Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Geometri pada Bidang, Vektor [email protected] Prodi Matematika FMIPA Unsyiah

September 9, 2011

[email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan hu1 , u2 i. Disini digunakan notasi hu1 , u2 i bukan (u1 , u2 ) karena notasi (u1 , u2 ) sudah digunakan sebagai selang terbuka dan juga sebagai titik pada bidang koordinat. Salah satu keuntungan menyatakan vektor dalam pendekatan aljabar adalah karena dapat dengan mudah dikembangkan untuk dimensi yang lebih tinggi.

[email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Gambar: Vektor direpresentasikan sebagai pasangan berurutan hu1 , u2 i

[email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Bilangan-bilangan u1 dan u2 disebut komponen (component) dari u = hu1 , u2 i. Dua vektor u = hu1 , u2 i dan v = hv1 , v2 i adalah sama jka dan hanya jika u1 = v1 dan u2 = v2 . Untuk menjumlahkan u dan v, kita menjumlahkan komponen-komponen yang bersesuaian, yaitu u + v = hu1 + v1 , u2 + v2 i Untuk mengalikan u dengan skalar c, kita kalikan setiap komponen dengan c. Jadi cu = uc = hcu1 , cu2 i Secara khusus −u = h−u1 , −u2 i 0 = 0u = h0, 0i [email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Teorema Untuk sebarang vektor u, v dan w dan sebarang skalar a dan b, berlaku hubungan 1

u+v=v+u

2

(u + v) + w = u + (v + w)

3

u+0=0+u

4

u + (−u) = 0

5

a(bu) = (ab)u = u(ab)

6

a(u + v) = au + av

7

(a + b)u = au + bu

8

1u =u

[email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Panjang (length) (atau besaran, magnutude) |u| dari suatu vektor u = hu1 , u2 i, dinyatakan dengan q |u| = u21 + u22 Perkalian dua vektor u dan v, disebut hasilkali titik (dot product) dan disimbolkan dengan u · v didefinisikan sebagai u · v = u1 v1 + u2 v2 Rumus lain untuk hasilkali titik diberikan oleh u · v = |u||v| cos θ dimana u dan v vektor-vektor taknol dan θ (0 ≤ θ ≤ π) adalah sudut antara u dan v. [email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Contoh 1. Misalkan a = h3, −1i dan b = h1, −1i, tentukan vektor |a|b. Penyelesaian p √ |a| = 32 + (−1)2 = 10 √ √ √ √ Jadi |a|b = 10b = 10h1, −1i = h 10, − 10i

[email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Contoh 1. Misalkan a = h3, −1i dan b = h1, −1i, tentukan vektor |a|b. Penyelesaian p √ |a| = 32 + (−1)2 = 10 √ √ √ √ Jadi |a|b = 10b = 10h1, −1i = h 10, − 10i

[email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Contoh 1. Misalkan a = h3, −1i dan b = h1, −1i, tentukan vektor |a|b. Penyelesaian p √ |a| = 32 + (−1)2 = 10 √ √ √ √ Jadi |a|b = 10b = 10h1, −1i = h 10, − 10i

[email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Contoh 1. Misalkan a = h3, −1i dan b = h1, −1i, tentukan vektor |a|b. Penyelesaian p √ |a| = 32 + (−1)2 = 10 √ √ √ √ Jadi |a|b = 10b = 10h1, −1i = h 10, − 10i

[email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Teorema Jika u, v dan w adalah vektor-vektor dan c adalah skalar, maka sifat-sifat berikut ini berlaku. 1

u·v=v·u

2

u · (v + w) = u · v + u · w

3

c(u · v) = (cu) · v = u · (cv)

4

0·u=0

5

u · u = |u|2

Teorema Dua vektor u dan v saling tegak lurus jika dan hanya jika hasilkali titiknya u · v adalah 0. [email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Contoh 2. Tentukan sudut antara u = h8, 6i dan v = h5, 12i.

