Ruang Vektor Euclid R n

Ruang Vektor Euclid Rn Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016

MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U

Oktober 2015

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

1 / 38

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1

Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya.

2

Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.

3

Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.

4

Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan Siti Aminah. Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus.

5

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke @telkomuniversity.ac.id.

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

2 / 38

Bahasan

1

Pendahuluan dan Motivasi

2

Ruang Vektor Euclid Rn

3

Vektor-vektor Basis Standar di Rn

4

Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di Rn

5

Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di Rn

6

Beberapa Sifat-sifat Penting

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

3 / 38


Bahasan

1


2


3


4


5


6


MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

4 / 38


Sejarah Perkembangan Vektor Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x; y) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x; y; z) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3.

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

5 / 38


Sejarah Perkembangan Vektor Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x; y) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x; y; z) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3. Pada akhir abad ke-19 matematikawan dan …sikawan mulai menyadari bahwa kita tidak harus hanya berhenti pada tripel bilangan. Kita membutuhkan “alat” yang dapat merepresentasikan keadaaan pada dimensi yang lebih tinggi.

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

5 / 38


Sejarah Perkembangan Vektor Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x; y) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x; y; z) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3. Pada akhir abad ke-19 matematikawan dan …sikawan mulai menyadari bahwa kita tidak harus hanya berhenti pada tripel bilangan. Kita membutuhkan “alat” yang dapat merepresentasikan keadaaan pada dimensi yang lebih tinggi. Kuadrupel bilangan (w; x; y; z) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada “ruang berdimensi 4”.

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

5 / 38


Sejarah Perkembangan Vektor Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x; y) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x; y; z) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3. Pada akhir abad ke-19 matematikawan dan …sikawan mulai menyadari bahwa kita tidak harus hanya berhenti pada tripel bilangan. Kita membutuhkan “alat” yang dapat merepresentasikan keadaaan pada dimensi yang lebih tinggi. Kuadrupel bilangan (w; x; y; z) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada “ruang berdimensi 4”. 5-tupel bilangan (v; w; x; y; z) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada “ruang berdimensi 5”.

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

5 / 38


Sejarah Perkembangan Vektor Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x; y) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x; y; z) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3. Pada akhir abad ke-19 matematikawan dan …sikawan mulai menyadari bahwa kita tidak harus hanya berhenti pada tripel bilangan. Kita membutuhkan “alat” yang dapat merepresentasikan keadaaan pada dimensi yang lebih tinggi. Kuadrupel bilangan (w; x; y; z) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada “ruang berdimensi 4”. 5-tupel bilangan (v; w; x; y; z) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada “ruang berdimensi 5”. n-tupel bilangan (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada “ruang berdimensi n”.

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

5 / 38


Motivasi

Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai:

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

6 / 38


Motivasi

Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai: Pemrosesan citra digital (image processing ).

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

6 / 38


Motivasi

Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai: Pemrosesan citra digital (image processing ). Teori pengkodean (coding theory ): cara untuk mengkompresi data dan mentransmisikan data.

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

6 / 38


Motivasi

Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai: Pemrosesan citra digital (image processing ). Teori pengkodean (coding theory ): cara untuk mengkompresi data dan mentransmisikan data. Kriptogra…: cara untuk merahasiakan suatu data.

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

6 / 38


Motivasi

Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai: Pemrosesan citra digital (image processing ). Teori pengkodean (coding theory ): cara untuk mengkompresi data dan mentransmisikan data. Kriptogra…: cara untuk merahasiakan suatu data. Pada bidang-bidang di atas, suatu data dapat direpresentasikan menjadi suatu vektor (a1 ; a2 ; : : : ; an ).

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

6 / 38


Motivasi

Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai: Pemrosesan citra digital (image processing ). Teori pengkodean (coding theory ): cara untuk mengkompresi data dan mentransmisikan data. Kriptogra…: cara untuk merahasiakan suatu data. Pada bidang-bidang di atas, suatu data dapat direpresentasikan menjadi suatu vektor (a1 ; a2 ; : : : ; an ). Tujuan utama dari bahasan ini adalah untuk memperkenalkan operasi dan sifat vektor yang terdapat pada ruang berdimensi n.

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

6 / 38


Vektor dan Array

Vektor berdimensi n yang ditulis (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) analog dengan array yang telah Anda pelajari di kuliah-kuliah pemrograman. Kadang-kadang vektor dapat dipandang sebagai array yang komponen-komponennya adalah bilangan-bilangan.

