KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN

KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Independensi Linear Basis & Dimensi

TIM KALIN

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah menyelesaikan mahasiswa diharapkan :

pertemuan

– Dapat mengetahui apakah suatu bebas linier atau tak bebas linier – Dapat mencari basis dari suatu SPL

ini vektor

RUANG-RUANG VEKTOR UMUM Surabaya, 3 September 2012

2 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

Page 2

Independensi Linier Basis & Dimensi

RUANG-RUANG VEKTOR UMUM

3

4 Surabaya, 3 September 2012

Tulis di papan KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

Page 4

Merentang = spanning


KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

Page 5



Page 6

Kombinasi Linier (k.l): w k.l. S = {v1, v2, v3, …., vr } jika w = k1v1+ k2v2 + k3v3…. + krvr

k1, k2, k3, …., kr terdefinisi /ada nilainya

Independensi Linier: S = {v1, v2, v3, …., vr } disebut himpunan bebas linier / tidak-bergantung linier (linearly independent) jika solusi Sistem Persamaan Linier Homogen k1v1+ k2v2 + k3v3…. + krvr = 0 adalah solusi trivial k1, k2, k3, …., kr = 0 RUANG-RUANG VEKTOR UMUM

7

Independensi Linier: S = {v1, v2, v3, …., vr } disebut himpunan bebas linier / tidak-bergantung linier (linearly independent) jika solusi Sistem Persamaan Linier Homogen k1v1+ k2v2 + k3v3…. + krvr = 0 adalah solusi trivial k1, k2, k3, …., kr = 0

Dependensi Linier: S = {v1, v2, v3, …., vr } disebut himpunan tidak-bebas linier / bergantung linier (linearly dependent) jika solusi Sistem Persamaan Linier Homogen k1v1+ k2v2 + k3v3…. + krvr = 0 adalah solusi non-trivial k1, k2, k3, …., kr = 0 dan ada kj ≠ 0 (j = 1 .. r) RUANG-RUANG VEKTOR UMUM

8

Diketahui : himpunan S = {v1, v2, v3, …., vr } Ditanyakan: apakah S linearly independent atau linearly dependent? Jawab: 1. Bentuk SPL Homogen

k1v1+ k2v2 + k3v3…. + krvr = 0

2. Tentukan solusinya 3. Jika solusinya trivial k1, k2, k3, …., kr = 0 maka S linearly independent 4. Jika solusinya non-trivial maka S linearly dependent


9


10

Ex. 6 hal 235



Page 11

ex. 2 hal 232



Page 12

Ex. 3 hal 233



Page 13



Page 14

Ex. 4 hal 233



Page 15



Page 16

Basis: V adalah Ruang Vektor S = { v1, v2, v3, …, vn } di mana v1, v2, v3, …, vn ∈ V maka S disebut Basis dari V jika 1. S linearly independent 2. S merupakan rentang (span) dari V


17

Basis: V adalah Ruang Vektor S = { v1, v2, v3, …, vn } di mana v1, v2, v3, …, vn ∈ V maka S disebut Basis dari V jika 1.

S linearly independent

2.

S merupakan rentang (span) dari V

V disebut Ruang Vektor dengan dimensi berhingga (n) Jika tidak bisa didefinisikan himpunan S (berhingga) yang dapat menjadi basis untuk V, maka V disebut berdimensi tak-hingga Suatu Ruang Vektor bisa mempunyai lebih dari satu basis RUANG-RUANG VEKTOR UMUM

18



Page 19



Page 20


bilqis KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

Page 21



Page 22

Basis Untuk Ruang jawab SPL (1)



Page 23



Page 24



Page 25



Page 26

27

Basis Untuk Ruang jawab SPL (2) Contoh : Tentukan basis dan dimensi untuk ruang jawab dari SPL berikut : X1 + 2X2 + 7X3 – 9X4 + 31X5 = 0 2X1 + 4X2 + 7X3 – 11X4 + 34X5 = 0 3X1 + 6X2 + 5X3 – 11X4 + 29x5 = 0 Penyelesaian : Matriks eselon : 1 2 7 −9 31  0 0 1 −1  0 0 0 0

4  0 



Page 28

Variabel tak bebas x1 dan x3 x2 = t1 x4 = t2 x5 = t3 x3 = t2 – 4t3 x1 = -2t1 + 2t2 – 3t3 (x1,x2,x3,x4,x5) = (-2t1 + 2t2 – 3t3, t1, t2 – 4t3, t2, t3) = t1(-2,1,0,0,0) + t2(2,0,1,1,0) + t3(-3,0,-4,0,1) RUANG-RUANG VEKTOR UMUM Surabaya, 3 September 2012


Page 29

• Sehingga didapatkan :

u1 = (−2,1, 0, 0, 0)   Basis dari u 2 = (2, 0,1,1, 0)  RUANG JAWAB  u 3 = (−3, 0, −4, 0,1) 



Page 30

Dimensi: V adalah Ruang Vektor S = { v1, v2, v3, …, vn } basis dari V Dimensi dari V = n (banyaknya vektor di S) Contoh(1): Dari jawaban SPL soal sebelumnya :

u1 = (−2,1, 0, 0, 0)   u 2 = (2, 0,1,1, 0)   u 3 = (−3, 0, −4, 0,1) 

Dimensi dari ruang jawab tersebut = 3 (karena terdiri dari 3 vektor)


31

• Contoh(2): tentukan dimensi dan basis dari SPL berikut : 2X1 + 2X2 - X3 + X5 = 0 -X1 - X2 + 2X3 – 3X4 + X5 = 0 X1 + X2 - 2X3 – X5 = 0 X3 + X4 + x5 = 0 Penyelesaian : dengan melakukan OBE dan lain-lain didapatkan penyelesaian : X1 = - s - t, X2 = s, X3 = -t, X4 = 0, X5 = t RUANG-RUANG VEKTOR UMUM Surabaya, 3 September 2012


Page 32

• Sehingga vektor penyelesaian bisa dituliskan :  x1  x   2  x3  =    x4   x 5  sehingga

−      

s − t − s − t  − 1  − 1   s   0   1   0  s          − t  =  0  +  − t  = s  0  + t  − 1          0 0 0 0 0            0   t   0   1  t

 − 1  − 1  1   0      u =  0  dan _ v =  − 1  span _ ruang _ jawab     0 0      0   1  karena _ saling _ bebas _ linier _ maka _ merupakan dim ensi

_ basis

= 2


33



Page 34



Page 35

Teorema Independensi Linear Teorema 1: a. Tak bebas linear jika dan hanya jika paling tidak satu diantara vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor S lainnya. b. Bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dalam vektor S lainnya.



Page 36

Teorema Independensi Linear Teorema 2: a. Jika semua himpunan mengandung vektor nol, maka himpunan itu tak bebas linear. b. Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor tak bebas linear jika dan hanya jika salah satu dari vektor itu adalah perkalian dari skalar lainnya.



Page 37

Teorema Independensi Linear Teorema 3: Misalkan S = {v1, v2, ..., vr} adalah himpunan vektor-vektor pada Rn. Jika r>n, maka S tak bebas linear.



Page 38

Exercises ☺



Page 39

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN

Recommend Documents