Penyelesaian u·v (8)(5) + (6)(12) 112 cos θ = = = ≈ 0, 862 |u||v| (10)(13) 130 Jadi θ = cos−1 (0, 862) ≈ 0, 532 (atau 30, 5◦ ) [email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Contoh 2. Tentukan sudut antara u = h8, 6i dan v = h5, 12i.

Penyelesaian u·v (8)(5) + (6)(12) 112 cos θ = = = ≈ 0, 862 |u||v| (10)(13) 130 Jadi θ = cos−1 (0, 862) ≈ 0, 532 (atau 30, 5◦ ) [email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Contoh 2. Tentukan sudut antara u = h8, 6i dan v = h5, 12i.

Penyelesaian u·v (8)(5) + (6)(12) 112 cos θ = = = ≈ 0, 862 |u||v| (10)(13) 130 Jadi θ = cos−1 (0, 862) ≈ 0, 532 (atau 30, 5◦ ) [email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Contoh 2. Tentukan sudut antara u = h8, 6i dan v = h5, 12i.

Penyelesaian u·v (8)(5) + (6)(12) 112 cos θ = = = ≈ 0, 862 |u||v| (10)(13) 130 Jadi θ = cos−1 (0, 862) ≈ 0, 532 (atau 30, 5◦ ) [email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Misalkan i = h1, 0i dan j = h0, 1i, dan perhatikan bahwa kedua vektor ini saling tegak lurus dan mempunyai panjang satu. Vektor-vektor seperti ini disebut vektor basis (basis vector), karena sebarang vektor u = hu1 , u2 i dapat direpresentasikan secara unik dalam bentuk i dan j, yaitu, u = hu1 , u2 i = u1 h1, 0i + u2 h0, 1i = u1 i + u2 j

Gambar: Interprestasi geometrik dari vektor basis [email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Misalkan u dan v adalah vektor, dan misalkan θ adalah sudut antara kedua vektor tersebut. Selanjutnya, kita asumsikan 0 ≤ θ ≤ π/2. Misalkan w adalah vektor pada arah v yang mempunyai besaran |u| cos θ. Karena w mempunyai arah yang sama dengan v, maka kita tahu bahwa w = cv untuk suatu skalar c positif. Di sisi lain, besaran w haruslah |u| cos θ. Jadi, |u| cos θ = |w| = |cv| = c|v| Dengan demikian, konstanta c adalah c=

|u| u · v u·v |u| cos θ = = |v| |v| |u||v| |v|2

Jadi

 w= [email protected]

u·v |v|2

 v

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Gambar: Proyeksi vektor u pada vektor v

[email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Untuk π/2 < θ ≤ π, kita mendefinisikan w sebagai vektor pada garis yang ditentukan oleh v, tetapi dengan mengarah pada arah yang berlawanan dengan v. Besaran vektor ini adalah |w| = −|u| cos θ = c|v| untuk beberapa skalar c positif. Jadi, c = (−|u| cos θ)/(|v|) = −u · v/|v|2 , Karena w mempunyai arah yang berlawanan dengan v, maka kita memperoleh w = −cv = (u · v/|v|2 )v. Jadi, pada kedua kasus ini kita mempunyai w = (u · v/|v|2 )v. Vektor w disebut proyeksi vektor u pada v, atau kadang-kadang hanya disebut proyeksi u pada v, dan dinotasikan dengan prv u:   u·v v. prv u = |v|2

[email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Proyeki skalar u pada v didefinisikan sebagai |u| cos θ. Hasilnya bisa positif, nol, atau negatif, bergantung pada apakah sudut θ lancip, biasa, atau tumpul. Ketika 0 ≤ θ ≤ π/2 maka proyeksi skalar akan sama dengan besaran dari prv u, dan ketika π/2 < θ ≤ π, maka proyeksi skalar akan berlawanan dengan besaran dari prv u.

[email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor

Vektor pada Bidang: Pendekatan Aljabar

[email protected]

Pengertian Operasi pada vektor Panjang dan hasilkali titik Vektor basis Proyeksi Proyeksi skalar u pada v

Geometri pada Bidang, Vektor