07/11/2015
RUANG VEKTOR UMUM Yang dibahas……. 1. Ruang vektor umum 2. Subruang 3. Hubungan dependensi linier 4. Basis dan dimensi 5. Ruang baris, ruang kolom, ruang nul, rank dan nulitas
AKSIOMA RUANG VEKTOR V disebut ruang vektor jika memenuhi: 1. u , v V (u v ) V 2. u+v = v+u 3. u+(v+w)=(u+v)+w 4. 0 V 0 u u 0 u , u V 5. u V , ( u ) V u ( u ) ( u ) u 0 6. k , u V ku V 7. k(u+v)=ku+kv 8. (k+l)u=ku+kl 9. k(lu)=(kl)(u) 10. 1u u
1
07/11/2015
SUBRUANG Definisi 1. Misalkan V adalah ruang vektor atas R dan S V . S disebut Sub Ruang dari V jika terhadap operasi yang sama dengan V, S juga mrp ruang vektor.
CONTOH: 1. S = { 0 } mrp sub ruang dari ruang Rn, dan disebut sub ruang nol. Dapat ditunjukkan bahwa S terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar memenuhi aksioma2 dari ruang vektor. 2. Misalkan W = {(a, b, 0) / a, b R}. Dapat ditunjukkan bahwa W adalah sub ruang dari R3
2
07/11/2015
Teorema 1 Misalkan V adalah ruang vektor dan S V. S disebut sub ruang dari V jhj 1. u + v S (tertutup thd penjumlahan) 2. ku S (tertutup thd perkalian skalar) untuk setiap u, v S dan k R.
LATIHAN: 1.
a
b
0
c
Misalkan S
0 / a , b, c, d R d
S merupakan sub ruang dari M2x3. Tunjukkan dengan Teorema 1 2.
Misalkan S = {(a, b, 1) / a, b R}. Apakah S subruang dari R3?
3
07/11/2015
Definisi 2 Misal V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, … , vk } V. Suatu vektor v V disebut sebagai kombinasi linier dari S jika ada k1,k2,…,kr R s.d.h v = k1v1 + k2v2 + … + krvr
Ilustrasi gambar k1v1
v = k1v1+k2v2
k2v2
Vektor v di R2 sbg kombinasi linier dari v1 dan v2
4
07/11/2015
Definisi 3 Misal V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, … , vr } V. Himpunan semua vektor dari V yg mrp kombinasi linier dari S disebut span S (rentang S). Span S = {k1v1 + k2v2 + … + krvr/ci R} Catt: Span S mrp sub ruang dari V.
Ilustrasi Gambar
Jika S = {u, v}, dengan u, v R3 tidak berada dalam satu garis, maka span(S) mrp bidang yang melalui titik pusat dan titik u dan v.
5
07/11/2015
Himpunan Pembangun Jika V adalah r.v. dengan
maka
dikatakan S adalah himpunan pembangun untuk V. Dengan kata lain, S membangun V artinya setiap vektor dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S
CONTOH: 1. Unit vektor:
1 0 0 e1 0 , e2 1 , e3 0 0 0 1
span R 3
2. Himpunan {1, x, x2, …, xn} membangun semua polinomial berderajad ≤ n.
6
07/11/2015
Bagaimana??? Apakah himpunan S (1 1 1), (1 1 1), (3 1 1) membangun R3 ? Penyelesaian: Apakah ada x1, x2, x3 R s.d.h x1 (1, 1, 1)t + x2(1, -1, -1)t + x3 (3, 1, 1)t = b utk setiap b R3 ? Persamaan diatas dapat ditulis: 1 1 3 x1 b1 1 1 1 x2 b2 1 1 1 x b 3 3
Merupakan SPL non homogen :
SPL
Ax b
Ax b akan konsisten jhj rank [A|b] = rank (A)
Dalam kasus ini, rank (A)=2, rank [A|b]=3 (b1 0, b2 1, b3 0)
Jadi S bukan span R3.
7
07/11/2015
KEBEBASAN LINIER Definisi 1. Suatu himpunan S v1 , v2 ,..., vn dikatakan Himpunan Bebas Linier jhj utk persamaan
k1v1 k 2 v2 ... k r vr 0 hanya dipenuhi oleh k1 k 2 ... k r 0 Jika ada Linier.
k i 0, maka
dikatakan S Himpunan Tak Bebas
Dengan kata lain…. Himpunan bebas linier : himpunan yang vektor-vektornya tidak saling berhubungan (tidak bergantung / bebas) Himpunan Tak Bebas Linier : himpunan yang salah satu vektornya mrp kombinasi linier dari vektor2 yang lain (satu vektor bergantung pada vektor lain / tidak bebas).
