Fungsi
Pengertian Fungsi z Relasi : aturan yang mengawankan/ mengkaitkan/ menugaskan 2 himpunan z Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B, artinya : ∀x1 , x2 ∈ A, jika x1 = x2 , maka f ( x1 ) = f ( x2 ) Untuk setiap MA 1114 Kalkulus I
2
Pengertian Fungsi Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f:A→B yang artinya f memetakan A ke B. A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut codomain dari f. Relasi di bawah ini merupakan fungsi A
B
a
1
i u e o
2 i
3 4 5 MA 1114 Kalkulus I
3
1
Pengertian Fungsi Relasi di bawah ini bukan merupakan fungsi : Tidak ada kaitan dgn anggota B
A
a mempunyai 2 nilai
B
a
1
i
2
u
3
e
4
o
5
Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) / jangkauan dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian dari B. MA 1114 Kalkulus I
4
Pengertian Fungsi Jelajah : {y f ( x ) = y, x ∈ A} ⊆ B Jelajah/range/jangkauan dinotasikan dengan Rf Contoh : 1. Carilah domain dan range dari fungsi :
f (x ) =
1 4x + 3
Jawab : a. Mencari domain MA 1114 Kalkulus I
5
Pengertian Fungsi syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
4x + 3 ≠ 0
x≠−
3 4
3 3 Sehingga D f = ⎛⎜ − ∞,− ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ − , ∞ ⎞⎟ atau ℜ − ⎧− 3 ⎫ ⎨ ⎬ 4 4 ⎝
⎠
⎝
⎠
⎩ 4⎭
b. Mencari Range y=
1 ,4 x + 3 ≠ 0 4x + 3
R f = ℜ − {0} atau
y (4 x + 3) = 1
R f = (− ∞,0 ) ∪ (0, ∞ ) MA 1114 Kalkulus I
6
2
Contoh 2. Carilah domain dan range dari fungsi :
x+2 3x + 1 a. Mencari domain f (x ) =
Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
3x + 1 ≠ 0 x≠−
1 3
1 1 1 Sehingga D f = ⎛⎜ − ∞,− ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ − , ∞ ⎞⎟ = ℜ − ⎧⎨− ⎫⎬ ⎩ 3⎭ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝
MA 1114 Kalkulus I
7
Contoh b. Range
f (x ) = y =
x+2 3x + 1
3 xy + y = x + 2 3 xy − x = 2 − y x(3 y − 1) = 2 − y 2− y x= 3y −1
Syarat fungsi tersebut terdefinisi,
3y −1 ≠ 0
y≠
1 3
Jadi
1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ R f = ⎜ − ∞, ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝
1⎫ Atau ℜ − ⎧ ⎨ ⎬ ⎩3⎭
MA 1114 Kalkulus I
8
Contoh 3. Carilah domain dan range dari fungsi : f (x ) = − x 2 − 5x − 6
a. Mencari domain Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
− x2 − 5x − 6 ≥ 0
⇔ x2 + 5x + 6 ≤ 0 ⇔ ( x + 2)( x + 3) ≤ 0 TP = -2, -3
++
--3
++ -2
Jadi D f = [− 3,−2] MA 1114 Kalkulus I
9
3
Contoh b. Mencari Range
⇔ (1 + 2 y )(1 − 2 y ) ≥ 0
f (x ) = y = − x − 5 x − 6
1 1 TP = − , 2 2
2
y 2 = − x2 − 5x − 6
(
--
)
⇔ x2 + 5x + y 2 + 6 = 0 Agar x ∈ ℜ , maka D ≥ 0
(
++ −1
)
⇔ 25 − 4.1 y 2 + 6 ≥ 0 ⇔ 25 − 4 y 2 − 24 ≥ 0 ⇔ 1− 4 y2 ≥ 0
2
-1
2
⎡ 1 1⎤ Jadi, R f = ⎢− , ⎥ ∩ [0, ∞ ) ⎣ 2 2⎦
⎡ 1⎤ = ⎢0, ⎥ ⎣ 2⎦ MA 1114 Kalkulus I
Karena y≥0
10
Soal Latihan Tentukan domain dan range dari fungsi di bawah ini 1 f (x) = 3 + 2 − 4 x 2 f (x ) = 3
x( x − 3) x −1
f (x ) = 3x −
1 +2 x
4
f (x ) = x 2 − 5 x + 6
5
f ( x) = 4 − x
6 f (x ) = x (x + 2) 7
f (x ) = 3 − x − 2
8.
