KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK

Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom

KEGIATAN BELAJAR 4

KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK Setelah mempelajari kegiatan belajar 4 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang 2. Sudut antara dua garis lurus di bidang dan di ruang 3. Menentukan jarak titik ke garis di bidang dan di ruang 4. Menentukan jarak antara dua garis lurus di ruang. A. Kedudukan Dua Garis Lurus di Bidang dan di Ruang Hubungan dua garis lurus dapat kita kaitkan dengan situasi sehari-hari. Jika terdapat dua garis lurus, maka ada beberapa hubungan atau situasi yang bisa terjadi. Kedua garis tersebut dapat sejajar, saling tegak lurus, berimpit, atau berpotongan. Kegiatan 4.1. 4.1. Kedudukan Dua Garis Lurus di Bidang Untuk menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang, lakukan langkahlangkah berikut. 1.

Pilih dua titik pada bidang koordinat, missal titik A dan B, kemudian hubungkan kedua titik tersebut, sehingga diperoleh suatu garis lurus AB,

2.

namakan garis ℎ.

Hitunglah gradien garis ℎ.

3.

Gambarlah garis yang sejajar dengan garis ℎ, pilihlah dua titik pada garis

4.

Gambarlah garis yang sejajar dengan garis , pilihlah dua titik pada garis

, kemudian hitunglah gradien garis . , kemudian hitunglah gradien garis .

[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

1


5. 6. 7.

Gambarlah garis yang sejajar dengan garis , pilih dua titik pada garis ,

kemudian hitunglah gradien garis .

Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai garis-garis ℎ, , dan ?

Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai gradien dari garis-garis ℎ, , dan .

Dari kegiatan 4.1 di atas, jika kita perhatikan garis-garis ℎ, , dan adalah garis-

garis yang saling sejajar, dan jika hitung gradiennya maka mempunyai nilai gradien yang sama sehingga dapat di simpulkan bahwa garis-garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama yaitu :

=

…(16)

Masalah 4.1 Diketahui persamaan garis = 3 + 5, tentukan gradien garis tersebut, kemudian tentukan gradien garis ℎ yang sejajar dengan garis = 3 + 5

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.

Dari masalah di atas, gradien garis = 3 + 5 adalah 3. Maka gradien garis ℎ

yang sejajar dengan garis = 3 + 5 adalah 3.

Kegiatan 4.2 4.2. Persamaan Gradien Garis Lurus Jika Garisnya Tegak Lurus Untuk menentukan gradien garis-garis yang saling tegak lurus maka lakukan langkah-langkah berikut. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Gambarlah grafik garis dengan persamaan 2 + 3 − 6 = 0

Hitunglah gradien garis .

Gambarlah grafik garis ℎ dengan persamaan 3 − 2 + 2 = 0 Hitunglah gradien garis ℎ.

Selidiki apakah garis tegak lurus pada garis ℎ?

Tentukan hasil kali antara gradien garis dengan gradien garis ℎ

Apa yang dapat kalian simpulkan dari hasil langkah ke-6 berdasarkan kedudukan garis dan ℎ?

Dari kegiatan 4.2 di atas, jika kita perhatikan garis dan ℎ diperoleh hasil

kali gradien-gradien yang saling tegak lurus adalah -1. Dengan demikian dapat

…(17) [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

2


diambil kesimpulan bahwa hasil kali gradien garis-garis yang saling tegak lurus adalah -1. Persamaan garis-garis yang saling tegak lurus adalah:

= − Masalah 4.2 Diketahui titik −4, 5 dan titik 6, −3. Jika garis tegak lurus dengan garis

, tentukan gradien garis .

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Berdasarkan permasalahan di atas, pertama sekali kita menghitung nilai gradien yang melalui titik −4, 5 dan titik 6, −3 dengan menggunakan

persamaan gradien pada kegiatan 3.1 yaitu: " − # != " − # Maka di dapat nilai gradiennya adalah 4 != − 5 Setelah memperoleh nilai gradien , karena garis tegak lurus dengan maka kita menggunakan persamaan pada kegiatan 3 yaitu: # " = −1

maka,

Sehingga diperoleh,

−

4 " = −1 5

5 4 Apabila # dan " adalah dua buah garis lurus pada bidang XOY, maka " =

hubungan yang mungkin terjadi antara kedua garis tersebut adalah 1.

