MODUL ONLINE
Kode
:
BidangStudi
: Matematika
Kelas/Semester
: X/2
Kompetensi Inti
: 3. Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, dan prosedural dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah
Kompetensi Dasar
: 3. 13 Memahami konsep jarak dan sudut antar titik, garis dan bidang melalui demonstrasi menggunakan alat peraga atau media lainnya
Kompetensi Dasar
: 4.13 Menggunakan berbagai prinsip bangun datar dan ruang serta dalam menyelesaikan masalah nyata berkaitan dengan jarak dan sudut antara titik, garis dan bidang
Topik/Judul
: Jarak dalam ruang
Penulis
: Drs. Slamet Wibowo
Pengkaji Media
: Bambang Adrianto
PengkajiMateri
: Drs. Bambang Irawan M.Si.
PetaMateri
:
Jarak dalam ruang
Mengamati penggunaan konsep jarak dan sudut dalam kehidupan nyata
jarak antara dua titik
Memahami Konsep jarak antara dua titik
Menggunakan prinsip jarak antara dua titik
jarak antara titik dengan garis
Memahami Konsep jarak antara titik dengan garis
Menggunakan Konsep jarak antara titik dengan garis
jarak antara titik dengan bidang
Memahami Konsep jarak antara titik dengan bidang
Menggunakan prinsip jarak antara titik dengan bidang
1
MODUL ONLINE
Kuis : Kuis pada modul ini akan membahas tentang pengertian jarak yang dibuat dalam bentuk simulasi sederhana
Klik Huruf B jika pernyataan anda anggap benar Klik huruf S jika pernyataan anda anggap salah. Jika sudah semua anda tandai , pilih tombol periksa. Tali lampu ini menggambarkan jarak antara Panjang garis panah merah menggambarkan jarak lampu dengan bidang langit-langit antara Hotel ke STIMIK B S B S
Panah merah ini menggambarkan jarak antara Panjang besi ini menggambarkan jarak lampu ke rumah Amir ke STIMIK tiang listrik B S B S
Periksa
2
MODUL ONLINE
Keterangan simulasi 1. User mengklik kotak pada huruf B atau huruf S yang ada di samping masing-masing nomor pernyataan. Jika user klik huruf B maka huruf B menjadi berwarna biru dan huruf S berwarna abu-abu tipis. Jika user klik huruf S maka huruf S menjadi berwarna biru dan huruf B berwarna abu-abu tipis. Setelah semua terisi, user klik tombol “Periksa” 2. Setiap pernyataan jika jawaban tepat maka muncul tanda ceklist (√ ) dibawah jawaban, dan jika tidak tepat muncul tanda (X) dibawah jawaban. 3. Tombol periksa hilang dan berganti Jadi skor anda adalah : (banyaknya benar dibagi 4 kali 100) Kunci Jawaban: 1. 2. 3. 4.
Benar Salah Benar Salah
PENDAHULUAN : Ketika kamu di SMP tentu pernah belajar bangun-bangun ruang antara lain luas dan volume bangun ruang. Pada materi ini kamu akan mempelajari jarak dalam ruang, antara lain: jarak antara dua titik, jarak antara titik dan garis dan jarak antara titik dengan bidang. Untuk itu kalian harus membangun persepsi tentang ruang, sebab ilustrasi atau gambar dalam ruang tidak dapat dinyatakan dengan sebenarnya, karena adanya kemiringan bidang yang memuat titik atau garis yang dimaksud. Banyak sekali manfaat dari pengetahuan tentang jarak ini dalam kehidupan sehari-hari terutama yang berhubungan dengan bidang teknik bangunan.
Jika ada dua buah bola, apa yang dimaksud jarak antara keduanya? Apakah pusatnya? Atau lainnya?
jarak
antara
kedua
Bagaimana pula menentukan jarak antara dua bagian gedung yang satu dengan lainnya agar dapat ditentukan misalnya kebutuhan kabel untuk keperluan tertentu?
Gbr. dua bola dengan jarak tertentu
Bagaimana menentukan jarak antara kabel jaringan arus kuat yang melintasi bangunan-bangunan agar medan listrik tidak mengganggu penghuninya maupun alat-alat elektronik di dalamnya? Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan di atas perlu dipahami pengertian dan cara menentukan jarak antara dua benda. Jika kita membicarakan jarak sering kita dihadapkan pada dua benda. Untuk itulah pembahasan jarak dalam ruang dilakukan idealisasi dan penyederhanaan agar sifat-sifat umumnya mudah dipahami.
Gbr. dua jarak antara tiang listrik
3
MODUL ONLINE
-
Panduan Bagi Guru : Bagi rekan guru, modul ini dapat dijadikan sebagai salah satu sumber belajar bagi siswa. Modul ini dilengkapi juga dengan latihan, tes akhir dan forum diskusi
-
Panduan Bagi Siswa: Untuk mempelajari modul ini kamu diminta untuk mengisi kuis interaktif. Pada setiap kegiatan belajar kuasai setiap penjelasan yang diberikan, ikuti petunjuk dalam animasi atau simulasi, jika belum jelas ulangi sampai kamu paham betul Jika sudah cobalah soal-soal latihan yang ada, jika kamu sudah mencapai nilai KKM untuk sekolahmu, lanjutkan dengan modul lain. Jika belum ulangi dari awal sampai latihannya kamu dapat nilai minimal KKM.
