Fungsi
Pengertian Fungsi z Relasi : aturan yang mengawankan 2 himpunan z Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B, artinya : ∀x1 , x2 ∈ A,
jika
x1 = x2 , maka
MA 1114 Kalkulus I
f (x1 ) = f (x2 )
2
Pengertian Fungsi Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f:A→B yang artinya f memetakan A ke B. A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. Relasi di bawah ini merupakan fungsi A
B
a
1
i
2
u
i
3
e
4
o
5 MA 1114 Kalkulus I
3
Pengertian Fungsi Relasi di bawah ini bukan merupakan fungsi : A
a mempunyai 2 nilai
B
a
1
i
2
u
3
e
4
o
5
Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) / jangkauan dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian dari B. MA 1114 Kalkulus I
4
Pengertian Fungsi Jelajah : {y f (x ) = y, x ∈ A} ⊆ B Jelajah/range/jangkauan dinotasikan dengan Rf Contoh : 1. Carilah domain dan range dari fungsi :
1 f (x ) = 4x + 3 Jawab : a. Mencari domain MA 1114 Kalkulus I
5
Pengertian Fungsi syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
4x + 3 ≠ 0
3 x≠− 4
3 3 Sehingga D f = ⎛⎜ − ∞,− ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ − , ∞ ⎞⎟ atau ℜ − ⎧− 3 ⎫ ⎨ ⎬ 4⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ ⎩ 4⎭
b. Mencari Range
R f = ℜ − {0} atau
R f = (− ∞,0 ) ∪ (0, ∞ )
Hal ini dikarenakan f(x) tidak mungkin bernilai nol
MA 1114 Kalkulus I
6
Contoh 2. Carilah domain dan range dari fungsi :
x+2 f (x ) = 3x + 1 a. Mencari domain Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
3x + 1 ≠ 0 1 x≠− 3
1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ Sehingga Dt = ⎜ − ∞,− ⎟ ∪ ⎜ − , ∞ ⎟ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ MA 1114 Kalkulus I
7
Contoh b. Range
x+2 f (x ) = y = 3x + 1
3 xy + y = x + 2 3 xy − x = 2 − y x(3 y − 1) = 2 − y 2− y x= 3y −1
Syarat fungsi tersebut terdefinisi,
3y −1 ≠ 0
1 y≠ 3
Jadi
1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ R f = ⎜ − ∞, ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟ 3⎠ ⎝3 ⎠ ⎝
1⎫ ⎧ Atau ℜ − ⎨ ⎬ ⎩3⎭ MA 1114 Kalkulus I
8
Contoh 3. Carilah domain dan range dari fungsi : f (x ) = − x 2 − 5 x − 6
a. Mencari domain Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
− x2 − 5x − 6 ≥ 0
⇔ x2 + 5x + 6 ≤ 0 ⇔ (x + 2)( x + 3) ≤ 0 TP = -2, -3
++
--3
++ -2
Jadi D f = [− 3,−2] MA 1114 Kalkulus I
9
Contoh b. Mencari Range
f (x ) = y = − x 2 − 5 x − 6 y 2 = − x2 − 5x − 6
(
)
⇔ x2 + 5x + y 2 + 6 = 0 Agar x ∈ ℜ , maka D ≥ 0
(
)
⇔ 25 − 4.1 y 2 + 6 ≥ 0 ⇔ 25 − 4 y 2 − 24 ≥ 0 ⇔ 1− 4 y2 ≥ 0 MA 1114 Kalkulus I
10
