Bola dan bidang Rata

Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom

KEGIATAN BELAJAR 9

Bola dan Bidang Rata Setelah mempelajari kegiatan belajar 9 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan bidang singgung bola dan titik kuasa bola. Pernahkah Anda memperhatikan pertandingan sepak bola seperti yang terlihat pada Gambar 9.1 di bawah ini? Bola di sepak pada suatu daerah/bidang datar yaitu lapangan bola yang berumput.

Gambar 9.1 9.1 Bola dan bidang Rata Pada kegiatan belajar 9 ini kita akan membahas kedudukan suatu bola pada bidang rata. Untuk lebih memahami kedudukan bola dan bidang rata, selesaikanlah masalah di bawah ini.

[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

1


A. Kedudukan Bola dan Bidang Rata Masalah 9.1 9.1

Jika Bola ≡ 0 berjari-jari , pusat , , .

Bidang rata ≡ 0, dengan adalah jarak antara pusat bola

, , ke bidang rata ≡ 0, maka ada 3 kemungkinan

kedudukan antara bola 0 dengan bidang 0. Bagaimana hubungan bola

dengan bidang rata? Untuk menentukan hubungan antara bola dan bidang rata lakukan kegiatan 9.1 di bawah ini. Kegiatan 9.1. 9.1. Hubungan antara bola dan bidang rata Langkah-langkahnya: 1.

Lukislah suatu lingkaran dengan , berarti bola 0 berpotongan

dengan bidang rata 0, seperti yang terlihat pada Gambar 3.1 di bawah

ini.

Gambar Gambar 9.1 9.1 Bola berpotongan dengan Bidang Rata Perpotongan Bola 0 dengan bidang rata 0 akan membentuk sebuah

lingkaran dengan persamaan lingkaran adalah: 0 ≡ 0 Bagaimanakah cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut? Untuk menentukan pusat dan jari-jari lingkaran berpotongan tersebut lakukanlah langkah-langkah di bawah ini.

a. b.

Perhatikan ∆ siku-siku di . adalah titik pusat lingkaran.

Untuk menentukan jari-jari lingkaran kita dapat menggunakan dalil phytagoras yaitu sehingga diperoleh:


2


Jadi, jari-jari lingkaran yang disimbolkan dengan ! adalah: c.

" √$% &% …(25) Untuk menyatakan persamaan lingkaran di dalam ruang, kita dapat

mengambil sebuah bola 0 dan sebuah bidang rata 0 yang saling

berpotongan menurut lingkaran tersebut. Jadi, persamaan lingkaran

d.

dinyatakan dengan dua persamaan yaitu: ( ) '≡ …(26) *) Selain berpotongan bola dan bidang rata, suatu lingkaran dapat pula dinyatakan sebagai berikut:

(1) Perpotongan antara bola + 0 dengan bola 0

(2) Perpotongan silinder (tabung) atau kerucut lingkaran tegak lurus dengan bidang paralelnya(=bidang yang tegak lurus poros) seperti yang terlihat pada Gambar 9.2 (a) dan (b) di bawah ini.

Gambar 9.2 9.2 (a) Bidang Rata dan Tabung

Gambar 9.2 9.2 (b) Bidang Rata dan Kerucut [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

3


e.

Dari persamaan (26) di atas, kita dapat menentukan titik pusat lingkaran tersebut yaitu dengan cara:

(1) Pusat lingkaran adalah titik tembus antara garis dengan bidang rata 0. Garis tegak lurus dengan bidang rata 0, berarti

vektor arah garis sama dengan vektor normal bidang rata atau dapat di tulis menjadi ,, , - ,, , -. + / Persamaan garis . + / …… (1) + / (2) Subsitusikan persamaan (1) ke persamaan bola sehingga diperoleh nilai /.

(3) Setelah nilai / di dapatkan maka subsitukan nilai / tersebut ke persamaan (1) sehingga diperoleh titik pusat lingkaran.

2.

$ & berarti bola 0 menyinggung bidang rata 0, seperti yang terlihat pada Gambar 9.3 di bawah ini.