Panduan Bagi Guru : 1. Bagi rekan guru modul ini dapat dijadikan salah satu sumber belajar bagi peserta didik. 2. Modul ini dilengkapi juga dengan latihan, tes akhir dan forum diskusi
yang dapat
digunakan untuk meningkatkan dan mengukur penguasaan siswa untuk materi ini 3. Guru dapat memberi tugas pada peserta didik untuk mencari penerapan pada kehidupan nyata dari materi ini. Hasil penerapan yang didapatkan peserta didik dapat dijadikan bahan diskusi dan bahan pengembangan materi ini. Panduan Bagi Siswa : 1. Untuk mempelajari modul ini kalian diminta untuk mengisi kuis interaktif dengan tujuan
untuk mengukur tingkat penguasaan awal dari kalian tentang materi ini. 2. Pada setiap kegiatan belajar, kuasailah setiap penjelasan yang diberikan, ikuti petunjuk
dalam animasi atau simulasi, jika belum jelas ulangi sampai kalian paham betul . 3. Jika kalian merasa sudah menguasai materi ini cobalah soal-soal latihan yang ada, jika
kamu sudah mencapai nilai KKM untuk sekolahmu pada Tes Akhir Modul (TAM), lanjutkan dengan modul lain. Jika belum ulangi dari awal sampai latihannya kamu dapat nilai minimal KKM. 4. Pada akhir modul, kalian dapat memberikan komentar dan pendapat pada forum yang tersedia
4
MODUL ONLINE
KEGIATAN BELAJAR Kegiatan Belajar 1 Sub Materi : Jarak antara dua titik dalam ruang
Tujuan/Indikator Setelah mempelajari materi ini diharapkan dapat : 1. Memahami pengertian jarak antara dua titik dalam ruang. 2. Menentukan jarak antara dua titik dalam ruang. 3. Menerapkan konsep jarak antara dua titik dalam ruang.
Uraian
:
Pada sub metari ini akan diuraikan tentang: jarak dalam ruang.
Silahkan klik tanda play (
) untuk melihat animasi berikut.
Manakah jarak antara titik A dengan titik B
Keterangan animasi: 1. Pertama muncul titik A dan titik B, dan tombol Play, saat tombol play ditekan : 2. Kemudian muncul garis lengkung bagian
bawah, disusul dengan text
“Bukan jarak tetapi lintasan” dan tanda silang. Beri jeda yang cukup. kemudian menghilang. 3. Kemudian muncul garis AP, titik P, garis PB, kemudian text “Bukan jarak tetapi lintasan” dan tanda silang. Beri jeda yang cukup. kemudian menghilang. 4. Kemudian muncul garis AB, dan text Jarak.
5
MODUL ONLINE
1. Dari animasi tersebut dapat diketahui bahwa jarak adalah lintasan terpendek yang menghubungkan dua obyek 2. Jarak dua titik adalah panjang garis terpendek yang menghubungkan kedua titik tersebut Untuk lebih jelasnya pehatikan contoh berikut ini 1. Berikut ini adalah gambar kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. P dan Q titik tengah EG dan CG. Gambar dan tentukan jarak antara :
H
G P
E
F Q
D
C
A
B a. Titik B ke titik Q b. Titik P ke titik H c. Titik A ke titik P d. Titik P ke titik Q
Jawaban a. Jarak titik B ke titik Q Perhatikan gambar jarak titik B ke titik Q pada bangun ruang
H
G
E
F Q
D C A
B
6
MODUL ONLINE
Perhatikan gambar jarak titik B ke titik Q dalam bidang frontal (bidang datar sejajar dengan bidang gambar ).
Jarak antara titik B dengan titik Q adalah panjang ruas garis BQ. Q
8
4
Setelah digambar dalam bidang frontal kamu akan melihat bahwa segitiga BCQ adalah segitiga siku-siku dan siku-siku di titik C. Dengan rumus phytagoras
BQ 2 BC 2 CQ 2 B
82 42 64 16 80
C
8
BQ 80 BQ 4 5 Jadi jarak antara titik B ke titik Q adalah
4 5 cm
b. Jarak titik P ke titik H Perhatikan gambar jarak titik P ke titik H pada bangun ruang H
G P
E
F Q
D C
A
B
Perhatikan gambar jarak titik P ke titik H dalam bidang frontal
H
G
8
P
A
8
4
F
Jarak antara titik P dengan titik H adalah panjang ruas garis PH Setelah digambar dalam bidang frontal kamu akan melihat bahwa panjang PH adalah setengah panjang diagonal bidang kubus atau setengah panjang FH
1 1 1 PH FH Diagonal Bidang 8 2 2 2 2 4 2
7
MODUL ONLINE
Jadi jarak antara titik P ke titik H adalah
4 2 cm
Catatan : Kubus dengan rusuk a cm maka panjang diagonal bidang adalah a 2 dan panjang diagonal ruang adalah a 3
c. Jarak titik A ke titik P Perhatikan gambar jarak titik A ke titik P pada bangun ruang
H
G P
E
F Q
D
C
A
B
Perhatikan gambar jarak titik A ke titik P dalam bidang frontal
E
P
8
G
4
A
C
8 2
Perhatikan segitiga AEP siku-siku di E Panjang AE= 8
EP
1 1 Panjang diagonal bidang = .8 2 = 4 2 2 2
8
MODUL ONLINE
AP 2 AE 2 EP 2 8 2 (4 2 ) 2 64 32 96 AP 96 AP 4 6 Jadi jarak antara titik A ke titik P adalah
4 6 cm
d. Untuk jarak titik P ke titik Q cobalah kamu hitung sendiri. gunakan bidang frontal ACGE. Jika perhitungan kamu benar maka jarak titik p ke titik Q adalah
4 3 cm
Untuk contoh aplikasi perhatikan Animasi berikut ! Seorang hendak memasang lampu, dalam suatu ruang yang berukuran 6 x 8 meter. Dipojok ruang bagian atas terdapat sumber arus. Lampu akan dipasang tepat ditengah ruang, menggantung 40 cm dari plafon. berapa panjang kabel minimal yang diperlukan. Jika harga kabel 1 m adalah Rp. 8000, dan hanya dapat membeli dalam ukuran kelipatan permeter, berapa uang yang diperlukan dan berapa panjang sisa kabel
panjang kabel = 5,6 m
Panjang kabel diperlukan = 5 + 0,6 = 5,6 m Panjang kabel yang dibeli = 6
m
Harga kabel
= Rp. 48.000
Sisa kabel
= 40 cm
Keterangan animasi:
9
MODUL ONLINE
1. Pertama muncul gambar balok, gambar lampu dan tombol play, saat tombol play ditekan: 2. Muncul titik “A” garis menuju B, dan titik ” B” dan text “4 m” 3. Muncul garis BG, titik “B” dan text “3 m” 4. Muncul garis AG text “5 m” 5. Garis AB, BG text “ 4 m” dan text “ 3 m” hilang 6. Muncul garis dari G ke lampu dan text “ 0,6 m”. 7. Garis AG dan G ke lampu berkedip, muncul text “ panjang kabel 5,6 m “ 8. Muncul text keterangan di bawah gambar balok .
