SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA

Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom

KEGIATAN BELAJAR 6

SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 6 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan sudut antara dua bidang rata 2. Menentukan jarak sebuah titik dan sebuah bidang rata dan jarak antara dua bidang rata yang sejajar 3. Menentukan persamaan garis lurus dari perpotongan dua buah bidang rata 4. Menentukan persamaan berkas bidang rata dan jaringan bidang rata. Sebelumnya kita sudah mempelajari bentuk normal bidang rata dan persamaan normal bidang rata. Sekarang kita akan membahas sudut antara dua bidang rata, dan kedudukan dua bidang rata, jarak sebuah titik ke bidang rata dan jarak antara dua bidang rata yang sejajar, garis lurus dari perpotongan dua buah bidang rata dan persamaan berkas bidang rata serta jaringan bidang rata. Untuk memahami materi tersebut perhatikan dan lakukanlah kegiatankegiatan di bawah ini. Kegiatan 6.1. Sudut antara dua bidang rata Sudut antara dua bidang rata adalah sudut antara vektor-vektor

≡ + + + = 0 dan ≡ + + + = 0, maka vektor normalnya adalah = , , dan = , , . normalnya.

Misalkan

Sudut antara

=

bidang-bidang

. = | || |

"# +

+

+ ! !

+ ! $ "# +

…(15)

+ ! $

[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

1


Masalah 6.1 Tentukan sudut antara bidang 2 + 2 + 2 + 8 = 0 dan + − 2 + 5 = 0.

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan vektor normal bidang rata. Misalkan ≡ 2 + 2 + 2 + 8 = 0 maka = 2, 2, 2 dan ≡ + + + 5 = 0 maka = 1, 1, 1. Sudut antara dua bidang tersebut

adalah

cos - =

. = | || |

cos - =

+ +

"# + + $ "# + + $

2, 2, 21, 1, 1

=

2+2+2

.√2 + 2 + 2 0.√1 + 1 + 1 0 .2√30.√30 cos - = 1 - = 02 Jadi, dapat disimpulkan bahwa sudut antara dua buah bidang tersebut adalah 02 . Pada sub pokok bahasan ini, juga membahas mengenai Kedudukan Dua

Buah Bidang Rata. Misalkan ≡ + + + = 0 dan ≡ + + + = 0, maka vektor normalnya adalah = , , dan

= , , .

1) Bila sejajar dengan maka vektor normal sama (atau kelipatan) dengan vektor normal . Berarati = maka , , ! = 3 , , ! …(16) dimana 4 ≠ 0 Atau dapat juga di tulis: ! = = ! = , = ,

! = !

Masalah 6.2 Tentukan persamaan bidang rata yang melalui titik (1, −2, 3) dan sejajar dengan bidang rata − 3 + 2 = 0.

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

2


Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita dapat menggunakan persamaan (6) yaitu ≡ ( − ) + ( − ) + ( − ) = 0.

Kita misalkan bidang rata ≡ ( − ) + ( − ) + ( − ) = 0 …..(1) Maka vektor normal bidang rata tersebut adalah = , , .

Dan ≡ − 3 + 2 = 0 maka vektor normal = 1, −3, 2.

Subsitusikan titik (1, −2, 3) kepersamaan (1) sehingga diperoleh,

≡ ( − 1) + ( + 2) + ( − 3) = 0 Karena // maka , , = , , , berarti , , = 1, −3, 2

Sehingga diperoleh suatu persamaan bidang rata dengan mensubtitusikan nilai

parameter bidang rata yaitu = 1, = −3 dan = 2 yaitu ≡ ( − 1) − 3( + 2) + 2( − 3) = 0 ≡ − 1 − 3 − 6 + 2 − 6 = 0 ≡ − 3 + 2 − 13 = 0 Dapat disimpulkan, persamaan bidang rata yang melalui titik (1, −2, 3) dan

sejajar dengan bidang rata − 3 + 2 = 0 adalah − 3 + 2 − 13 = 0.

