Kalkulus Multivariabel I

Maksimum dan Minimum Metode Lagrange Latihan

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I Maksimum, Minimum, dan Metode Lagrange

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia


611.12.029 Kalkulus Multivariabel I


Maksimum dan Minimum Titik Kritis

Maksimum dan Minimum Misalkan p = (x, y ) adalah sebuah titik peubah dan p0 = (x0 , y0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua (kedua titik tersebut berlaku untuk titik-titik pada ruang berdimensi n). Definisi Misalkan f adalah fungsi dengan daerah asal S, dan misalkan p0 adalah sebuah titik di S. 1

f (p0 ) adalah nilai maksimum global dari f di S jika f (p0 ) ≥ f (p) untuk seluruh p di S.

2

f (p0 ) adalah nilai minimum global dari f di S jika f (p0 ) ≤ f (p) untuk seluruh p di S.

3

f (p0 ) adalah nilai ekstrem global dari f di S jika f (p0 ) bukan maksimum global dan bukan minimum global. Atina Ahdika, S.Si, M.Si








Teorema A Teorema Keberadaan Maksimum-Minimum Jika f kontinu pada sebuah himpunan S tertutup terbatas, maka f mencapai nilai maksimum (global) dan nilai minimum (global) di himpunan tersebut.





Titik Kritis

Titik kritis dari f di S ada tiga jenis 1

Titik batas

2

Titik stasioner. Kita menyebut p0 titik stasioner jika f (p0 ) adalah sebuah titik dalam di S di mana f dapat didiferensialkan dan ∇f (p0 )= 0. Di titik tersebut, suatu bidang singgung akan horizontal.

3

Titik tunggal/singular. Kita menyebut p0 sebagai titik singular jika p0 adalah sebuah titik dalam di S di mana f tidak dapat didiferensialkan, misalnya, sebuah titik di mana grafik dari f mempunyai sebuah sudut lancip.





Teorema B Teorema Titik Kritis Misalkan f didefinisikan pada sebuah himpunan S yang mengandung p0 . Jika f (p0 ) adalah sebuah nilai ekstrem, maka p0 harus merupakan sebuah titik kritis, yaitu p0 adalah (i.) sebuah titik batas di S, atau (ii.) sebuah titik stasioner dari f , atau (iii.) sebuah titik singular dari f





Contoh 1 Tentukan nilai maksimum atau minimum dari 2 f (x, y ) = x 2 − 2x + y4 . Penyelesaian: Fungsi tersebut dapat didiferensialkan di seluruh daerah asalnya, yaitu bidang xy . Sehingga satu-satunya titik kritis yang mungkin adalah titik-titik stasioner yang diperoleh dengan menetapkan fx (x, y ) dan fy (x, y ) sama dengan nol. Tetapi fx (x, y ) = 2x − 2 dan fy (x, y ) = y2 bernilai nol hanya ketika x = 1 dan y = 0. Perhatikan bahwa f (1, 0) = −1, dan y2 y2 = x 2 − 2x + 1 + −1 4 4 y2 = (x − 1)2 + − 1 ≥ −1 4 Jadi, f (1, 0) sebenarnya adalah sebuah nilai minimum global untuk f. Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I f (x, y ) = x 2 − 2x +



Contoh 2 Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal untuk 2 2 f (x, y ) = − xa2 + yb2 . Penyelesaian: Titik-titik kritis hanya diperoleh dengan menetapkan dan fy (x, y ) = 2y sama dengan nol. Persyaratan fx (x, y ) = − 2x a2 b2 ini menghasilkan titik (0, 0), yang tidak memberikan nilai maksimum atau minimum. Titik ini disebut titik pelana. Fungsi tersebut tidak mempunyai titik ekstrem lokal.





Syarat Cukup untuk Titik Ekstrem Teorema C Uji Parsial Kedua Andaikan f (x, y ) mempunyai turunan parsial kedua kontinu dalam lingkungan (x0 , y0 ) dan ∇f (x0 , y0 ) = 0. Misalkan D = D(x0 , y0 ) = fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) − fxy2 (x0 , y0 ) Maka (i.) jika D > 0 dan fxx (x0 , y0 ) < 0, f (x0 , y0 ) adalah sebuah nilai maksimum lokal, (ii.) jika D > 0 dan fxx (x0 , y0 ) > 0, f (x0 , y0 ) adalah sebuah nilai minimum lokal, (iii.) jika D < 0, f (x0 , y0 ) bukan sebuah nilai ekstrem ((x0 , y0 ) adalah sebuah titik pelana), (iv.) jika D = 0, uji yang dilakukan tidak mempunyai hasil/tidak dapat disimpulkan. Atina Ahdika, S.Si, M.Si




Contoh 3 Tentukan titik ekstrem, jika ada, dari fungsi F yang didefinisikan dengan F (x, y ) = 3x 3 + y 2 − 9x + 4y . Penyelesaian: Titik-titik kritis Fx (x, y ) = 9x 2 − 9 0 = 9(x 2 − 1) 0 = 9(x − 1)(x + 1) ⇒ x = −1 atau x = 1 Fy (x, y ) = 2y + 4 0 = 2y + 4 −4 = 2y ⇒ y = −2 ∴ titik-titik kritisnya adalah (1, −2) dan (−1, −2) Atina Ahdika, S.Si, M.Si