2.

3.

# berimpit dengan "

Misalkan # ≡ # + # + &# = 0 dan " ≡ " + " + &" = 0 maka g1

dan g2 dikatakan berimpit jika dan hanya jika: ' ( ) = = ' ( ) # sejajar dengan " (tidak berimpit)

Misalkan # ≡ # + # + &# = 0 dan " ≡ " + " + &" = 0 maka g1 dan g2 dikatakan sejajar jika dan hanya jika: ' ( = ' ( # berpotongan dengan "


3

4


Misalkan # ≡ # + # + &# = 0 dan " ≡ " + " + &" = 0 maka #

dan " dikatakan berpotongan jika dan hanya jika: ' ( ≠ ' ( Masalah 4.3 Diketahui

garis

≡ 3 + 2 − 2 = 0,

ℎ ≡ 4 − 5 − 7 = 0

dan

≡ 6 + 4 − 4 = 0. Tentukan kedudukan antara garis dengan dan garis

dengan ℎ, apakah sejajar, berimpit atau berpotongan.

Penyelesaian: Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. •

•

Garis ≡ 3 + 2 − 2 = 0, dan ≡ 6 + 4 − 4 = 0 # &# # = = " " &" 3 2 −2 = = 6 4 −4 Kerena nilainya sama maka garis berimpit dengan garis .

Garis ≡ 3 + 2 − 2 = 0, ℎ ≡ 4 − 5 − 7 = 0 # # ≠ " " 3 2 ≠ 4 −5 Karena nilainya tidak sama maka garis berpotongan dengan garis ℎ.

4.1 Kedudukan Dua Garis Lurus di Ruang Misalkan # ≡ ,, , -. = ,# , # , -# . + /,0# , 1# , 2# . dan " ≡ ,, , -. = ," , " , -" . + /,0" , 1" , 2" . Ada beberapa kemungkinan kedudukan antara garis # dan " . 1. Garis # sejajar " # ∥ " jika dan hanya jika :

2.

,0# , 1# , 2# . = 4 ,0" , 1" , 2" . atau 0# 1# 2# = = 0" 1" 2" Garis # berimpit dengan " jika dan hanya jika: • •

,0# , 1# , 2# . = 4 ,0" , 1" , 2" . ," − # , " − # , -" − -# . = 4 ,0# , 1# , 2# .



Masalah 4.4 Tunjukkan bahwa garis # sejajar dengan garis ". −7 +2 −1 # ≡ = = - dan " = = = - − 11 6 2 6 2 Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Vektor arah garis # adalah ,6, 2, 1. dan vektor arah " adalah ,6, 2, 1.. Karena vektor arah # sama dengan vektor arah " berarti kedua garis tersebut sejajar tetapi tidak berimpit, karena hasil penggurangan ,−2 − 7, 1 − 0, 11 − 0. = 4 ,6, 2, 1. ,−9, 1, 11. ≠ 4 ,6, 2, 1. . 3.

Jika ,0# , 1# , 2# . ≠ 4 ,0" , 1" , 2" ., maka garis # dan " mungkin saja berpotongan atau bersilangan.