Rangkuman Berdasarkan materi Kegiatan Belajar 1, yang baru saja anda pelajari, maka dapat disimpulkan bahwa: Jarak adalah lintasan terpendek yang menghubungkan 2 titik. Jarak antara dua titik pada bangun ruang adalah panjang ruang garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Untuk memudahkan perhitungan, jarak digambarkan pada bidang frontal. Bidang frontal adalah bidang yang sejajar dengan gambar, sehingga ukuran-ukuran yang ada dapat digambarkan dengan sebenarnya. Untuk mengitung jarak kita menggunakan konsep bangun datar terutama persegi, persegi panjang dan segitiga
Latihan 1 Soal-soal berikut berhubungan dengan kubus di bawah ini
10
MODUL ONLINE
Jawablah dengan klik dan drag dari pilihan jawaban yang tepat ke titik-titik pada soal Pertanyaan 1. Jarak titik A ke titik H adalah….
Jawaban a. 8 3 b. 12
2. Jarak titik B ke titik H adalah….
c.
4 d. 4 e 6 f. 8
3. Jarak titik H ke titik P adalah…. 4. Jarak titik A ke titik R adalah….
3 6 2 2
5. Jarak titik P ke titik R adalah…. Kotak penyelesaian
Keterangan: 1. Setelah User membaca soal, user harus mengklik dan drag jawaban yang telah disediakan 2. Jika user menjawab benar muncul tanda check list, tapi jika user menjawab salah, muncul tanda silang dan jawaban kembali ke tempat semula. 3. User diberi kesempatan 2 (dua) kali untuk mencoba menjawab soal, 4. Jika user 2 (dua) kali menjawab salah, maka muncul kunci yang benar dan cara penyelesaian di bagian bawah(kotak penyelesaian)
Kunci Jawaban Latihan 1 : Pada halaman ini berisi kunci jawaban dari soal latihan 1 f.
8 2 a. 8 3 d. 4 6 b. 12 c.
4 3
Penyelesaian 1. Jarak titik A ke titik H
H
G
E
F
D C A
11 B
MODUL ONLINE
Jarak A ke H = panjang diagonal bidang = a
2 8 2 cm
2. Jarak titik B ke titik H
H
G
E
F Q
D
C
A
B
Jarak B ke H = panjang diagonal ruang= a
3 8 3 cm
3. Jarak titik H ke titik P
H
G
E
F
D
C
P A
B
H
D
F
P
B
12
MODUL ONLINE
Perhatikan segitiga DPH siku-siku di D DH=8
DP
1 1 1 BD Diagonal bidang .8 2 4 2 2 2 2
HP DH 2 DP 2 8 2 (4 2 ) 2 64 32 96 4 6 Jarak H ke P = panjang diagonal bidang = 4
6 cm
4. Jarak titik A ke titik R
H
G
E
F R
D
A E
C
B G
R
A
C
13
MODUL ONLINE
Perhatikan segitiga ACR siku-siku di C
CR
1 1 AC CG 4 2 2
AC Diagonal bidang 8 2
AR
AC 2 CR 2
(8 2 ) 2 4 2 128 16 144 12 Jarak A ke R = panjang diagonal bidang =12 cm
5. Jarak titik P ke titik R
H
G
E
F R
D
A
C P B G
E
R
A
C P 14
MODUL ONLINE
Jarak H ke R =
1 1 panjang diagonal ruang AG = .8 3 4 3 cm. 2 2
Ingat perbandingan dua garis sejajar !
Kegiatan Belajar 2 Sub Judul : Jarak antara Titik dengan Garis Pada sub metari ini akan diuraikan tentang: jarak antara titik dengan garis. Perhatikan animasi berikut. Manakah jarak antara titik A dengan garis g
Jarak titik A ke garis g
Keterangan animasi: 1. Pertama muncul bidang berwarna biru dan tombol play, saat tombol play ditekan: 2. Muncul garis g, muncul titik dan huruf B, P dan C 3. Muncul titik dan huruf A 4. Kemudian muncul garis putus-putus dari A ke B, jeda, muncul tanda silang (X), jeda, garis dan tanda silang menghilang 5. Kemudian muncul garis putus-putus dari A ke C, jeda, muncul tanda silang (X), jeda, garis dan tanda silang menghilang 6. Kemudian muncul garis putus-putus dari A ke P, jeda, muncul tanda silang siku. 7. Muncul text “ jarak titik A ke garis g “
15
MODUL ONLINE
Jarak A ke garis g adalah panjang garis AP sebab jarak adalah lintasan terpendek yang menghubungkan titik A ke garis G, dan ini hanya terjadi jika garis yang menghubungkan tersebut tegak lurus dengan garis G. Jarak antara titik dengan garis adalah jarak antara titik tersebut dengan proyeksinya pada garis yang dimaksud. Proyeksi titik A pada garis g adalah titik P sehingga garis AP tegak lurus garis g H
G
P E
F Q
Jarak titik P ke garis AC adalah panjang ruas garis PO, sebab PO tegak lurus AC. Bukan PA atau PC
D C
O A
B
Perhatikan contoh berikut Sebuah dinding akan roboh. Untuk menjaga jangan sampai roboh akan dibuat penyangga dari dua batang besi dengan bentuk berikut.
