DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA DAN PROPORSI 1. Pengertian Populasi ialah kumpulan dari semua kemungkinan orang-orang, benda-benda, dan ukuran lain yang menjadi objek perhatian atau kumpulan seluruh objek yang menjadi perhatian. Populasi Terbatas unsurnya terbatas berukuran N contoh: populasi bank, populasi perusahaan reksa dana, dsb Populasi Tidak terbatas yaitu suatu populasi yang mengalami proses secara terus-menerus sehingga ukuran N menjadi tidak terbatas perubahan nilainya
Sampel merupakan suatu bagian dari populasi tertentu yang menjadi perhatian. Sampel Probabilitas merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi sehingga masing-masing anggota populasi memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan sampel. Sampel Nonprobabilitas merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi sehingga setiap anggota tidak memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan sampel
2. Metode Sampling Sebelum melakukan penelitian, diperlukan sampilng agar penelitian dapat berjalan dengan lancar dan cepat. Untuk mendapatkan sampel yang diambil dari populasi banyak sekali peluang terjadinya kombinasi-kombinasi sampel yang akan diteliti. Maka para peneliti perlu tahu berapa banyak sampel yang mungkin diambil dari populasi tersebut. Prosedur sampling
berfokus
pada
pengumpulan sebagian kecil
anggota
(sampel) dari populasi yang lebih besar. Dimana sampel tersebut kemudian digunakan untuk memperkirakan karakteristik dari seluruh populasi. Teknik Sampling Dengan Pengembalian adalah metode sampling dimana setiap anggota dari suatu populasi dapat dipilih lebih dari satu kali. Sampling
Tanpa
Pengembalian adalah metode sampling dimana setiap anggota dari suatu populasi tidak dapat dipilih lebih dari satu kali.
1
3. Distribusi Sampling
Distribusi sampel dari rata-rata hitung sampel adalah suatu distribusi probabilitas yang terdiri dari seluruh kemungkinan rata-rata hitung sampel dari suatu ukuran sampel tertentu yang dipilih dari populasi, dan probabilitas terjadinya dihubungkan dengan setiap rata-rata hitung sampel. (Suharyadi) Sedangkan menurut Sudjana, Distribusi Sampling merupakan kumpulan nilainilai statistika yang sejenis lalu disusun dalam suatu daftar sehingga terdapat hubungan antara nilai statistik dan frekuensi statistika. (Sudjana, 2001 :87) Distribusi Sampling terdiri dari: Distribusi Sampling Rata-rata Distribusi Sampling Proporsi Distribusi Sampling Selisih Rata-rata Distribusi Sampling Selisih Proporsi
DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA Sudjana (2001 : 87) mendefenisikan Distribusi sampling rata-rata adalah kumpulan dari bilangan-bilangan yang masing-masing merupakan rata-rata
hitung
dari samplenya.
Notasi Dalam Distribusi Sampling Rata-rata: n
: ukuran sampel
N
: ukuran populasi
x
: rata-rata sampel
µ
: rata-rata populasi
s
: standar deviasi sampling
: standar deviasi populasi
x
: rata-rata pada distribusi sampling rata-rata
x
: standar deviasi pada distribusi sampling rata-rata
2
Rumus Distribusi Sampling Rata-rata:
Populasi tidak terbatas ≤ 5% x =µ
Rata-rata Standar Deviasi
x
Nilai Baku
z=
√
x
x x
Ket: √
Populasi terbatas > 5% x =µ
x
z=
√
.√
x
x x
disebut dengan faktor koreksi
Contoh Soal ABC Company memproduksi ‘Remote Control’ dengan menggunakan dua baterai. Rata-rata umur baterai yang digunakan di produk ini adalah 35 jam. Distribusi umur baterai mendekati distribusi probabilitas normal dengan standar deviasi 5,5 jam. Sebagai bagian dari program pengujian, diambil sampel sebanyak 25 baterai. Hitunglah probabilitas umur baterai lebih dari 36 jam? Penyelesaian Dik:
x = µ = 35 = 5,5 n = 25
Dit:
Jawab:
P( x >36)?
x =√ =
√
x
= 1,1
x =
a. z =
= 0,91
x
3
b.
