PERTEMUAN KE 3 UJI HIPOTESIS BEDA DUA RATA-RATA Uji beda dua rata-rata sampel berpasangan (Paired test) • Dibutuhkan untuk mencek perbedaan yang bermakna antara dua nilai rata-rata ketika sampel-sampel tersebut tidak independen : • Seperti - sebelum dan sesudah perlakuan - beda perlakuan - dengan atau tanpa perlakuan
PROSEDUR PENGUJIAN HIPOTESIS Analisis 1. Rumusan Hipotesis H0: d = 0 d≤0 d≥0 HA: d ≠ 0 d>0 d<0 2. Nilai Kritis: tentukan menggunakan tabel 3. Nilai Hitung: hitung dengan rumus 4. Keputusan: H0 ditolak jika nilai hitung absolut lebih besar daripada nilai tabel absolut. Sebaliknya .. 5. Kesimpulan
RUMUS MENENTUKAN NILAI HITUNG d t sd
sd
sd n
n d ( d) sd n(n 1) 2
2
Contoh 1 •
Dilakukan uji klinis untuk mengetahui efektivitas obat tidur yang baru pada 10 orang penderita insomnia. Setiap penderita diterapi dengan plasebo selama seminggu dilanjutkan seminggu dengan obat baru. Setiap akhir terapi dievaluasi dengan skor rasa kantuk dengan nilai 0-30. No urut
_ d = -1,3
Skor Rasa Kantuk Plasebo (x1) Obat (x2)
Selisih (d=x2-x1)
_ [d-d]
_ [d-d]2
1
22
19
-3
-1,7
2,89
2
18
11
-7
-5,7
32,49
3
17
14
-3
-1,7
2,89
4
19
17
-2
-0,7
0,49
5
22
23
1
2,3
5,29
6
12
11
-1
0,3
0,09
7
14
15
1
2,3
5,29
8
11
19
8
9,3
86,49
9
19
11
-8
-6,7
44,89
10
7
8
1
2,3
5,29
-13
186,1
Jawab
1. H0 : [d1-d2] = 0
Ha : [d1-d2] ≠ 0
2. Derajat kemaknaan = 5% uji 2 arah titik kritis t(9;0,025) = 2,262 3. Uji statistik : t karena sampel kecil
4. Daerah penolakan H0 berada pada t<-2,262 atau t>2,262. 5. Statistik hitung : _ • ∑d=-13 d = -1,3 _ • ∑[d-d]2 = 186,1 s2 = 186,1/9 = 20,68 s = √20,68 = 4,5
d - d0 t= s/√n
-1,3 - 0 = 4,5/√10
-1.3 = 1,438
=
- 0,9
6. Kesimpulan : Statistik hitung t = -0,9 > -2,262 (berada di daerah penerimaan H0). H0 diterima tidak ada perbedaan bermakna keampuhan obat dan plasebo pada derajat kemaknaan 5% (p>0,05).
Contoh 2 • Dosen Akuntansi UMBY menguji coba metoda pengajaran baru pada mahasiswanya dalam upaya meningkatkan kompetensi mahasiswa. • Nilai ujian per mahasiswa sebelum dan sesudah perubahan metoda terlihat pada tabel. • Apakah metoda pengajaran baru menunjukkan peningkatan yang bermakna pada nilai ujian mahasiswa?
Nilai Mahasiswa Shubungan dengan Perubahan Metoda Ajar Nilai Mahasiswa Nomor Sebelum Setelah Selisih Mahasisw Perubahan Perubahan d = x2 - x1 a (i) (x1 ) (x2 ) (d = deviasi) 1
80
90
10
2
75
80
5
3 4
75 80
76 75
1 -5
5
76
80
4
6
98
100
2
7
75
70
-5
8 9 10 Total
85 70 82
95 90 90
10 20 8 50
Jawab 1. Uji hipotesis satu sisi: H0: d = 0 (2- 1 = 0) Ha: d 0 2. Derajat kemaknaan = 5% uji 1 arah titik kritis t(9;0,05) = 1,83
3. Uji statistik : t karena sampel kecil 4. Daerah penolakan H0 berada pada t>1,83
Jawab 5. Statistik hitung : _ • ∑d=50 d = 50/10 = 5 _ • ∑[d-d]2 = 510 s2 = 510/9 = 56,7 s = √56,7 = 7,53
d - d0 t= s/√n
5-0 = 7,53/√10
5 = 2,35
=
2,13
6. Kesimpulan : Statistik hitung t = 2,13 > 1,83 H0 ditolak artinya perubahan nilai ujian per mahasiswa secara bermakna lebih besar dari nol pada derajat kemaknaan 5% (p<0,05).