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

7 / 38


Vektor dan Array

Vektor berdimensi n yang ditulis (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) analog dengan array yang telah Anda pelajari di kuliah-kuliah pemrograman. Kadang-kadang vektor dapat dipandang sebagai array yang komponen-komponennya adalah bilangan-bilangan. Vektor berdimensi n dapat dipandang sebagai array dengan n komponen. Suatu vektor ~v yang berdimensi 5, yaitu ~v = (v1 ; v2 ; v3 ; v4 ; v5 ) dapat dipandang sebagai array V = v1 v2 v3 v4 v5 .

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

7 / 38


Vektor dan Array

Vektor berdimensi n yang ditulis (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) analog dengan array yang telah Anda pelajari di kuliah-kuliah pemrograman. Kadang-kadang vektor dapat dipandang sebagai array yang komponen-komponennya adalah bilangan-bilangan. Vektor berdimensi n dapat dipandang sebagai array dengan n komponen. Suatu vektor ~v yang berdimensi 5, yaitu ~v = (v1 ; v2 ; v3 ; v4 ; v5 ) dapat dipandang sebagai array V = v1 v2 v3 v4 v5 . Jika pada kuliah-kuliah yang terkait pemrograman Anda akan mempelajari operasi array terkait struktur data dan algoritmanya, contohnya searching dan sorting, pada perkuliahan Aljabar Linier Anda akan mengkaji struktur dan operasi matematika yang dapat dilakukan pada suatu vektor (array ).

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

7 / 38


Bahasan

1


2


3


4


5


6


MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

8 / 38


De…nisi Ruang Vektor Euclid Rn De…nisi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka suatu vektor ~v adalah n tupel terurut (ordered n-tuple) (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) , dengan vi 2 R untuk 1 i n. Himpunan seluruh n tupel terurut disebut ruang vektor Euclid berdimensi n dan ditulis dengan Rn . Untuk meringkas, kita katakan ruang vektor Euclid berdimensi n sebagai ruang Euclid berdimensi n (tanpa kata vektor). Vektor pada Rn dapat dinyatakan dalam bentuk

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

9 / 38


De…nisi Ruang Vektor Euclid Rn De…nisi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka suatu vektor ~v adalah n tupel terurut (ordered n-tuple) (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) , dengan vi 2 R untuk 1 i n. Himpunan seluruh n tupel terurut disebut ruang vektor Euclid berdimensi n dan ditulis dengan Rn . Untuk meringkas, kita katakan ruang vektor Euclid berdimensi n sebagai ruang Euclid berdimensi n (tanpa kata vektor). Vektor pada Rn dapat dinyatakan dalam bentuk 1

n tupel terurut, contohnya ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn )

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

9 / 38


De…nisi Ruang Vektor Euclid Rn De…nisi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka suatu vektor ~v adalah n tupel terurut (ordered n-tuple) (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) , dengan vi 2 R untuk 1 i n. Himpunan seluruh n tupel terurut disebut ruang vektor Euclid berdimensi n dan ditulis dengan Rn . Untuk meringkas, kita katakan ruang vektor Euclid berdimensi n sebagai ruang Euclid berdimensi n (tanpa kata vektor). Vektor pada Rn dapat dinyatakan dalam bentuk 1 2

n tupel terurut, contohnya ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) vn , notasi ini jarang dipakai matriks baris, contohnya ~v = v1 v2

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

9 / 38


De…nisi Ruang Vektor Euclid Rn De…nisi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka suatu vektor ~v adalah n tupel terurut (ordered n-tuple) (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) , dengan vi 2 R untuk 1 i n. Himpunan seluruh n tupel terurut disebut ruang vektor Euclid berdimensi n dan ditulis dengan Rn . Untuk meringkas, kita katakan ruang vektor Euclid berdimensi n sebagai ruang Euclid berdimensi n (tanpa kata vektor). Vektor pada Rn dapat dinyatakan dalam bentuk 1 2

3

n tupel terurut, contohnya ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) vn , notasi ini jarang dipakai matriks baris, contohnya ~v = v1 v2 2 3 v1 6 v2 7 6 7 matriks kolom, contohnya ~v = 6 . 7 4 .. 5 vn MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

9 / 38


Kesamaan Dua Vektor di Rn

De…nisi Dua vektor ~u; ~v 2 Rn dengan ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) dikatakan sama jika

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

10 / 38



De…nisi Dua vektor ~u; ~v 2 Rn dengan ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) dikatakan sama jika (u1 = v1 ) ^ (u2 = v2 ) ^

^ (un = vn ) .