0
z
Lihat tabel z: luas sebelah kanan 0 =
0,5000
luas antara 0 - z
0,3186 -
=
luas sebelah kanan z =
0,1814
Kesimpulan : Jadi, dari 25 baterai yang dipilih, probabilita umur baterai lebih dari 36 jam adalah sebesar 0,1814 atau 18,14%.
DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI
Menurut Sudjana (2001 : 95), distribusi sampling proporsi adalah kumpulan atau distribusi semua perbandingan samplenya untuk suatu peristiwa. Notasi Dalam Distribusi Sampling Proporsi: ` : rata-rata pada distribusi sampling proporsi : standar deviasi pada distribusi sampling proporsi
Rumus Distribusi Sampling Proporsi
Populasi tidak terbatas ( ≤ 5%)
(
=π
Rata-rata Standar Deviasi
Populasi terbatas
=√
5%) =π
=√
.√
Nilai Baku z=
z=
Jika nilai π dari populasi tidak diketahui, dalam hal ini π dianggap sama dengan 0,5 yaitu nilai π(1-π) yang maksimum. 4
CONTOH SOAL Sebuah Bakery Store “BT” menemukan bahwa pembelian dilakukan oleh 20% dari pelanggan yang memasuki tokonya. Suatu pagi terdapat sampel acak sebanyak 180 orang memasuki toko. Berapa probabilita pelanggan yang membeli kurang dari 15%? Penyelesaian: Dik:
n = 180 π(membeli)= 20% = 0,20
Dit:
a. P ( < 15%)?
Jwb:
= π = 0,20 =√ a. z =
=√
= 0,029814239
=
= -1,68
z
0
lihat tabel z: luas sebelah kiri 0
=
0,5000
luas antara
=
0,4535-
=
0,0465
z-0
luas sebelah kiri z
Kesimpulan: Jadi, probabilita bahwa diantara 180 orang yang masuk ke toko, pelanggan yang membeli kurang dari 15% adalah sebesar 0,0465 atau 4,65%
5
SOAL DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA DAN PROPORSI 1. 250 peserta dijadikan sebagai sampel dalam lomba karya tulis ilmiah. Ternyata terdapat beberapa karya tulis ilmiah yang merupakan tindakan plagiarism yang dilakukan oleh para peserta di lomba tersebut. Jika pada kenyataannya, 30% dari hasil karya tulis tersebut merupakan hasil plagiarism, berapakah probabilita bahwa akan terdapat antara 25% dan 35% dari karya tulis tersebut benar-benar hasil plagiarism? Penyelesaian Diketahui :
n = 250 π(plagiarism)= 30% = 0,30
Ditanyakan : P ( 25% < Jawaban
:
< 35%)?
= π = 0,30 =√
=√
= 0,028982753
=
=
= -1,73
=
=
= 1,73
Lihat tabel z: luas antara
-0
= 0,4582
luas antara 0-
= 0,4582 +
luas antara
= 0,9164
0
Kesimpulan : Jadi, probabilita bahwa akan terdapat antara 25% dan 35% dari hasil karya tulis tersebut benar-benar plagiarism adalah sebesar 0,9164 atau 91,64%
2. Sebuah perusahaan telekomunikasi memiliki 100 anak perusahaan. Berdasarkan hasil observasi terhadap anak perusahaan ternyata mempunyai rata-rata pendapatan sebesar Rp. 150.000.000 per bulan dengan varians Rp. 400.000.000.000.000. Jika diambil sampel random sebanyak 9 anak perusahaan. Berapa probabilita pendapatan per bulan anak perusahaan maksimal Rp168.000.000?
6
Penyelesaian Dik:
x = µ = 150.000.000
=√
= 20.000.000
n=9
Dit:
P( x 168.000.000)? ≤
Jawab:
x =√ =
= 6666666.66666667
√
x
x =
a. z =
= 2,7
x b.
0
z
Lihat tabel z: luas sebelah kanan 0 =
0,5000
luas antara 0 - z
0,4965 +
=
luas sebelah kanan z =
0,9965
Kesimpulan : Jadi, probabilita pendapatan per bulan anak perusahaan
maksimal
Rp168.000.000 ialah sebesar 0,9965 atau 99,65%
3. The mean age at which women in the United Kingdom marry for the first time is 24,8 years. For a random sample of 60 women, answer the following question. a. Assume that the population is 460 women and the standard deviation of the sample is 2,8 years, what is the probability that the age which they were married for the first time is less than 25,1 years ? b. If the probability that the age which they were married for the first time is less than 25,1 years is 82,38%, what is the standard deviation of the sample ?