Misalkan # berpotongan dengan ", berarti ada titik potong 6 , 6 , -6 . sehingga 6 , 6 , -6 ∈ # dan 6 , 6 , -6 ∈ " sebagai titik potong garis #

dan " . Jika 6 , 6 , -6 ∈ # maka ,6 , 6 , -6 . = ,# , # , -# . + /# ,0# , 1# , 2# . …..(1) Jika 6 , 6 , -6 ∈ " maka ,6 , 6 , -6 . = ," , " , -" . − /" ,0" , 1" , 2" . …..(2) Dari persamaan (1) dan (2) jika di kurangkan menjadi: ,# , # , -# . + /# ,0# , 1# , 2# . = ," , " , -" . − /" ,0" , 1" , 2" . atau

0# /# + 0" /" = " − # 1# /# + 1" /" = " − # 2# /# + 2" /" = -" − -# Berdasarkan teori persamaan linier, nilai /# dan /" ada, jika nilai determinannya:

9 9 8: : < < Merupakan syarat dua garis lurus

− …(18) ; − ; 8 = > = − = berpotongan pada suatu titik. Jika nilai

determinannya tidak sama dengan nol maka kedua garis tersebut bersilangan. bersilangan Sedangkan persamaan dan " adalah: 9 9 8: : < <

bidang yang memuat kedua garis # − ; − ; 8 = > = − =

…(19)


5


Masalah 4.5 Tunjukkan bahwa garis # berpotongan dengan garis " . Jika berpotongan

maka tentukan titik potong kedua garis tersebut serta tentukan bidang yang memuat kedua garis tersebut. −1 +1 - + 10 +3 -+1 # ≡ = = dan " ≡ − 4 = = 2 −3 8 −4 7 Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. # ≡ ,, , -. = ,1, −1, −10. + /,2, −3, 8. " ≡ ,, , -. = ,4, −3, −1. + /,1, −4, 7. Jika kita perhatikan vektor arah kedua garis tersebut tidak berkelipatan berarti kedua garis tersebut tidak sejajar dan tidak berimpit. Untuk menunjukkan kedua garis tersebut berpotongan, kita harus mencari determinannya terlebih dahulu, dan nilai determinannya harus sama dengan nol. 0# 0" " − # 81# 1" " − # 8 = 0 2# 2" -" − -# 2 1 4−1 −3 −4 −3 − −1 8 = 0 8 8 7 −1 − −10 2 1 3 2 1 8−3 −4 −28 @−3 −48 = 0 8 7 9 8 7 A−72 + −16 + −63B − A−27 + −28 + −96B = 0 −151 − −151 = 0 0=0 Karena determinannya sama dengan nol maka garis # berpotongan dengan garis " .

Titik potong kedua garis tersebut diperoleh dari persamaan:

2/# + /" = 3 −3/# − 4/" = −2 8/# + 7/" = 9 Cukup kita ambil dua persamaan, sehingga diperoleh nilai /# dan /" dengan cara mengeliminasikan kedua persamaan tersebut. Setelah di eliminasi maka diperoleh nilai /# = 2 dan /" = −1.

Untuk memperoleh titik potong kedua garis tersebut kita menggunakan persamaan: ,> , ;> , => . = , , ; , = . + C ,9 , : , < . [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

6


,6 , 6 , -6 . = ,1, −1, −10. + 2,2, −3, 8. ,6 , 6 , -6 . = ,5, −7, 6. Jika kita menggunakan persamaan: ,> , ;> , => . = , , ; , = . − C ,9 , : , < . ,6 , 6 , -6 . = ,4, −3, −1. − −1,1, −4, 7. ,6 , 6 , -6 . = ,5, −7, 6. Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah 5, −7, 6 Bidang rata yang memuat garis # dan " adalah: 0# 0" − # 8 1# 1" − # 8 = 0 2# 2" - − -# 2 1 −1 2 1 8−3 −4 + 1 8 @−3 −48 = 0 7 8 7 - + 10 8 ≡ A−8- + 10 + 8 + 1 + −21 − 1B − A−3- + 10 + 14 + 1 + −32 − 1B = 0

≡ −8- − 80 + 8 + 8 − 21 + 21 + 3- + 30 − 14 − 14 + 32 − 32 = 0 ≡ 11 − 6 − 5- − 67 = 0 Jadi, persamaan bidang yang memuat kedua garis tersebut 11 − 6 − 5- − 67 = 0.

adalah

B. Garis Lurus Memotong Dua garis Lurus Lain di Bidang dan di Ruang 4.2 Garis Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di Bidang Misalkan # ≡ # + # + &# = 0 dan " ≡ " + " + &" = 0. Untuk menentukan persamaan garis lain kita menggunakan persamaan berkas garis,

berkas garis adalah garis-garis yang melalui sebuah titik yang sama (satu titik tetap) sedangkan arahnya berlainan. Persamaan berkas garis adalah D + C D = > dimana / disebut dengan parameter dan / harus linier.