Jika ~u dan ~v sama, kita dapat menuliskan ~u = ~v .

Catatan

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

10 / 38



De…nisi Dua vektor ~u; ~v 2 Rn dengan ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) dikatakan sama jika (u1 = v1 ) ^ (u2 = v2 ) ^

^ (un = vn ) .

Jika ~u dan ~v sama, kita dapat menuliskan ~u = ~v .

Catatan Kesamaan dua vektor di Rn juga dapat dipandang sebagai kesamaan dua matriks kolom dengan n baris, atau kesamaan dua matriks baris dengan n kolom.

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

10 / 38


Operasi Vektor di Rn Kita perlu mende…nisikan operasi pejumlahan dan perkalian skalar untuk vektor di Rn .

De…nisi Jika ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : vn ) adalah dua vektor di Rn dan 2 R, maka ~u + ~v

MZI (FIF Tel-U)

=

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

11 / 38




=

(u1 + v1 ; u2 + v2 ; : : : ; un + vn )

~u =

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

11 / 38




=

~u =

(u1 + v1 ; u2 + v2 ; : : : ; un + vn ) ( u1 ; u2 ; : : : ; un )

~u =

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

11 / 38




~u

MZI (FIF Tel-U)

=

(u1 + v1 ; u2 + v2 ; : : : ; un + vn )

~u =

( u1 ; u2 ; : : : ; un )

~u =

( u1 ; u2 ; : : : ; un )

~v

=

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

11 / 38




~u

=

(u1 + v1 ; u2 + v2 ; : : : ; un + vn )

~u =

( u1 ; u2 ; : : : ; un )

~u =

( u1 ; u2 ; : : : ; un )

~v

= ~u + ( ~v ) = (u1

v1 ; u2

v2 ; : : : ; u n

vn )

De…nisi Vektor ~0 di Rn dide…nisikan sebagai ~0 = (0; 0; : : : ; 0). Vektor ~0 di Rn juga dapat dipandang sebagai suatu matriks kolom (matriks baris) yang seluruh entrinya 0. MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

11 / 38


Catatan Penjumlahan dua vektor di Rn dapat dipandang sebagai penjumlahan dua matriks kolom dengan n baris. Perkalian suatu vektor dengan suatu skalar di Rn juga dapat dipandang sebagai perkalian suatu matriks kolom dengan n baris dan suatu skalar di R.

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

12 / 38


Aritmetika Vektor di Rn Teorema Jika ~u; ~v ; w ~ 2 Rn dan ;

MZI (FIF Tel-U)

2 R, maka

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

13 / 38


Aritmetika Vektor di Rn Teorema Jika ~u; ~v ; w ~ 2 Rn dan ; 1

2 R, maka

~u + ~v = ~v + ~u

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

13 / 38



2 R, maka

1

~u + ~v = ~v + ~u

2

(~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

13 / 38



2 R, maka

1

~u + ~v = ~v + ~u

2

(~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~ ~ ~ ~u + 0 = 0 + ~u = ~u

3

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

13 / 38



2 R, maka

1

~u + ~v = ~v + ~u

2

(~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~ ~ ~ ~u + 0 = 0 + ~u = ~u

3 4

~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

13 / 38



2 R, maka

1

~u + ~v = ~v + ~u

2

(~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~ ~ ~ ~u + 0 = 0 + ~u = ~u

3 4 5

~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0 (~u + ~v ) = ~u + ~v

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

13 / 38



2 R, maka

1

~u + ~v = ~v + ~u

2

(~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~ ~ ~ ~u + 0 = 0 + ~u = ~u

3 4 5 6

~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0 (~u + ~v ) = ~u + ~v ( + ) ~u = ~u + ~u

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

13 / 38



2 R, maka

1

~u + ~v = ~v + ~u

2

(~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~ ~ ~ ~u + 0 = 0 + ~u = ~u

3 4 5 6 7

~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0 (~u + ~v ) = ~u + ~v ( + ) ~u = ~u + ~u ( ~u) = (

MZI (FIF Tel-U)

) ~u

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

13 / 38



2 R, maka

1

~u + ~v = ~v + ~u

2

(~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~ ~ ~ ~u + 0 = 0 + ~u = ~u