Jika panjang besi penyangga 5 m dan jarak ujung tangga dari lantai 4 , tentukan panjang besi yang diperlukan.
B
5 4
C
D
16 A
MODUL ONLINE
CA 52 42 9 3 Luas segitiga ABC dengan alas AB = Luas segitiga ABC dengan alas AC
1 1 AB x CD = AC x BC 2 2 5 x CD = 3 x 4 12 2 CD = =1 5 5 CD = 1,4 Panjang seluruh pipa yang dibutuhkan = 5 m+ 1,4 m = 6,4 m Dengan contoh di atas apakah kamu sudah mengerti betul apa yang dimaksud dengan jarak antara titik dengan garis? Coba sebutkan dengan kalimatmu sendiri “ Apakah yang dimaksud jarak antara titik P dengan garis l ? “ Agar kamu lebih terampil dalam menghitung jarak antara titik dengan garis, perhatikan dan cermati betul contoh-contoh berikut ini ! 1. Berikut ini adalah gambar kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. P, Q dan R titik tengah EG, CG dan AE. Gambar dan tentukan jarak antara :
H
G P
E
F Q
R D
A
C
B
a.
Titik R ke garis EG
b.
Titik G ke garis BD
17
MODUL ONLINE
c.
Titik Q ke garis BD
d.
Titik E ke garis AP
Jawaban a. Jarak titik R ke garis EF
Perhatikan gambar jarak titik R ke garis EG pada bangun ruang
H
G
E
Jarak R ke EG
F
R D
A
C
B
Perhatikan gambar jarak titik R ke garis EG pada bidang frontal
E
Jarak
G
R
C
A
Dari gambar dapat dilihat bahwa garis RE tegak lurus garis EG sehingga jarak R ke garis EG sama dengan panjang ruas garis RE
RE
1 1 AE 6 3 2 2
Jadi jarak R ke garis EG adalah 3 cm b. Titik G ke garis BD
18
MODUL ONLINE
Perhatikan gambar jarak titik G ke garis BD pada bangun ruang !
Jarak G ke garis BD adalah panjang ruas garis GS sebab GS tegak lurus BD.
Titik S berada pada titik tengah ruas garis BD sebab segitiga BDG sama kaki.
H
G
E
F
Jarak G ke BD
D C S A
B
Perhatikan gambar jarak titik G ke garis BD pada bidang frontal
G
D
B S
a 26 2 1 1 BD adalah setengah diagonal bidang a 2 .6 2 3 2 2 2 BG adalah diagonal bidang
Segitiga BSG siku-siku di S
GS BG 2 BS 2
6 2 3 2 2
2
72 18 54 3 6
Jadi jarak titik G ke garis BD adalah
3 6 cm 19
MODUL ONLINE
c. Titik Q ke garis BD Perhatikan gambar jarak titik Q ke garis BD pada bangun ruang !
Jarak Q ke garis BD adalah panjang ruas garis QS sebab QS tegak lurus BD.
Titik S berada pada titik tengah ruas garis BD sebab segitiga BDG sama kaki.
H
G
E
F Q
R D
Jarak Q ke BD
C S
A
B
untuk mempermudah perhitungan kita ambil bidang ACGE yang memuat garis QS
G
E
Q
A
S
C
Panjang ruas garis QS adalah setengah panjang ruas garis AG yang merupakan diagonal ruang kubus
QS
1 1 1 AG a 3 .6. 3 3 3 2 2 2
Jadi jarak titik Q ke garis BD adalah
3 3 cm
d. Jarak titik E ke garis AP
20
MODUL ONLINE
Perhatikan gambar jarak titik E ke garis AP pada bangun ruang !
Jarak E ke garis AP adalah
panjang ruas garis ET sebab ET
tegak lurus AP.
G
H P
E
F T
Jarak E ke AP R D
C A
B
untuk mempermudah perhitungan kita ambil bidang ACGE yang memuat garis AP dan ET
E
H
P
T C
A
Panjang ruas garis EP adalah setengah panjang ruas garis EG yang merupakan diagonal bidang kubus
EP
1 a 2 3 2 2
AE=6
AP
AE 2 EP 2 6 2 3 2
2
36 18 54 3 6
Kamu perhatikan bahwa :
21
MODUL ONLINE
luas segitiga AEP dengan alas AP = luas segitiga AEP dengan alas AE
1 1 . AP.ET . AE..EP 2 2 1 1 .3 6.ET .6..3 2 2 2 3 6 .ET 6.3 2 ET
18 2
ET
6 2
3 6 6
6 6
6 12 6 ET 2 3 ET
Jadi jarak titik E ke garis AP adalah
2 3 cm
Rangkuman Berdasarkan materi Kegiatan Belajar 2 yang baru saja anda pelajari, maka dapat disimpulkan bahwa: Jarak antara titik dengan garis adalah lintasan terpendek yang menghubungkan titik tersebut dengan garis yang dimaksud.
Jarak antara titik dengan garis adalah
jarak-jarak antara titik tersebut
dengan proyeksinya pada garis yang dimaksud.
Proyeksi titik A pada garis g adalah titik P sehingga garis AP tegak lurus garis g
Latihan 2 Soal-soal berikut berhubungan dengan kubus di bawah ini
22
MODUL ONLINE
Jawablah dengan klik and drag dari item jawaban ke titik-titik pada soal Pertanyaan 1. Jarak titik A ke garis adalah…. 2. Jarak titik A ke garis adalah…. 3. Jarak titik A ke garis adalah…. 4. Jarak titik C ke garis adalah…. 5. Jarak titik C ke garis adalah….