f (x ) = x 2 − 5 x + 6
9.
f ( x) = 3 + x − 4
10.
f ( x) = 3 + 4 − x 2
MA 1114 Kalkulus I
11
Macam-macam Fungsi Macam-macam fungsi : 1. Fungsi polinom
f (x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
-Fungsi konstan, f ( x ) = a0
-Fungsi linier,
f ( x ) = a0 + a1 x
-Fungsi kuadrat, f (x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 MA 1114 Kalkulus I
12
4
Macam-macam Fungsi 2. Fungsi Rasional Bentuk umum :
p(x ) q(x )
p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0
contoh : f (x ) =
(x + 1) x3 + x 2 + 1 2
3. Fungsi harga/nilai mutlak Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :
f (x ) = 3 x − 1 + 2 x − 2 MA 1114 Kalkulus I
13
Macam-macam Fungsi 4. Fungsi bilangan bulat terbesar/ floor
⎣x ⎦
= Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x
⎣x ⎦ = n ⇔ n ≤ x < n + 1
⎣5⎦ = 5
⎣− 1,2⎦ = −2
⎣3,2⎦ = 3 5. Fungsi Genap Disebut fungsi genap jika f (− x ) = f ( x ) dan grafiknya simetris
terhadap sumbu y MA 1114 Kalkulus I
14
Macam-macam Fungsi Contoh : f (x ) = x2 f (x) = x
f ( x ) = cos( x ) 6. Fungsi Ganjil Disebut fungsi ganjil jika f (− x ) = − f ( x ) dan grafiknya simetris terhadap titik asal, contoh :
f ( x ) = sin ( x ) f (x ) = x3 MA 1114 Kalkulus I
15
5
Macam-macam Fungsi 7. Fungsi Komposisi Diberikan fungsi f (x ) dan g ( x ), komposisi fungsi antara f (x ) dan g (x ) ditulis ( f o g )( x ) = f ( g ( x )) Domain dari
( f o g )(x ) adalah himpunan semua bilangan x dengan domain g (x ) sehingga g (x ) di dalam D f Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, maka harus terpenuhi R g ∩ D f ≠ φ
MA 1114 Kalkulus I
16
Fungsi Komposisi Hal tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut :
Rg ∩ D f ≠ φ MA 1114 Kalkulus I
17
Fungsi Komposisi Dengan cara yang sama, (g o f )(x ) = g ( f (x )) Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, maka harus terpenuhi R f ∩ Dg ≠ φ Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb :
{ {
D f o g = x ∈ Dg g ( x ) ∈ D f
} }
D g o f = x ∈ D f f (x ) ∈ D g
Sedangkan definisi dari Range komposisi fungsi komposisi
{ {
R g o f = g (t ) ∈ R g t ∈ R f R f o g = f (t ) ∈ R f t ∈ R g
} atau R } atau R
{ {
} }
go f
= y ∈ R g y = g (t ), t ∈ R f
f og
= y ∈ R f y = f (t ), t ∈ R g
MA 1114 Kalkulus I
18
6
Fungsi Komposisi Sifat-sifat fungsi komposisi :
( f o g )(x ) ≠ (g o f )(x ) (( f o g ) o h)(x ) = ( f o (g o h))(x ) Contoh : 1. Jika diketahui f ( x ) = x
g ( x ) = 1 − x 2 Tentukan
dan f o g beserta domain dan range-nya!