Uji Hipotesis Perbedaan Nilai Mahasiswa Sebelum dan Sesudah Metoda Pengajaran Baru
Uji Beda Dua Rata-Rata Sampel Independen • Dibutuhkan untuk mengetahui apakah ada perbedaan rata-rata (mean) antara dua populasi, dengan melihat rata-rata dua sampelnya. • Tidak ada hubungan antara dua sampel yang akan diuji. • Pada uji sampel berpasangan, satu kasus diobservasi lebih dari sekali, dalam uji independent sample ini , satu kasus hanya didata sekali saja.
PROSEDUR PENGUJIAN HIPOTESIS BEDA DUA RATA-RATA Analisis 1. Rumusan Hipotesis H0: HA:
µ1= µ2 µ1≠ µ2
µ1 ≤ µ2 µ1> µ2
µ1 ≥ µ2 µ1< µ2
2. Nilai kritis: (cari di tabel t atau Z) 3. Nilai Hitung: (cara manual atau komputer) 4. Keputusan: H0 ditolak jika nilai hitung absolut lebih besar daripada nilai tabel absolut. Sebaliknya .. 5. Kesimpulan
RUMUS MENENTUKAN NILAI HITUNG: SAMPEL KECIL
X1 X 2 t s x1 x 2
s x1 x 2
2 (n1 1).s1
(n 2 1).s 2 1 1 . n1 n 2 2 n1 n 2 2
RUMUS MENENTUKAN NILAI HITUNG: SAMPEL BESAR
X1 X 2 Z s x1 x 2
s x1 x 2
2 s1
2
s2 n1 n 2
Contoh 3 •
Berikut adalah data nilai prestasi kerja karyawan yang mendapat training dengan yang tidak mendapat training.
Dengan training Tanpa training Rata2 nilai prestasi
_ X1 = 300
_ X2 = 302
Varians
S12 = 4
S22 = 4,5
Ukuran sampel
n1 = 40
n2 = 30
Dengan taraf nyata 5 % ujilah : a. Apakah perbedaan rata2 nilai prestasi kerja [μ1-μ2] >0? b. Apakah ada perbedaan rata2 prestasi kerja [μ1-μ2]≠ 0?
Jawab a) 1. H0 : [μ1-μ2] = 0
Ha : [μ1-μ2] > 0
2. Derajat kemaknaan = 5% titik kritis Zα = 1,645 3. Uji statistik : Z karena sampel besar 4. Statistik hitung :
[ x1 -x2 ] - d0 √ (s12/n1) + (s22/n2)
[ 300 - 302 ] - 0 = √ (4/40) + (4,5/30)
2 4 = = 0,5
5. Kesimpulan : Statistik hitung z = 4 > 1,645 (berada di daerah penolakan H0). H0 ditolak beda rata-rata prestasi kerja > 0. ada perbedaan prestasi kerja antara pegawai yang diberi training dengan yang tidak
Jawab b) 1. H0 : [μ1-μ2] = 0
Ha : [μ1-μ2] ≠ 0
2. Derajat kemaknaan = 5% uji 2 arah titik kritis zα/2 = z2,5% = 1,96 3. Uji statistik : Z karena sampel besar 4. Statistik hitung :
( x2 -x1 ) - d0 z=
√ (s12/n1) + (s22/n2)
[ 302 - 300 ] - 0 = √ (4/40) + (4,5/30)
2 4 = = 0,5
5. Kesimpulan : Statistik hitung z = 4 > 1,96 (berada di daerah penolakan H0). H0 ditolak beda rata-rata prestasi kerja ≠ 0. ada perbedaan prestasi kerja antara pegawai yang diberi training dengan yang tidak
Contoh 4 • Berikut adalah data nilai UTS Statistika Mahasiswa UMBY kelas Reguler pagi dan Reguler Sore. Reguler pagi
Reguler sore
Rata2 kelas
_ X1 = 78,9
_ X2 = 79,0
Varians
S12 = 129,5
S22 = 197
Ukuran sampel
n1 = 48
n2 = 48
Dengan taraf nyata 5 % ujilah : a. Apakah ada perbedaan rata2 nilai UTS kedua kelas / [μ1-μ2]≠ 0? b. Apakah beda rata2 nilai UTS kedua kelas tersebut >0 / [μ1-μ2] >0?