8
07/11/2015
CONTOH: Tunjukkan himpunan berikut bebas linier atau tidak. 1 1 5 S 2 , 0 , 6 1 2 7
Penyelesaian: Bentuk 1 1 5 0 1 2 2 0 3 6 0 1 2 7 0
Bentuk diatas dapat ditulis 1 1 5 1 0 2 0 6 2 0 1 2 7 0 3
Jika
1 1 5 A 2 0 6 1 2 7
maka
1 0 3 EA 0 1 2 0 0 0
Karena terdapat penyelesaian yang non trivial (tidak tunggal), maka S tidak bebas linier.
9
07/11/2015
Tunjukkan apakah himpunan berikut bebas linier atau tidak (a).
1 2 1 2 , 1 , 5 3 0 9
(b). 1 2 3, 0 4 5 , 0 0 6 , 1 1 1 (c).
3 1 2 2 , 0 , 1 1 0 0
(d). 2 2 2 2 , 2 2 0 2 , 2 0 2 2
BASIS dan DIMENSI
Definisi 2 Misalkan V ruang vektor atas R dan S = {v1, v2, … , vn} subset dari V. S disebut basis dari V jika 1. S membangun V ( span(S) = V ) 2. S bebas linier
10
07/11/2015
Definisi 3 Jika S = {v1, v2, … , vn} adalah basis dari ruang vektor V, maka dikatakan V berdimensi n. Notasi dim(V) = n Jadi, dimensi suatu ruang vektor adalah jumlah vektor yang bebas linier dan membangun ruang vektor tsb.
TEOREMA-TEOREMA DALAM KEBEBASAN LINIER dan BASIS Anita T. Kurniawati
11
07/11/2015
Teorema 1 Suatu himpunan berhingga dari vektor2 yang memuat vektor nol mrp himpunan yang tak bebas linier. (ii) Himpunan yang terdiri atas dua elemen vektor saja mrp himpunan bebas linier jhj tidak ada vektor yg mrp kelipatan skalar dari vektor lain. (i)
BUKTI (i) Andaikan S = {v1, v2, …, vn, 0} himpunan bebas linier, maka untuk kombinasi linier 1v1 + 2v2 + … + nvn + k.0 = 0 … (*) hanya dipenuhi oleh 1 = 2 = … = n = k = 0. Terjadi kontradiksi, karena untuk persamaan 0. v1 + 0. v2 + … + 0. vn + k. 0 = 0 k. 0 = 0 k≠0 Jadi yang benar adalah S tak bebas linier.
12
07/11/2015
(ii) Arah Kanan () Diketahui W = {v1, v2} adalah himp. bebas linier. Dibuktikan : v1 ≠ k.v2 , dengan k ≠ 0. Andaikan v1 = k.v2, maka v1 - k.v2 = 0 Karena W bebas linier, maka 1 = 0. Terjadi kontradiksi. Jadi yang benar, v1 ≠ k.v2 , dengan k ≠ 0. Arah Kiri () Diketahui v1 ≠ k.v2 , dengan k ≠ 0. Dibuktikan W = {v1, v2} adalah himp.bebas linier. Andaikan W adalah himp.tak bebas linier. Maka ada 1 ≠ 0 s.d.h kombinasi linier 1v1 + 2v2 = 0. Dari sini diperoleh v1 + (2/ 1)v2 = 0 v1 + c.v2 = 0 v1 = -c.v2 = k.v2 Terjadi kontradiksi.Yang benar W bebas linier.
TEOREMA 2 Jika S = {v1, v2, …, vn} adalah basis untuk ruang vektor V, maka untuk setiap v V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S secara
tunggal.
13
07/11/2015
BUKTI Karena V = span(S), maka jelas untuk setiap v V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa kombinasi linier ini adalah tunggal. Andaikan v = 1v1 + 2v2 + … + nvn dan v = k 1 v1 + k 2 v2 + … + k n v n Maka 1v1 + 2v2 + … + nvn = k1v1 + k2v2 + … + knvn (1 – k1)v1 + (2 – k2)v2 + … + (n – kn)vn = 0 Karena {v1, v2, …, vn} bebas linier, maka diperoleh 1 – k1 = 0 , 2 – k2 = 0 , … , n – kn = 0 1 = k1 ,, 2 = k2 , …, n = kn ,
TEOREMA 3 Jika V ruang vektor berdimensi n dan S = {v1, v2, …, vn} adalah basis untuk ruang vektor V, maka (i) setiap himpunan yang terdiri lebih dari n vektor mrp himpunan yang tak bebas linier. d.k.l Jika S’ = {w1, w2, …, wm} dimana m > n maka S’ tak bebas linier.