…(20)

Titik potong S kedua garis # dan " terletak pada garis # ", berarti

koordinat titik potong tersebut memenuhi ke dalam persamaan garis #

maupun ke dalam garis " . Serta untuk tiap-tiap harga / bentuk # + / " = 0

selalu linier, sehingga menghasilkan sebuah garis lurus yang melalui S.

Jadi dapat disimpulkan bahwa semua garis yang didapat dari persamaan # + / " = 0 selalu melalui titik potong kedua garis # dan " . Masalah 4.6

#

Diketahui dua garis lurus # ≡ = − 1 dan " ≡ = − + 2 "


7


Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik pangkal dan titik potong kedua garis tersebut. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.

Buatlah berkas garis D + C D = > sehingga dapat di tulis menjadi: 1 − + 1 + / E + − 2F = 0 … … . . 1 2 1 1 + / − E1 − /F + 1 − 2/ = 0 2 Karena garis tersebut melalui titik pangkal yaitu 0, 0 maka diperoleh: #

0 − 0 + 1 − 2/ = 0 sehingga di dapatlah nilai / = ". Subsitusikan nilai / =

# "

ke persamaan (1) yaitu:

1 1 E + − 2F = 0 2 2 1 2 − + 1 + E + − 2F = 0 2 1 2 − 2 + 2 + + − 2 = 0 2 3 3 − = 0 2 1 = 2 Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik pangkal dan titik potong kedua − + 1 +

garis tersebut adalah =

# "

.

4.3 Garis Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di Ruang Jika # ∶ J# = 0 = J" dan " ∶ K# = 0 = K" maka persamaan umum dari garis lurus yang memotong # dan " adalah …(21) L + C L = > dan M + N M = > Masalah 4.7 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik 2, −1, 1 dan memotong

garis-garis lurus # ∶ 2 + − 4 = 0, + 2- = 0 serta " ∶ + 3- = 4, 2 + 5- =

8.


8


Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.

Persamaan umum garis lurus yang memotong # dan " adalah: L + C L = > dan M + C M = >

Pertama kita menggunakan persamaan L + C L = > 2 + − 4 + / + 2- = 0 2 + 1 + / + 2/- − 4 = 0 …(22) Karena melalui titik 2, −1, 1 maka subsitusikan titik tersebut ke persamaan

(22), 22 + 1 + /−1 + 2/1 − 4 = 0 4 − 1 − / + 2/ − 4 = 0 −1 + / = 0 /=1 Subsitusikan nilai / = 1 ke persamaan (22) sehingga diperoleh persamaan garis: 2 + 1 + 1 + 21- − 4 = 0 2 + 2 + 2- − 4 = 0 ++-−2=0 Jadi, persamaan garis lurus adalah + ; + = = .

Kedua kita menggunakan persamaan M + N M = > + 3- − 4 + 4 2 + 5- − 8 = 0 1 + 24 + 3 + 54- − 4 + 84 = 0 …(23) Karena melalui titik 2, −1, 1 maka subsitusikan titik tersebut ke persamaan

(23), 1 + 242 + 3 + 541 − 4 + 84 = 0 2 + 44 + 3 + 54 − 4 − 84 = 0 1+4 =0 4 = −1 Subsitusikan nilai 4 = −1 ke persamaan (23) sehingga diperoleh persamaan garis:

O1 + 2−1 + O3 + 5−1P- − 4 + 8−1P = 0 − − 2- + 4 = 0 + 2- − 4 = 0 Jadi, persamaan garis lurus adalah + = = Q.