Jawaban BC CG BD AH PG
8 A. 3 cm 3 B. 8
cm
C.
2 cm 6 cm 2 cm 2 cm
4 D. 4 E. 6 F. 8
Kotak penyelesaian
Keterangan: 1. Setelah User membaca soal, user harus mengklik dan drag jawaban yang telah disediakan 2. Jika user menjawab benar muncul tanda check list, tapi jika user menjawab salah, muncul tanda silang dan jawaban kembali ke tempat semula. 3. User diberi kesempatan 2 (dua) kali untuk mencoba menjawab soal, 4. Jika user 2 (dua) kali menjawab salah, maka muncul kunci yang benar dan cara penyelesaian di bagian bawah(kotak penyelesaian)
Kunci Jawaban Latihan 2 : Pada halaman ini berisi kunci jawaban dari soal latihan 1 1.
B. 8 cm
2.
F.
3.
8 2 cm C. 4 2 cm
4.
D.
5.
4 6 cm 8 A. 3 cm 3
1. Jarak titik A ke garis BC
H
G
E
F R
D C A
B
23
MODUL ONLINE
Jarak A ke garis BC sama dengan panjang ruas garis AB, sebab AB tegak lurus BC AB= 8 cm Jadi jarak A ke garis BC adalah 8 cm. Jawaban B. 8 cm 2. Jarak titik A ke garis CG
H
G
E
F R
D C A
B Jarak A ke garis CG sama dengan panjang ruas garis AC, sebab AC tegak lurus CG AC adalah diagonal bidang kubus.
AC a 2 8 2 Jadi jarak A ke garis BC adalah Jawaban F.
8 2 cm.
8 2 cm
3. Jarak titik A ke garis BD
H
G
E
F
D P A
C B
24
MODUL ONLINE
Jarak A ke garis BD sama dengan panjang ruas garis AP, sebab AP tegak lurus BD AT sama dengan setengah AC. AC adalah diagonal bidang kubus.
AP
1 1 AC a 2 4 2 2 2
Jadi jarak A ke garis BD adalah Jawaban C.
A
4 2 cm.
4 2 cm
4. Jarak titik C ke garis AH H
G
E
Jarak
F X
D C A A
B
H
X
A
C Perhatikan bahwa segitiga ACH adalah sama kaki dengan sisi diagonal bidang kubus yaitu
3 2 , sehingga titik X pada pertengahan AH AC 8 2 25
MODUL ONLINE
AX 4 2 Segitiga AXC siku-siku di X
CX
AC 2 AX 2 (8 2 ) 2 (4 2 ) 2 128 32 96 4 6
Jadi jarak titik C ke garis AH adalah Jawaban D.
4 6 cm
4 6
5. Jarak titik C ke garis PG H
G
E
Jarak C ke garis PG
F X D P A
C B
Untuk mempermudah perhitingan kita gunakan bidang diagonal ACGE G E
8
X
A
P
C
4 2
perhatikan segitiga PCG siku-siku di C CG= rusuk kubus = 8 cm PC= setengah diagonal sisi =
1 1 a 8 .8 2 4 2 2 2 26
MODUL ONLINE
PG PC 2 CG 2 8 2 4 2
2
64 32 96 4 6
Kamu perhatikan bahwa : luas segitiga PCG dengan alas CX=luas segitiga PCG dengan alas PC
1 1 .PG.CX .PC.CG 2 2 1 1 .4 6.ET .8.4 2 2 2 4 6.ET 8.4 2 ET
32 2
ET
8 2
4 6
6
6 6
8 12 6 8 .4 3 ET 6 8 .4 3 ET 6 8 3 ET 3 ET
Jadi jarak titik C ke garis PG adalah A.
8 3 cm 3
Perhatikan bahwa jarak C ke PG adalah sepertiga panjang diagonal ruang CE Kegiatan Belajar 3 Sub Materi : Jarak antara titik dengan bidang Tujuan/Indikator Setelah mempelajari materi ini diharapkan dapat : 1. Memahami pengertian jarak antara titik dengan bidang 2. Menentukan jarak antara titik dengan bidang 3. Menerapkan jarak antara titik dengan bidang Uraian :
A. Jarak antara titik dengan bidang Pada bagian metari ini akan diuraikan tentang jarak antara garis dan bidang
27
MODUL ONLINE
Perhatikan animasi berikut dengan klik play ()
Keterangan animasi Jarak P Ke Bidang x
x
x
1. Muncul gambar bidang berwarna 2. 3.
4.
merah muda dan tombol play, saat tombol play ditekan: muncul titik P Muncul Garis merah dan tanda silang sebelah kiri, jeda yg cukup menghilang. ulangi garis merah depan dan kanan Muncul garis puts-putus warna hijau dan text “l” , muncul garis putus-putus warna biru dan text “g” Muncul titik R dan garis PR
5. 6. Muncul tanda siku (˩) dan tanda siku (√) 7. Muncul text “Jarak P Ke Bidang
” dan tanda panah.
Jarak antara titik P dengan bidang adalah panjang garis proyeksi titik P pada bidang , garis proyeksi tersebut tegak lurus bidang . Suatu garis tegak lurus dengan bidang jika garis tersebut tegak lurus dengan dua garis yang berpotongan pada bidang yang dimaksud. Pada gambar di atas Jarak titik P ke bidang
adalah panjang garis PR sebab PR
tegak lurus pada dua garis l dan g yang berpotongan Perhatikan contoh berikut Untuk memperkuat atap akan diberi kayu penyangga seperti gambar berikut. Tentukan panjang kayu penyangga terpendek.