Selanjutnya Fxx (x, y ) = 18x, Fyy (x, y ) = 2, dan Fxy (x, y ) = 0 Di titik kritis (1, −2) 2 D = Fxx (1, −2) · Fyy (1, −2) − Fxy (1, −2) = 18(2)− 0 = 36 > 0

dan Fxx (1, −2) = 18 > 0, sehingga F (1, −2) = −10 adalah sebuah minimum lokal dari F . Di titik kritis (−1, −2) 2 D = Fxx (−1, −2)·Fyy (−1, −2)−Fxy (−1, −2) = −18(2)−0 = −36 <

maka (−1, −2) adalah sebuah titik pelana dan F (−1, −2) = 2 bukan sebuah nilai ekstrim.





Contoh 4 Tentukan nilai maksimum danminimum dari f (x, y ) = 2 + x 2 + y 2 pada himpunan tertutup S = (x, y ) : x 2 + 41 y 2 ≤ 1 . Penyelesaian:

Karena fx (x, y ) = 2x dan fy (x, y ) = 2y , maka titik stasionernya adalah titik (0, 0) dan D(0, 0) = fxx (0, 0)fyy (0, 0) − fxy2 (0, 0) = 2 · 2 − 0 = 4 > 0 dan fxx (0, 0) = 2 > 0 maka f (0, 0) = 2 adalah nilai minimum. Atina Ahdika, S.Si, M.Si




Nilai maksimum global akan terjadi di batas dari himpunan S. Kita dapat menguraikan secara parametrik batas S dengan x = cos t, y = 2 sin t, 0leqt ≤ 2π Masalah optimasi kemudian dapat disederhanakan menjadi optimasi dengan fungsi satu peubah g (t) = f (cos t, 2 sin t), 0 ≤ t ≤ 2π Berdasarkan Aturan Rantai ∂f dy ∂f dx + ∂x dt ∂y dt = 2x(−sin t) + 2y (2 cos t)

g 0 (t) =

= −2 sin t cos t + 8 sin t cos t = 6 sin t cos t = 3 sin 2t Atina Ahdika, S.Si, M.Si




dengan menetapkan g 0 (t) = 0 dihasilkan t = 0, π2 , π, 3π 2 , dan 2π. Jadi g mempunyai lima titik kritis di [0, 2π] yaitu (1, 0), (0, 2), (−1, 0), (0, −2), dan (1, 0) untuk f ; titik yang terakhir akan sama dengan yang pertama karena sudut 2π menghasilkan titik yang sama dengan sudut 0o . Maka nilai-nilai f yang bersesuaian f (1, 0) = 3 f (−1, 0) = 3

f (0, 2) = 6 f (0, −2) = 6

Di titik kritis bagian dalam S kita mempunyai f (0, 0) = 2. Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa nilai minimum f di S adalah 2 dan nilai maksimumnya adalah 6.




Metode Lagrange

Metode Lagrange

Teorema A Metode Lagrange Untuk memaksimumkan atau meminimumkan f (p) yang dikenai kendala g (p) = 0, selesaikan sistem persamaan ∇f (p) = λ ∇g (p) dan g (p) = 0 untuk p dan λ. Setiap titik p seperti ini adalah sebuah titik kritis untuk soal ekstrem terkendala, dan λ yang bersesuaian dengan itu disebut pengali Lagrange.




Metode Lagrange

Contoh 5 Berapakah luas terbesar yang dimiliki sebuah persegi panjang jika panjang diagonalnya adlaah 2? Penyelesaian:




Metode Lagrange

Jadi, kita merumuskan masalah memaksimumkan f (x, y ) = xy dengan g (x, y ) = x 2 + y 2 − 4 = 0. Gradien-gradien yang bersesuaian adalah ∇f (x, y ) = fx (x, y )i + fy (x, y )j = y i + xj ∇g (x, y ) = gx (x, y )i + gy (x, y )j = 2xi + 2y j Sehingga persamaan Lagrange menjadi y = λ(2x) x = λ(2y ) x2 + y2 = 4 Kalikan persamaan pertama dengan y dan persamaan kedua dengan x sehingga diperoleh y 2 = 2λxy dan x 2 = 2λxy . Artinya y2 = x2 Atina Ahdika, S.Si, M.Si


(1)


Metode Lagrange

√ √ Dari (3) dan (4) diperoleh x = 2 dan y = 2. Dengan mensubstitusikan nilai-nilai tersebut ke (1), maka diperoleh λ = 21 . Kita dapat menyimpulkan bahwa persegi panjang dengan luas terbesar √ dengan diagonal 2 adalah bujur sangkar dengan panjang sisi 2, luasnya adalah 2.




