PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL Bila terdapat tiga titik yang tidak kolinear, maka ketiga titik itu menentukan sebuah bidang rata. ( , , ) dan ( , , ). Dan misalkan Misalkan ketiga titik itu masing-masing ( , , ), vector-vektor arah bidang itu adalah : ⃗=[
−
,
Z
−
,
⃗=[
] dan
−
−
,
,
−
]
(1)
R
P
T
Q
Y
X Untuk sembarang titik ( , , ) pada bidang V berlaku : Tetapi dari gambar tampak pula bahwa
⃗+
⃗=
Subtitusi (2) ke (3) diperoleh
⃗=
⃗+
atau
⃗=
⃗+
[ , , ]=[ ,
−
,
]+ [
−
,
⃗ , ,
⃗
(3)
⃗+
−
(2)
∈ℜ
,
−
⃗ ]+
(4)
[
−
,
−
yang merupakan bentuk vector persamaan bidang rata yang melalui tiga titik.
,
−
]
(5)
Persamaan (5) dapat dituliskan sebagai [ , , ]=[ ,
,
]+ [
,
,
]+
[
,
,
]
(6)
merupakan persamaan bidang rata dalam bentuk vector yang melalui titik vektor arahnya ⃗ = [ , , ] dan ⃗ = [ , , ] .
( ,
,
) dengan vector-
atau
= = =
+ + +
+ + +
……………( ) …………….( ) ……………..( )
(7)
yang disebut sebagai persamaan parameter bidang rata
Jika dan pada persamaan (a) dan (b) di eliminasikan, dengan cara mengalikan mengalikan pada (b) kemudian di perkurangkan, diperoleh : =
Dengan cara serupa diperoleh
Selanjutnya dan (
atau
atau
−
)
−( − −
)
( −
)
−( − −
)
di subtitusikan ke (c) : )( −
− (
=
( −
) = [( −
)
)+(
−
)( −
( −
−
=
−( −
)
)( −
)+ ( −
+
,
Selanjutnya (9) dapat dituliskan sebagai
:
+
+
+ (−
+
yang merupakan persamaan linier bidang rata
+
−
=0
+ [( −
)+(
yang merupakan persamaan bidang rata melalui titik ( , +
, diperoleh
]
)+ ( −
pada (a) dan
−
)
−( −
)( −
) ]
)=0
(8)
)=0
(9)
) dengan vector normal [ , , ].
−
)=0
(10)
dengan
dan
−
= −(
=
+
=
+
; )
−
=
=
;
−
=
=
⃗ = [ , , ] disebut vector normal bidang rata V=0, dengan ⃗=[ , , ]=
⃗+
⃗=
⃗+
⃗
⃗
⃗
= ⃗× ⃗
yang merupakan vector yang tegak lurus pada bidang rata yang dibentuk oleh ⃗ dan ⃗, yaitu :
Hal-Hal Khusus 1. Jika
≠ 0, maka bidang
sumbu Y di 0,
Jika Jika
Jika Jika Jika
2.
+
=0
+
+
+
= 0 memotong sumbu X di
, 0 dan memotong sumbu Z di 0,0,
Z
= 0, bidang V sejajar sumbu X = 0, bidang V sejajar sumbu Z = =
=
3
X
= 0, bidang V sejajar bidang XOZ
= 0, bidang V sejajar bidang YOZ
Persamaan bidang rata yang melalui 3 titik ( , , ), mempunyai persamaan dalam bentuk determinan : − − − − − − ( ,
Persamaan bidang rata yang melalui titik ⃗=[
Y
3
= 0, bidang V sejajar bidang XOY
, 0,0 , memotong
+ = 3 bidang sejajar sumbu Z
= 0, bidang V sejajar sumbu Y
CATATAN 1.
+
= 0, maka bidang V melalui titik O(0,0,0), sebaliknya
2. jika
Jika
+
,
,
] dan ⃗ = [
,
,
,
( ,
,
− − −
) dan ( ,
,
=0
) dengan vector-vektor arahnya
] , mempunyai persamaan dalam bentuk determinan
−
−
−
=0
)
3.