3 4

~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0 (~u + ~v ) = ~u + ~v

5 6

( + ) ~u = ~u + ~u ( ~u) = (

7 8

) ~u

1~u = ~u

Bukti Cukup mudah. Tinjau ~u , ~v , dan w ~ sebagai suatu matriks kolom berukuran n 1. Sifat-sifat yang dijelaskan pada teorema analog dengan sifat yang dimiliki matriks kolom berukuran n 1. MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

13 / 38


Bahasan

1


2


3


4


5


6


MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

14 / 38


Vektor-vektor Basis Standar di Rn Kita telah melihat bahwa ^{ = (1; 0) dan |^ = (0; 1) adalah vektor-vektor basis standar di R2 , sedangkan ^{ = (1; 0; 0), |^ = (0; 1; 0), dan k^ = (0; 0; 1) adalah vektor-vektor basis standar di R3 .

De…nisi

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

15 / 38



De…nisi Vektor-vektor basis standar di Rn adalah ~e1 ; ~e2 ; : : : ; ~en dengan ~ei =

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

15 / 38




0; : : : ; 0;

1

; 0; : : : ; 0 .

posisi ke-i

Jika ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn , maka kita memiliki sifat ~v

=

e1 1~

+

e2 2~

+

+

en n~

,

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

15 / 38




0; : : : ; 0;

1

; 0; : : : ; 0 .

posisi ke-i

Jika ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn , maka kita memiliki sifat ~v

= ,

MZI (FIF Tel-U)

e1 1~ (

1

+

e2 2~

+

= v1 ) ^ (

+ 2

en n~

= v2 ) ^

Ruang Vektor Rn

^(

n

= vn ) .

Oktober 2015

15 / 38


Bahasan

1


2


3


4


5


6


MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

16 / 38


Norm dari Vektor di Rn

Norm dari vektor di Rn merupakan perumuman dari norm vektor di R2 dan R3 .

De…nisi Misalkan ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn , norm Euclid atau panjang Euclid (Euclidean norm/ Euclidean length) dari ~v dinotasikan dengan k~v k dan dide…nisikan sebagai

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

17 / 38


Norm dari Vektor di Rn

Norm dari vektor di Rn merupakan perumuman dari norm vektor di R2 dan R3 .

De…nisi Misalkan ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn , norm Euclid atau panjang Euclid (Euclidean norm/ Euclidean length) dari ~v dinotasikan dengan k~v k dan dide…nisikan sebagai q k~v k = v12 + v22 + + vn2

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

17 / 38


Jarak Dua Titik (Vektor) di Rn Jarak dari dua titik (vektor) di Rn merupakan perumuman dari jarak dua titik (vektor) di R2 dan R3 .

De…nisi Misalkan P1 (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) dan P2 (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) adalah dua titik di Rn . Jarak ! dari P1 ke P2 tidak lain merupakan panjang dari vektor P1 P2 .

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

18 / 38



De…nisi Misalkan P1 (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) dan P2 (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) adalah dua titik di Rn . Jarak ! dari P1 ke P2 tidak lain merupakan panjang dari vektor P1 P2 . d (P1 ; P2 )

! P1 P2 q 2 (y1 x1 ) + (y2 = =

2

x2 ) +

+ (yn

2

xn ) .

Jika ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) adalah dua titik di Rn , maka jarak dari ~u ke ~v (yang sama dengan jarak dari ~v ke ~u) adalah panjang dari vektor ~u ~v

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

18 / 38



De…nisi Misalkan P1 (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) dan P2 (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) adalah dua titik di Rn . Jarak ! dari P1 ke P2 tidak lain merupakan panjang dari vektor P1 P2 . d (P1 ; P2 )

! P1 P2 q 2 (y1 x1 ) + (y2 = =

2

x2 ) +

+ (yn

2

xn ) .

Jika ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) adalah dua titik di Rn , maka jarak dari ~u ke ~v (yang sama dengan jarak dari ~v ke ~u) adalah panjang dari vektor ~u ~v d (~u; ~v )

MZI (FIF Tel-U)

= k~u ~v k q 2 = (v1 u1 ) + (v2

Ruang Vektor Rn

2

u2 ) +

+ (vn

2

un ) . Oktober 2015

18 / 38


Vektor Satuan di Rn De…nisi vektor satuan di Rn analog dengan de…nisi vektor satuan (unit vector ) di R2 maupun R3 .

De…nisi Suatu vektor ~u di Rn dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector ) apabila k~uk = 1.

Teorema Misalkan ~v adalah suatu vektor tak nol di Rn , maka satuan yang searah dengan ~v .