9


C. Sudut Antara Dua Garis Lurus di Bidang dan di Ruang Sekarang kita perhatikan sudut R yang merupakan sudut diantara dua

garis lurus di bidang seperti yang terlihat pada Gambar 4.1.

Jika # ≡ = # + 1# dan " ≡ = " + 1" . Sudut R adalah sudut perpotongan antara kedua garis tersebut.

tan T# = # dan tan T" = " T# = T" + R R = T# − T" tan R = tanT# − T" tan T# − tan T" tan R = 1 + tan T# . tan T" karena tan T# = # dan tan T" = " maka di peroleh suatu persamaan: # − " tan R = 1 + # . " Supaya sudut R selalu lancip, maka tan R harus bernilai positif, oleh karena itu diambil harga mutlaknya yaitu:

UVW X = Y

Z

[ .

X = 9\< ]9^

Y

Z

[ .

…(24)

…(25)

CATATAN (4) • Jika X = >, maka =

. Ini berarti dua garis tersebut sejajar atau

berimpit. Dua garis tersebut akan sejajar apabila ^ ≠ ^ dan dua garis

tersebut berimpit, apabila ^ = ^ .


10


•

Jika

harga

tan R

besarnya

tak

berhingga,

yaitu

X = _>` ,

maka

+ .

= > atau .

= −. Ini berarti kedua garis tersebut saling

tegak lurus. Masalah 4.8

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik 2, 1 dan mengapit sudut

yang besarnya 45a dengan garis 2 + 3 + 4 = 0. Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Perhatikan gambar 4.2 di bawah ini adalah sketsa dari ketentuan-ketentuan

dalam soal dan garis # dan " adalah garis-garis yang mengapit sudut yang

besarnya 45a dengan garis 2 + 3 = 4 = 0.

"

Tanjakan garis 2 + 3 + 4 = 0 adalah = − . Misalkan tanjakan garis

# yang dicari adalah # , maka # − tan 45a = 1 + # . 2 # − c− d 3 1= 2 1 + # c− d 3 2 # + 3 1= 2 1 − # 3 2 2 1 − # = # + 3 3

b


11


2 2 = # + # 3 3 1 5 = # 3 3 1 # = 5 Jadi, persamaan garis # adalah garis dengan gradien # = 1−

# e

dan melalui titik

2, 1, yaitu: − # = # − # 1 − 1 = − 2 5 5 − 5 = − 2 − 5 + 3 = 0 Gradien garis " adalah " = −5, karena garis " tegak lurus dengan garis #

sehingga diperoleh persamaan garis " melalui titik 2, 1 dengan gradien

" = −5 adalah − # = # − # − 1 = −5 − 2 − 1 = −5 + 10 5 + − 11 = 0 Berdasarkan proses di atas, persamaan garis lurus yang melalui titik 2, 1 adalah − f; + g = > dan f + ; − = >.

Sedangkan sudut antara garis # dan " di ruang adalah sudut antara vektor-vektor arah ,0# , 1# , 2# . dan ,0" , 1" , 2" . yaitu: ,0# , 1# , 2# . . ,0" , 1" , 2" . cos k = |,0# , 1# , 2# .||0" , 1" , 2" | 0# 0" + 1# 1" + 2# 2" cos k = mO0# " + 1# " + 2# " PO0" " + 1" " + 2" " P Jadi, persamaan untuk menentukan sudut antara dua garis lurus di ruang adalah:

nop q =

9 9 [ : : [< <

mc9 [: [< dc9 [: [< d

…(25)

CATATAN (5) Jika kedua garis # dan " saling tegak lurus apabial dot product vektor arah mereka sama dengan nol sehingga diperoleh suatu persamaan: ,9 , : , < . . ,9 , : , < . = 9 9 + : : + < < = >

…(26)


12


Masalah 4.9 Tentukan sudut antara garis ℎ ≡ ,, , -. = ,1, 2, 0. + / ,2, −1, 2. dan garis ≡ ,, , -. = ,2, 6, 3..