Persamaan bidang rata yang melalui 4 titik ( , , ), ( , , ) , ( , , ( , , )mempunyai persamaan dalam bentuk determinan : − − − − − − =0 − − −
) ,dan
4. Jarak titik P(x , y , z ) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 Ax + By + Cz + D d= √A + B + C 5. Jarak dua bidang sejajar H : ax + by + cz + m = 0 dan H : ax + by + cz + n = 0 , dengan = −n Ambil titik P 0,0, z pada H berarti P 0,0, c −n Jarak P 0,0, ke H : c d=
6. Bidang sejajar
SOAL-SOAL
a(0) + b(0) + c − √a +b + c
n +m c =
m−n
√a +b + c
H :A x+B y+C z+D = 0 H :A x+B y+C z+D = 0 A B C H ⇈H ⟺ = = A B C
1. Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui titik-titik (1,3, −2), (3,1,1) dan (−1,2,3). Jwb : 7 + 16 + 6 − 43 = 0 2. Persamaan bidang rata melalui (1,2,3) dan sejajar sumbu Z diantaranya adalah 2 + − 4 = 0 3. Bidang rata 2 − 3 − = 0 adalah melalui titik asal O(0,0,0) 4. Persamaan parameter bidang ratayang melalui titiktitik A(4,3,1), B(-2,3,5) dan C(6,2,5) adalah =4−6 +2 , =3− , =1+4 +4 5. Tentukan persamaan linier bidang rata yang memotong OX di P, dimana | | = 2, memotong OY di Q, dimana | | = 3 dan memotong OZ’ di R, dimana | | = 1 Jwab Bidang yang dimaksud melalui titik-titik (2,0,0), (0,3,0) dan (0,0,-1) dengan persamaan −2 −2 3 0 =0 −2 0 −1 + +( )= 1
SUDUT ANTARA DUA BIDANG DATAR
⃗
⃗
⃗
⃗ Ternyata bahwa : cos atau [cos
cos
⃗ .⃗
= | ⃗|.|⃗| = | ⃗| ; cos
cos ] =
dengan ⃗ , juga berarti
Misalakan bidang rata H: Ax + By + Cz + D = 0 dengan vektor normal = [ , , ], dan , dan berturut-turut sudut antara vektor normal dengan sumbu-sumbu koordinat (yang arahnya ditentukan oleh vektor-vektor ⃗ , ⃗ dan ⃗ )
[ , , ] | ⃗|
+
⃗
⃗ .⃗
= | ⃗|.| ⃗| = | ⃗| dan cos = |
= | ⃗|
= | ⃗| , yang merupakan vektor normal satuan yang searah +
= 1.
Sudut antara dua bidang rata Sudut antara bidang rata : + + + : + + + adalah sudut antara vektor-vektor normalnya. Jika normal maka ⃗ .⃗ cos = = |⃗ ||⃗ | + Bidang [ , ,
⃗ .⃗ ⃗|. ⃗
sejajar bidang bila ⃗ dan ⃗ ] = [ , , ] , dimana ≠ 0,
∈ .
= 0 dan bidang rata =0 adalah sudut yang dibentuk oleh vektor +
+ . atau
+
+
+ , berarti
Bidang saling tegak lurus bila ⃗ tegak lurus ⃗ , berarti ⃗ . ⃗ = 0 ⟹ + + =0
Contoh 1 Tentukan sudut antara bidang : 2 + + + 4 = 0 dan : 3 + 4 + − 10 = 0. Jawab Vektor-vektor normal masing-masing = [2,1,1] dan = [3,4,1], maka ⃗ .⃗ 2.3 + 1.4 + 1.1 11 cos = = = | ⃗ | | ⃗ | √2 + 1 + 1 . √3 + 4 + 1 √156 Jadi
=
√
Contoh 2 Tentukan persamaan bidang rata melalui titik (1, −2,1) dan sejajar bidang rata : 2 + 3 + 5 − 10 = 0. Jawab Vektor normal bidang rata H adalah = [2,3,5], berarti bidang yang sejajar dengan H mempunyai vektor normal yang sama, yakni [2,3,5]. Misalkan persamaan linier bidang rata
tersebut adalah 2 + 3 + 5 + = 0. Bidang ini diketahui melalui titik (1, −2,1), berarti memenuhi 2(1) + 3(−2) + 5(1) + = 0, diperoleh = −1. Jadi persamaan bidang rata yang melalui titik (1, −2,1) dan sejajar bidang rata : 2 + 3 + 5 − 10 = 0 adalah 2 + 3 + 5 − 1 = 0. Contoh 3 Tentukan persamaan bidang rata melalui titik (0,0,0) dan titik (1,2,3) serta tegak lurus bidang rata : 2 + 3 + 4 − 10 = 0 Jawab Misalkan bidang yang dicari adalah : + + + =0 Karena bidang tegak lurus bidang berarti ⃗ . ⃗ = 0 ⟹ + + = 0 ⟹ 2 + 3 + 4 = 0 ......(1) Diketahui pula bidang melalui O(0,0,0), berarti = 0 .....(2) (1,2,3), Diketahui pula bidang melalui berarti . 1 + . 2 + . 3 + =0 atau +2 +3 + = 0 ....(3). Subtitusi (2) ke (3) diperolah Persamaan (2) Persamaan (4) dikali dua
+ 2 + 3 = 0 ....(4). 2 +3 +4 =0 2 + 4 + 6 = 0 (-) − −2 =0→ = −2 2 + 3(−2 ) + 4 = 0 → = + (−2 ) + = 0 bagi dengan
Subtitusi (5) ke (1) diperoleh Jadi persamaan bidang : −2 + =0
I.
