Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I Penerapan Integral Lipat-Dua

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014

Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()

Kalkulus Multivariabel I

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 28

Penerapan Integral Lipat-Dua


Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan lain dari integral lipat-dua antara lain adalah menghitung pusat massa, momen inersia, dan luas permukaan. Tinjaulah sebuah lembaran tipis yang sedemikian tipisnya sehingga kita dapat memandangnya sebagai objek berdimensi dua, kita menyebut lembaran ini lamina. Di sini, kita akan mempelajari lamina-lamina dengan berbagai kerapatan.






Andaikan sebuah lamina menutupi sebuah daerah S pada bidang xy , dan misalkan kerapatan (massa per satuan luas) di (x, y ) disimbolkan dengan δ(x, y ). Daerah S dipartisi menjadi persegi panjang-persegi panjang kecil R1 , R2 , . . . , Rk seperti ditunjukkan pada gambar. Ambil sebuah titik (¯ xk , y¯k ) pada Rk .






Maka massa Rk secara hampiran adalah δ(¯ xk , y¯k )A(Rk ), dan massa total lamina tersebut secara hampiran adalah m≈

n X

δ(¯ xk , y¯k )A(Rk )

k=1

Massa sebenarnya, m diperoleh dengan mengambil limit rumus di atas sebagai norma partisi mendekati nol, yang tentu saja merupakan sebuah integral lipat dua ZZ m=

δ(x, y )dA S






Contoh 1: Sebuah lamina dengan kerapatan δ(x, y ) = xy dibatasi oleh sumbu x, garis x = 8, dan kurva y = x 2/3 . Tentukan massa totalnya.






Penyelesaian:

ZZ m=

x 2/3 Z8 Z xy dA = xy dy dx 0

S

Z8 = 0

=


xy 2

2/3 2 x 0

1 3 10/3 x 2 10

0

1 dx = 2

Z8

x 7/3 dx

0

8 = 0

768 = 153.6 5




Pusat Massa

Pusat Massa Jika m1 , m2 , . . . , mn berturut-turut adalah kumpulan titik-titik massa yang masing-masing terletak di (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ), maka momen total terhadap sumbu y dan sumbu x dapat dinyatakan dengan My =

n X

xk mk

Mx =

k=1

n X

yk mk

k=1

Lebih lanjut, koordinat (¯ x , y¯ ) dari pusat massa (titik keseimbangan) adalah n P

My x¯ = = m

xk mk

k=1 n P

mk

n P

Mx y¯ = = m

k=1



yk mk

k=1 n P

mk

k=1



Pusat Massa

Sekarang perhatikan sebuah lamina dengan kerapatan berupa peubah δ(x, y ) yang melingkupi daerah S pada bidang xy . Buat partisi seperti pada gambar dan asumsikan sebagai sebuah hampiran bahwa suatu massa dari setiap Rk terpusat di (¯ xk , y¯k ), k = 1, 2, . . . , n. Gunakan limitnya sebagai suatu aturan pembagian partisi yang mendekati nol. Cara ini menghasilkan rumus umum, RR RR xδ(x, y )dA y δ(x, y )dA My Mx S S RR RR x¯ = = y¯ = = m m δ(x, y )dA δ(x, y )dA S


S




Pusat Massa

Contoh 2: Tentukan pusat massa dari lamina pada Contoh 1. Penyelesaian: Pada Contoh 1, kita telah mendapatkan massa m dari lamina yaitu 768 5 . Momen My dan Mx yang mengacu pada sumbu y dan sumbu x adalah

ZZ

x 2/3 Z8 Z xδ(x, y )dA = x 2 y dy dx

S

0

My =

=

1 2

Z8

x 10/3 dx =

0

12288 = 945.23 13

0





ZZ

x 2/3 Z8 Z y δ(x, y )dA = xy 2 dy dx

S

0

Mx =

=

Pusat Massa

1 3

Z8

x 3 dx =

0

1024 = 341.33 3

0

Maka x¯ =

My 2 = 6 = 6.15 m 13


y¯ =


Mx 2 = 2 = 2.22 m 9



Momen Inersia

Momen Inersia Dari pelajaran fisika kita pelajari bahwa energi kinetik, KE , dari sebuah partikel dengan massa m, dan kecepatan v , yang bergerak dalam sebuah garis lurus dirumuskan dengan 1 KE = mv 2 2

(1)