go f
D f = [0, ∞ )
Dg = ℜ
R f = [0, ∞ )
R g = (− ∞,1]
MA 1114 Kalkulus I
19
Contoh Karena R f ∩ D g = [0, ∞ ) ≠ φ , maka fungsi g o f terdefinisi
(g o f )(x ) = g ( f (x )) = g (
)
x = 1− x
a. Mencari Domain g o f
{
D g o f = x ∈ D f f (x ) ∈ D g
{
}
}
= x ∈ [0, ∞ ) x ∈ ℜ
{
}
= x ≥ 0−∞ < x < ∞
MA 1114 Kalkulus I
20
Contoh
{
}
= x≥0 x ≥0 = {x ≥ 0 x ≥ 0}
= x ∈ [0, ∞ ) ∩ [0, ∞ ) = x ∈ [0, ∞ ) b. Mencari Range g o f
{ {
R g o f = y ∈ R g y = g (t ), t ∈ R f
}
}
Rg o f = y ∈ (− ∞,1] y = 1 − t 2 , t ∈ [0, ∞ ) Jadi R go f = y ∈ (− ∞,1] ∩ (− ∞,1]
= y ∈ (− ∞,1]
MA 1114 Kalkulus I
21
7
Contoh Karena R g ∩ D f = (− ∞,1] ∩ [0, ∞ ) = [0,1] ≠ φ , maka fungsi
f o g terdefinisi dengan
( f o g )(x ) = f (g (x )) = f (1 − x 2 ) =
c.Domain f o g
{
D f o g = x ∈ D g g (x ) ∈ D f
{ = {x ∈ ℜ 1 − x
}
1− x2
}
= x ∈ ℜ 1 − x 2 ∈ [0, ∞ ) 2
}
≥0
= {x ∈ ℜ − 1 ≤ x ≤ 1} = ℜ ∩ [− 1,1] = [− 1,1]
MA 1114 Kalkulus I
22
Contoh d. Range f o g
{
R f o g = y ∈ R f y = f (t ), t ∈ R g
{ = {y ≥ 0 y =
}
}
= y ∈ [0, ∞ ) y = t , t ∈ (− ∞,1]
}
t ,0 ≤ t ≤ 1
= {y ≥ 0 0 ≤ y ≤ 1}
= [0, ∞ ) ∩ [0,1]
= [0,1]
MA 1114 Kalkulus I
23
Contoh 2. Jika diketahui fungsi
f (x ) = x x Df = ℜ
g (x ) = x − 1 Rf = ℜ Rg = ℜ
Dg = ℜ
Tentukan g o f beserta domain dan range-nya!
R f ∩ D g = ℜ ∩ ℜ = ℜ ≠ φ , sehingga g o f terdefinisi a. Domain g o f D g o f = x ∈ D f f (x ) ∈ D g
{ = {x ∈ ℜ
}
}
x x ∈ℜ
= ℜ∩ℜ = ℜ MA 1114 Kalkulus I
24
8
Contoh b. Range g o f
{
R g o f = y ∈ R g y = g (t ), t ∈ R f = {y ∈ ℜ y = t − 1, t ∈ ℜ}
}
= ℜ∩ℜ = ℜ
MA 1114 Kalkulus I
25
Soal Latihan Apakah f o g terdefinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari f o g dan domain dari f o g. 1
f ( x) = 4 − x
2 f (x) = 3 + 2 − 4 x
g ( x) = x g (x ) = 3x −
1 +2 x
x( x − 3) x −1
g (x ) = x 2 − 5x + 6
4 f (x ) = x (x + 2)
g (x ) = 3 − x − 2
3 f (x ) =
5 f (x ) = x − 5 x + 6 2
g ( x) = 3 + x − 4
MA 1114 Kalkulus I
26
Grafik dari fungsi 1. Garis Lurus
y = mx + c persamaan garis lurus yang melewati (0,c) contoh :
y = x+3 3
-3
MA 1114 Kalkulus I
27
9
Garis Lurus ( y − y1 ) = m(x − x1 ) Persamaan garis lurus melalui ( x1 , y1 ) y − y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x1
Persamaan garis lurus melalui ( x1 , y1 ) & ( x 2 , y 2 ) 2. Grafik fungsi kuadrat (parabola)
y = ax 2 + bx + c Diskriminan → D = b 2 − 4ac MA 1114 Kalkulus I
28
Grafik Fungsi Kuadrat D⎞ ⎛ b Titik puncak = ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 2a 4a ⎠
y a >0
x D>0
D=0
D<0
MA 1114 Kalkulus I
29
Grafik Fungsi Kuadrat Contoh : Gambarlah grafik fungsi y = x 2 + x + 1 a =1 jadi a > 0 → grafik menghadap ke atas
D = b 2 − 4ac = 12 − 4 = -3 < 0
→ tidak menyinggung sumbu x
MA 1114 Kalkulus I
30
10
Grafik Fungsi Kuadrat z Titik potong dengan sumbu koordinat {Karena D<0, maka titik potong dengan sumbu x tidak ada {Titik potong dengan sumbu y x=0→y=1 dengan demikian grafik melalui (0,1) D⎞ ⎛ b ,− ⎟ • Titik puncak = ⎜ − ⎝ 2a 4a ⎠ ⎛ 1 3⎞ = ⎜− , ⎟ ⎝ 2 4⎠ MA 1114 Kalkulus I
31
Grafik Fungsi Kuadrat Gambar grafik fungsi
Untuk persamaan kuadrat
y = x2 + x +1
x = ay 2 + by + c b ⎞ ⎛ D Titik puncak = ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 4a 2a ⎠
1 3
-1 −
