ruang neucledian
RUANG N EUCLEDIAN Surabaya, 3 September 2012
2 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 2
Ruang-n Euclidean (Euclidean n-space)
RUANG N EUCLEDIAN
3
Review: Bab 3 membahas Ruang-2 dan Ruang-3
Ruang-n : himpunan yang beranggotakan vektorvektor dengan n komponen { … , v = (v1, v2, v3, v4, …, vn), ….. }
•
Atribut: arah dan “panjang” / norma ||v||
•
Aritmatika vektor-vektor di Ruang-n: 1. Penambahan vektor 2. Perkalian vektor dengan skalar 3. Perkalian vektor dengan vektor
RUANG N EUCLEDIAN
4
Norma sebuah vektor: Norma Euclidean (Euclidean norm) di Ruang-n : u = (u1, u2, u3, … , un)
||u|| = √ u12 + u22 + u32 + … + un2
d(u,v) = ||u-v| |= √ (u1-v1)2 + (u2-v2)2 + (u3-v3)2 + … + (un-vn)2
RUANG N EUCLEDIAN
5
Example: If u = (1, 3, -2, 7) and v = (0, 7, 2, 2) then in the Euclidean space R4.
(1) + (3) + ( −2) + (7)= 2
||u|| = And d(u,v) =
RUANG N EUCLEDIAN
2
2
2
(1−0)2 +(3−7)2 +(−2−2)2 +(7=−2)2
6
=
63 3 7 58
Penambahan vektor: di Ruang-n u = (u1, u2 , u3, …, un); v = (v1, v2 , v3, …, vn) w = (w1, w2 , w3, …, wn) = u + v w = (u1, u2 , u3, …, un) + (v1, v2 , v3, …, vn)
w = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, …, un + vn) w1 = u1 + v1 w2 = u2 + v2 ……….. w2 = un + vn RUANG N EUCLEDIAN
7
Negasi suatu vektor: u = (u1, u2 , u3, …, un) – u = (– u1, – u2 , – u3, …, – un)
Selisih dua vektor: w = u – v = u + (– v) = (u1 – v1, u2 – v2, u3 – v3, …, un – vn)
Vektor nol: 0 = (01, 02 , 03, …, 0n) RUANG N EUCLEDIAN
8
Perkalian skalar dengan vektor: w = kv = (kv1, kv2 , kv3 , …, kvn)
(w1, w2 , w3,…, wn) = (kv1, kv2 , kv3 , …, kvn) w1= kv1 w2 = kv2 …..… wn = kvn
RUANG N EUCLEDIAN
9
Perkalian titik: (perkalian Euclidean) u . v = skalar u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + … + unvn
u . v = 0 jika u dan v ortogonal
Catatan: perkalian silang hanya di Ruang-3 RUANG N EUCLEDIAN
10
Example: The Euclidean inner product of the vectors u = (-1, 3, 5, 7) and v = (5, -4, 7, 0) in R4 is u.v = (-1)(5)+(3)(-4)+(5)(7)+(7)(0) = 18
RUANG N EUCLEDIAN
11
Aritmatika vektor di Ruang-n: Teorema 4.1.1.: u, v, w vektor-vektor di Ruang-n k, l adalah skalar (bilangan real)
RUANG N EUCLEDIAN
•
u+v=v+u
•
(u + v) + w = u + (v + w)
•
u+0=0+u=u
•
u + (-u) = (-u) + u = 0
•
k(lu) = (kl)u
•
k(u + v) = ku + kv
•
(k + l) u = ku + lu
•
1u = u 12
Teorema 4.1.2:
Vektor-vektor u, v, w di Ruang-n; k adalah skalar • u.v=v.u • u . (v + w) = u .v + u .w • k(u . v) = (ku) . v = u . (kv) • v .v > 0 v.v=0
RUANG N EUCLEDIAN
jika v ≠ 0 jika dan hanya jika v = 0
13
Example 2 Theorem 4.1.2 allows us to perform computation with Euclidean inner products in much the same way that we perform them with ordinary arithmetic products. For Exmple, (3u + 2v).(4u + v) = (3u).(4u + v) + (2v).(4u + v) = (3u).(4u) + (3u).v + (2v).(4u) + (2v).(v) = 12(u.u) + 3(u.v) + 8(v.u) + 2(v.v) = 12(u.u) + 11(u.v) + 2(v.v) The reader should determine which parts of Theorm 4.1.2 were used in each step
RUANG N EUCLEDIAN
14