Jika suatu partikel tidak bergerak dalam sebuah garis lurus tetapi berputar dalam sebuah sumbu dengan kecepatan sudut sebesar ω radian per satuan waktu, maka kecepatan linearnya adalah v = r ω, di mana r adalah jari-jari dari lintasan perputarannya. Ketika kita mensubstitusikan ini ke dalam (1), maka kita akan memperoleh 1 KE = (r 2 m)ω 2 2





Momen Inersia

Suku r 2 m disebut momen inersia dari suatu partikel dan dilambangkan dengan I . Jadi, untuk sebuah partikel yang berputar 1 KE = I ω 2 2

(2)

Kita simpulkan dari (1) dan (2) bahwa momen inersia dari benda dalam gerak berputar memainkan peranan yang serupa dengan massa benda dengan gerak linear.





Momen Inersia

Untuk sebuah sistem dengan n partikel pada suatu bidang dengan massa m1 , m2 , . . . , mn dan pada jarak-jarak r1 , r2 , . . . , rn dari garis L, maka momen inersia sistem terhadap L didefinisikan sebagai I =

m1 r12

+

m2 r22

+ ... +

mn rn2

=

n X

mk rk2

k=1

Dengan kata lain, kita melakukan penjumlahan momen inersia dari setiap partikel.





Momen Inersia

Misalkan sebuah lamina dengan kerapatan δ(x, y ) yang melingkupi daerah S pada bidang xy . Jika kita mempunyai partisi S, membuat hampiran untuk momen inersia dari setiap bagian Rk , menjumlahkan dan menentukan limitnya, maka akan diperoleh rumus-rumus berikut. Momen inersia (disebut juga momen kedua) dari suatu lamina terhadap sumbu x, sumbu y , dan sumbu z dinyatakan dengan ZZ ZZ Ix = y 2 δ(x, y )dA Iy = x 2 δ(x, y )dA S

S

ZZ Iz =

(x 2 + y 2 )δ(x, y )dA = Ix + Iy

S





Momen Inersia

Contoh 3: Tentukan momen inersia terhadap sumbu x, y , dan z dari lamina pada Contoh 1. Penyelesaian:

ZZ Ix =

x 2/3 Z8 Z Z8 1 6144 3 3 xy dA = xy dy dx = x 11/3 dx = ≈ 877.71 4 7 0

S

0

0

x 2/3

ZZ Iy =

3

Z8 Z

x ydA = S

0

1 x y dy dx = 2 3

0

Z8

x 13/3 dx = 6144

0

49152 Iz = Ix + Iy = ≈ 7021.71 7





Luas Permukaan

Luas Permukaan

Pada materi ini, kita akan membahas mengenai luas permukaan yang didefinisikan dengan z = f (x, y ) atas sebuah daerah spesifik. Andaikan G adalah permukaan atas sebuah daerah S yang tertutup dan terbatas pada bidang xy . Asumsikan bahwa f mempunyai turunan-turunan parsial pertama kontinu fx dan fy . Kita akan mulai dengan membuat partisi P pada daerah S dengan garis-garis sejajar dengan sumbu x dan sumbu y (Gambar kiri).





Luas Permukaan

Misalkan Rm , m = 1, 2, . . . , n, menyatakan persegi panjang-persegi panjang yang dihasilkan dan terletak sepenuhnya di dalam S. Untuk setiap m, misalkan Gm adalah bagian dari permukaan yang diproyeksikan ke Rm , dan misalkan Pm adalah suatu titik dari Gm yang diproyeksikan ke sudut Rm dengan koordinat x dan koordinat y yang terkecil. Misalkan Tm menyatakan suatu jajaran genjang dari bidang singgung di Pm yang diproyeksikan ke Rm , seperti ditunjukkan pada Gambar kiri, dan perincian selanjutnya ditunjukkan pada Gambar kanan.





Luas Permukaan

Selanjutnya, kita mencari luas jajaran genjang Tm yang proyeksinya adalah Rm . Misalkan um dan vm menyatakan vektor-vektor yang membentuk sisi-sisi Tm . Maka, um = ∆xm i + fx (xm , ym )∆xm k vm = ∆ym j + fy (xm , ym )∆ym k





Luas Permukaan

Luas jajaran genjang Tm adalah |um × vm | di mana i j k 0 fx (xm , ym )∆xm um × vm = ∆xm 0 ∆ym fy (xm , ym )∆ym = (0 − fx (xm , ym )∆xm ∆ym )i − (fy (xm , ym )∆xm ∆ym − 0)j + (∆xm ∆ym − 0)k = ∆xm ∆ym [−fx (xm , ym )i − fy (xm , ym )j + k] = A(Rm )[−fx (xm , ym )i − fy (xm , ym )j + k] Dengan demikian, luas Tm adalah q A(Tm ) = |um × vm | = A(Rm ) [fx (xm , ym )]2 + [fy (xm , ym )]2 + 1