(ii) Tidak ada himpunan yang lebih kecil dari n vektor yang dapat membangun V. d.k.l Jika S’ {w1, w2, …, wr} adalah vektor2 dalam V dengan r < n maka V ≠ span(S’).
14
07/11/2015
CATATAN:
Teorema 3 Bagian (i) mrp definisi dari Himpunan Bebas Linier Maksimal
Teorema 3 Bagian (ii) mrp definisi dari Himpunan Pembangun Minimal.
Bukti Teorema 3 (i)
Misalkan S’ = {w1, w2, …, wm} adalah m
vektor dalam V (m > n). Karena S = {v1, v2, …, vn} adalah basis untuk ruang vektor V, maka setiap wi (i = 1, 2, …,m) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S, yaitu w1 = a11v1 + a21v2 + … + an1vn w2 = a12v1 + a22v2 + … + an2vn …..(*) …. dst wm = a1mv1 + a2mv2 + … + anmvn
15
07/11/2015
Selanjutnya….
Akan ditunjukkan S’ tak bebas linier, yaitu ada k1, k2, …, km yg tak nol s.d.h k1w1 + k2w2 + … + kmwm = 0……(**) Dari persamaan (*) dan (**) diperoleh (k1a11 + k2a12 + … + kma1m) v1 + (k1a21 + k2a22 + … + kma2m) v2 + …. + (k1an1 + k2an2 + … + kmanm) vn = 0
Karena S = {v1, v2, …, vn} bebas linier , maka a11k1
+ a12k2 + … + a1mkm = 0 a21k1 + a22k2 + … + a2mkm = 0 …. dst an1k1 + an2k2 + … + anmkm = 0…..(***) SPL (***) mrp SPL homogen dengan banyaknya variabel (m) > banyaknya persamaan (n), maka solusi nya adalah non trivial.
16
07/11/2015
(ii). Misalkan S’ = {w1, w2, …, wr} adalah vektor2 dalam V dengan r < n. Akan ditunjukkan S’ tidak membangun V. Andaikan S’ membangun V, maka setiap vektor dalam V dapat ditulis sbg kombinasi linier dari S’, khususnya vektor2 vj , (j = 1, 2, …,n) dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari wi v1 = a11w1 + a21w2 + … + ar1wr v2 = a12w1 + a22w2 + … + ar2wr … dst
….. (a)
vn = a1nw1 + a2nw2 + … + arnwr
Utk menunjukkan adanya kontradiksi, akan ditunjukkan bahwa S = {v1, v2, …, vn} tak bebas linier
Bentuk k1v1 + k2v2 + … + knvn = 0 … (b) A.d.t. ada ki ≠ 0 yang memenuhi pers.(b). Atau dari persamaan (a) dan (b) diperoleh (k1a11 + k2a12 + … + kna1n) w1 + (k1a21 + k2a22 + … + kna2n) w2 + …. + (k1ar1 + k2ar2 + … + knarn) wr = 0….(c) a.d.t. ada ki ≠ 0 yang memenuhi persamaan ini.
17
07/11/2015
Dari persamaan c , jika dibentuk a11k1 + a12k2 + … + a1nkn = 0 a21k1 + a22k2 + … + a2nkn = 0 …. dst ar1k1 + ar2k2 + … + arnkn = 0 Maka SPL ini mrp SPL homogen dengan banyak variabel tak diketahui (n) > banyak persamaan (r), sehingga mempunyai penyelesaian non trivial. Jadi ki ≠ 0. Terjadi kontradiksi. Jadi yang benar adalah S’ tidak membangun V.
Latihan Soal 1.
2.
3.
Yang manakah dari himpunan berikut ini mrp himp.tak bebas linier ? a. {(4, -1, 2), (-4, 10, 2)} di R3 b. {(-2, 0, 1), (3, 2, 5), (6, -1, 1), (7, 0, -2)} di R3 c. {(6 – x2), (1 + x + 4x2)} di P2 d. {(1+3x+3x2), (x+4x2) , (5+6x+3x2), (7+ x – x2)} di P2 Tunjukkan bahwa : Jika {v1, v2, v3} bebas linier, maka himpunan {v1, v2}, {v1, v3}, {v2, v3}, {v1}, {v2}, {v3} juga bebas linier. Tunjukkan : Jika {v1, v2, v3} tak bebas linier pada ruang vektor V dan v4 V, maka himpunan {v1, v2, v3, v4} juga tak bebas linier.