....(5) ....(6) ( ≠ 0) diperoleh
TEMPAT KEDUDUKAN (TK)
Tempat Kedudukan (TK) merupakan himpunan titik-titik yang memenuhi syarat-syarat yang ditentukan. TK mungkin merupakan : himpunan kosong, sebuah titik, berupa kurva (garis lurus atau garis lengkung), berupa permukaan (bidang rata, atau bidang lengkung) ataupun seluruh ruang itu. Menjalankan titik ( , , ) Ambil titik ( , , ) sembarang pada TK, kemudian cari hubungan-hubungan antara , , yang memenuhi syarat-syarat yang ditentukan. Dengan menjalankan titik ( , , ) ataumenghapus indeks nol dari hubungan-hubungan tersebut diperoleh TK yang diminta. Contoh 1.1 Tentukan TK yang berjarak 3 satuan dari bidang XOZ, dan jumlah kuadrat jaraknya ke titik (1,2,0) dan (−1, −2,0) adalah tetap = 30 Solusi
Ambil titik ( , , ) pada TK Berjarak 3 satuan dari bidang XOZ (yaitu bidang = 0). Ini berarti : = 3 atau = −3 (*) Jumlah Kuadrat titik P ke titik (1,2,0) dan (−1, −2,0) adalah 30
i) ii) iii)
⟹
+
⟺
−2
⟹ [( ⟺2
= 30
− 1) + (
− 2) + (
+2
+ 10 = 30 ⟹
+1+ +2
−4
− 0) ] + [(
+4+
+
+
+ 1) + (
+2 +
+1+
− 0) ] = 30
+4
+4+
= 3 atau + +
= −3 ( = 10
= 10 (**)
Dari (*) dan (**), titik P dijalankan, sehingga diperoleh TK : Atau ditulis dalam notasi himpunan TK : {( , , )|
+ 2) + (
= 9}⋂{( , , )|
Berupa apakah TK ini ? Perpotongan bidang rata dengan bola berbentuk lingkaran ??
+
+
= 30
= 9) = 10}.
II PERSAMAAN BOLA Permukaan (kulit) bola merupakan TK yang vektor di dalam yang titik awalnya tertentu (pusat bola) dan panjang yang konstan sebagai jari-jari bola. Atau per,mukaan bola merupakan TK titik-titik di dalam ruang yang berjarak sama (=Jari-jari) terhadap sebuah titik tertentu (pusat bola).
Persamaan Bola Misalkan pusat bola adalah Jari-jari R (Gambar 2.1), maka ⃗−
⃗=
⃗=[ Karena
− ,
⃗ =
(
⃗
atau (
,
( , , )
− ,
− ) +(
⃗ = , maka (
( ,
( , , ) dan
− ) +(
− ) +(
− ]
− ) +(
− ) +(
− ) +(
− ) − ) =
− ) =
O
Gambar 2.1: Bola
)
Dengan menjalankan titik P, diperoleh ( − ) +( − ) +( − ) =
yang merupakan persamaan bola berpusat di
(2.1)
( , , ) dan berjari-jari R.