Gambar 9.3 9.3 Bola menyinggung bidang rata Jika bidang rata 0 menyinggung bola 0 maka bidang rata 0 disebut juga dengan bidang singgungnya.

Bagaimana menentukan bidang singgung tersebut? Untuk menentukan bidang singgung tersebut lakukanlah langkah-langkah di bawah ini dan diskusikanlah dengan teman Anda. a.

Misalkan ≡ 0 +

+

+

dengan pusat bola

, , dan + , + , + adalah titik singgung bola 0 dan

bidang rata 0.


4


b.

00000001 tegak lurus terhadap bidang rata 0, berarti vektor arah garis Vektor 00000001 sama dengan vektor normal bidang rata yaitu: ,, , - ,, , - sehingga diperoleh:

+ + + 000001 2 3+ , + , + 4

…..(1)

Bidang rata melalui titik + , + , + maka persamaan bidang rata

c.

adalah: ≡ + + + 0

…..(2)

Subsitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) sehingga diperoleh persamaan bidang singgung bola 0 di titik + , + , + adalah: 5;56

* ≡ 56 5 76 7 86 8 9 :

%

< =:

7;76 %

< >:

8;86 %

< ? )

…(27)

Berdasarkan proses di atas, dapat di simpulkan bahwa:

1) Jika ≡ 0, maka persamaan bidang singgung di titik + , + , + adalah: 5 56 7 76 8 86 * ≡ 56 5 76 7 86 8 9 @ A =@ A >@ A ? ) % % % 2) Jika ≡ , maka persamaan bidang

singgung di titik + , + , + adalah: * ≡ 56 B5 B 76 C7 C 86 D8 D $% ) 3) Jika ≡ , maka persamaan bidang singgung di titik + , + , + adalah:

* ≡ 56 5 76 7 86 8 $% ) Persamaan bidang singgung di atas mengikuti kaidah “Membagi Adil” yaitu pergantian: menjadi + , menjadi + , menjadi + +

+

+

menjadi + , menjadi + , menjadi + +

menjadi + + . 3.

$ < berarti bola 0 tidak memotong dan tidak menyinggung bidang

rata 0 seperti yang terlihat pada Gambar 9.4 di bawah ini.


5


Gambar 9.4 9.4 bola tidak memotong maupun menyinggung bidang rata Kuasa Titik Misalkan bola , , ≡ 0 dan misalkan

titik F+ , + , + . Definisi 1:

Kuasa titik F + , + , + , terhadap bola , , di defenisikan sebagai: G + , + , + ≡ + + + + + + 0 ada 3 kemungkinan nilai G yaitu: • Titik F di luar bola jika dan hanya jika G 0 • •

Titik F pada bola jika dan hanya jika G 0

Titik F di dalam bola jika dan hanya jika G < 0

Anti Geometri dari Kuasa Titik 9.2 Masalah 9 .2 Misalkan bola , , ≡ 0 dan titik F + , + , + adalah titik sebarang. Bagaimana cara menentukan persamaan garis singgung bola jika titiknya di luar bola. Untuk menentukan persamaan garis lurus tersebut lakukanlah kegiatan di bawah ini dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1.

Perhatikan Gambar 9.5 di bawah ini.


6


Gambar 9.4 9.4 Titik di Luar Bola 2.

Tarik garis H melalui F+ , + , + . Misalkan cosinus arah garis H adalah: ,cos L, cos M, cos N- sehingga persamaan parameter garis H adalah: + / cos L

H ≡ . + / cos M ………… (1) + / cos N Garis H ada yang menembus bola, ada yang menyinggung bola, dan ada

yang tidak menyinggung atau tidak menembus bola. 3.

Andaikan garis H tersebut menembus bola pada titik O dan P untuk mencari titik tembus, subsitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan bola 0 sehingga di peroleh: 6

6

6

%

Q% %Q :56 % 9< RST U :76 % =< RST V :86 % >< RST WX 56 %

……. (2) 76 % 86 % 956 =76 >86 ? ) Persamaan di atas adalah persamaan kuadrat dalam /,

ada beberapa

ketentuan persamaan kuadrat tersebut yaitu:

(1) Jika 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 buah akar /+ dan / yang berbeda.

