KALKULUS MULTIVARIABEL II

Integral Garis Medan Vektor Sifat Integral Garis

KALKULUS MULTIVARIABEL II Integral Garis Medan Vektor dan Sifat Integral Garis (Minggu ke-8)

Supama dan Hadrian Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia

Supama dan Hadrian

Integral Medan Vektor & Sifat Integral Garis


1

Integral Garis Medan Vektor Definisi Integral Garis Medan Vektor Penghitungan Integral Garis Medan Vektor

2

Sifat Integral Garis Sifat Integral Garis Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk Integral Garis Kebebasan Lintasan

Supama dan Hadrian



Definisi Integral Garis Medan Vektor Penghitungan Integral Garis Medan Vektor

Diberikan kurva mulus C pada R2 dengan rumus parameter x = x(t)

y = y(t)

z = (t)

a ≤ t ≤ b,

dengan C merupakan kurva yang terorientasi secara positif. Titik awal kurva C adalah A = (x(a), y(a)) dan titik ujung kurva C adalah B = (x(b), y(b)). Diperhatikan integral garis dengan bentuk ∫ f (x, y, z) dx + g(x, y, z) dy + h(x, y, z) dz C

dengan f , g, dan h merupakan fungsi kontinu bernilai pada C.

Supama dan Hadrian




Misal 1

F fungsi pada C, dengan F(x, y, z) = f (x, y, z)i + g(x, y, z)j + h(x, y, z)k, menyatakan vektor gaya yang dikerjakan pada suatu partikel di sepanjang kurva C

2

r = x(t)i + y(t)j + z(t)k menyatakan vektor posisi titik R = (x(t), y(t), z(t)) pada kurva C

3

T(R) menyatakan vektor singgung satuan kurva C di titik R = (x(t), y(t), z(t))

Supama dan Hadrian




Besarnya usaha yang dibutuhkan untuk memindahkan partikel dari titik R ke titik S di sepanjang kurva C dengan panjang busur RS adalah ∆s (∆s cukup kecil) mendekati (F(R) ⋅ T(R)) .∆s.

Supama dan Hadrian




Ditinjau partisi P = {t0 , t1 , t2 , . . . , tn } pada [a, b] dengan a = t0 < t1 < t2 < ⋯ < tn = b. Partisi P membagi kurva C ke dalam n kurva bagian Ci , dengan Ci merupakan kurva dengan titik awal Pi−1 = (x(ti−1 ), y(ti−1 ), z(ti−1 )) dan titik ujung Pi = (x(ti ), y(ti ), z(ti )).

Supama dan Hadrian




Misalkan ∆si menyatakan panjang kurva Ci dan ∥P ∥ menyatakan norma partisi P . Diperhatikan jumlahan Riemann berikut n

∑ (F(Pi−1 ) ⋅ T(Pi−1 )) .∆si . i=1

Diperoleh bahwa besarnya usaha yang diperlukan untuk memindahkan partikel dari titik A ke titik B di sepanjang kurva C adalah n

lim ∑ (F(Pi−1 ) ⋅ T(Pi−1 )) .∆si ∥P ∥→0 i=1

yang disebut integral garis medan vektor F di sepanjang kurva C dari A ke B dan dituliskan dengan ∫ (F ⋅ T) ds. C Supama dan Hadrian




Dengan memperhatikan bahwa T = ditulis sebagai ∫ F ⋅ dr,

dr ds ,

integral di atas dapat

C

dengan dr = dxi + dyj + dzk. Lebih lanjut, dengan memandang F(x, y, z) = f (x, y, z)i + g(x, y, z)j + h(x, y, z)k diperoleh bahwa ∫ F ⋅ dr = ∫ f (x, y, z) dx + g(x, y, z) dy + h(x, y, z) dz. C

C

Ruas kanan persamaan di atas, dapat dikerjakan seperti mengerjakan integral garis fungsi bernilai real.

Supama dan Hadrian




Pendefinisian integral garis medan vektor pada ruang berdimensi 2 pada dasarnya sama dengan pendefinisian integral garis medan vektor pada ruang berdimensi 3. Pendefinisian dilakukan dengan cara yang analog dengan ruang berdimensi tiga, namun dengan menghilangkan “faktor” z.

Supama dan Hadrian




Contoh Soal 1

Tentukan nilai integral garis ∫ F ⋅ dr, jika diketahui C C

kurva yang diberikan oleh fungsi bernilai vektor r, dengan F(x, y) = xyi + 3y 2 j 2

dan

r(t) = 11t4 i + t3 j, 0 ≤ t ≤ 1.

Diberikan medan gaya F pada R2 dengan F(x, y) = (x3 − y 3 )i + xy 2 j dan kurva C dengan rumus parameter x = t2 , y = t3 , −1 ≤ t ≤ 0. Tentukan besarnya usaha yang diperlukan untuk memindahkan partikel dari titik awal hingga titik ujung kurva C.

Supama dan Hadrian



Sifat Integral Garis Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk Integral Garis Kebebasan Lintasan

Sifat Integral Garis Terkait Lintasan Diberikan fungsi f ∶ K ⊆ R2 → R (atau f ∶ K ⊆ R2 → R) kontinu pada domainnya dan kurva C, C1 , dan C2 pada K. 1 Jika C = C1 + C2 , yaitu titik ujung C1 merupakan titik awal C2 (perhatikan gambar), maka ∫ f (x, y) ds = ∫ f (x, y) ds + ∫ f (x, y) ds. C

C1

Supama dan Hadrian

C2




Sifat Integral Garis Terkait Lintasan 2 Jika C = C1 ∪ C2 dengan C1 ∩ C2 = ∅, maka ∫ f (x, y) ds = ∫ f (x, y) ds + ∫ f (x, y) ds. C

C1

Supama dan Hadrian

C2




Sifat Integral Garis Terkait Lintasan 3 Didefinisikan kurva −C sebagai kebalikan dari kurva C, yaitu titik awal kurva −C adalah titik ujung kurva C dan titik ujung kurva −C merupakan titik awal kurva C (perhatikan gambar). Diperoleh bahwa ∫ f (x, y) ds = ∫ f (x, y) ds. −C

Supama dan Hadrian

C




Teorema Fundamental Misalkan C kurva mulus sepotong-sepotong yang secara parametrik diberikan oleh r = r(t), a ≤ t ≤ b, dengan titik awal r(a) dan titik ujung r(b). Jika fungsi bernilai real f memiliki vektor gradien ∇f yang kontinu pada suatu himpunan terbuka yang memuat C, maka ∫ ∇f (r) ⋅ dr = f (b) − f (a). C

Supama dan Hadrian




Definisi Integral Bebas Lintasan Diketahui F kontinu pada suatu himpunan terbuka dan terhubung D. Integral ∫ F ⋅ dr dikatakan bebas lintasan jika C

untuk sebarang dua titik A dan B anggota D dan setiap kurva C1 dan C2 pada D yang memiliki titik awal A dan titik akhir B, berlaku ∫ F ⋅ dr = ∫ F ⋅ dr. C1

Supama dan Hadrian

C2




Teorema Terkait Kebebasan Lintasan Diketahui D himpunan terbuka dan terhubung. Misalkan medan vektor F kontinu pada D. Tiga pernyataan berikut ekuivalen. 1

∫ F ⋅ dr bebas dari lintasan dalam D. C

2

3

Terdapat fungsi bernilai real f sehingga F(r) = ∇f (r) untuk setiap r di D. ∫ F ⋅ dr = 0 untuk setiap lintasan tertutup dalam D. C

Supama dan Hadrian


KALKULUS MULTIVARIABEL II

Recommend Documents