Contoh ⇔ (1 + 2 y )(1 − 2 y ) ≥ 0 1 1 TP = − , 2 2 --
++ −1
-1
2
2
⎡ 1 1⎤ Jadi, R f = ⎢− , ⎥ ∩ [0, ∞ ) ⎣ 2 2⎦
⎡ 1⎤ = ⎢0, ⎥ ⎣ 2⎦ MA 1114 Kalkulus I
11
Macam-macam Fungsi Macam-macam fungsi : 1. Fungsi polinom
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
-Fungsi konstan, f (x ) = a0 -Fungsi linier,
f ( x ) = a0 + a1 x
-Fungsi kuadrat,
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 MA 1114 Kalkulus I
12
Macam-macam Fungsi 2. Fungsi Rasional Bentuk umum :
p(x ) q(x )
p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0
contoh : f (x ) =
(x + 1)2 x3 + x 2 + 1
3. Fungsi harga/nilai mutlak Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :
f (x ) = 3 x − 1 + 2 x − 2 MA 1114 Kalkulus I
13
Macam-macam Fungsi 4. Fungsi bilangan bulat terbesar
⎣x ⎦
= Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x
⎣x ⎦ = n ⇔ n ≤ x ≤ n + 1
⎣5⎦ = 5
⎣− 1,2⎦ = −2
⎣3,2⎦ = 3 5. Fungsi Genap Disebut fungsi genap jika f (− x ) = f ( x ) dan grafiknya simetris
terhadap sumbu y MA 1114 Kalkulus I
14
Macam-macam Fungsi Contoh : f (x ) = x 2
f (x ) = x
f ( x ) = cos( x ) 6. Fungsi Ganjil Disebut fungsi ganjil jika f (− x ) = − f ( x ) dan grafiknya simetris terhadap titik asal, contoh :
f ( x ) = sin ( x ) f (x ) = x3 MA 1114 Kalkulus I
15
Macam-macam Fungsi 7. Fungsi Komposisi Diberikan fungsi f ( x ) dan g ( x ), komposisi fungsi antara f ( x ) dan g ( x ) ditulis ( f o g )( x ) = f ( g ( x )) Domain dari
( f o g )(x ) adalah himpunan semua bilangan x dengan domain g (x ) sehingga g (x ) di dalam D f Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, maka harus terpenuhi R g ∩ D f ≠ φ
MA 1114 Kalkulus I
16
Fungsi Komposisi Hal tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut :
Rg ∩ D f ≠ φ MA 1114 Kalkulus I
17
Fungsi Komposisi Dengan cara yang sama, (g o f )(x ) = g ( f (x )) Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, maka harus terpenuhi R f ∩ Dg ≠ φ Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb :
{ = {x ∈ D
} f (x ) ∈ D }
D f o g = x ∈ Dg g ( x ) ∈ D f Dg o f
f
g
Sedangkan definisi dari Range komposisi fungsi komposisi
{ = {f (t ) ∈ R
} atau R t ∈ R } atau R
R g o f = g (t ) ∈ R g t ∈ R f
go f
R f og
f og
f
g
MA 1114 Kalkulus I
{ = {y ∈ R
} y = f (t ), t ∈ R }
= y ∈ R g y = g (t ), t ∈ R f f
g
18
Fungsi Komposisi Sifat-sifat fungsi komposisi :
( f o g )(x ) ≠ (g o f )(x ) (( f o g ) o h)(x ) = ( f o (g o h))(x ) Contoh : 1. Jika diketahui f (x ) = x go f
g ( x ) = 1 − x 2 Tentukan
dan f o g beserta domain dan range-nya!