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Sudut antara garis ℎ dan garis adalah 0# 0" + 1# 1" + 2# 2" cos k = mO0# " + 1# " + 2# " PO0" " + 1" " + 2" " P cos k =

cos k =

cos k =

2 .2 − 1 .6 + 2 .3

r2" + −1" + 2" 2" + 6" + 3" 4−6+6 r4 + 1 + 44 + 36 + 9 4

√9 . 49 4 cos k = 3 .7 4 cos k = 21 u Jadi, sudut antara garis ℎ dan garis adalah k = 0t2 cos . "#

D. Jarak Sebuah Titik Ke Sebuah Garis Lurus di Bidang dan di Ruang Sebelumnya kita sudah mempelajari kegiatan 3.3 yaitu persamaan

normal Hesse adalah cos v + sin v = x dengan x adalah jarak dari titik

pangkal ke garis dan v adalah sudut antara jarak tersebut dengan sumbu

positif serta titik y# , # yang berjarak z dari garis seperti yang terlihat pada Gambar 4.3 di bawah ini.


13


Gambar 4.3. Garis Lurus D sejajar dengan garis D Dari persamaan normal Hesse tersebut dapat ditentukan persamaan

normal garis # yang melalui titik y# , # dan sejajar dengan garis . Jelas

bahwa panjang normal dari normal dari garis # adalah x + z, maka persamaan normal garis # adalah nop { + ; p|W { − ^ + } = >. Karena titik y# , # pada garis # , maka koordinat-koordinat titik y

memenuhi persamaan garis #, sehingga diperoleh nop { + ; p|W { − ^ + } = >. Jadi, } = nop { + ; p|W { − ^..

Dengan cara yang sama dapat ditentukan pula jarak tersebut apabila titik-titik ~ dan y terletak sepihak terhadap garis , sehinga diperoleh } = − nop { + ; p|W { − ^. Karena z adalah jarak, maka nilainya harus positif, sehingga

harus diambil harga mutlaknya. } = | nop { + ; p|W { − ^|

…(27)

Jika persamaan garisnya merupakan persamaan untuk umum, maka untuk menentukan jarak suatu titik pada garis tersebut harus diubah ke persamaan normal. Karena persamaan normal garis + + & = 0 adalah & + + F=0 E √" + " √" + " √" + "

Maka jarak titik y# , # ke garis tersebut adalah ' + (; + ) }= √' + ( Bentuk persamaan normal garis = + x adalah − − x E F=0 √1 + " Maka jarak titik y# , # ke garis = + x adalah

…(28)


14


; Z Z ^

}=

r[

…(29)

Masalah 4.10

Tentukan jarak titik 2, 3 ke garis ≡ 3 − 4 − 3 = 0 Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.

Jarak titik 2, 3 ke garis ≡ 3 − 4 − 3 = 0 adalah z=

z=

z=

z=

z=

3# − 4# − 3

r3" + −4" 32 − 43 − 3 √9 + 16 6 − 12 − 3 √25 −9 5 9 5

Sedangkan jarak titik ke garis di ruang, kita misalkan titik y# , # , -#

dan garis tersebut berada di ruang. Kita dapat di menghitungnya dengan cara

sebagai berikut: 1. 2. 3.

Buat bidang melalui y yang tegak lurus garis .

Cari titik , titik ini adalah titik tembus garis pada bidang .

Setelah dapat titik maka hubungkan titik y ke sehingga terbentuklah sebuah garis lurus yaitu garis y. Garis y adalah suatu garis yang tegak

lurus garis dan melalui titik y sehingga panjang y adalah jarak titik y ke garis . Seperti yang terlihat pada Gambar 4.4 dibawah ini.

Gambar 4.4. Bidang rata tegak lurus terhadap garis D [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

15


4.

Untuk mencari panjang y kita menggunakan persamaan jarak antara dua titik yaitu || = r − + ; − ; + = − = .

Masalah 4.11 Tentukan jarak titik 4, −5, 3 ke garis lurus −5 +3 -+6 ≡ = = −4 5 3 Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk mencari jarak titik ke garis lurus kita ikuti langkah-langkah di atas: 1.

2.