1 v k~ vk ~

adalah sebuah vektor

Bukti Jelas bahwa

1 v k~ vk ~

MZI (FIF Tel-U)

searah dengan ~v .

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

19 / 38


Vektor Satuan di Rn De…nisi vektor satuan di Rn analog dengan de…nisi vektor satuan (unit vector ) di R2 maupun R3 .

De…nisi Suatu vektor ~u di Rn dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector ) apabila k~uk = 1.

Teorema Misalkan ~v adalah suatu vektor tak nol di Rn , maka satuan yang searah dengan ~v .

1 v k~ vk ~

adalah sebuah vektor

Bukti Jelas bahwa

1 v k~ vk ~

searah dengan ~v . Kemudian perhatikan bahwa 1 1 k~v k ~v = k~v k = = 1. (Q.E.D) k~v k k~v k k~v k

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

19 / 38


Catatan Untuk memperingkas, kita akan menulis

MZI (FIF Tel-U)

~ v k~ vk

untuk menyatakan

Ruang Vektor Rn

1 v. k~ vk ~

Oktober 2015

20 / 38


Bahasan

1


2


3


4


5


6


MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

21 / 38


Hasil Kali Titik di Rn

Hasil kali titik dua vektor di Rn merupakan perumuman dari hasil kali titik dua vektor di R2 dan R3 .

De…nisi Misalkan ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) adalah dua vektor di Rn , maka

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

22 / 38


Hasil Kali Titik di Rn

Hasil kali titik dua vektor di Rn merupakan perumuman dari hasil kali titik dua vektor di R2 dan R3 .

De…nisi Misalkan ~u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) dan ~v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) adalah dua vektor di Rn , maka ~u ~v = u1 v1 + u2 v2 + + un vn

Catatan Hasil kali titik (dot product) di Rn selanjutnya juga akan dinamakan sebagai hasil kali dalam Euclid (Euclidean inner product).

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

22 / 38


Sudut di Rn

Berbeda dengan sudut antara dua vektor di R2 maupun R3 yang memiliki representasi geometris, sudut antara dua vektor di Rn untuk n 4 tidak memiliki representasi geometris. Jadi kita perlu mende…nisikan sudut antara dua vektor di Rn melalui de…nisi yang jelas dan tidak bertentangan dengan kaidah matematis yang sudah ada sebelumnya. Ingat kembali bahwa jika adalah cosinus sudut antara dua vektor, maka haruslah

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

23 / 38


Sudut di Rn

Berbeda dengan sudut antara dua vektor di R2 maupun R3 yang memiliki representasi geometris, sudut antara dua vektor di Rn untuk n 4 tidak memiliki representasi geometris. Jadi kita perlu mende…nisikan sudut antara dua vektor di Rn melalui de…nisi yang jelas dan tidak bertentangan dengan kaidah matematis yang sudah ada sebelumnya. Ingat kembali bahwa jika adalah cosinus sudut antara dua vektor, maka haruslah 1

MZI (FIF Tel-U)

cos

Ruang Vektor Rn

1.

Oktober 2015

23 / 38


Ketaksamaan Cauchy-Schwarz di Rn

Jika ~u; ~v 2 Rn , maka

MZI (FIF Tel-U)

j~u ~v j

k~uk k~v k

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

24 / 38


Bukti Misalkan t 2 R, tinjau bahwa 0

MZI (FIF Tel-U)

2

kt~u + ~v k (norm selalu tak negatif)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

25 / 38



0 =

MZI (FIF Tel-U)

kt~u + ~v k (norm selalu tak negatif)

(t~u + ~v ) (t~u + ~v ) =

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

25 / 38



0 =

kt~u + ~v k (norm selalu tak negatif) 2

2

(t~u + ~v ) (t~u + ~v ) = k~uk t2 + 2 (~u ~v ) t + k~v k

(1)

Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat f (x) = ax2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

25 / 38



0 =


2


(1)

Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat f (x) = ax2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka fungsi tersebut memotong sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x.

