Geometri dalam Ruang, Vektor

Koordinat Cartesius dalam ruang R3

Geometri dalam Ruang, Vektor Zahnur Prodi Matematika FMIPA Unsyiah

July 11, 2011

Zahnur

Geometri dalam Ruang, Vektor


Pengertian Rumus jarak Bola dan persamaannya Grafik dalam ruang berdimensi tiga

Koordinat Cartesius: Tiga garis koordinat yang saling tegak lurus (sumbu x, sumbu y dan sumbvu z); Titik nol ketiga garis berada pada titik O yang sama yang disebut titik asal (origin); Sumbu y dan sumbu z terletak pada bidang kertas dengan arah positifnya masing-masing ke kanan dan ke atas; Sumbu x tegak lurus terhadap kertas dengan arah ujung positifnya menuju kerah kita; Membentuk sebuah sistem tangan kanan (right-handed system) karena jika jari-jari tangan kanan dikepalkan, jari-jari tangan tersebut membentuk kurva dari sumbu x positif ke arah sumbu y positif maka jari jempol akan mengarah ke sumbu z positif. Zahnur




Koordinat Cartesius: Ketiga sumbu membentuk tiga bidang: bidang xy, bidang xz dan bidang yz; Ketiga bidang membagi ruang menjadi delapan oktan; Setiap tiitik P di dalam ruang mempunyai tiga bilangan berurutan (x, y, z) yang disebut koordinat Cartesius (Cartesian coordinate); Koordinat kartesius merupakan ukuran jarak berarah dari ketiga bidang tersebut;

Zahnur




Gambar: Sistem tangan kanan dan koordinat Cartesian

Zahnur




Gambar: Titik P (x, y, z) pada sistem koordinat Cartesius

Zahnur




Misalkan dua titik P1 (x1 , y1 , z1 ) dan P2 (x2 , y2 , z2 ) berada dalam ruang berdimensi tiga dengan x1 6= x2 , y1 6= y2 , z1 6= z2 . Kedua titik menentukan sebuah balok genjang (parallelepiped) dengan P1 dan P2 berada pada ujung yang saling berlawanan dan dengan tepi-tepi yang sejajar dengan sumbu koordinat (lihat gambar berikut ini).

Gambar: Jarak dua titik P1 (x1 , y1 , z1 ) dan P2 (x2 , y2 , z2 ) Zahnur




Pandang segitiga P1 QP2 dan P1 RQ adalah segitiga siku-siku dan menurut Teorema Pythagoras |P1 P2 |2 = |P1 Q|2 + |QP2 |2 dan |P1 Q|2 = |P1 R|2 + |RQ|2 . Jadi |P1 P2 |2 = |P1 R|2 + |RQ|2 + |QP2 |2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 Hasil ini memberikan Rumus jarak (distance formula) dalam ruang berdimensi tiga p |P1 P2 | = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 Zahnur




Contoh 1 Tentukan jarak antara dua titik P (2, −3, 4) dan Q(−3, 2, −5). Penyelesaian p √ |P Q| = (−3 − 2)2 + (2 + 3)2 + (−5 − 4)2 = 131 ≈ 11, 45 Contoh 2 (Soal-soal 14.1 No.5.a) Tentukan jarak antara pasangan titik (6, −1, 0) dan (1, 2, 3). Penyelesaian p √ Jarak d = (6 − 1)2 + (−1 − 2)2 + (0 − 3)2 = 43 ≈ 6, 56

Zahnur




Bola (sphere) adalah himpunan titik di dalam ruang berdimensi tiga yang mempunyai jarak konstan (jari-jari) dan sebuah titik tetap (pusat). Jika x, y, z) adalah sebuah titik pada sebuah bola dengan jari-jari r dan berpusat di (h, k, l) maka (x − h)2 + (y − k)2 + (z − l)2 = r2 Persamaan diatas disebut persamaan standar bola.

Gambar: Bola berpusat di (h, k, l) dengan jari-jari r Zahnur




Persamaan standar bola dapat sebagai x2 + y 2 + z 2 + Gx + Hy + Iz + J = 0

Contoh 3 Tentukan pusat dan jari-jari dari sebuah bola dengan persamaan x2 + y 2 + z 2 − 10x − 8y − 12z + 68 = 0 dan sketsalah grafiknya.

Zahnur




Penyelesaian Kita dapat menggunakan proses melengkapkan kuadrat. (x2 − 10x+ ) + (y 2 − 8y+ ) + (z 2 − 12z+ ) = −68 (x2 − 10x + 25) + (y 2 − 8y + 16) + (z 2 − 12z + 36) = 9 (x − 5)2 + (y − 4)2 + (z − 6)2 = 9 Jadi persamaan tersebut merepresentasikan sebuah bola dengan pusat di (5, 4, 6) dan jari-jari 3. Grafiknya diperlihatkan pada gambar berikut:

Zahnur




Gambar: Bola berpusat di (5, 4, 6) dengan jari-jari 3

Zahnur




Persamaan linear (linear equation) dalam x, y dan z adalah persamaan berbentuk Ax + By + Cz = D,

A2 + B 2 + C 2 6= 0.

Grafik dari persamaan linear adalah sebuah bidang. Untuk menggambarkan bidang tersebut, harus ditentukan titik-titik potong terhadap sumbu x, sumbu y dan sumbu z. Ketiga titik ini menentukan jejak (trace) yaitu perpotongan bidang tersebutt dengan bidang-bidang koordinat.

Zahnur




Contoh 4 Sketsalah grafik dari 3x + 4y + 2z = 12. Penyelesaian Perpotongan bidang dengan sumbu x, sumbu y dan sumbu z masing-masing adalah (4, 0, 0), (0, 3, 0) dan (0, 0, 6). Hubungkan ketiga titik ini dengan ruasgaris-ruasgaris untuk mendapatkan jejak-jejaknya. Akhirnya arsirlah bidang yang dimaksud (pada oktan pertama). Hasilnya adalah seperti pada gambar berikut ini.

Zahnur




jejak

Bidang 3x+4y+2z=12

Gambar: Bidang 3x + 4y + 2z = 12 di R3

Zahnur


Geometri dalam Ruang, Vektor

Recommend Documents