18
07/11/2015
RUANG BARIS, RUANG KOLOM, dan RUANG NULL
Definisi 1 Jika A adalah matriks ukuran mxn a11 a 21 a m1
maka : (i) Vektor-vektor
r1 a11 ….
r2 a21
rm am1
a 22 am 2
a12
a22
a1n a2 n a mn
a12
a1n
a2 n
am 2 amn
dalam Rn disebut vektor-vektor baris dari matriks A.
19
07/11/2015
(ii) vektor-vektor a11 a1n a12 a a a 21 2n c1 , c2 22 , … , c n am 2 a m1 a mn
di Rm disebut vektor-vektor kolom dari matriks A.
CONTOH: Diberikan matriks 2 A 3
0 1 4 1
Maka : vektor baris dari A adalah r1 = [2 1 0] , r2 = [3 -1 4] dan vektor kolom dari A adalah 2 c1 3
, c2 1 , c3 0 1 4
20
07/11/2015
Definisi 2
Misalkan A adalah matriks mxn. Maka (i) subruang dari Rn yang dibangun oleh vektor2 baris dari matriks A disebut Ruang Baris (row space) dari A (ii) subruang dari Rm yang dibangun oleh vektor2 kolom dari matriks A disebut Ruang Kolom (column space) dari A
Jadi … Ruang baris A, dinotasikan R(B), adalah R(B) = Ruang yang dibangun oleh vektor2 baris matriks A = span{r1, r2, … , rm} Rn Ruang Kolom A, dinotasikan R(K), adalah R(K) = Ruang yang dibangun oleh vektor2 kolom matriks A = span{c1, c2, … , cn} Rm
21
07/11/2015
Apakah ada hubungan antara solusi SPL A.x = b dengan ruang baris dan ruang kolom, dari matriks A ?
Apakah ada hubungan antara ruang baris, ruang kolom, ruang null dari suatu matriks ?
Teorema 1 Misalkan A adalah matriks ukuran mxn. Suatu SPL Ax = b konsisten jhj b adalah elemen dari ruang kolom matriks A.
Atau : b R(K) b = A.x
22
07/11/2015
Contoh 2:
Diberikan SPL Ax = b 1 3 1 2 2 1
2 x1 1 3 x2 9 2 x3 3
Dengan EGJ, diperoleh solusi : x1 = 2, x2 = -1, dan x3 = 3 sehingga : 1 1 3 2 9 2 1 2 3 3 3 2 1 2
yaitu b mrp kombinasi linier dari kolom2 matriks A. shg b mrp elemen dari ruang kolom matriks A.
Contoh:
Tentukan apakah b mrp elemen dari ruang kolom matriks A berikut ini ? Jika ya, tuliskan kombinasi liniernya.
1 A 4
3 2 ; b 10 6
23
07/11/2015
Teorema 2 Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris suatu matriks dengan kata lain: Jika matriks A dan B mrp matriks ekuivalen baris , maka ruang baris A dan B adalah sama.
Contoh 4
Diberikan matriks 1
A 2 7
2 1 8
1 3 3
Menggunakan OBE, matriks A diubah menjadi bentuk eselon baris tereduksi: 1 0 7 / 3 B 0 1 5 / 3 0 0 0
maka, ruang baris dari matriks A dan B adalah sama.
24
07/11/2015
Basis utk ruang baris dan ruang kolom
Misalkan
1 2 0 3 2 8 A 2 3 7 1 2 0
2 4
4 4 3 3
Menggunakan OBE, matriks A diubah kebentuk matriks eselon baris tereduksi : 1 0 B 0 0
3 1
0
2 0
1
1
0
0 1
0
0
0 0
1 1 1 0
Ruang baris matriks A dan B adalah sama
Selanjutnya…
Basis utk ruang baris matriks A adalah vektor2 baris tak nol dari matriks B, yaitu w1 = [1 0 2 0 1] w2 = [0 1 1 0 1] w3 = [0 0 0 1 -1] Sedangkan basis untuk ruang kolom matriks A adalah vektor kolom standar dari matriks B, yaitu u1 = 1 , u2 = 2 , u3 = 3 3 2 1
2 3 2
1 2 4
25
07/11/2015
Prosedur utk mencari basis dari sub ruang V di Rn
Misalkan S = {v1, v2, … , vk} adalah vektor2 di Rn, dengan V = span(S). Maka basis utk V ditentukan dengan langkah2 : Langkah 1 Bentuk matriks v A = 1 v 2 vk
Langkah 2 Ubah matriks A kebentuk matriks eselon baris tereduksi Langkah 3 vektor2 baris tak nol dari matriks B mrp basis utk V.