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

25 / 38



0 =


2


(1)

Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat f (x) = ax2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka fungsi tersebut memotong sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x. Akibatnya nilai dari disriminannya, yaitu D = b2 4ac, selalu non positif. Pertidaksamaan (1) memberikan

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

25 / 38



0 =


2


(1)

Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat f (x) = ax2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka fungsi tersebut memotong sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x. Akibatnya nilai dari disriminannya, yaitu D = b2 4ac, selalu non positif. Pertidaksamaan (1) memberikan 2

4 (~u ~v )

MZI (FIF Tel-U)

2

2

4 k~uk k~v k

0, atau

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

25 / 38



0 =


2


(1)

Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat f (x) = ax2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka fungsi tersebut memotong sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x. Akibatnya nilai dari disriminannya, yaitu D = b2 4ac, selalu non positif. Pertidaksamaan (1) memberikan 2

4 (~u ~v )

2

2

0, atau

2

(k~uk k~v k)

4 k~uk k~v k

(~u ~v )

j~u ~v j

MZI (FIF Tel-U)

2

k~uk k~v k , karena k~uk ; k~v k

Ruang Vektor Rn

0 (Q.E.D).

Oktober 2015

25 / 38


Sudut antara Dua Vektor Tak Nol di Rn Teorema Jika ~u; ~v 2 Rn adalah dua vektor tak nol, maka maka 1

~u ~v k~uk k~v k

1

Bukti Dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita memiliki j~u ~v j

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

k~uk k~v k, yang berarti

Oktober 2015

26 / 38


Sudut antara Dua Vektor Tak Nol di Rn Teorema Jika ~u; ~v 2 Rn adalah dua vektor tak nol, maka maka ~u ~v k~uk k~v k

1

1

Bukti Dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita memiliki j~u ~v j k~uk k~v k

~u ~v


k~uk k~v k .

(2)

Jika ~u dan ~v keduanya tak nol, maka k~uk k~v k > 0, akibatnya membagi ketaksamaan (2) dengan k~uk k~v k memberikan

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

26 / 38


Sudut antara Dua Vektor Tak Nol di Rn Teorema Jika ~u; ~v 2 Rn adalah dua vektor tak nol, maka maka ~u ~v k~uk k~v k

1

1

Bukti Dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita memiliki j~u ~v j k~uk k~v k


k~uk k~v k .

~u ~v

(2)

Jika ~u dan ~v keduanya tak nol, maka k~uk k~v k > 0, akibatnya membagi ketaksamaan (2) dengan k~uk k~v k memberikan 1

MZI (FIF Tel-U)

~u ~v k~uk k~v k

1. (Q.E.D)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

26 / 38


De…nisi (Sudut antara dua vektor tak nol di Rn ) Jika ~u; ~v 2 Rn adalah dua vektor tak nol, maka cosinus sudut dide…nisikan sebagai

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

antara ~u dan ~v

Oktober 2015

27 / 38


De…nisi (Sudut antara dua vektor tak nol di Rn ) Jika ~u; ~v 2 Rn adalah dua vektor tak nol, maka cosinus sudut dide…nisikan sebagai ~u ~v cos = . k~uk k~v k

Akibatnya, jika

MZI (FIF Tel-U)

antara ~u dan ~v

adalah sudut antara dua vektor tak nol ~u; ~v 2 Rn , maka

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

27 / 38


De…nisi (Sudut antara dua vektor tak nol di Rn ) Jika ~u; ~v 2 Rn adalah dua vektor tak nol, maka cosinus sudut dide…nisikan sebagai ~u ~v cos = . k~uk k~v k

Akibatnya, jika

antara ~u dan ~v

adalah sudut antara dua vektor tak nol ~u; ~v 2 Rn , maka = arccos

~u ~v k~uk k~v k

.

Catatan De…nisi di atas juga sesuai dengan kondisi di R2 dan R3 , yaitu ~u ~v = k~uk k~v k cos .

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

27 / 38


Catatan Kita tidak mende…nisikan sudut antara sebuah vektor dengan vektor nol. Hal ini terjadi karena vektor nol merupakan vektor yang “tidak memiliki arah yang jelas”.

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

28 / 38


Latihan 1: Sudut Vektor di Rn

Latihan Tentukan nilai terkecil untuk

jika

adalah sudut antara vektor

1

~u = (1; 1; 0; 0) dan ~v = (0; 1; 0; 1).

2

~u = (1; 0; 1; 0) dan ~v = (0; 1; 0; 1).

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

29 / 38


Solusi: karena kita memiliki ~u ~v = k~uk k~v k cos , dengan ~ v vektor tak nol ~u dan ~v , maka cos = k~u~ukk~ vk .