(2) Jika 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 buah akar /+ dan / yang konstan (sama).

(3) Jika < 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 buah akar /+ 4.

dan / yang imaginer.

Andaikan persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar / yang berbeda yaitu /+ dan / . Berarti garis H menembus bola pada dua titik. Misalkan titik itu adalah titik O dan P dengan:

O+ /+ cos L , + /+ cos M, + /+ cos N dan [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

7


P+ / cos L , + / cos M , + + cos N FO

+ + /+ cos L + + /+ cos M + + /+ cos N

Y/+ Z[ L /+ Z[ M /+ Z[ N

Y/+ Z[ L Z[ M Z[ N Y/+ . 1

|/+ | ……………. Akar dari persamaan kuadrat (1)

FP

+ + / cos L + + / cos M + + / cos N

Y/ Z[ L / Z[ M / Z[ N Y/ Z[ L Z[ M Z[ N

Y / . 1

|/ | ……………. Akar dari persamaan kuadrat (1) D _`. _a |Q6 ||Q% | B % % b56 76 86 % 956 =76 >86 ?b 6 b56 % 76 % 86 % 956 =76 >86 ?b Jadi,, _`. _a |(56 , 76 , 86 |

cb56 % 76 % 86 % 956 =76 >86 ?bc

harga mutlak kuasa titik F+ , + , + terhadap Bola

…(28)

Atau :

Bila dari titik tertentu F ditarik garis sebarang yang memotong bola di O dan P maka harga FO . FP adalah konstan. Kalau F di luar bola maka harganya = kuasa F, dan kalau F di dalam bola maka harga negatifnya = kuasa F.

Bidang Kutub 9.3 Masalah 9 .3

Misalkan persamaan Bola , , ≡ 0 dan

sebarang titik F+ , + , + . Bagaimanakah persamaan bidang kutubnya?

Untuk menentukan persamaan bidang kutub, lakukanlah kegiatan di bawah ini. Kegiatan 9.4. Persamaan Bidang Kutub [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

8


Langkah-langkahnya adalah: 1.

Perhatikan Gambar 9.5 (a) di bawah ini.

2.

Gambar 9.5 9.5 (a) Bola dan garis Tarik garis H melalui titik F+ , + , +) sehingga menembus bola di O dan P.

3.

Misalkan titik !d , d , d pada garis H sehingga titik O dan P sekawan

haromonis dengan titik F dan !. Artinya jika FO ∶ !O / ∶ 1 maka

FP ∶ !P / ∶ 1. Seperti yang terlihat pada Gambar 9.5(b) di bawah ini.

4.

5.

Gambar 9.5(b) 9.5(b) Bola dan garis Jika garis H digunakan, maka tempat kedudukan titik ! merupakan suatu

bidang rata, yang disebut dengan bidang kutub (bidang polar) bola 0, dengan titik kutubnya adalah titik F.

Misalkan persamaan Bola ≡ 0, dengan titik kutubnya F+ , + , + maka koordinat titik O adalah /d + / d + / d + O@ , , A … … . 1 / 1 / 1 / 1


9


Agar O ∈ maka ≡ 0 6.

………..(2)

Subsitusikan persamaan (1) ke (2) sehingga diperoleh persamaan bidang kutub adalah Q6 Q% )

Rangkuman 1.

2.

3.

4.

Persamaan bidang singgung bola yang melalui titik h+ , + , + adalah

+ + + Persamaan bidang singgung bola 0 yang melalui titik h+ , + , + adalah 1 1 1 + + + + + + 0 2 2 2 Kuasa suatu titik h+ , + , + terhadap persamaan bola 0 adalah

+ + + + + + 0 Jika titik h+ , + , + terletak pada, di dalam atau di luar bola, maka kuasa titik terhadap bola berturut-turut mempunyai nilai nol, negatif atau positif.


10

Bola dan bidang Rata

Recommend Documents