D f = [0, ∞ )
R f = [0, ∞ )
Dg = ℜ
R g = (− ∞,1]
MA 1114 Kalkulus I
19
Contoh Karena R f ∩ D g = [0, ∞ ) ≠ φ , maka fungsi g o f terdefinisi
(g o f )(x ) = g ( f (x )) = g (
)
x = 1− x
a. Mencari Domain g o f
{
D g o f = x ∈ D f f (x ) ∈ D g
{
}
}
= x ∈ [0, ∞ ) x ∈ ℜ
{
}
= x ≥ 0−∞ < x < ∞
MA 1114 Kalkulus I
20
Contoh
{
}
= x≥0 x ≥0 = {x ≥ 0 x ≥ 0}
= x ∈ [0, ∞ ) ∩ [0, ∞ ) = x ∈ [0, ∞ ) b. Mencari Range g o f
{ } = {y ∈ (− ∞,1] y = 1 − t , t ∈ [0, ∞ )}
R g o f = y ∈ R g y = g (t ), t ∈ R f
Rg o f
2
Jadi R g o f = y ∈ (− ∞,1] ∩ (− ∞,1]
= y ∈ (− ∞,1]
MA 1114 Kalkulus I
21
Contoh Karena R g ∩ D f = (− ∞,1] ∩ [0, ∞ ) = [0,1] ≠ φ , maka fungsi
f o g terdefinisi dengan
( f o g )(x ) = f (g (x )) = f (1 − x 2 ) =
c.Domain f o g
{
D f o g = x ∈ D g g (x ) ∈ D f
{ = {x ∈ ℜ 1 − x
}
1− x2
}
= x ∈ ℜ 1 − x 2 ∈ [0, ∞ ) 2
}
≥0
= {x ∈ ℜ − 1 ≤ x ≤ 1} = ℜ ∩ [− 1,1] = [− 1,1]
MA 1114 Kalkulus I
22
Contoh d. Range f o g
{
R f o g = y ∈ R f y = f (t ), t ∈ R g
{
}
}
= y ∈ [0, ∞ ) y = t , t ∈ (− ∞,1]
{
}
= y ≥ 0 y = t ,0 ≤ t ≤ 1
= {y ≥ 0 0 ≤ y ≤ 1} = [0, ∞ ) ∩ [0,1]
= [0,1]
MA 1114 Kalkulus I
23
Contoh 2. Jika diketahui fungsi
f (x ) = x x Df = ℜ
g (x ) = x − 1 Rf = ℜ Rg = ℜ
Dg = ℜ
Tentukan g o f beserta domain dan range-nya!
R f ∩ D g = ℜ ∩ ℜ = ℜ ≠ φ , sehingga g o f terdefinisi a. Domain g o f D g o f = x ∈ D f f (x ) ∈ D g
{ = {x ∈ ℜ
}
}
x x ∈ℜ
= ℜ∩ℜ = ℜ MA 1114 Kalkulus I
24
Contoh b. Range g o f
{
R g o f = y ∈ R g y = g (t ), t ∈ R f = {y ∈ ℜ y = t − 1, t ∈ ℜ}
}
= ℜ∩ℜ = ℜ
MA 1114 Kalkulus I
25
Grafik dari fungsi 1. Garis Lurus
y = mx + c persamaan garis lurus yang melewati (0,c) contoh :
y = x+3 3
-3
MA 1114 Kalkulus I
26
Garis Lurus ( y − y1 ) = m(x − x1 ) Persamaan garis lurus melalui ( x1 , y1 )
y − y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x1 Persamaan garis lurus melalui ( x1 , y1 ) & ( x 2 , y 2 ) 2. Grafik fungsi kuadrat (parabola)
y = ax 2 + bx + c Diskriminan → D = b 2 − 4ac MA 1114 Kalkulus I
27
Grafik Fungsi Kuadrat D⎞ ⎛ b Titik puncak = ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 2a 4a ⎠
y a >0
x D>0
D=0
MA 1114 Kalkulus I
D<0
28
Grafik Fungsi Kuadrat Contoh : Gambarlah grafik fungsi y = x 2 + x + 1 a =1 jadi a > 0 → grafik menghadap ke atas
D = b 2 − 4ac = 12 − 4 = -3 < 0
→ tidak menyinggung sumbu x
MA 1114 Kalkulus I
29
Grafik Fungsi Kuadrat z Titik potong dengan sumbu koordinat {Karena D<0, maka titik potong dengan sumbu x tidak ada {Titik potong dengan sumbu y x=0→y=1 dengan demikian grafik melalui (0,1) D⎞ ⎛ b − − , ⎟ • Titik puncak = ⎜ ⎝ 2a 4a ⎠ ⎛ 1 3⎞ = ⎜− , ⎟ ⎝ 2 4⎠ MA 1114 Kalkulus I
30
Grafik Fungsi Kuadrat Gambar grafik fungsi
y = x + x +1 2
x = ay 2 + by + c b ⎞ ⎛ D Titik puncak = ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 4a 2a ⎠
1 3
-1 −
1
Untuk persamaan kuadrat
4
b Sumbu simetri = − 2a
2
MA 1114 Kalkulus I
31
Grafik Fungsi Majemuk 3. Grafik Fungsi Majemuk Contoh : 1. Gambarkan grafik fungsi f ( x) = x