Selain cara di atas Anda juga bisa mencoba mencari persamaan bidang rata dengan menggunakan persamaan bidang rata yang lain yaitu ≡ + + + = 0 , dengan cara mensubtitusikan titik tersebut kedalam persamaan bidang rata tersebut sehingga diperoleh nilai .

2) Apabila berlaku = , rata = berimpit.

=

,

! = ! dan = = = maka bidang

3) Bila tegak lurus dengan maka vektor normalnya akan saling tegak lurus. Berarti ⊥ atau . = ? sehingga diperoleh suatu persamaan …(17) + + ! ! = ?

Masalah 6.3 Tentukan persamaan bidang rata yang melalui titik (2, 1, 2) dan (0, 0, 0) serta

tegak lurus terhadap bidang 2 − + + 2 = 0.

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita misalkan

persamaan bidang rata ≡ + + + = 0 ….. (1) dengan vektor normalnya @ = , , dan ≡ 2 − + + 2 = 0 dengan vektor normalnya = 2, −1, 1. Langkah berikutnya kita subtitusikan kedua titik yang melalui [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

3


bidang rata tersebut ke dalam persamaan bidang rata ≡ + + + = 0

sehingga diperoleh suatu persamaan:

≡ 2 + + 2 + = 0 .….(2) ≡=0

…..(3)

Karena = 0 maka persamaan (2) menjadi 2 + + 2 = 0

…..(4)

Pada permasalahan di atas, menyatakan bahwa bidang rata tegak lurus dengan bidang rata , berarti vektor normal @ ⊥ @A sehingga @ . @A = 0. , , . 2, −1, 1 = 0 2 − + = 0 ….. (5)

Langkah selanjutnya, kita eliminasi persamaan (4) dan (5) di peroleh nilai B

B

= dan = −2. Setelah itu, subtitusikan nilai = , = −2 dan = 0 B

ke persamaan (1) diperoleh suatu persamaan bidang rata ≡ + − 2 = 0.

Jadi, persamaan bidang rata ≡ 3 + 2 − 4 = 0. Kegiatan 6.2. Jarak Sebuah Titik Titik dan Sebuah Bidang Rata dan Jarak Antara Dua Bidang Sejajar Bagaimana menemukan persamaan jarak sebuah titik dan sebuah bidang rata? Serta jarak antara dua bidang sejajar? Untuk memperoleh persamaan jarak antara sebuah titik dan sebuah bidang rata tersebut, perhatikan dan pahami langkah-langkah dibawah ini. 1.

2.

Misalkan persamaan bidang rata ≡ cos D + cos E + cos F = 0, dengan

G adalah jarak titik H(0, 0, 0) ke bidang rata = 0. Ambil sebarang titik I( , , ), dimana I ∉ = 0.

Untuk menentukan jarak titik I( , , ) ke bidang = 0 dengan cara membuat bidang rata = 0 melalui titik I( , , ) yang sejajar dengan = 0. Berarti vektor normal dan sama. Seperti yang terlihat pada Gambar 6.1 di bawah ini.


4


Gambar 6.1. Bidang Rata K = ? sejajar dengan K = ? 3.

Misalkan L adalah jarak bidang rata = 0 dengan titik I( , , ) maka

jarak H(0, 0, 0) ke = 0 adalah G M L artinya (a) jika I( , , ) di antara

H(0, 0, 0) di = 0 maka jarak H(0, 0, 0) ke = 0 adalah G − L, dan (b) jika I( , , ) tidak di antara H(0, 0, 0) dan = 0 maka jarak H(0, 0, 0) ke

4.

= 0 adalah G + L.

Akibat dari pernyataan no. 3 di peroleh suatu persamaan bidang rata ≡ cos D + cos E + cos F = G M L. Karena titik I( , , ) pada = 0

berarti terpebuhi persamaan cos D + cos E + cos F = G M L

5.

Atau ML = cos D + cos E + cos F − G Jadi, jarak sebuah titik I ( , , ) ke bidang rata ≡ cos D + cos E + …(18)

cos F = 0 adalah N = |O P + Q R + S T − U|

Jika ≡ + + + = 0, maka jarak titik I ( , , ) ke = 0 adalah

O + Q + !S + = N=V V √ + + !