28
MODUL ONLINE
Panjang kayu terpendek adalah jarak antara bagian bawah penyangga ke bidang atap yaitu panjang PS
Untuk menghitung PS kita gunakan luas segitiga
RQ = 62 + 42 = 52 = 2 13 Luas PQR dengan alas QR = Luas PQR dengan alas PQ
1 1 QR x PS = PQ x PR 2 2 2 13 x PS = 4 x 6 24 PS = 2 13 12 13 13 PS ≈ 3,328 PS =
Jadi Panjang kayu penyangga terpendek kurang lebih 3,328 m
29
MODUL ONLINE
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh beikut Perhatikan gambar kubus berikut H
G
E
Jarak titik A ke bidang BCGF adalah panjang ruas garis AB, sebab garis AB tegak lurus pada dua garis berpotongan pada bidang BCGF yaitu BC dan BF
F
D C A
B
H
G
T E
Jarak titik A ke bidang BFHD adalah panjang ruas garis AS, sebab garis AS tegak lurus pada dua garis berpotongan pada bidang BFHD yaitu BD dan ST
F
D
s
A
C B G
H
E
Jarak titik C ke bidang BDG adalah panjang ruas garis CX, sebab garis CX tegak lurus pada dua garis berpotongan pada bidang BDG yaitu GY dan GZ
F X
Z
D C
Y A
B
Sudah pahamkah kamu tentang konsep jarak antara titik dengan bidang? Coba ingat kembali
Jarak antara titik dengan bidang adalah jarak terpendek antara titik tersebut dengan bidang yang dimaksud
Jarak terpendek antara titik dengan bidang adalah panjang ruas garis yang melalui titik tersebut dan tegak lurus dengan bidang yang dimaksud
Suatu garis tegak lurus sebuah bidang jika garis tersebut tegak lurus pada dua garis yang berpotongan dan kedua garis tersebut terletak pada bidang yang dimaksud.
Jika suatu garis tegak lurus sebuah bidang maka garis tersebut tegak lurus pada semua garis yang terletak pada bidang tersebut.
Untuk memudahkan pembuatan gambar dan memudahkan perhitungan maka letak titik yang menggambarkan jarak tersebut letaknya dapat diprakirakan. Untuk jelasnya perhatikan contoh berikut ini
30
MODUL ONLINE
1. T.ABCD adalah limas segiempat beraturan dengan panjang rusuk alas 8 cm dan panjang rusuk tegak 10 cm. Tentukan jarak titik T pada bidang ABCD ! T
Jarak T ke bidang ABCD
10
D
C O 8
A
8 B
Jarak titik T ke bidang ABCD adalah panjang ruas garis TO, sebab TO tegak lurus dengan AC dan BD. T
10
C A
panjang
O
AC
AB 2 BC 2
AC 8 2 8 2 2.8 2 8 2
OC
1 AC 4 2 2
TO TC 2 OC 2 10 2 4 2 Jarak T ke bidang ABCD adalah
2
100 32 68 2 17
2 17
31
MODUL ONLINE
2. T.ABCD adalah limas segiempat beraturan dengan panjang rusuk alas 8 cm dan panjang rusuk tegak 8 cm. Titik O adalah titik potong diagonal bidang alas. Tentukan jarak titik O pada bidang TBC ! T
Jarak O ke Bidang TBC
8
X
D
C
Z O
8
8
A
Y
B
Jarak titik O ke bidang TBC adalah panjang ruas garis OX T
4 3
X
Z
panjang OY 4
O
y
4
TY
82 42
64 16
TO
CT 2 OC 2
48 4 3
82 4 2
2
64 32
32 4 2
Perhatikan segitiga TOY luas segitiga TOY dengan alas TY = luas segitiga TOY dengan alas OY 1 1 TY .OX OY .TO 2 2 1 1 4 3 .OX 4 .4 2 2 2 3 .OX 4 . 2
4
OX
4
OX
4
OX
2 3 2 3
3 3
6 3
32
MODUL ONLINE
Jarak O ke bidang TBC adalah
4 6 3
Mudah mudahan dengan dua contoh
tersebut kamu lebih memahami bagaimana cara
menentukan jarak antara titik dengan bidang.
Cobalah menyelesaiakan soal berikut ! ABCD.EFGH adalah kubus dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak antara titik E ke bidang BDG ! Perhatikan gambar jarak titik E ke bidang BDG !
H
Jarak E ke bidang BDG
G
E
F
X
D
C S A
B
Perhatikan gambar jarak titik E ke titik X pada bidang frontal ACGE
8 2
E
G
8 X C
A 8
X
33
MODUL ONLINE
Gunakan luas segitiga GEX dengan alas GX = luas segitiga GEX dengan alas EG Jika perhitunganmu benar maka jarak E ke bidang BDG adalah
16 3. 3
Perhatikan bahwa jarak antara titik E ke bidang BDG adalah dua pertiga dari panjang diagonal ruang. Coba anda prakirakan berapa jarak antara titik C ke bidang BDG? Coba kamu hitung apakah prakiraan kamu benar? Cobalah ambil kesimpulan sendiri, sehingga untuk selanjutnya untuk jarak sejenis kamu dapat menggunakan kesimpulan kamu, sehingga perhitungannya menjadi mudah. Cocokan kesimpulanmu dengan kesimpulan berikut! H
Bidang AFH dan Bidang BDG tegak lurus diagonal CE Bidang AFH dan Bidang BDG membagi diagonal CE tiga bagian sama panjang
G
E
F
y
1 3 2 Jarak E ke bidang BDG = a 3 3 Jarak E ke bidang AFH = a 3
a
X C
D
a
A
B
a
Rangkuman
Jarak antara titik dengan bidang adalah jarak terpendek antara titik tersebut dengan bidang yang dimaksud
Jarak terpendek antara titik dengan bidang adalah panjang ruas garis yang melalui titik tersebut dan tegak lurus dengan bidang yang dimaksud
Suatu garis tegak lurus sebuah bidang jika garis tersebut tegak lurus pada dua garis yang berpotongan dan kedua garis tersebut terletak pada bidang yang dimaksud.