7
Solution A. Given
:
Determine
: P( x < 25,1) ?
Answer
:
x
x = µ = 24,8
x
√
.√
x
z=
n = 60
=
√
.√
N = 460
s = 2,8
= 0,387220866
= 0,774751637 / 0,77
x
lihat tabel z:
0
luas sebelah kiri 0=
0,5000
luas antara 0 – z =
0,2794 +
luas sebelah kiri z=
0,7794
z
Jadi probabilita bahwa wanita di UK menikah pertama kali pada umur kurang dari 25,1 tahun dengan standar deviasi 2,8 dan populasi 460 wanita adalah sebesar 77,94%
B. Given
:
x = µ = 23,5
Determine
:S=?
Answer
n = 50
P( x > 25) = 1,7%
:
lihat tabel z: luas sebelah kanan 0= 0,5000 luas antara 0 – z 0 x
x
z=
Z
= 0,3238 +
luas sebelah kanan z= 0,8238
= 0,9295160031 / 0,93
x x
√
=
√
=
s=2,5 So, If the probability that the sample mean is less than $25,10 is 82,38% , the standard deviation of the sample is $2,50.
4. Glassware Company has just received 5000 cristal bottles. Before accepting the bottles, the headoffice insists that 9 of the cristal bottles be randomly selected for testing. He 8
intends to measure the maximum capabilty of each bottle and reject the shipment if the mean capability for the sample is greater than the 300 newton listed on the product label. Unknown the manager, the bottles on the truck require an average of 295 newton, with a standard deviation of 12 newton. Stating any additional assumptions you are using, find the probability that the cristal bottles will be rejected. Penyelesaian Dik:
N = 5000 µ = 295 n=9 = 12 if the mean capability for the sample is greater than the 300 the cristal bottles will be rejected
Dit:
The probability that the cristal bottles will be rejected, P( x > 300)?
Jwb:
=
= 0,0018 < 5% (tidak menggunakan faktor koreksi)
x = µ = 295 x
√
x
= x
z=
√
=
=4 = 1,25
x
lihat tabel z: luas sebelah kanan 0 =
0,5000
luas antara 0 - z
0,3944 -
=
luas sebelah kanan z =
0 Conclusion:
0,1056
z so, the probability that the cristal bottles will be rejected is 0,1056 or 10,56%
5.
Fakultas Ekonomi Universitas Padjadjaran menerima mahasiswa baru pada tahun 2011 sebanyak 528 orang dan 211 orang diantaranya telah membawa netbook pribadi ke kampus. Sebanyak 120 mahasiswa baru diambil sebagai sampel acak. Hitunglah: a.
Standar deviasi? 9
b.
probabilita mahasiswa yang membawa netbook antara 50% dan 60%?
Penyelesaian Dik:
N= 528
n = 120
x = 211 Dit:
a.
Jwb:
π=
?
b. P (50% < < 60%)? = 0,3996
=
= 0,227 > 5% (gunakan faktor koreksi)
=√
=√
√
=π=
= 0,3996
=
=
= 2,55
=
=
= 5,09
. √
= 0,039342978
0 Lihat tabel z: luas antara 0-
=
0,5000
luas antara 0-
=
0,4946-
luas antara
=
0,0054
-
Kesimpulan: probabilita mahasiswa yang membawa netbook antara 50% dan 60% adalah sebesar 0,0054 atau 0,54%
6.
Of the 629 passenger vehicles imported by a South American Country in a recent year 117 were Volvos. A simple random sample of 300 passenger vehicles imported during that year is taken with a standar deviation 40. What is the probability that at least 15% of vehicles in this sample will be Volvo? 10
Solution Given
: N = 629 x = 117 n = 300
7. Tentukanlah probabilita bahwa diantara 200 anak yang akan lahir, terdapat: a. Kurang dari 40% adalah bayi laki-laki? b. Lebih dari 54% adalah bayi laki-laki? Asumsi : probabilita kelahiran untuk bayi laki-laki dan perempuan setara Penyelesaian Dik:
n = 200 π(lahir bayi laki-laki)= 50% = 0,50
Dit:
a. P ( < 40%)? b. P ( > 54%)?
