Geometri dalam Ruang, Vektor

Garis dan Kurva dalam Ruang Berdimensi Tiga

Geometri dalam Ruang, Vektor [email protected] Prodi Matematika FMIPA Unsyiah

September 29, 2011

[email protected]

Geometri dalam Ruang, Vektor


Pendahuluan Garis Garis Singgung terhadap Kurva Latihan

Sebuah kurva ruang (space curve) dapat ditentukan oleh tiga persamaan parametrik. x = f (t),

y = g(t),

z = h(t),

t∈I

dengan f , g, dan h kontinu pada selang I. Dalam bahasa vektor, sebuah kurva dapat ditentukan dengan memberikan vektor posisi r = r(t) dari sebuah titik P = P (t); yaitu: r = r(t) = hf (t), g(t), h(t)i = f (t)i + g(t)j + h(t)k. Ujung dari r menelusuri kurva tersebut ketika t berkisar pada selang I. Perhatikan gambar berikut:

[email protected]



[email protected]





Kurva yang paling sederhana adalah sebuah garis. Sebuah garis ditentukan oleh sebuah titik tetap P0 dan sebuah vektor tetap v = ai + bj + ck. Sebuah garis adalah himpunan seluruh titik P −−→ sedemikian rupa sehingga P0 P sejajar dengan v, yaitu yang memenuhi −−→ P0 P = tv. −−→ untuk bilangan real t. Jika r = OP dan r0 = OP0 masing-masing adalah vektor-vektor posisi dari P dan P0 maka −−→ P0 P = r − r0 sehingga persamaan garisnya dapat dituliskan r = r0 + tv.

[email protected]



[email protected]





Jika kita menuliskan r = hx, y, zi dan r0 = hx0 , y0 , z0 i dan menyamakan komponen-komponen pada persamaan terakhir di atas, akan diperoleh x = x0 + at,

y = y0 + bt,

z = z0 + ct

Inilah persamaan parametrik (parametric equation) dari suatu garis yang melalui (x0 , y0 , z0 ) dan sejajar dengan v = ha, b, ci. Bilangan-bilangan a, b dan c disebut bilangan arah (direction number) untuk garis tersebut. Bilangan-bilangan tersebut tidak bersifat unik karena kelipatan-kelipatan konstan taknol ka, kb dan kc juga merupakan bilangan arah.

[email protected]




Contoh 1 Tentukan persamaan parametrik untuk garis yang melalui (3, −2, 4) dan (5, 6, −2)

[email protected]




Penyelesaian Vektor yang sejajar dengan garis tersebut adalah v = h5 − 3, 6 + 2, −2 − 4i = h2, 8, −6i Jika kita mernilih hx0 , y0 , z0 i sebagai (3, −2, 4), kita memperoleh persamaan parametrik x = 3 + 2t,

y = −2 + 8t,

z = 4 − 6t

Perhatikan bahwa t = 0 menentukan titik (3, −2, 4), sementara t = 1 menghasilkan (5, 6, −2). Kenyataannya, 0 ≤ t ≤ 1 berhubungan dengan ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut.

[email protected]




Jika kita menyelesaikan setiap persamaan parametrik untuk t (dengan mengasumsi bahwa a, b dan c semuanya bukan nol) dan menyamakan hasil-hasilnya, maka kita akan memperoleh persamaan simetrik (symmetric equation) untuk garis yang melalui (x0 , y0 , z0 ) dengan bilangan-bilangan arah a, b, c; yaitu, y − y0 z − z0 x − x0 = = a b c Rumus ini merupakan gabungan dari dua persamaan x − x0 y − y0 y − y0 z − z0 = dan = a b b c di mana keduanya merupakan persamaan bidang dan tentu saja perpotongan kedua bidang ini adalah sebuah garis. Perhatikan gambar berikut. [email protected]



[email protected]





Contoh 2 Tentukan persamaan simetrik dari garis yang sejajar dengan vektor h4, −3, 2i dan melalui (2, 5, −1). Penyelesaian x−2 y−5 z+1 = = 4 −3 2

[email protected]




Contoh 3 Tentukan persamaan simetrik dari garis yang merupakan perpotongan bidang-bidang 2x − y − 5z = −14 dan 4x + 5y + 4z = 28 Penyelesaian Penyelesaian didemontrasikan di kelas..

[email protected]




Contoh 4 Tentukan persamaan parametrik dari garis yang melalui (1, −2, 3) yang tegak lurus terhadap sumbu x dan garis y−3 z x−4 = = 2 −1 5 Penyelesaian Penyelesaian didemontrasikan di kelas.

[email protected]




Misalkan r = r(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k adalah vektor posisi yang menentukan sebuah kurva dalam ruang berdimensi tiga. Dengan menggunakan analogi yang lengkap seperti yang telah dilakukan pada suatu bidang maka dapat mendefinisikan r0 (t) sebagai r0 (t) = lim

h→0

[email protected]

r(t + h) − r(t) h




Hasilnya adalah r0 (t), jika ada, mempunyai arah garis singgung terhadap kurva di titik P (t) yang bersesuaian dengan t. Di samping itu, r0 (t) ada jika dan hanya jika f 0 (t), g 0 (t) dan h0 (t) ada, dan dalam hal ini r0 = r0 (t) = f 0 (t)i + g 0 (t)j + h0 (t)k. Jadi, f 0 (t), g 0 (t) dan h0 (t) adalah bilangan-bilangan arah untuk garis singgung di titik P .

[email protected]




Contoh 5 Tentukan persamaan simetrik untuk garis singgung terhadap kurva yang ditentukan oleh 1 1 r(t) = ti + t2 j + t3 k 2 3 di P (2) = (2, 2, 83 ). Penyelesaian r0 (t) = i + tj + t2 k dan r0 (2) = i + 2j + 4k sehingga garis singgung tersebut mempunyai arah h1, 2, 4i. Persamaan-persamaan simetriknya adalah z− x−2 y−2 = = 1 2 4 [email protected]

8 3



1

Tentukan persamaan parametrik dari garis yang melalui pasangan titik berikut. 1 2

2


(2, −1, −5), (5, −3, −3),

(7, −2, 3) (5, 4, 2)

Tulislah persamaan parametrik dan persamaan simetrik untuk garis yang melalui titik yang diberikan, yang sejajar dengan vektor berikut. 1 2

(−1, 3, −6), (−2, 2, −2),

h−2, 0, 5i h7, −6, 3i

3

Tentukan persamaan simetrik dari garis perpotongan dari pasangan bidang x + y − z = 2, 3x − 2y + z = 3

4

Tentukan persamaan simetrik dari garis yang melalui (4, 0, 6) dan tegak lurus terhadap bidang x − 5y + 2z = 10.

[email protected]


Geometri dalam Ruang, Vektor

Recommend Documents