Jika suatu garis tegak lurus sebuah bidang maka garis tersebut tegak lurus pada semua garis yang terletak pada bidang tersebut.
Latihan 3
Soal-soal berikut berhubungan dengan kubus di bawah ini
H
G
P E
8
F
34
MODUL ONLINE
Jawablah dengan klik dan drag dari item jawaban ke titik-titik pada soal Pertanyaan 1. Jarak titik P ke bidang adalah…. 2. Jarak titik P ke bidang adalah…. 3. Jarak titik E ke bidang adalah…. 4. Jarak titik E ke bidang adalah…. 5. Jarak titik P ke bidang adalah….
Jawaban ADHE ABCD BDHF BDG BDG
A.
4 2 B. 8 2 8 C. 3 3 16 D. 3 3 E. 4 F. 8 G. 12
Kotak penyelesaian
Keterangan: 1. Setelah User membaca soal, user harus mengklik dan drag jawaban yang telah disediakan 2. Jika user menjawab benar muncul tanda check list, tapi jika user menjawab salah, muncul tanda silang dan jawaban kembali ke tempat semula. 3. User diberi kesempatan 2 (dua) kali untuk mencoba menjawab soal, 4. Jika user 2 (dua) kali menjawab salah, maka muncul kunci yang benar dan cara penyelesaian di bagian bawah(kotak penyelesaian)
Kunci Jawaban Latihan 3 : 1. E. 4 2. F. 8 3. A.
4 2 16 4. D. 3 3 8 5. C. 3 3 Penyelesaian
35
MODUL ONLINE
1. Jarak titik P ke bidang ADHE
Jarak P ke ADHE= panjang PX H
Jarak P ke bidang ADHE =
G
P
X E
F
8
D
1 rusuk kubus 2
=4 Jawaban : E. 4
C
8 A
8
B
2. Jarak titik P ke bidang ABCD
Jarak P ke ABCD = panjang PT H
Jarak P ke bidang ABCD = rusuk kubus
G
P
X E
=8
F
Jawaban : F. 8 8 C
D
T A
8 B
8
3. Jarak titik E ke bidang BDHF
Jarak E ke BDHE = panjang EP H
Jarak E ke BDHE=
G
P E
1 diagonal sisi 2
F
= 8 Jawaban : A. 4 2
C
D
1 1 a 2 .8 . 2 4 2 2 2
8
A
B
8
4. Jarak titik E ke bidang BDG adalah….
Jarak E ke BDG = panjang EX H
G
E
F
x
36
2 Jarak E ke BDG= diagonal ruang 3 2
2
16
MODUL ONLINE
5. Jarak titik C ke bidang BDG adalah….
Jarak P ke BDG = panjang PF H
G
P
E
F
x
8
C
D
8
A
Perhatikan PF sejajar EX, karena titik P ditengah EG maka PF setengah EX, sedangkan EX dua pertiga diagonal ruang CE
B
8
Perhatikan bidang ACGE G
P
E
Jarak P ke BDG= PF F
= X
A
C
Jawaban : C.
1 EX 2 12 1 8 a 3 .8 . 3 3 23 3 3
8 3 3
PENUTUP
Rangkuman : 37
MODUL ONLINE
1. Jarak adalah lintasan terpendek yang menghubungkan 2 titik. 2. Untuk mengitung jarak kita menggunakan konsep bangun datar terutama persegi, persegi panjang dan segitiga 3. Jarak antara titik dengan garis adalah jarak antara titik A dengan P yang merupakan proyeksinya pada garis yang dimaksud. 4. Proyeksi titik A pada garis g adalah titik P sehingga garis AP tegak lurus garis g 5. Jarak antara titik dengan bidang adalah jarak terpendek antara titik tersebut dengan bidang yang dimaksud 6. Jarak terpendek antara titik dengan bidang adalah panjang ruas garis yang melalui titik tersebut dan tegak lurus dengan bidang yang dimaksud 7. Suatu garis tegak lurus sebuah bidang jika garis tersebut tegak lurus pada dua garis yang berpotongan dan kedua garis tersebut terletak pada bidang yang dimaksud.
Tes Akhir Modul (TAM) : - Bentuk soal pilihan ganda . - Jumlah soal 25 soal dimunculkan secara acak sebanyak 10 butir soal - Jumlah opsi jawaban 5 - Menggunakan tampilan standar pada Modul Online
Soal-soal
1.
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, titik P terletak pada garis potong AC dengan BD, Jarak titik C ke titik P adalah....... a. 4 b.
4 2
c.
4 3
d. 4 6 e. 6 2.
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, titik P titik tengah, Jarak titik P ke titik H adalah....... A. 6 B. 4 2 C. 6 3 D. 9 E. 12
38
MODUL ONLINE
3.
4.
T. ABC adalah bidang empat beraturan dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P titik tengah AB dan titik Q titik tengah TC, maka panjang PQ adalah.... A.
3 2
B.
2 2
C.
2 3
D. E.
5 6 8
DiketahuikubusABCD.EFGH dengan panjang rusuk = 4. Titik P adalah titik potong AH dengan ED, dan titik Q adalah titik potong FH dengan EG. Jarak antara titik P dengan Q adalah ... a. b. c. d.
3 2 3
2 2 2
e.
5.
6.
2
Diketahui kubusABCD.EFGH dengan panjang rusuk = 12 cm. Titik P terletak pada DH dengan DP : PH= 1 : 2. Jarak titik P ke titik G adalah....
a.
4 13
b.
2 17
c.
178
d.
179
e.