Jwb:
= π = 0,50 =√ a. z =
=√
= 0,035355339
=
= -2,83 lihat tabel z:
z
luas sebelah kiri 0
=
0,5000
luas antara z-0
=
0,4977-
luas sebelah kiri z
=
0,0023
0
Kesimpulan: Jadi, probabilita bahwa diantara 200 anak yang lahir, kurang dari 40 % adalah bayi laki-laki adalah sebesar 0,0023 atau 0,23%
b. z =
=
= 1,13
11
0
z
lihat tabel z: luas sebelah kanan 0 =
0,5000
luas antara
0,3708-
0-z
=
luas sebelah kanan z =
0,1292
Kesimpulan: Jadi, probabilita bahwa diantara 200 anak yang lahir, lebih dari 54 % adalah bayi laki-laki adalah sebesar 0,1292 atau 12,92%
12
DISTRIBUSI SAMPLING SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI
Statistik merupakan salah satu hal terpenting dalam proses pengambilan keputusan pada bidang ekonomi, bisnis maupun ilmu pengetahuan. Statistik mengacu pada estimasi dan uji hipotesis. Agar estimasi atau uji hipotesis mendekati kondisi sebenarnya pada populasi maka perlu diambil sampel-sampel yang dapat mewakili populasi. Hal ini dapat dilakukan dengan cara random sampling, dimana setiap elemen dari populasi memiliki peluang yang sama untuk terpilih menjadi sampel. Dari pengambilan sampel ini kita dapat mempelajari karakteristik populasi berdasarkan sampel yang diambil dari populasi itu. Berdasarkan sifatsifat sampel yang diambil dari sebuah populasi, statistika akan membuat kesimpulan umum yang diharapkan berlaku untuk populasi itu. Jika nilai-nilai statistik yang sejenis dikumpulkan, lalu disusun dalam suatu daftar sehingga terdapat hubungan antarnilai statistik dan frekuensi statistik yang didapat, maka diperoleh kumpulan statistik yang disebut distribusi sampling (Sudjana, 2004: 87).
1.
Distribusi Sampling Selisih Rata-Rata Distribusi sampling selisih rata-rata adalah distribusi probabilitas yang dapat terjadi
dari selisih rata-rata dua sampel yang berbeda berdasarkan pada dua sampel tertentu dari ukuran parameter dua populasinya. Untuk ukuran sampel n1 dan n2 yang cukup besar (n1, n2 > 30), maka distribusi sampling selisih rata-rata sangat mendekati distribusi normal, untuk mengubahnya ke dalam bentuk normal standar maka diperlukan rumus : ̅
̅ ̅
̅
̅
̅
Dimana : a. Rata-rata ( Means ) ̅
̅
b. Simpangan baku ( standard deviation ) ̅
Jika
̅
√
dan
tidak diketahui, maka dapat menggunakan standar deviasi dari sampel. 13
Contoh soal : Pegawai perusahaan Global Network Inspectionpada Divisi Inspeksi Pembongkaran mempunyai gaji rata-rata sebesar $4300/bulan, sedangkan Divisi Inspeksi Pengangkutan mempunyai gaji $3750/bulan. Setelah dihitung, diperoleh rata-rata hitung dari deviasi kuadrat setiap gaji terhadap gaji rata-rata Divisi Inspeksi Pembongkaran $52.000, sedangkan Divisi Inspeksi Pengangkutan sebesar $19.500. Bila diasumsikan diambil sampel random pada Divisi Inspeksi Pembongkaran sebanyak 90 orang dan Divisi Inspeksi Pengangkutan75, berapakah probalilita selisih rata-rata gaji dari dua sampel lebih besar dari $ 500 ? Jawab : Dik
:
Divisi Inspeksi Pembongkaran
:
μ1 = $ 4300
= $ 52.000
n1 = 90
Divisi Inspeksi Pengangkutan
:
μ2= $ 3750
= $ 37.000
n2 = 75
Dit
̅
:
5
?