1
Sumbu simetri = −
4
b 2a
2
MA 1114 Kalkulus I
32
Grafik Fungsi Majemuk 3. Grafik Fungsi Majemuk Contoh : 1. Gambarkan grafik fungsi f ( x) = x
⎧ x ,x ≥ 0 x =⎨ ⎩− x , x < 0 y=-x
MA 1114 Kalkulus I
y=x
33
11
Grafik Fungsi Majemuk 2. Gambarkan grafik fungsi
x≤2 ⎧ 1 f (x ) = ⎨ ⎩x + 2 x > 2 Grafiknya terdiri dari 2
y = x+2
bagian, yaitu garis y = 1
y =1
untuk x ≤ 2 dan garis y = x + 2 untuk x > 2
2
MA 1114 Kalkulus I
34
Grafik Fungsi Majemuk 3. Gambarkan grafik dari fungsi f (x ) =
x2 − 4 x−2
f(x) terdefinisi untuk setiap x kecuali 2, sehingga domain dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 2 Fungsi f(x) dapat diuraikan sebagai berikut : f (x ) =
(x + 2)(x − 2) (x − 2) MA 1114 Kalkulus I
35
Grafik Fungsi Majemuk atau f ( x ) = x + 2 , jika x ≠ 2 Range dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 4. Jadi grafiknya terdiri dari semua titik pada garis y = x + 2 kecuali titik (2,4). y = x+2
4
2
MA 1114 Kalkulus I
36
12
Grafik Fungsi Majemuk 3. Gambarkan grafik dari fungsi
f ( x ) = 1− 3 x Kita definisikan : ⎧1 − 3x x ≥ 0 1− 3 x = ⎨ ⎩1 + 3x x < 0
1
y = 1+ 3x
− 13
y = 1− 3 x 1
3
MA 1114 Kalkulus I
37
Translasi Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai y = f ( x ) , h > 0 a>0 y = f (x − a ) → grafik y = f (x ) mengalami pergeseran sejauh a ke kanan
y = f (x + a ) → grafik y = f (x ) mengalami pergeseran sejauh a ke kiri
y = f (x ) + h → grafik y = f (x ) mengalami pergeseran sejauh h ke atas
y = f (x ) − h
→ grafik y = f ( x ) mengalami pergeseran sejauh h ke bawah MA 1114 Kalkulus I
38
Translasi Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai x = f ( y ) , a > 0 x = f ( y − a) → grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke atas
x = f (y + a) → grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke bawah
x = f (y)+ a → grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke kanan
x = f (y) − a
→ grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke kiri MA 1114 Kalkulus I
39
13
Contoh Translasi 1. Gambarkan grafik dari fungsi
f (x ) = x 2 − 4 x + 5
(
)
= x 2 − 4x + 4 − 4 + 5
y = x2
= (x − 2) + 1 2
y = (x − 2)
y = (x − 2)
4
2
2
2
→ y = x digeser sejauh 2
2 ke kanan
MA 1114 Kalkulus I
40
Contoh Translasi Kemudian y = ( x − 2 )
2
digeser sejauh 1 ke atas
maka akan terbentuk y = ( x − 2 ) + 1 2
2 y = (x − 2 ) + 1
4 y = (x − 2 )
2
2
MA 1114 Kalkulus I
41
Contoh Translasi 2. Gambarkan grafik fungsi f ( x ) = 1 − 3 x Kita lihat dahulu grafik y = 3 x 3
y = −3 x
y = 3x :
MA 1114 Kalkulus I
42
14
Contoh Translasi Grafik y = 1 − 3 x dapat dipandang sebagai grafik
1
y = −3 x yang digeser ke atas sejauh 1 satuan
y =1− 3 x
y = −3 x
MA 1114 Kalkulus I
43
Soal Latihan Tentukan domain dan range dari fungsi di bawah ini 1 f (x) = 3 + 2 − 4 x 2 f (x ) = ,
x( x − 3) x −1
5 Diketahui f ( x ) =
1 +2 x
3
f (x ) = 3x −
4
f (x ) = x 2 − 5 x + 6
4−x
g ( x) = x
Apakah f o g terdefinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari f o g dan domain dari f o g. Gambarkan grafik dari fungsi di bawah ini 6 f (x ) = x (x + 2)
8.
f ( x ) = x − 5 x + 6 9. 2
7
f (x ) = 3 − x − 2
f ( x) = 3 + x − 4 MA 1114 Kalkulus I
44
15