Persamaan bola yang berpusat dititik asal (0,0,0) dan berjari-jari R adalah :
+
Secara umum persamaan bola adalah berbentuk
⟺ ⟺
+
+ +
+
+
+ +
Sehingga pusat bola adalah : dan Jari-jari bola adalah : Jika Jika
+ +
+
+
+
+
+ +
=
+
+ +
−
=0 −
=
,−
,−
+
−
−
−
+
,
+
+
=0
−
=
(2.2) (2.3) (2.4)
>0
= 0 maka bola merupakan sebuah titik
−
+
+
+
+
< 0 maka bola merupakan bola khayal
−
Secara simbolis persamaan bola dapat dituliskan sebagai = 0 yang memiliki 4 parameter (A,B,C dan D), jadi suatu bola akan tertentu jika diketahui melalui 4 buah titik yang tidak sebidang. Contoh 2.1 Tentukan pusat dan jari-jari bola : Solusi Diketahui Pusat bola Jari-jari bola
= −4, −
=
= 6,
,−
+
= −2 dan
,−
+
+
+
=
−4 +6 −2 −3 = 0
= −3, maka
− (−4), − (6), − (−2) =
−
=
Persamaan bola melalui 4 buah titik ( , , dihitung melalui persamaan determinan berikut :
(2, −3,1) dan
(−4) + (6) + (−2) − (−3) = √17 ),
( ,
,
), ( ,
,
) dan ( ,
,
) dapat
+ + + + +
Contoh 2.2
1 1
+ + + + +
1 =0 1 1
(2,0,0), (0,1,0), (0,0,1) dan (0,0,0)
Tentukan persamaan bola yang melalui titik-titik Solusi Cara I Misalkan persamaan bola S=0 adalah :
+
+
Karena bola melalui titik (2,0,0), maka 2 + 2 + Bola melalui (0,1,0), maka 1 +
+
Bola melalui (0,0,1), maka 1 + Bola melalui (0,0,0), maka
+
= 0 (iv)
=0
=0
+
+
+
+
=0⟹4+2 +
(ii)
=0
= 0 (i)
(iii)
Dari persamaan (i) sampai (iv) diperoleh = −2, yang melalui ke 4 titik tersebut adalah: + +
= −1, = −1 dan D=0, sehingga persamaan bola −2 − − =0
Cara lain Gunakan determinan + + + + + ⟹
+
1 1
+ + + + + 4 1 1 0
+
+ + 2 +0 +0 1 =0 ⟹ 0 +1 +0 0 +0 +1 1 0+0+0 1
2 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 1 =0 ⟹ 1 1
+
4 1 1
+
2 0 0 0 2 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 1 =0 1 1
0 0 =0 , 1 0 0 1
−
menjadi
+
+ 4 1 0
⟹ 2(
− +
+
+
2 0 0
0 1 0
0 =0 ⟹ 0 1
+ − − 4 0
2 0
+
+ 4 1
− +
0 =0⟹ 1
− − )−4 =0 ⟹
+
+
0 = 0, 1
2 0
+ − − 4
−2 −
menjadi
− 2
=0
− =0
KEDUDUKAN BIDANG RATA DENGAN BOLA Misalkan suatu bola = 0 berjari-jari R dan sebuah bidang rata (pusat bola) ke bidang H, maka 1. Jika 2. Jika 3. Jika
= 0, dengan
adalah jarak titik M
< , maka bidang H memotong bola, perpotongannya berupa lingkaran, Gbr 2.2a = , maka bidang H menyinggung bola (terdapat sebuah titik persekutuan), Gbr 2.2b > , maka bidang H tidak memotong bola, Gbr 2.2c M
=
H Gbr.2.2b
Gbr.2.2a
Contoh 2.3 a. Tentukan kedudukan bola S : : +2 +2 = 0 Solusi Ingat persamaan bidangb rata H: Jarak M ke bidang H :
Karena
d=
+
Gbr.2.2c
+ 2 + 6 + 8 − 10 = 0 terhadap bidang
+
(−1, −3, −4) dan jari-jari bola adalah
Pusat bola adalah
√
H
+
=
(
+
)
√
(
+
)
(
=
= 0, disisni )
=
+
= 1,
+
=5
− (−10) = 6
= 2,
= 2,
< , maka bidang H memotong bola , dengan perpotongan berup lingkaran.