…(19)

Masalah 6.4 Hitunglah jarak antara bidang rata ≡ 6 − 3 + 2 − 13 = 0 dengan titik I(7, 3, 4).

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan persoalan di atas, dengan menggunakan persamaan (15) yaitu:


5

6


L=V

+ + +

V √ + + Subtitusikan nilai , , dan titik I ke dalam persamaan tersebut sehingga

diperoleh, 6.7 − 3.3 + 2.4 − 13 X L=X Y6 + (−3) + 2 28 L=V V √49 28 L=V V=4 7 Jadi, jarak titik I(7, 3, 4) ke bidang rata ≡ 6 − 3 + 2 − 13 = 0 adalah 4.

Sedangkan untuk menentukan jarak antara dua bidang rata yang sejajar, maka perhatikan langkah-langkah berikut. 1. 2.

3.

4.

Misalkan ≡ + + + = 0 dan ≡ + + + = 0

Jika bidang rata sejajar dengan bidang rata maka jarak antara = 0

dan = 0 dapat dihitung dengan cara mencari sebuah titik pada = 0, misalkan titiknya adalah I(0, 0, ). Kemudian kita dapat menghitung jarak titik I(0, 0, ) ke bidang rata = 0.

Begitu juga sebaliknya jika kita mencari sebuah titik pada = 0 misalkan titiknya adalah [ (, 0, 0). Kemudian kita dapat menghitung jarak titik [(, 0, 0) ke bidang rata = 0.

Perlu diingat bahwa, jarak titik I (0, 0, ) ke bidang rata = 0 dan jarak titik [ (, 0, 0) ke bidang rata = 0, akan memiliki jarak yang sama, sama karena kedua bidang rata tersebut sejajar.

Masalah 6.5 Hitung

jarak

antara

\ ≡ + + = 10. Penyelesaian

bidang

rata

≡++ =4

dan

bidang

rata

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, pertama sekali kita buktikan apakah kedua bidang rata tersebut sejajar atau tidak? 1.

Syarat dari bidang rata //\ adalah memiliki vektor normal yang sama

atau @ = ] . Perhatikan vektor normal kedua bidang rata yaitu @ = 1, 1, 1 dan ] = 1, 1, 1, karena @ = ] berarti //\. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]


2.

3.

Ambil sebarang titik pada bidang rata \ yaitu I(0, , 0). Subtitusikan titik

tersebut ke bidang rata \ sehingga di peroleh nilai = 10. Jadi, titik

I(0, 10, 0) Kemudian carilah jarak titik I(0, 10, 0) ke bidang rata ≡ + + = 4

dengan menggunakan persamaan (19) yaitu: + + + L=V V √ + + Subtitusikan nilai = 1, = 1, = 1 , = −4, = 0, = 10 dan = 0 ke

dalam persamaan L yaitu: 1.0 + 1.10 + 1.0 − 4 L=V V √1 + 1 + 1 6 L=V V √3 L = 2√3 Jadi, jarak antara bidang rata ≡ + + = 4 dan bidang rata \ ≡ + +

= 10 adalah 2√3.

Kegiatan 6.3. Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata Sebelumnya Anda sudah mempelajari kegiatan 3 mengenai persamaan garis lurus di bidang dan di ruang. Sekarang kita akan mempelajari bagaimana mengubah bentuk persamaan garis lurus dari perpotongan dua buah bidang rata ke bentuk umum . Di dalam Ilmu Ukur Analitik Ruang, garis lurus dinyatakan sebagai perpotongan dua buah bidang rata yang tidak sejajar. Kita

dapat pula menyatakan suatu garis lurus sebagai perpotongan sebarang dua bidang rata yang melalui garis lurus tersebut. Bagaimana cara mengubah bentuk persamaan garis lurus dari

perpotongan dua buah bidang rata ke bentuk umum, perhatikan uraian kegiatan 6.4 di bawah ini. 1.

Kita misalkan garis lurus ^ adalah perpotongan dua buah bidang rata

≡ + + + = 0 dan ≡ + + + = 0 seperti

yang terlihat pada Gambar 6.4 di bawah ini.