Buat bidang melalui titik Q, −f, g yang tegak lurus garis D Persamaan bidang rata yang melalui titik y# , # , -# adalah ≡ ' − + (; − ; + )= − = = > ≡ − 4 + + 5 + & - − 3 = 0 Karena bidang ⊥ maka 0 = x sehingga di peroleh ,0, 1, 2. = ,, , &. ,3, −4, 5. = ,, , &. Berarti = 3, = −4 dan & = 5, subsitusikan nilai tersebut ke persamaan bidang yaitu ≡ 3 − 4 − 4 + 5 + 5- − 3 = 0 ≡ 3 − 12 − 4 − 20 + 5- − 15 = 0 ≡ 3 − 4 + 5- − 47 = 0 ………(1)

Cari titik ,, titik ini adalah titik tembus garis D pada bidang . Untuk menentukan titik tembus garis pada bidang , kita gunakan

persamaan parameter garis lurus yaitu = + C 9 D ≡ ; = ; + C :@ = = = + C < = 5 + 3/ ≡ = −3 − 4/ @ ………..(2) - = −6 + 5/ Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), untuk memperoleh niai /. ≡ 3 − 4 + 5- − 47 = 0 ≡ 35 + 3/ − 4−3 − 4/ + 5−6 + 5/ − 47 = 0 15 + 9/ + 12 + 16/ − 30 + 25/ − 47 = 0 −50 + 50/ = 0 /=1


16


Subsitukan nilai / = 1 ke persamaan (2), sehingga diperoleh = 5+ 3=8 ≡ = −3 − 4 = −7 @

3.

- = −6 + 5 = −1 Jadi, titik adalah 8, −7, −1. Jarak antara titik y4, −5, 3 ke titik 8, −7, −1 adalah |y| = r" − # " + " − # " + -" − -# "

|y| = r8 − 4" + −7 + 5" + −1 − 3" |y| = r4" + −2" + −4"

|y| = √16 + 4 + 16 |y| = √36 = 6 Jadi, jarak titik ke garis tersebut adalah 6 satuan panjang. E. Jarak Antara Dua Garis Lurus di Ruang

Untuk mencari jarak antara dua garis lurus # dan " di ruang ada

beberapa hal yang harus di perhatikan yaitu: 1.

Jika # dan " sejajar, maka kita dapat menghitung jaraknya dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini.

a. Pilihlah sebarang titik pada garis # berarti , ; , = ∈ D

b. Buat bidang rata yang melalui titik dan tegak lurus pada garis #, yang dengan sendirinya juga tegak lurus pada pada garis ". Seperti

yang terlihat pada Gambar 4.5 di bawah ini.

Gambar 4.5. Bidang rata tegak lurus terhadap dua garis yang sejajar c. Tentukan titik , titik adalah titik tembus garis " pada .

d. Setelah titikk di dapat maka carilah panjang dimana panjang

ini adalah jarak antara garis # dan garis ". Seperti yang terlihat pada

Gambar 4.6 di bawah ini.


17


Gambar 4.6. Bidang rata sejajar dengan garis lurus e. Mencari panjang dengan menggunakan persamaan jarak antara dua 2.

titik yaitu: || = r − + ; − ; + = − =

Jika # dan " bersilangan, maka kita dapat menghitung jaraknya dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini.

a. Buat bidang rata yang melalui garis # dan sejajar dengan garis ".

b. Pilih sebarang titik pada garis ".

c. Tentukan jarak titik ke bidang , jarak ke bidang ini adalah jarak antara garis # dan garis " .

d. Untuk menghitung jarak titik ke bidang , kita menggunakan persamaan jarak antara titik ke bidang rata yaitu ' + (; + )= + }= √' + ( + )

Masalah 4.12

Tentukan jarak antara garis lurus # dan " dibawah ini. −2 # ∶ = = -−2 2 3 −4 # ∶ = =-−8 2 3 Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Pertama-tama kita perhatikan apakah kedua garis tersebut sejajar atau bersilangan. Jika kedua garis tersebut sejajar maka kita menggunakan langkah yang pertama, dan jika tidak maka kita menggunakan langkah yang kedua. Perhatikan vektor arah kedua garis lurus tersebut, apakah sama atau tidak. Ternyata kedua garis tersebut memiliki vektor arah yang sama yaitu ,2, 3, 1., [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

18


berarti kedua garis tersebut sejajar. Karena # ∥ " maka kita menggunakan

langkah yang pertama yaitu: 1. 2.