B.
Contoh 5
Misalkan S = {v1, v2, v3, v4} adalah vektor2 di R5 dengan v1 = [1 -2 0 3 -4] v2 = [3 2 8 1 4] v3 = [2 3 7 2 3] v4 = [-1 2 0 4 -3] dan misalkan V adalah subruang dari R5 yang dibangun oleh S. Tentukan basis untuk V
26
07/11/2015
Contoh 6
Carilah basis utk ruang baris dan ruang kolom dari matriks berikut : 1 3 4 2 6 9 B 2 6 9 1 3 4
2 1 1 2
4 8 2 9 7 5 4 5
Teorema 3
Jika A sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari matriks A mpy dimensi yang sama.
27
07/11/2015
Contoh 7
Pada contoh 5, dim(ruang baris A) = 3 dim(ruang kolom A) = 3
Pada contoh 6, dim(ruang baris B) = 3 dim(ruang kolom B) = 3
RANK MATRIKS
DEFINISI 3 (i) Dimensi dari ruang baris disebut rank baris (ii) Dimensi dari ruang kolom disebut rank kolom
28
07/11/2015
Definisi 4 Jika A adalah matriks sebarang, maka rank baris A = rank kolom A = rank A. Rank matriks A dituliskan : rank(A).
Cara mencari Rank suatu matriks Misalkan A adalah sebarang matriks. Langkah 1 Ubah matriks A menjadi matriks eselon baris tereduksi B. Langkah 2 Rank A = jumlah baris tak nol dari matriks B.
29
07/11/2015
Carilah rank dari matriks : 1 2 1 9 A 3 8 2 3
1 1 3 2
RUANG NULL dan NULLITY
Definisi 5 (i) Himpunan dari semua solusi sistem homogen A.x = 0 disebut dengan Ruang Null (Nullspace). Nullspace merupakan subset dari Rn. (ii) Dimensi dari ruang null disebut Nullity.
30
07/11/2015
Basis utk Ruang Null
Diberikan SPL homogen A.x = 0, dengan A matriks berukuran m x n. Solusi dari sistem di atas dicari menggunakan EGJ, yaitu matriks augmented
A
0
diubah ke matriks eselon baris tereduksi B 0 dimana matriks B mpy r baris tak nol, 1 ≤ r ≤ m.
Jika m > n (r = n), yaitu n 1 0 B 0 0 0
0
0
0
1
0
0
0
0
1 0
0
0
0
0
0 0 0 0 0
r=n m
Maka, solusi A.x = 0 trivial. Artinya, semua solusinya adalah nol, sehingga ruang solusinya tidak punya basis, akibatnya, nullity = 0.
31
07/11/2015
Jika m < n (r < n), yaitu n 1 0 0 B 0 0 0
0 0 0
s11
1 0 0
s21 s2 n
s1n
0 0 1
sr1
srn
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
r m
Maka, solusi A.x = 0 adalah non trivial (mpy r buah solusi), shg ruang solusinya mpy r buah basis, akibatnya nillity = r.
Contoh 9
Carilah ruang null dan nullity dari SPL homogen :
1 1 1 3 3 2
x1 x 2 2 1 x3 0 2 x4 x5
0 0
32
07/11/2015
Teorema 4
Jika A adalah matriks ukuran m x n, maka
rank(A) + nullity A = n
Contoh 10
Apakah SPL berikut mpy solusi?
1 1 1 x1 6 1 1 1 x 2 2 5 1 5 x3 5
33
07/11/2015
RANK dan KESINGULARAN MATRIKS Teorema 6 Diberikan matriks A berukuran nxn . det(A) ≠ 0 jhj rank(A) = n
Teorema 7 Misalkan A i. ii.
matriks ukuran nxn. SPL A.x = b mempunyai penyelesaian tunggal jhj rank(A) = n SPL A.x = 0 mpy solusi non trivial jhj rank(A) < n.
34
