Matematika Teknik I Kode Mata Kuliah : TE 3218 SKS
: 3
Prasyarat
: Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks
Tujuan
: Mahasiswa memahami permasalahan teknik dalam bentuk PD atau integral, serta dapat menerapkan metode penyelesaiannya
Pokok Bahasan
: PD orde satu, PD separable, PD eksak, PD linier homogen dan non-homogen, sistem persamaan diferensial. Integral garis riil, teorema Green, integral permukaan, teorema Stokes, teorema Gauss, integral garis kompleks, deret Laurent, metode integral residu.
Kepustakaan
: 1. Kreyzig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons Inc.,1999. 2. Pipes,L.A, Applied Mathematic for Engineer and Physicis, McGraw-Hill,1976
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
1
Matematika Teknik I
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
2
Persamaan Diferensial Biasa dan Ordenya z
z
Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatu persamaan yang melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi sembarang y terhadap variabel x. Contoh : • y’ = cos x dy y' = • y” + 4y = 0 dx 2 x 2 2 • x y’’’y’ + 2e y” = (x + 2)y
Orde suatu persamaan diferensial ditentukan dari turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut. 09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
3
Istilah biasa membedakan dengan persamaan diferensial parsial Contoh : 2 u ∂ ∂ 2u 2 =c 2 ∂x 2 ∂t 2 ∂u ∂ u = c2 2 ∂t ∂x ∂ 2u ∂ 2u + 2 =0 2 ∂y ∂x
Persamaan Gelombang Dimensi Satu Persamaan Aliran Panas Dimensi Satu
Persamaan Laplace Dimensi Satu
∂ 2u ∂ 2u + 2 = f ( x, y ) 2 ∂x ∂y ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z 09/10/2007
Persamaan Poisson Dimensi Dua Persamaan Laplace Dimensi Tiga Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
4
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
5
Konsep Penyelesaian z
Suatu fungsi y = g(x) dikatakan suatu penyelesaian persamaan diferensial orde pertama yang diberikan pada interval a<x
Contoh : Buktikan bahwa fungsi y = g(x) = x2 merupakan penyelesaian persamaan diferensial orde pertama xy’ = 2y g’ = 2x Sekarang subtitusikan g dan g’ ke persamaan diferensial x(2x) = 2x2 (terbukti) 09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
6
Penyelesaian Implisit z
Kadang-kadang suatu penyelesaian persamaan diferensial muncul sebagai fungsi implisit, yaitu secara implisit diberikan dalam bentuk
G(x,y) = 0 z z
Contoh Fungsi terhadap x secara implisit diberikan oleh : x2 + y2 – 1 = 0 merupakan penyelesaian implisit dari persamaan diferensial yy’ = -x pada selang -1 < x < 1
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
7
Penyelesaian Umum dan Penyelesaian Khusus Contoh : y’ = cos x Dengan mengintegralkan maka didapat penyelesaiannya : y = sin x + c (c = konstanta sembarang) Bila c = 0 maka penyelesaiannya adalah y = sin x Bila c = 1,5 maka penyelesaiannya adalah y = sin x + 1,5 dan sebagainya Bila c belum diketahui/ditentukan disebut Penyelesaian Umum Bila c sudah diketahui/ditentukan disebut Penyelesaian Khusus z
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
8
Suatu persamaan diferensial orde pertama dapat mempunyai lebih dari satu penyelesaian z
Penyelesaian y’ = cos x y = sin x + c
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
9
Penyelesaian Singular z
z
Dalam beberapa kasus terdapat penyelesaian lain dari persamaan yang diberikan oleh penyelesaian tersebut ternyata tidak dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu pada sembarang konstanta dari penyelesaian umum, penyelesaian yang demikian disebut penyelesaian singular dari persamaan tersebut. Contoh : y’2 – xy + y = 0 mempunyai penyelesaian umum y = cx - c2 09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
10
Penyelesaian singular z
Setiap penyelesaian khusus menggambarkan suatu garis singgung pada parabola yang digambarkan oleh penyelesaian singular
09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
11
Persamaan Diferensial Terpisah Beberapa persamaan diferensial dapat dirubah ke dalam bentuk : dy y'= g(y)y’ = f(x) dx g(y)dy = f(x)dx Persaman ini disebut persamaan diferensial terpisah Dengan mengintegralkan maka didapat z
∫ g ( y)dy = ∫ f ( x)dx + c 09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
12
Contoh : Selesaikan persamaan diferensial y ' = −2 xy
Penyelesaian : dy dy = −2 xy = −2 xdx dx y Dengan integrasi didapat : ln y = − x 2 + c y =e
− x2 +c
y = Ae 09/10/2007
− x2
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
A=e
c 13
Persamaan Diferensial Eksak z
z
Suatu persamaan diferensial orde pertama berbentuk : M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 Dikatakan eksak jika ruas kiri persamaan tersebut merupakan diferensial total atau eksak
∂u ∂u du = dx + dy ∂y ∂x
dari suatu fungsi u(x,y) 09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
14
∂u ∂u dx + dy du = ∂x ∂y
Syarat Eksak ∂u =M ∂x
∂u =N ∂y
∂M ∂u = ∂y ∂y∂x Syarat eksak 2
∂N ∂u = ∂x ∂x∂y 2
∂M ∂N = ∂y ∂x 09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
15
Contoh :
a. y dx + 2 xydy = 0 2
b. (4 x + 3 y 2 )dx + 2 xydy = 0
Apakah eksak ?
∂N a. ∂M = 2 y = 2y ∂x ∂y ∂M ∂N = Karena , maka persamaan tersebut eksak ∂y ∂x b.
M = 4x + 3y2,
N = 2 xy
∂M ∂N = 6y2 = 2y ∂y ∂x ∂M ∂N ≠ Karena , maka persamaan tersebut tidak eksak ∂y ∂x 09/10/2007
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
16