Jawab a) 1. H0 : [μ1-μ2] = 0
Ha : [μ1-μ2] ≠ 0
2. Derajat kemaknaan = 5% uji 2 arah titik kritis zα/2 = z2,5% = 1,96 3. Uji statistik : Z karena sampel besar 4. Statistik hitung :
[ x1 -x2 ] - d0 √ (s12/n1) + (s22/n2)
[ 78,9 - 79 ] - 0 = √ (129,5/48) + (197/48)
0.1 0.04 = = 2,6
5. Kesimpulan : Statistik hitung z = 0,04 < 1,96 (berada di daerah penerimaan H0). H0 diterima tidak ada perbedaan rata-rata nilai UTS kedua kelas
Jawab b) 1. H0 : [μ1-μ2] = 0
Ha : [μ1-μ2] >0
2. Derajat kemaknaan = 5% uji 1arah titik kritis zα = z5% = 1,645 3. Uji statistik : Z karena sampel besar 4. Statistik hitung :
[ x1 -x2 ] - d0
[ 78,9 - 79 ] - 0 = z= 2 2 √ (129,5/48) + (197/48) √ (s1 /n1) + (s2 /n2)
0.1 0.04 = = 2,6
5. Kesimpulan : Statistik hitung z = 0,04 < 1,645 (berada di daerah penerimaan H0). H0 diterima beda rata-rata nilai UTS kedua kelas tidak >0.
Contoh 5: Sebuah penelitian bertujuan melihat apakah ratarata kadar nikotin rokok jarum lebih tinggi dibandingkan rokok wismilak. Di ambil sampel secara random, 10 batang rokok jarum dan 8 batang wismilak. Dilaporkan rata-rata kadar nikotin rokok jarum 23,1 mg dengan standar deviasi 1,5 mg sedangkan rokok wismilak 20,0 mg dengan standar deviasi 1,7 mg. Ujilah pernyataan tsb, dengan alpha 5%.
Jawab • Diketahui : n1 = 10 x1 = 23,1 s1 = 1,5
n2 = 8 x2 = 20,0 s2 = 1,7
1. H0 μ1 = μ2
Ha μ1 > μ2 2. Uji statistik t-test dengan α=0,05 3. Daerah penolakan : Ho ditolak bila t hitung > t (16;0,05) >1,746
Jawab 4. Perhitungan [ x1 -x2 ] t=
√ (s1 /n1) + (s2 /n2) 2
2
=
[ 23,1 - 20 ] - 0 √ (1,52/10) + (1,72/8)
=
5,287
5. Kesimpulan : H0 ditolak, karena t hitung (5,287) > t tabel (1,746) Rata-rata kadar nikotin rokok jarum lebih tinggi daripada rokok wismilak
Soal 1. Hipotesis Beda Dua Rata-rata: Observasi Berpasangan Waktu yang dibutuhkan karyawan untuk menyelesaikan satu unit barang sebelum dan sesudah mengikuti pelatihan adalah sebagai berikut (dalam jam): Karyawan
1
2
3
4
5
6
Sebelum
6
8
7
10
9
7
Sesudah
5
6
7
8
7
5
Lakukan pengujian terhadap dugaan bahwa waktu yang diperlukan karyawan untuk menyelesaikan satu barang tidak berbeda antara sebelum dan sesudah mengikuti pelatihan dengan tingkat signifikansi 5%.
Soal 2. Uji Hipotesis Beda Dua Ratarata Populasi: Sampel Independen Empat puluh karyawan di PT. A dan 36 karyawan di PT. B dipilih secara random sebagai sampel untuk menguji dugaan bahwa upah rata-rata per hari di PT. A lebih tinggi daripada upah rata-rata per hari di PT. B. Berdasarkan sampel tersebut diperoleh informasi bahwa besarnya upah rata-rata per hari di PT. A adalah $80,0 dengan standar deviasi $1,6 dan di PT. B adalah $78,2 dengan standar deviasi $2,1. Dengan = 5%, apakah sampel mendukung dugaan bahwa upah ratarata per hari di PT. A lebih tinggi daripada upah ratarata per hari di PT. B.
Aturan e-learning • Kerjakan soal 1 dan 2 pada slide sebelumnya • Jawaban dikirim lewat email ke alamat:
[email protected] • Jawaban diberi nama file sbb: nama saudara – uji beda dua rata-rata. • Jawaban paling lambat diterima hari Selasa tanggal 14 Oktober 2014 jam 10.00WIB • Keterlambatan pengiriman ada pengurangan nilai