Gambar 6.4. Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

7


Berdasarkan Gambar 6.4 di atas, maka bentuk persamaan garis lurus ^ dapat di

tulis menjadi:

2.

K ≡ O + Q + ! S + = = ? a _≡` K ≡ O + Q + ! S + = = ? Untuk menentukan vektor arah dari garis lurus perpotongan dua buah bidang rata, perhatikan Gambar 6.5 berikut:

Gambar 6.5. Vektor Normal Bidang Rata 3.

Dari Gambar 6.5 di atas, terlihat vektor normal bidang rata adalah = , , dan = , , . Jelas bahwa = b merupakan vektor

arah dari garis ^ adalah: g h i U = c, d, e = f ! f ! ! ! …(20) = jV VV VV Vk ! ! Untuk mempermudah kita menginggat persamaan di atas, dapat di tulis menjadi:

4.

Untuk

b

! !

l

…(21)

m mengubah

bentuk

persamaan

= 0 =

menjadi

bentuk

persamaan umum garis lurus yaitu: − − − = = b m l Dan menentukan koordinat titik ( , , ).


8


5.

Untuk menentukan koordinat titik ( , , ), ambil sebarang titik pada

garis lurus. Biasanya titik yang diambil adalah titik potong dengan bidang

6.

berkoordinat, misalnya pada bidang nHo maka = 0, diperoleh persamaan: + + = 0 a ` + + = 0 Untuk mencari nilai dan dari persamaan di atas, dapat diselesaikan

dengan menggunakan determinan atau dengan cara eliminasi dan subtitusi.

Jika persamaan di atas diselesaikan dengan cara determinan dapat dilakukan dengan cara: − V V − = dan V V Jadi, diperoleh titik I(, , 0).

− V − = V V V

Masalah 6.6 Persamaan − 2 + = 1 dan 3 − + 5 = 8 adalah persamaan-persamaan

garis lurus yang merupakan perpotongan bidang-bidang − 2 + = 1 dan 3 − + 5 = 8. Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, pertama sekali kita cari vektor arah dari persamaan − 2 + = 1 dan 3 − + 5 = 8 adalah: b

l

1 −2 1 1 −2 3 −1 5 3 −1 m −2 1 Dimana b = p p = −9 −1 5 1 1 m= p p=2 5 3 1 −2 l= p p=5 3 −1 Jadi, vektor arah garis lurus adalah −9, 2, 5

Sekarang kita cari titik I( , , ) dengan cara determinan. Ambil = 0 maka

diperoleh suatu persamaan − 2 = 1 dan 3 − = 8. 1 −2 p p 15 = 8 −1 = =3 1 −2 5 p p 3 −1


9


1 1 p p 5 = 3 8 = =1 1 −2 p p 5 3 −1 Jadi, titik yang melalui garis lurus tersebut merupakan perpotongan ke dua buah bidang rata dan adalah (3, 1, 0). Sehingga diperoleh persamaan garis , , = 3, 1, 0 + 4−9, 2, 5. lurus adalah Kegiatan 6.4. Berkas Bidang Rata Dan Jaringan Bidang Rata Bagaimana menemukan persamaan berkas bidang rata? Serta persamaan jaringan bidang rata? Untuk memperoleh persamaan berkas bidang rata dan jaringan bidang rata, perhatikan dan pahami langkah-langkah dibawah ini. 1.

Misalkan

ada

2

buah

bidang

rata

≡ + + + = 0

berpotongan dengan ≡ + + + = 0, maka perpotongannya

berbentuk garis lurus seperti yang terlihat pada Gambar 6.6 di bawah ini.

Gambar. 6.6. Perpotongan Dua Buah Bidang Rata 2.

Setiap titik pada garis potong tersebut akan memenuhi persamaan 4 +

4 = 0, dimana 4 dan 4 adalah parameter. Persamaan di atas merupakan

himpunan bidang-bidang yang melalui garis potong 4 dan 4 bila 4 ≠ 0,

sehingga dapat kita tulis menjadi: 4 + =0 4 + 4 = 0 Jadi, persamaan berkas bidang melalui garis potong antara bidang rata = 0

dan

K + 3K = ?