Teorema 4.1.3 - 4.1.5: | u . v | ≤ || u || || v || || u || ≥ 0 || u || = 0 jika dan hanya jika u = 0 || ku || = | k | || u || || u + v || ≤ || u || + || v || d(u, v) ≥ 0 d(u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v d(u, v) = d(v, u) d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v) RUANG N EUCLEDIAN
15
Pembuktian Bahwa ||u + v || ≤ || u || || v || kv v
u+v
v u (b)
(a)
||u+v|| ≤ ||u|| + ||v||
||kv|| = ||k||||v|| RUANG N EUCLEDIAN
16
Teorema 4.1.6 – 4.1.7: u . v = ¼ || u + v || 2 – ¼ || u – v || 2
Teorema Pythagoras || u + v || 2 = || u || 2 + || v || 2
v
u+v
u RUANG N EUCLEDIAN
17
Example : In the Euclidean space R4 the vectors u = (-2, 3, 1, 4) and v = (1, 2, 0, -1) are orthogonal, since u.v = (-2)(1) + (3)(2) + (1)(0) + (4)(-1) = 0
RUANG N EUCLEDIAN
18
Perkalian Titik
(dot product) dikerjakan dengan
perkalian matriks u = (u1, u2 , u3, …, un); v = (v1, v2 , v3, …, vn) u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + … + unvn Kalau vektor u dan vektor v masing-masing ditulis dalam notasi matriks baris, maka u . v = (u1 u2 u3 … un)
v1 v2 v3
vn RUANG N EUCLEDIAN
19
u . v = (u) (v)T
RUANG N EUCLEDIAN
20
u = (u1, u2 , u3, …, un); v = (v1, v2 , v3, …, vn) u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + … + unvn Kalau vektor u dan vektor v masing-masing ditulis dalam notasi matriks kolom, maka u . v = (u1 u2 u3 … un)
v1
= v.u
v2 u . v = (u)T (v)
v3
v . u = (v)T (u) u . v = (v)T (u)
vn
RUANG N EUCLEDIAN
21
Matriks A (n x n), u dan v masing-masing vektor kolom
Au . v = u . (ATv) ? (Au) . v = v . (Au)
perkalian titik bersifat komutatif (T.4.1.2)
= vT(Au) v vektor kolom = (vTA)u perkalian matriks asosiatif (T.1.4.1) = (ATv)T u
(MN)T = NTMT & (MT)T = M (T.1.4.9)
ATv merupakan vektor kolom; maka (ATv)T vektor baris = u . (ATv) Jadi
RUANG N EUCLEDIAN
persamaan (7) Au . v = u . (ATv) terbukti
22
Diketahui matriks A (n x n), u dan v masing-masing vektor kolom
u . Av = ATu . v u . (Av) = (Av) . u
? perkalian titik bersifat komutatif
= v . (ATu) baru dibuktikan di slide sebelum ini: Au . v = u . (ATv) = (ATu) . v perkalian titik komutatif
Jadi: u . Av = ATu . v terbukti
RUANG N EUCLEDIAN
23
RUANG N EUCLEDIAN
24
RUANG N EUCLEDIAN
25
RUANG N EUCLEDIAN
26
Contoh: • Hitunglah eucledian norm dari vektor berikut : – – – –
(-2,5) (1,-2,2) (3,4,0,-12) (-2,1,1,-3,4)
• Hitunglah eucledian inner product u.v – u = (1,-2) , v = (2,1) – u = (0,-2,1,1), v = (-3,2,4,4) – u = (2,-2,2), v = (0,4,-2)
RUANG N EUCLEDIAN Surabaya, 3 September 2012
27 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 27
Let’s Try ! 1. Carilah semua skalar k sehingga ||kv||=3, di mana v = (-1, 2, 0, 3). 2. Carilah jarak euclidis di antara u dan v bila u=(6,0,1,3,0) dan v=(-1,4,2,8,3) 3. u=(3,0,1,2), v=(-1,2,7,-3), dan w=(2,0,1,1). Carilah: a. ||-2u|| + 2||u|| b. c. 4. u1=(-1,3,2,0), u2=(2,0,4,-1), u3=(7,1,1,4), dan u4=(6,3,1,2). Carilah skalar c1,c2,c3, dan c4 sehingga c1u1+c2u2+c3u3+c4u4=(0,5,6,-3) 5. Buktikanlah identitas berikut: ||u+v||2 + ||u-v||2 = 2||u||2 + 2||v||2. Tafsirkanlah hasil ini secara geometris pada R2. 6. Buktikanlah identitas berikut: u.v = ¼||u+v||2 - ¼||u-v||2 RUANG N EUCLEDIAN Surabaya, 3 September 2012
28 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 28