⎧ x ,x ≥ 0 x =⎨ ⎩− x , x < 0 y=-x
MA 1114 Kalkulus I
y=x
32
Grafik Fungsi Majemuk 2. Gambarkan grafik fungsi
x≤2 ⎧ 1 f (x ) = ⎨ ⎩x + 2 x > 2 Grafiknya terdiri dari 2
y = x+2
bagian, yaitu garis y = 1 untuk x ≤ 2 dan garis y = x + 2 untuk x > 2
MA 1114 Kalkulus I
y =1 2
33
Grafik Fungsi Majemuk 3. Gambarkan grafik dari fungsi x2 − 4 f (x ) = x−2
f(x) terdefinisi untuk setiap x kecuali 2, sehingga domain dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 2 Fungsi f(x) dapat diuraikan sebagai berikut :
f (x ) =
(x + 2)(x − 2) (x − 2) MA 1114 Kalkulus I
34
Grafik Fungsi Majemuk atau f ( x ) = x + 2 , jika x ≠ 2 Range dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 4. Jadi grafiknya terdiri dari semua titik pada garis y = x + 2 kecuali titik (2,4). y = x+2
4
2
MA 1114 Kalkulus I
35
Grafik Fungsi Majemuk 3. Gambarkan grafik dari fungsi
f (x ) = 1 − 3 x Kita definisikan : ⎧1 − 3 x 1− 3 x = ⎨ ⎩1 + 3x
1
x≥0 x<0
y = 1 + 3x
− 13
MA 1114 Kalkulus I
y = 1 − 3x 1
3
36
Translasi Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai y = f ( x ) , a > 0 y = f (x − a )
→ grafik y = f ( x ) mengalami pergeseran sejauh a ke kanan
y = f (x + a ) → grafik y = f ( x ) mengalami pergeseran sejauh a ke kiri
y = f (x ) + a → grafik y = f ( x ) mengalami pergeseran sejauh a ke atas
y = f (x ) − a
→ grafik y = f ( x ) mengalami pergeseran sejauh a ke bawah MA 1114 Kalkulus I
37
Translasi Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai x = f ( y ) , a > 0 x = f ( y − a) → grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke atas
x = f ( y + a) → grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke bawah
x = f (y)+ a → grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke kanan
x = f (y) − a
→ grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke kiri MA 1114 Kalkulus I
38
Contoh Translasi 1. Gambarkan grafik dari fungsi
f (x ) = x 2 − 4 x + 5
(
)
= x 2 − 4x + 4 − 4 + 5 = (x − 2) + 1 2
y = (x − 2)
y = x2
y = (x − 2)
4
2
2
→ y = x 2 digeser sejauh
2
2 ke kanan
MA 1114 Kalkulus I
39
Contoh Translasi Kemudian y = ( x − 2 )
2
digeser sejauh 1 ke atas
maka akan terbentuk y = ( x − 2 ) + 1 2
2 y = (x − 2 ) + 1
4 y = (x − 2 )
2
2
MA 1114 Kalkulus I
40
Contoh Translasi 2. Gambarkan grafik fungsi f ( x ) = 1 − 3 x Kita lihat dahulu grafik y = 3 x 3
y = −3 x
y = 3x :
MA 1114 Kalkulus I
41
Contoh Translasi Grafik y = 1 − 3 x dapat dipandang sebagai grafik
1
y = −3 x yang digeser ke atas sejauh 1 satuan
y =1− 3 x
y = −3 x
MA 1114 Kalkulus I
42
Soal Latihan Tentukan domain dan range dari fungsi di bawah ini 1 f (x ) = 3 + 2 − 4 x 2 f (x ) = ,
x( x − 3) x −1
5 Diketahui
1 +2 x
3
f (x ) = 3x −
4
f (x ) = x 2 − 5 x + 6
f ( x) = 4 − x
g ( x) = x
Apakah f o g terdefinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari f o g dan domain dari f o g. Gambarkan grafik dari fungsi di bawah ini 6 f (x ) = x (x + 2)
7
f (x ) = 3 − x − 2
MA 1114 Kalkulus I
43