Luas Permukaan

Kemudian, jumlahkan luas dari bidang-bidang singgung jajaran genjang Tm ini, m = 1, 2, . . . , n, dan ambil limitnya agar diperoleh luas permukaan G . A(G ) = lim

n X

|P|→0

A(Tm )

m=1

q = lim [fx (xm , ym )]2 + [fy (xm , ym )]2 + 1A(Rm ) |P|→0 ZZ q [fx (xm , ym )]2 + [fy (xm , ym )]2 + 1dA = S

Singkatnya, ZZ q A(G ) = fx2 + fy2 + 1dA S





Luas Permukaan

Gambar di atas dibuat seolah-olah daerah S pada bidang xy adalah sebuah persegi panjang, tapi prakteknya tidak selalu demikian. Gambar berikut memperlihatkan apa yang terjadi ketika S bukan merupakan sebuah persegi panjang.





Luas Permukaan

Contoh 1: Jika S adalah daerah persegi panjang pada bidang xy yang dibatasi oleh garis x = 0, x = 1, y = 0, √ dan y = 2, tentukan luas dari bagian permukaan silindris z = 4 − x 2 yang diproyeksikan ke S.





Luas Permukaan

Penyelesaian: √ x Misalkan f (x, y ) = 4 − x 2 . Maka fx = − √4−x , fy = 0, dan 2 ZZ q ZZ 2 2 A(G ) = fx + fy + 1dA = S

ZZ = S

Z1 =4 0


s

x2 + 1dA 4 − x2

S

√

2 dA = 4 − x2

Z1

Z2

0

0

√

2 dy dx 4 − x2

h 1 x i1 2π √ dx = 4 sin−1 = 2 0 3 4 − x2




Luas Permukaan

Contoh 2: Tentukan luas permukaan z = x 2 + y 2 di bawah bidang z = 9.





Luas Permukaan

Penyelesaian: Bagian G (yang diarsir) dari permukaan tersebut diproyeksikan ke daerah melingkar S di dalam lingkaran x 2 + y 2 = 9. Misalkan f (x, y ) = x 2 + y 2 . Maka fx = 2x, fy = 2y , dan ZZ p A(G ) = 4x 2 + 4y 2 + 1dA S





Luas Permukaan

Bentuk S menyarankan kita untuk menggunakan koordinat kutub.

A(G ) =

Z2π Z3 p 0

4r 2 + 1r dr dθ

0

3 Z2π 1 2 2 3/2 = dθ (4r + 1) 8 3 0 0

Z2π =

1 π (373/2 − 1)dθ = (373/2 − 1) ≈ 117.32 12 6

0





Latihan

Latihan 1. Tentukan massa m dan pusat massa (¯ x , y¯ ) dari lamina yang dibatasi kurva-kurva berikut dengan kerapatan yang diberikan. a. x = 0, x = 4, y = 0, y = 3; δ(x, y ) = y + 1 b. y = e x , y = 0, x = 0, x = 1; δ(x, y ) = 2 − x + y

2. Tunjukkan bahwa momen inersia dari sebuah lamina persegi panjang homogen dengan panjang sisi a dan b terhadap sumbu tegak lurus melalui pusat massanya adalah I =

k 3 (a b + ab 3 ) 12

Di sini k adalah konstanta kerapatan.





Latihan

3. Sketsalah daerah-daerah berikut dan hitung luas permukaannya. p

a. Bagian dari permukaan z = 4 − y 2 yang tepat berada di atas bujursangkar pada bidang xy dengan verteks-verteks (1, 0), (2, 0), (2, 1), dan (1, 1). p b. Bagian dari permukaan z = 4 − y 2 pada oktan pertama yang tepat berada di atas lingkaran x 2 + y 2 = 4 pada bidang xy . c. Bagian dari bola x 2 + y 2 + z 2 = a2 di dalam silinder lingkaran x 2 + y 2 = ay (r = asinθ pada koordinat kutub), a > 0.





Pustaka

Pustaka

Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga. Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of Advanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill. Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2. Jakarta : Erlangga. Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved Problems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill.




Kalkulus Multivariabel I

Recommend Documents