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

adalah sudut antara

Oktober 2015

30 / 38


Solusi: karena kita memiliki ~u ~v = k~uk k~v k cos , dengan adalah sudut antara ~ v vektor tak nol ~u dan ~v , maka cos = k~u~ukk~ vk . p p 1 Kita memiliki k~uk = k(1; 1; 0; 0)k = 2, k~v k = k(0; 1; 0; 1)k = 2, ~u ~v = (1; 1; 0; 0) (0; 1; 0; 1) = 1, akibatnya cos

MZI (FIF Tel-U)

=

~u ~v = k~uk k~v k

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

30 / 38



=

1 ~u ~v p = = p k~uk k~v k 2 2

1 2

=

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

30 / 38



MZI (FIF Tel-U)

=

1 ~u ~v p = = p k~uk k~v k 2 2

=

arccos

1 2

Ruang Vektor Rn

=

1 2

2 rad = 120 . 3

Oktober 2015

30 / 38



2

=

1 ~u ~v p = = p k~uk k~v k 2 2

=

arccos

1 2

=

1 2

2 rad = 120 . 3

p p Kita memiliki k~uk = k(1; 0; 1; 0)k = 2, k~v k = k(0; 1; 0; 1)k = 2, ~u ~v = (1; 0; 1; 0) (0; 1; 0; 1) = 0, akibatnya cos

MZI (FIF Tel-U)

=

~u ~v = k~uk k~v k

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

30 / 38



2

=

1 ~u ~v p = = p k~uk k~v k 2 2

=

arccos

1 2

=

1 2

2 rad = 120 . 3


=

~u ~v 0 p =0 = p k~uk k~v k 2 2

=

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

30 / 38



2

=

1 ~u ~v p = = p k~uk k~v k 2 2

=

arccos

1 2

=

1 2

2 rad = 120 . 3


MZI (FIF Tel-U)

=

~u ~v 0 p =0 = p k~uk k~v k 2 2

=

arccos (0) =

Ruang Vektor Rn

2

rad = 90 .

Oktober 2015

30 / 38


Hasil Kali Titik Dua Vektor dan Perkalian Matriks

Misalkan 2 u 3dan v adalah 2 dua3vektor yang dinyatakan sebagai matriks kolom, u1 v1 6 u2 7 6 v2 7 6 7 6 7 u = 6 . 7 dan v = 6 . 7. Bila matriks 1 1 dipandang sebagai bilangan . . 4 . 5 4 . 5 un vn real (tanda kurung “[ ]” diabaikan), maka kita memiliki

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

31 / 38


Hasil Kali Titik Dua Vektor dan Perkalian Matriks

Misalkan 2 u 3dan v adalah 2 dua3vektor yang dinyatakan sebagai matriks kolom, u1 v1 6 u2 7 6 v2 7 6 7 6 7 u = 6 . 7 dan v = 6 . 7. Bila matriks 1 1 dipandang sebagai bilangan . . 4 . 5 4 . 5 un vn real (tanda kurung “[ ]” diabaikan), maka kita memiliki 2 3 v1 6 v2 7 6 7 un 6 . 7 = u1 v1 + u2 v2 + uT v = u1 u2 + un vn = u v. . 4 . 5 vn

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

31 / 38


Hasil Kali Titik dan Norm

Teorema

2

6 6 Jika ~v = 6 4

v1 v2 .. . vn

3

7 7 7 2 Rn , maka 5

MZI (FIF Tel-U)

2

k~v k = ~v ~v = ~v T ~v .

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

32 / 38


Bukti

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

33 / 38


Bukti Tinjau bahwa 2

k~v k

MZI (FIF Tel-U)

=

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

33 / 38



k~v k

MZI (FIF Tel-U)

=

v12 + v22 +

+ vn2

=

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

33 / 38



k~v k

=

v12 + v22 +

+ vn2

=

(v1 ; v2 ; : : : ; vn ) (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) = ~v ~v

=

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

33 / 38



k~v k

=

v12 + v22 +

=

(v1 ; v2 ; : : : ; vn ) (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) = ~v ~v 2 3 v1 6 v2 7 6 7 v1 v2 vn 6 . 7 = ~v T ~v (Q.E.D) 4 .. 5 vn

=

MZI (FIF Tel-U)

+ vn2

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

33 / 38


Keortogonalan di Rn Ingat kembali bahwa pada R2 maupun R3 , dua vektor ~u dan ~v dikatakan ortogonal bila ~u ~v = 0.

De…nisi Dua vektor ~u; ~v 2 Rn dikatakan ortogonal bila ~u ~v = 0.

