KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan
Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan real meliputi bilangan rasional (seperti ½ dan 2) dan irasional (seperti √2 dan π). Bilangan rasional meliputi semua bilangan bulat (positif, nol, dan negatif) dan pecahan murni. Himpunan semua bilangan real dilambangkan dengan R. Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap operasi penjumlahan dan perkalian), sifat urutan (tentang <, =, dan >), dan sifat kelengkapan. Sifat kelengkapan memungkinkan kita menyatakan R sebagai suatu garis (yang tak berlubang), yang disebut garis bilangan real.
Garis bilangan real Pada garis bilangan real, setiap titik menyatakan sebuah bilangan real. Sebaliknya, setiap bilangan real dapat dinyatakan sebagai sebuah titik pada garis bilangan real. (Sebagai perbandingan, himpunan semua bilangan rasional tidak dapat dinyatakan sebagai sebuah garis.) Untuk selanjutnya, R menjadi himpunan semesta kita.
Notasi selang di bawah ini akan sering dipakai: (a,b) = { x є R | a < x < b } [a,b] = { x є R | a ≤ x ≤ b } [a,b) = { x є R | a ≤ x < b } (a,b] = { x є R | a < x ≤ b } (-∞,b)= { x є R | x < b } (-∞,b]= { x є R | x ≤ b } (a,∞) = { x є R | x > a } [a,∞) = { x є R | x ≥ a }
Pertaksamaan Dalam kalkulus, kita sering kali menghadapi suatu pertaksamaan (dalam x), seperti x2 < x. Menyelesaikan suatu pertaksamaan dalam x berarti menentukan himpunan semua nilai x yang ‘memenuhi’ pertaksamaan tersebut (yang membuat pertak-samaan tersebut menjadi suatu ketaksamaan yang benar). Himpunan semua nilai x yang memenuhi suatu pertaksamaan disebut sebagai himpunan penyelesaian pertaksamaan tersebut.
Contoh 1. Selesaikan pertaksamaan x2 < x. Jawab. Kita akan menyelesaikan pertaksamaan di atas dengan menggunakan sifat-sifat aljabar dan urutan bilangan real. Perhatikan bahwa x2 < x ↔ x2 – x < 0 ↔ x(x – 1) < 0. Pembuat nol dari x(x – 1) adalah 0 dan 1. Tanda dari x(x – 1) pada garis bilangan real adalah
Kita sedang mencari nilai x yang membuat x(x – 1) < 0 (yakni, yang membuat x(x – 1) bernilai negatif). Karena itu, himpunan penyelesaiannya adalah {x є R|0 < x < 1} atau selang (0,1). Catatan. Lambang ↔ berarti ‘setara dengan’. Dua pernyataan setara apabila kebenaran pernyataan yang satu mengakibatkan kebenaran pernyataan lainnya. Latihan. Selesaikan pertaksamaan berikut: 1. 1/x < 2. 2. x3 ≥ x.
Nilai Mutlak Lambang | x | menyatakan nilai mutlak bilangan x, yang didefinisikan sebagai | x | = x, jika x > 0, = 0, jika x = 0, = –x, jika x < 0. Jelas bahwa | x | ≥ 0 untuk sebarang x є R. Selain itu, | xy | = | x |.| y |, | x/y | = | x |/| y |, dan | x + y | ≤ | x | + | y | untuk setiap x, y є R. Juga, | x |2 = x2 (jadi, | x | = √x2); | x | < a ↔ –a < x < a; dan | x | < | y | ↔ x2 < y2. Berikut adalah soal pertaksamaan dengan nilai mutlak.
Contoh 2. Selesaikan pertaksamaan | 1/x – 3 | > 6. Jawab:
| 1/x – 3 | > 6 ↔ | (1 – 3x)/x | > 6 ↔ | 1 – 3x |/| x | > 6 ↔ | 1 – 3x | > 6.| x | (x ≠ 0) ↔ (1 – 3x)2 > 36x2 ↔ 27x2 + 6x – 1 < 0 ↔ (9x – 1)(3x + 1) < 0 ↔ -1/3 < x < 9. Mengingat x ≠ 0, himpunan penyelesaiannya adalah (-1/3,0) U (0,1/9). Latihan. Selesaikan pertaksamaan | x – 1 | < 2| x + 1 |.
Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Sistem koordinat Cartesius untuk bidang terdiri dari dua sumbu koordinat, sumbu x dan sumbu y, yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik asal (0,0).
Bidang Cartesius terbagi atas empat kuadran. Setiap titik pada bidang Cartesius dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan (x,y), dan sebaliknya pasangan bilangan (x,y) menyatakan titik tertentu pada bidang. Jarak antara dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2) adalah d(P,Q) = [(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2]1/2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) dan berjarijari r pada bidang adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2.
Persamaan umum garis lurus pada bidang adalah Ax + By + C = 0, dengan A, B tak keduanya nol. Jika B ≠ 0, persamaan tadi dapat dinyatakan sebagai y = mx + c, dengan m menyatakan gradien atau kemiringan garis tersebut. Persamaan garis lurus yang melalui P(x0,y0) dengan gradien m adalah y – y0 = m(x – x0).
Diberikan suatu persamaan (dalam x dan y), seperti y = x2, kita dapat menggambar grafiknya pada bidang Cartesius. Perhatikan bahwa grafik y = x2 simetris terhadap sb-y. Latihan. Gambar grafik persamaan berikut: 1. x2 + (y – 1)2 = 4. 2. 3x – 5y = 10. 3. x = y2.
SOAL-SOAL BAB I (dari buku Purcell & Varberg “Kalkulus dan Geometri Analitis” jilid I, edisi V) 1.2 no. 15, 17. 1.3 no. 3, 7, 13, 17, 21, 29. 1.4 no. 3, 11, 17, 21, 25, 34. 1.5 no. 7, 10, 12. 1.6 no. 9, 13, 17, 23, 25. 1.7 no. 1, 7, 11, 17, 19.