Jawab : ̅
̅
̅
̅
4300 – 3750= 550 5 √
̅
√ ̅ ̅
̅
̅
5 5
̅
55
5
5
Luas kanan 0 = 0,5000 Luas 0 - Z
= 0,4370 –
Luas Kanan Z = 0,9370 Z
0
Jadi, probabilita selisih rata-rata gaji dari dua sampel lebih besar dari $ 500 adalah 0,9370 atau 93,70 %. .
14
2.
Distribusi Sampling Selisih Proporsi Distribusi sampling selisih proporsi adalah distribusi probabilitas yang dapat terjadi
dari selisih proporsi dua sampel yang berbeda berdasarkan pada dua sampel tertentu dari ukuran parameter dua populasinya, adapun rumus distribusi sampling selisih proporsi dinyatakan dalam : a. Rata-rata proporsi
b. Simpangan baku proporsi √
Distribusi sampling selisih proporsi inipun akan mendekati distribusi normal bila ukuran-ukuran sampel cukup besar (n1, n2> 30), maka untuk merubahnya menjadi bentuk normal standar diperlukan rumus : (
Jika
)
tidak diketahui dan dianggap sama maka nilai : =p=
sehingga standar baku proporsinya menjadi : √
Contoh soal : Alya dan Deasy akan melakukan sebuah pertandingan pelemparan sekeping uang logam, Deasy akan menang bila memperoleh 8 sisi gambar lebih banyak dari pada Alya, jika diasumsikan mereka diberi kesempatan masing-masing melempar uang logam sebanyak 40 kali, berapa peluang Deasy memenangkan pertandingan ini ? Berilah saran apakah Deasy akan ikut dalam pertandingan atau tidak, jika harapan kemenangannya harus sebesar 15% atau lebih?
15
Jawab : Dik
: π1 =π2 = 50% n1=n2 = 40
Dit
: a.
Jwb
: a.
(
5 %) = ( 0,5 – 0,5 ) = 0
√ √ (
)
5
Luas kanan 0 = 0,5000 Luas 0- Z
= 0,3665 –
Luas Kanan Z = 0,1335 0
Z
Jadi, peluang Deasy memenangkan pertandingan ini adalah 0,1335 atau 13,35%. Karena peluang Deasy menang kurang dari harapan menangnya (13,35% <15%), maka Deasy disarankan tidak mengikuti pertandingan ini. .
16
SOAL DISTRIBUSI SAMPLING SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI
1.
Taufik Plastics Co. adalah perusahaan yang memproduksi produk olahan plastik. Setiap tahunnya, perusahaan ini melakukan kegiatan ekspor-impor. Seorang analis meneliti kegiatan ekspor-impor perusahaan ini dengan mengambil sampel sebanyak 60 jenis produk yang diekspor dan 35 jenis produk yang diimpor. Selama beberapa tahun terakhir, rata-rata ekspor yang dilakukan adalah sebanyak 43.500 Metric Ton (MT) per tahun, dengan deviasi kuadrat sebesar 4700 MT per tahun. Sedangkan rata-rata impor yang dilakukan adalah 21.800 MT per tahun dengan standar deviasi 130 MT per tahun. Berapakah peluang bahwa rata-rata ekspor dan impor berbeda kurang dari 21.740 MT per tahun ?
Jawab : Dik
:
Ekspor :
μ1 = 43.500 MT
Impor
μ2= 21.800 MT
:
Dit
:
Jwb
:
= 11.400 MT = 130 MT
̅
̅
̅
̅
̅
n1 = 60 MTn2 = 35
?
43.500 – 21.800= 21.700 √
̅
√ ̅ ̅
̅
5
̅
5 ̅
Luas kiri 0
= 0,5000
Luas 0- Z
= 0,4382 +
Luas Kanan Z = 0,9382
0
Z
Jadi, peluang bahwa rata-rata ekspor dan impor Taufik Plastics Co. berbeda kurang dari 21.740 MT per tahun adalah sebesar 0,9382 atau 93,82%. 17
2.