Teorema (Teorema Phytagoras di Rn ) Jika ~u; ~v 2 Rn saling ortogonal, maka 2

2

2

k~u + ~v k = k~uk + k~v k

Bukti Tinjau bahwa

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

34 / 38





2

2


Bukti Tinjau bahwa k~u + ~v k

MZI (FIF Tel-U)

2

=

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

34 / 38





2

2



MZI (FIF Tel-U)

2

=

(~u + ~v ) (~u + ~v )

= Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

34 / 38





2

2



2

=

(~u + ~v ) (~u + ~v )

=

k~uk + 2 (~u ~v ) + k~v k

= MZI (FIF Tel-U)

2

2

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

34 / 38





2

2



2

=

(~u + ~v ) (~u + ~v )

=

k~uk + 2 (~u ~v ) + k~v k

= MZI (FIF Tel-U)

2

2

2

2

k~uk + k~v k (karena ~u ~v = 0). (Q.E.D) Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

34 / 38


Bahasan

1


2


3


4


5


6


MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

35 / 38


Beberapa Sifat Terkait Norm

Teorema Jika ~v 2 Rn dan 1 2 3 4

k~v k

2 R, maka

0

k~v k = 0 jika dan hanya jika ~v = ~0. k ~v k = j j k~v k. k~u + ~v k

k~uk + k~v k (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality untuk norm)

Bukti untuk sifat nomor 1–3 analog dengan bukti untuk vektor di R2 yang sudah kita buktikan di slide sebelumnya.

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

36 / 38


Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa 2

k~u + ~v k

=

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

37 / 38



k~u + ~v k

=

(~u + ~v ) (~u + ~v )

=

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

37 / 38



k~u + ~v k

=

(~u + ~v ) (~u + ~v )

=

k~uk + 2 (~u ~v ) + k~v k

MZI (FIF Tel-U)

2

2

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

37 / 38



k~u + ~v k

=

(~u + ~v ) (~u + ~v )

=

k~uk + 2 (~u ~v ) + k~v k

2 2

2

2

k~uk + 2 j~u ~v j + k~v k (sifat nilai mutlak)

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

37 / 38



k~u + ~v k

=

(~u + ~v ) (~u + ~v )

=

k~uk + 2 (~u ~v ) + k~v k

2 2

2

2

k~uk + 2 j~u ~v j + k~v k (sifat nilai mutlak) 2

=

MZI (FIF Tel-U)

2

k~uk + 2 k~uk k~v k + k~v k (ketaksamaan Cauchy-Schwarz)

Ruang Vektor Rn

Oktober 2015

37 / 38



k~u + ~v k

=

(~u + ~v ) (~u + ~v )

=

k~uk + 2 (~u ~v ) + k~v k

2

2

2

2

k~uk + 2 j~u ~v j + k~v k (sifat nilai mutlak) 2

= k~u + ~v k

MZI (FIF Tel-U)

2

k~uk + 2 k~uk k~v k + k~v k (ketaksamaan Cauchy-Schwarz) 2

(k~uk + k~v k) Jadi

k~uk + k~v k (karena k~u + ~v k

Ruang Vektor Rn

0). (Q.E.D)

Oktober 2015

37 / 38

Beberapa Sifat Terkait Jarak Teorema Jika ~u; ~v ; w ~ 2 Rn , dan d (~u; ~v ) menyatakan jarak dari ~u ke ~v , maka 1 2

d (~u; ~v ) 0 d (~u; ~v ) = 0 jika dan hanya jika ~u = ~v

3

d (~u; ~v ) = d (~v ; ~u)

4

d (~u; ~v ) d (~u; w) ~ + d (w; ~ ~v ) (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality untuk jarak)

Bukti untuk sifat nomor 1–3 analog dengan bukti untuk norm pada teorema sebelumnya.

Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa d (~u; ~v )

=



3

d (~u; ~v ) = d (~v ; ~u)

4




=

k~u

~v k =



3

d (~u; ~v ) = d (~v ; ~u)

4




=

k~u

~v k = k~u

w ~ +w ~

~v k



3

d (~u; ~v ) = d (~v ; ~u)

4




= =

k~u k~u

~v k = k~u wk ~ + kw ~

w ~ +w ~ ~v k ~v k (ketaksamaan segitiga untuk norm)



3

d (~u; ~v ) = d (~v ; ~u)

4




= =

k~u k~u

~v k = k~u wk ~ + kw ~

w ~ +w ~ ~v k ~v k (ketaksamaan segitiga untuk norm)

d (~u; w) ~ + d (w; ~ ~v ) (Q.E.D)

Ruang Vektor Euclid R n

Recommend Documents