Pilihlah sebarang titik pada garis D , berarti , ; , = ∈ D Titik 2, 0, 2 yang terletak pada garis # berarti 2, 0, 2 ∈ #.

Buat bidang rata yang melalui titik dan tegak lurus pada garis D yang juga akan tegak lurus dengan garis D . Persamaan bidang rata yang melalui titik 2, 0, 2 adalah ≡ − # + − # + &- − -# = 0 ≡ − 2 + − 0 + & - − 2 = 0 ≡ − 2 + + & - − 2 = 0 Karena bidang ⊥ # maka 0 = x sehingga di peroleh ,0, 1, 2. = ,, , &. ,2, 3, 1. = ,, , &. Berarti = 2, = 3 dan & = 2, subsitusikan nilai tersebut ke persamaan bidang yaitu

3.

≡ 2 − 2 + 3 + - − 2 = 0 ≡ 2 − 4 + 3 + - − 2 = 0 ≡ 2 + 3 + - − 6 = 0 …..(1)

Tentukan titik ,, titik adalah titik tembus garis D pada .

Untuk menentukan titik tembus garis " pada bidang rata adalah dengan

menggunakan persamaan parameter garis lurus yaitu = + C 9 D ≡ ; = ; + C :@ = = = + C < = 2/ ≡ = 4 + 3/@ …….(2) - = 8+/ Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai /

yaitu

4.

≡ 2 + 3 + - − 6 = 0 ≡ 22/ + 34 + 3/ + 8 + / − 6 = 0 ≡ 4/ + 12 + 9/ + 8 + / − 6 = 0 14/ + 14 = 0 / = −1 Subsitusikan nilai / = −1 ke persamaan (2) sehingga diperoleh = −2 ≡ = 4 + 3−1 = 1@ - = 8 + −1 = 7 Jadi titik adalah −2, 1, 7. Jarak antara titik , >, ke titik − , , adalah


19


|| = r" − # " + " − # " + -" − -# " || = r−2 − 2" + 1 − 0" + 7 − 2"

|| = r−4" + 1" + 5"

|| = √16 + 1 + 25 || = √42 Jadi, jarak antara garis # ke garis " adalah √42 satuan panjang.

Rangkuman 1.

Kedudukan dua garis lurus di Bidang, • • • •

2.

• •

4.

Jika garis # tegak lurus dengan garis " maka .

= −

Garis # berimpit dengan garis " jika dan hanya jika =

dan ^ = ^ .

Garis # berpotongan dengan garis " jika ≠

dan ^ ≠ ^ .

Kedudukan dua garis lurus di Ruang, •

3.

Jika garis # sejajar dengan garis " maka =

D = N 9 D Jika garis # sejajar dengan garis " maka 9

D = N 9 D dan Garis # berimpit dengan garis " jika dan hanya jika 9 , − , ; − ; , = − = . = N 9 D

D ≠ N 9 D . Garis # berpotongan dengan garis " jika dan hanya jika 9

Persamaan garis lurus yang perpotongan dengan dua buah garis lurus di

bidang adalah D + C D = > sedangkan persamaan garis lurus yang berpotongan dengan garis lain adalah L + C L = > dan M + N M = >..

Sudut antara dua buah garis lurus di bidang adalah

− ]9^ X = +

sedangkan sudut antara dua buah garis lurus di ruang adalah nop q = 5.

9 9 + : : + < <

m9 + : + < m9 + : + <

Jarak sebuah titik y# , # ke garis + + & = 0 adalah ' + (; + ) }= √' + (


20

KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK

Recommend Documents