b. Dari soal a, Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran tersebut (PR)
= 0, maka
Jwb
= √11 dan pusat lingkaran
,
,
PERSAMAAN BIDANG SINGGUNG PADA BOLA Misalkan suatu bola S: + + + + + + =0 berpusat di M , dan misalkan ( , , ) suatu titik pada bola. Pusat bola adalah
−
,−
,−
dan titik singgung
adalah ( , , ). Tampak pada gambar bahwa ⃗ merupakan vektor normal dari bidang singgung H, ⃗=
⟺
:
+
+
+
Karena ( ,
,
+ ,
+
( − +
,
+
)+
+
. Sehingga persamaan bidang singgung H adalah
+
+
( −
)+
−(
+
+
+
) pada bola maka memenuhi bola
)+
( −
)=0
+
= 0 (*)
+
+ + + + + + = 0 (**) Dari (∗)dan (∗∗) , diperoleh persamaan bidang singgung pada bola, yaitu +
+
+
1 ( + 2
Rumus ini dikenal dengan “Membagi adil”, yaitu
)+
1 ( + 2
menjadi
dan
)+
1 ( + 2
)+
menjadi ( +
=0
)
Contoh 2.4 Tentukan persamaan bidang singgung di suatu titik pada bola + + + 2 + 4 + 6 + 8 = 0 di titik 0,0, Solusi : Diskusi kelas Subtitusi titik 0,0, pada bola diperoleh + 6 + 8 = 0 diperoleh = −2 dan = −4. Jadi titik singgung pada bola adalah (0,0, −2) dan (0,0, −4). Pers. Bid.singgung... Kedudukan antara dua bola =0 =0 pusat Misalakan terdapat dua bola : pusat dan dan = (grs sentral) jari − jari jari − jari Maka (1). Kedua bola tidak berpotongan ⟺ > + (2). Kedua bola bersinggungan luar ⟺ = + (3). Kedua bola berpotongan ⟺ | − |< < + | | (4). Kedua bola bersinggungan dalam ⟺ = − (5). Salah satu bola berada dalam bola yang lain ⟺ <| − | S
M
S
R
R d
(1)
M
M
R
R d
(2)
M
R
M
R d
(3)
M
S
S
M
S
S
M
M
M
d
d
(5)
(4)
Soal Latihan 1. Selidiki apakah bidang- bidang rata H : 3x − 2y + 4z − 2 = 0 dan H : 6x − 4y + 8z − 3 = 0, sejajar ? , Jika iya, tentukan jaraknya dan sketsa grafiknya.
( , , ) = (2,3,5) dan ( , , ) = (1,3,7) . 2. Melalui tiga titik ( , , ) = (1,1,2) , Tentukan persamaan bidang datar dalam bentuk (a) Parameter (b) persamaan linier. 3. Diberikan bola : + + + 6 + 4 + 2 − 11 = 0 dan bidang : + 2 + 2 = 0. a. Tentukan kedudukan bidang rata H terhadap bola S b. Jika seandainya bidang memotong bola tentukan jari-jari dan pusat lingkaran perpotongannya. 4. Tentukan Tempat Kedudukan (TK) titik-titik yang berjarak 2 satuan dari bidang XOY dan jumlah kuadrat jaraknya ke titik-titik (1,0, −2) dan (−1,0,2) adalah konstan=20 5. Tentukan persamaan bidang singgung di suatu titik 0, , 0 pada bola : + + + 6 −4 +2 +3 = 0 6. Tentukan kedudukan bola : + + − 9 = 0 dan : ( − 1) + ( + 2) + − 16 = 0 Solusi soal latihan 1.
=
=
= =
, jadi bidang-bidang
=
dan
saling sejajar.
Untuk menentukan jarak, Pilih sebarang titik misalnya P 0,0, z titik P adalah P 0,0,
.
pada H ⟹ z =
sehingga koordinat
Jarak titik P(x , y , z ) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 d=
√
Jadi jarak titik P ke H adalah d= 2.