Beberapa bulan lalu, di Lombok telah dibuka tempat rekreasi fantasi bernama Statfantastic Land. Maskapai penerbangan keberangkatan Bandung, “Devaney Air” dan “Pickerill Air”– keberangkatan Jakarta, mempunyai rute penerbangan ke Lombok dan pimpinan kedua maskapai ini mempunyai data olahan jumlah penumpang ke Lombok selama tahun 2012. Rata-rata penumpang “Pickerill Air” dan “Devaney Air” adalah 2880 dan 3370 orang per bulan. Sedangkan standar deviasi penumpang “Devaney Air” dan “Pickerill Air” yaitu 501 dan 510 penumpang per bulan. Untuk merencanakan strategi persaingannya, perusahaan mengambil sampel wisatawan yang datang ke Lombok dari kota Bandung sebanyak 100 orang dan wisatawan asal Jakarta sebanyak 105 orang. Hitunglah peluang bahwa banyaknya penumpang “Devaney Air” berbeda antara 300 sampai 500 orang dengan “Pickerill Air” setiap bulannya ! Jawab : Dik
:
“Devaney Air”
: μ1 = 3370 Penumpang
= 501 Penumpang
n1 = 100
“Pickerill Air”
: μ2= 2880 Penumpang
= 510 Penumpang
n2 = 105
Dit
:
Jawab
:
̅
̅
̅
̅
̅
5
?
3370 - 2880= 490 √
√ ̅
̅ ̅
̅
̅
̅
̅
̅
5
5 5
̅
̅ ̅
5
̅
Luas Z1 - 0
= 0,4964
Luas 0 – Z2
= 0,0557 +
Luas Z1 – Z2 = 0,5521
Z1
0
Z2
Jadi, peluang banyaknya penumpang “Devaney Air” berbeda antara 300 sampai 500 orang dengan “Pickerill Air” setiap bulannya adalah 0,5521 atau 55,21%. 18
3.
Karina’s Chocolate Factory mempekerjakan 1200 pegawai yang terdiri dari 75% pegawai pria dan sisanya pegawai wanita. Berdasarkan catatan bagian personalia, ratarata waktu terlambat masuk kerja pegawai pria adalah 34 menit dan simpangan baku 8,7 menit. Sedangkan rata-rata waktu terlambat masuk kerja pegawai wanita adalah 26 menit dengan simpangan baku 11 menit. Suatu ketika, Karina sebagai pimpinan perusahaan melakukan sidak, dengan mengambil secara acak 40% pegawai pria dan 50% pegawai wanita. Tentukanlah probabilita jika :
(a) Waktu terlambat pegawai pria berbeda paling sedikit 10 menit dari pegawai wanita (b) Waktu terlambat pegawai pria berbeda kurang dari 7 menitdari pegawai wanita (c) Waktu terlambat pegawai pria berbedaantara 5 hingga 11 menit dari pegawai wanita Jawab : Dik
: N = 1200 N1 = 75%N = 900
n1 = 40%N1 = 360
μ1 = 34
N2 = 25%N = 300
n2 = 50%N2 = 150
μ2= 26
Dit
: a.
̅
Jawab
: a.
̅ ̅
̅
̅
̅
̅
b.
c.
5
̅
34 – 26= 8 √
̅
√ ̅ ̅ ̅
5
̅
̅
Luas kanan 0 = 0,5000 Luas 0- Z
= 0,4761 –
Luas Kanan Z = 0,0239 0
Z
Jadi, probabilita waktu terlambat pegawai pria berbeda paling sedikit 10 menit dari pegawai wanita adalah sebesar 0,0239 atau 2,39%.