= 0

adalah …(22)


10


Jika bidang rata = 0 sejajar dengan bidang rata = 0 maka persamaan berkas bidang rata dapat di tulis menjadi: O +

Q

+ ! S = i atau O +

Q

+ ! S = i

…(23)

Masalah 6.7

Carilah persamaan bidang yang melalui titik (0, 0, 1) dan melalui garis

potong bidang-bidang ≡ + = 1 dan B ≡ + 2 − = 0.

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, pertama sekali kita tentukan persamaan bidang rata dengan menggunakan persamaan (22) yaitu:

≡ + 4 = 0 ≡ ( + − 1) + 4( + 2 − ) = 0

………….(1)

Dari persamaan (1) kita kelompokkan berdasarkan variabelnya (variabel yana sama) seperti ≡ (1 + 4) + (1 + 24) + (−1 − 4) = 0. Karena bidang rata melalui titik (0, 0, 1) maka kita substitusikan titik tersebut ke persamaan ≡ + (1 + 24) + (−1 − 4) = 0 sehingga diperoleh nilai 4 = −1. Setelah di

peroleh nilai 4 = −1, kita subsitusikan ke persamaan (1) diperoleh persamaan

≡– + − 1 = 0. Jadi dapat disimpulkan persamaan bidang rata adalah − + 1 = 0.

Sedangkan

untuk

memperoleh

persamaan

jaringan

bidang rata

perhatikan dan pahami langkah-langkah dibawah ini. 1.

Pandang bidang-bidang = 0, = 0 dan B = 0 yang tidak melalui satu

garis lurus yang sama (bukan dalam satu berkas). Seperti yang terlihat pada Gambar 6.7.

Gambar 6.7. Perpotongan 3 buah Bidang Rata [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

11


2.

Bentuk + 4 + rB = 0 yang menyatakan kumpulan bidang-bidang yang

melalui titik potong ke 3 bidang tersebut. Pada Gambar 6.7 titik potong ke 3

bidang tersebut adalah titik s. Dan kumpulan bidang-bidang tersebut

disebut dengan jaringan bidang.

Masalah 6.8 Tentukan persamaan bidang rata \ yang sejajar dengan bidang ≡ + +

= 1 dan melalui titik potong bidang-bidang ≡ = 3, B ≡ = 4 dan t ≡ = 0.

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dengan memisalkan persamaan

bidang rata \ ≡ + 4B + rt = 0 subsitusikan ketiga bidang rata tersebut kepersamaan \ ≡ + 4B + rt = 0 sehingga diperoleh suatu persamaan,

\ ≡ − 3 + 4( − 4) + r( − 0) = 0 \ ≡ + 4 + r − 3 − 44 = 0 ……..(1)

Karena bidang rata \ sejajar dengan bidang rata ≡ + + = 1 maka

vektor normal bidang rata \ sama dengan vektor normal bidang rata yaitu 1, 4, r = 1, 1, 1. Sehingga diperoleh nilai 4 = 1 dan r = 1. Nilai 4 = 1 dan r = 1 tersebut kita substitusikan ke persamaan (1) menjadi \ ≡ + + − 3 −

4 = 0. Jadi dapat disimpulkan persamaan bidang rata \ adalah + + − 7 =

0.

Rangkuman 1.

Sudut antara dua buah bidang rata adalah =

2.

3.

. = | || |

"# +

+

+ ! !

+ ! $ "# +

+ ! $

Jarak titik ( , , ) ke bidang rata ≡ + + + = 0 adalah O + Q + !S + = N=V V √ + + ! Jika sejajar dengan maka vektor normal = sehingga diperoleh suatu persamaan , , ! = 3 , , ! dimana 4 ≠ 0 [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

12


4.

5.

6.

Jika tegak lurus dengan maka vektor normal . = 0 sehingga diperoleh suatu persamaan, , , ! . , , ! = ? atau + Persamaan berkas bidang rata adalah

+ ! ! = ?

K + 3K = ?

Persamaan jaringan bidang rata adalah

K + 3K + uKv = ?


13

SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA

Recommend Documents