Metode Lagrange

Contoh 6 Gunakan metode Lagrange untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari f (x, y ) = y 2 − x 2 pada elips

x2 4

+ y 2 = 1.

Penyelesaian: Kita dapat menuliskan kendala sebagai g (x, y ) = x 2 + 4y 2 − 4 = 0, maka ∇f (x, y ) = −2xi + 2y j ∇g (x, y ) = 2xi + 8y j Persamaan-persamaan Lagrangenya adalah −2x = λ2x

(2)

2y = λ8y

(3)

x 2 + 4y 2 = 4 Atina Ahdika, S.Si, M.Si


(4)


Metode Lagrange

Perhatikan dari persamaan (3) bahwa x dan y tidak dapat bernilai 0. Jika x 6= 0, persamaan (1) menghasilkan λ = −1, sehingga diperoleh y = 0 dan x = ±2. Jadi kita memperoleh titik-titik kritis (±2, 0). Jika y 6= 0, maka akan menghasilkan λ = 14 , sehingga diperoleh x = 0 dan y = ±1. Jadi kita peroleh titik-titik kritis (0, ±1). Selanjutnya, untuk f (x, y ) = y 2 − x 2 f (2, 0) = −4 f (−2, 0) = −4 f (0, 1) = 1 f (0, −1) = 1 Jadi nilai minimum dari f (x, y ) adalah -4, dan nilai maksimumnya adalah 1.




Metode Lagrange

Fungsi dengan Lebih dari Satu Kendala Jika lebih dari satu kendala dikenakan pada peubah-peubah dari sebuah fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan, maka digunakan pengali-pengali Lagrange tambahan (satu untuk setiap kendala). Contohnya, jika kita mencari nilai ekstrem dari fungsi f dengan tiga peubah yang dikenai dua kendala g (x, y , z) = 0 dan h(x, y , z) = 0, kita dapat menyelesaikan persamaan-persamaan ∇f (x, y , z) = λ∇g (x, y , z) + µ∇h(x, y , z) g (x, y , z) = 0 h(x, y , z) = 0 untuk x, y , z, λ, dan µ, di mana λ dan µ adalah pengali-pengali Lagrange. Atina Ahdika, S.Si, M.Si



Metode Lagrange

Ini ekuivalen dengan penentuan solusi dari sistem yang terdiri dari lima persamaan simultan dengan peubah-peubah x, y , z, λ, dan µ fx (x, y , z) = λgx (x, y , z) + µhx (x, y , z) fy (x, y , z) = λgy (x, y , z) + µhy (x, y , z) fz (x, y , z) = λgz (x, y , z) + µhz (x, y , z) g (x, y , z) = 0 h(x, y , z) = 0 Dari solusi sistem ini, kita memperoleh titik-titik kritis.




Metode Lagrange

Contoh 6 Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f (x, y , z) = x + 2y + 3z pada elips yang merupakan perpotongan dari silinder x 2 + y 2 = 2 dan bidang y + z = 1. Penyelesaian:




Metode Lagrange

Kita akan memaksimumkan dan meminimumkan f (x, y , z) dengan kendala g (x, y , z) = x 2 + y 2 − 2 = 0 dan h(x, y , z) = y + z − 1 = 0. Persamaan-persamaan Lagrangenya adalah 1 = 2λx 3 = 2λy + µ 3=µ 2

2

x +y −2=0 y +z −1=0 Dari (1) diperoleh x = 12 λ, dari (2) dan (3) diperoleh y = − 12 λ. 2 2 Jadi dari (4), 12 λ + − 21 λ = 2, yang menghasilkan λ = ± 12 . Solusi λ = 21 menghasilkan titik kritis (x, y , z) = (1, −1, 2) dan λ = − 12 menghasilkan titik kritis (x, y , z) = (−1, 1, 0). Maka diperoleh f (1, −1, 2) = 5 adalah nilai maksimum dan f (−1, 1, 0) adalah nilai minimum. Atina Ahdika, S.Si, M.Si



Latihan

Latihan

1. Tentukan seluruh titik kritisnya dan nyatakan apakah setiap titik tersebut memberikan nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal atau merupakan titik pelana (gunakan Teorema C). 2 4 x + y 2 −(x +y −4y )

a. f (x, y ) = xy + b. f (x, y ) = e

2

2. Tentukan nilai maksimum global dan nilai minimum global dari f di S dan nyatakan di mana nilai-nilai tersebut terjadi a. f (x, y ) = x 2 + y 2 ; S = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1} b. f (x, y ) = x 2 − 6x + y 2 − 8y + 7; S = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.




Latihan

3. Tentukan semua titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f (x, y ) = x 2 + 4y 2 − 2x + 8y − 1. 4. Tentukan semua titik ekstrem dan jenisnya dari fungsi f (x, y ) = x 2 − y 2 + 1 pada cakram x 2 + y 2 ≤ 1. 5. Tentukan ukuran kotak dengan volume terbesar yang dapat termuat dalam bola x 2 + y 2 + z 2 = 3.



Kalkulus Multivariabel I

Recommend Documents