×
(
( )
). (
)
×
(
( )
)
=
√
=
√
Vektor-vektor arah bidang datar adalah
0
⃗ = [ , , ] = [ − , − , − ] = [1,2,3] ⃗ = [ , , ] = [ − , − , − ] = [0,2,5]
(a)
Persamaan vektorial bidang datar melalui tiga titik P, Q dan R adalah [ , , ]= [ , , ]+ [ , , ]+ [ , , ] = [1,1,2] + [1,2,3] + [0,2,5] Persamaan bidang datar dalam bentuk parameter adalah:
(b)
=1+ =1+2 +2 = 2+3 +5
Vector normal bidang data melalui tiga titik = [A, B, C] = x x y = y
[ , , ]= x −x x −x 2 3 2 5
=
z z
y −y y −y 1 3 0 5
−
y y
+
z z
z + z
z −z z −z
1 2 0 2
x x
x + x
y y
= 2−1 3−1 5−2 = 1 2 0 2 1−1 3−1 7−2 =4 −5 +2
3 5
Jadi vektor normal bidang rata adalah = [ , , ] = [4, −5,2] Konstanta D dapat dihitung dari bidang rata : + + =− 4(1) + (−5)(1) + 2(2) = −D ⟹ D = −3 Jadi persamaan bidang rata bentuk linier adalah
3.
Persamaan bola Pusat
−
+
,−
,−
+
+
+
Ax + By + Cz + D = 0 ⟹ 4x − 5y + 2z − 3 = 0
+
dan jari-jari
+
=
= 0 mempunyai
+
+
−
Jadi pusat bola (−3, −2, −1) dan jari-jari = √25 = 5 Jarak titik (−3, −2, −1) ke bidang rata : + 2 + 2 = 0 adalah
a. b.
d=
×(
)
√
×(
)
×(
)
=
= 3.
Karena < , maka bola memotong bidang rata, berupa lingkaran berjari-jari r. Menurut Phytagoras = − → = 25 − 9 = 16. Jadi = 4. Untuk menentukan pusat lingkaran, dibuat garis g melalui pusta bola M dan tegak lurus bidang H. Vektor normal bidang H adalah [ , , ] = [1,2,2], jadi persamaan garis g adalah g: = −3 + , = −2 + 2 , = −1 + 2 , yang disubtitusikan ke dalam : + 2 + 2 = 0 , diperoleh −3 + − 2 + 2 − 1 + 2 = 0 →
diperoleh
4.
= −3 + =
,
=
Jadi pusat lingkaran potong adalah
dan
, ,
= .
= . Selanjutnya nilai
=
disubtitusi ke dalam g,
Ambil titik ( , , ) Syarat I, berjarak 2 satuan dari bidang XOY, berarti = 2 atau = 2 …… (*) Syarat II, jumlah kuadrat jarak ke titik-titik (1,0, −2) dan (−1,0,2) adalah konstan=20, berarti ( ( + 2) + ( + 1) + ( − 0) + ( − 2) = 20 atau 2( + + ) + 10 = 20 → + + = 5 …. (**) Dari (*) dan (**) , indeks dijalankan, diperoleh TK =2 = −2 (⟺ = 4) + + =5 yang merupakan sebuah lingkaran (irisan bidang rata dan bola, atau dengan notasi himpunan : {( , , )| = 4} ∩ {( , , )| + + = 5}
− 1) + (
− 0) +
5.
Titik 0, , 0 pada bola , berarti − 4 + 3 = 0 atau −1 (0,1,0) dan (0,3,0) Dengan sistem bagi adali, persamaan bidang singgung di (0,1,0) adalah +
+
+3 +3
−2 −2
+ +
1( ) + 3 − 2 − 2(1) + + 3 = 0 atau −
Persamaan bidang singgung di +
6.
+
+3 +3
(0,3,0) adalah
− (2 + 2 ) + +
3 + 3 − (2 + 2.3) + + 3 = 0 atau Bola
:
+ + = (0,0,0) =3
− 9 = 0 dan
3 +
− 3 = 0 . Jadi titiik-titik singgung pada bola adalah
+3=0
+ +1 =0 +3=0
+ −3=0
: ( − 1) + ( + 2) + = (1, −2,0) =4
− 16 = 0
= (1 − 0) + (−2 − 0) + (0 − 0) = √5 Karena | − | < < | + | → 1 < < 7 , jadi kedua bola berpotongan.