155
Diketahuikubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk = 4. Titik R titik tengah AH, titik S titik
tengah .Jarak titik R dan S adalah... a. 2 b. 2 c.
2 2
d.
14
e.
3 2
39
MODUL ONLINE
7.
Kubus ABCD-EFGH panjang rusuknya 8 cm. P titik tengah FG . jarak P ke garis DB adalah ........ A. 6 2 cm B. 8 2 cm C. 12 2 cm D. 5 3 cm E. 12 3 cm
8.
Perhatikan gambar limas beraturan T.ABCD T
6 cm
6 D
A
42
B
Jarak titik A ke garis TC adalah…. A. B. C. D. E.
9.
C 42 cm
5 3 8 3 16 3 8 3 4 3
3 cm 2 cm 5 cm 5 cm 5 cm
Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk AB = 8 cm dan TC = 12 cm. jarak titik A ke TC adalah…. A. B. C. D.
3 2 2 8 3 4
14 cm
23 cm 14 cm
7 cm 40
MODUL ONLINE
E.
8 2 cm
10. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm. Jarak titik A ke garis FH adalah…. A. B. C. D. E.
3 3 2 3 2 3 2 3 2
2 cm 6 cm 3 cm 2 cm cm
11. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH! Jarak titik A ke garis HB adalah…. A. 6√2 cm B. 3√2 cm C. 2√6 cm D. 2√2 cm E. √3 cm
12. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk = 4 cm. Titik P adalah titik potong AH dengan ED dan titik Q adalah titik potong FH dengan EG. Jarak titik B dengan garis PQ adalah…. A. 22 cm B. 21 cm C. 25 cm D. 19 cm E. 32 cm 41
MODUL ONLINE
13. Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik S ke diagonal ruang PV adalah…. A. ½6 B. 6 C. 1½6 D. 26 E. 36 14. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik A ke garis CF adalah…. A. 63 cm B. 62 cm C. 36 cm D. 33 cm E. 32 cm
15. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, Jarak titik E ke garis BG adalah....... a.
6 3
b.
6 2
c.
4 2
d. 3 6 e.
2
16. Diketahui T.ABCD adalah limas beraturan dengan ABCD adalah persegi. Diketahui panjang rusuk alas adalah 4 cm dan rusuk tegak adalah 6 cm , maka jarak titik C ke garis AT adalah..... T
A. B. C. D. E.
1 4 3 4 3 2 4 3 2 3
14 6 cm
6
14
D
C
14 A
4 cm
B
4 cm
14 14 42
MODUL ONLINE
17. Diketahuilimas beraturan T.ABC dengan AB = AC = BC= 12, TA = TB= TC = 13. Jika D adalah titik tengah AB maka jarak titik T ke garis CD adalah....’ A. B. C. D. E.
10 11 12 13 14
18. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk= 4. Jika P adalah titik tengah AB maka jarak titik P dengan garis TC adalah.... A. 2 3 B. 2 2 C.
6
D. 5 E. 2 19. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk = 5. Jarak titik C ke bidang AFH sama adalah.... A. 4
3
5 3 3 10 C. 3 3 B.
D.
5 3
E.
6 3
20. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk = 4. Titik P terletak pada garis AH dengan AP : PH = 1 : 2. Jarak titik P ke bidang BCGF = A.3 B.4 C.
3 2
D. 4 E. 6
2
43
MODUL ONLINE
21. T-ABCDEF adalah limas segi enam beraturan tegak dengan rusuk alas 4 cm dan rusuk tegak 6 cm. O adalah titik potong diagonal alas. Jarak O ke bidang TDE adalah .... A. B. C. D. E.
60 13 50 13 60 17 1 30 4 1 30 2
22. Kubus ABCD-EFGH mempunyai panjang rusuk a cm. Titik K pada perpanjangan DA sehingga KA =
A. B. C. D. E.
1 a 4 3 a 4 3 a 4 2 a 3 5 a 4
1 KD. Jarak titik K ke bidang BDHF adalah ... . 3
2 2 3 3 3
23. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk= 4.Jarak titik C ke bidang TAB adalah.....
A.
B.
C.
D.
E.
2 3 3 4 4 3 2 3 4 3
6 6 6 3 3 44
MODUL ONLINE
24. Diketahuikubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk = 6. Jarak titik D ke bidang ACGE adalah...
A.
6 2
B.
2 3
C.
4 3
D.
3 3
E.
3 2
25. Jiketahui Limas T.ABC dengan TA tegak lurus bidang ABC di A, AB tegak lurus AC, AB =
AC= 4, dan TA = 2 14 Jarak titik Ake bidang TBC adalah... A. 3 T B. 2 3 C. D. 2 E. 8
7
2
2 14
C 4
A 4
B
Kunci Jawaban Tes Akhir Modul 1. B
6. C
11. C
16. D
21. E
2. C
7. A
12. A
17. B
22. B
3. B
8. D
13. D
18. A
23. B
4. C
9. C
14. C
19. C
24. E
5. A
10. B
15. D
20. B
25. C
Nilai Hasil TAM Nilai hasil tes akhir modul bisa disimpan, portofolio atau kirim email ke guru
REFERENSI Daftar Pustaka:
45
MODUL ONLINE
1. Buku Siswa Matematika kurikulum 2013, Departemen Pendidikan Nasional 2. PKS matematika Kelas X, Wilson Simangunsong, Gematama 3. Matematika SMA/MA Kelas X, Sukino, Erlangga
4. Pembelajaran Sudut Dan Jarak Dalam Ruang Dimensi Tiga, PPPPTK Matematika Link Terkait materi :
1. http://belajarmatematikadanfisika.blogspot.com/2013/02/ruang-dimensi-tiga.html 2. https://www.youtube.com/watch?v=f0_19ypcEdQ 3. https://www.youtube.com/watch?v=IeiO_kxozUY
46