19
̅
b. ̅
̅
̅
̅
34 – 26= 8 √
√ ̅
̅ ̅ ̅
5
̅
̅
Luas Kiri 0
= 0,5000
Luas Z - 0
= 0,3389 –
Luas Kanan Z = 0,1611 Z
0
Jadi, probabilita waktu terlambat pegawai pria berbeda kurang dari 7 menit dari pegawai wanita adalah sebesar 0,1611 atau 16,11%. ̅
c. ̅
̅
̅
̅
34 – 26= 8 √
√ ̅
̅ ̅
̅
̅
̅
̅
5
̅ ̅
̅ ̅
Z1
5
̅
0
Luas Z1 - 0
= 0,4985
Luas 0 – Z2
= 0,4985 –
Luas Z1 - Z2
= 0,9970
Z2
Jadi, probabilita waktu terlambat pegawai pria berbedaantara 5 hingga 11 menit dari pegawai wanita adalah sebesar 0,9970 atau 99,70%. 20
4. Brightman Co. and Fulton Co.,enganging in property business in Jakarta.These two companies have been finished their expansion inBandung. Around this year, Brightman’s real estate collected USD 67.930 monthly average collection for their customers with standard error of USD 103. Fulton’s Apartment reached USD 85.140 monthly average collection with USD 146 standard error. If we take 35 real estate’s customers and 40 apartement’s customer, find out : a. The difference of monthly average collection of Fulton’s and Brightman’s samples, if we need to know its value in our currency b. The likelihood that the monthly average collection of Fulton Co. will be differ at least Rp 171.095.620over Brightman Co. (Assume the spot exchange rate is Rp 9959/USD) Jawab
:
Dik
: n1 = 40
μ1 =USD 85.140
n2 = 35
μ1 = USD 67.930
Dit
: a.
Jawab
: a.
̅
̅
̅
in Rupiah
̅
b.
5
USD 85.140 – USD 67.930 = USD 17.210
̅
Convert USD to Rupiah = USD 17.210 x Rp 9959 / USD = Rp 171.394.390 So, the difference of monthly average collection of Fulton’s and Brightman’s samples is USD 17.210, and its value in our currency is Rp 171.394.390, if we assume that the spot exchange rate is Rp 9959/USD. ̅
b.
5
Covert Rupiah to USD = Rp 171.095.620 / Rp 9959 / USD = USD 17.180 ̅ ̅
5 √
√
̅
̅
̅ ̅
̅
̅
5
̅
̅
21
Luas kanan 0 = 0,5000
Z
Luas Z - 0
= 0,3508 –
Luas Z1 - Z2
= 0,8508
0
So, the likelihood that the monthly average collection of Fulton Co. will be differ at least Rp 171.095.620 over Brightman Co. is 0,8508 or 85,08%.
5. Apple dan Samsung berlomba-lomba mengeluarkan produk yang inovatif. Di dunia, Apple telah menguasai pangsa pasar sebanyak 63% dan sisanya dikuasai Samsung. Jika diambil sampel pangsa pasar dari 50 negara untuk memastikan pangsa pasar Samsung yang lebih akurat, dan 60 negara untuk memastikan pangsa pasar Apple, hitunglah peluang bahwa pangsa pasar Apple dan Samsung akan berbeda 10% sampai 19% !
Jawab :
Dik
Dit
:π1 = 63%
π2 = 37%
n1 = 60
n2 = 50
:
(
%
%) = ( 0,63 – 0,37 ) = 0,26
Jawab :
√
√
5
0,09244998648 (
)
22
(
)
Luas Z1 - 0
= 0,4582
Luas Z2 - 0
= 0,2764 –
Luas Z1 – Z2 = 0,1818
Z1
Z2 0
Jadi, peluang bahwa pangsa pasar Apple dan Samsung akan berbeda 10% sampai 19% adalah sebesar 0,1818 atau 18,18%.
6. Pengamatan yang dilakukan selama setahun terakhir menunjukkan bahwa investor yang memegang saham sektor properti memiliki probabilita kenaikan harga saham sebesar 88%. Sedangkan investor lain yang memegang saham sektor barang konsumsi memilik peluang kenaikan harga saham sebesar 44%. Apabila investor memiliki 500 lot saham sektor properti dan 450 lot saham sektor barang konsumsi, berapa peluang beda persentase harga saham sektor properti meningkat 50% lebih kecil dibandingkan dengan kenaikan harga saham sektor barang konsumsi ?
Jawab : Dik
:π1 = 88%
π2 = 44%
n1 = 500 Dit
:
n2 = 450
5 %)
(
= ( 0,88 – 0,44 ) = 0,44
Jawab :
√
√
5
5 23
(
)
5 5 55
Luas Kiri 0
= 0,5000
Luas 0 – Z1
= 0,4854+
Luas Z1 – Z2 = 0,9854
0
Z
Jadi, peluang beda persentase harga saham sektor properti meningkat 50% lebih kecil dibandingkan dengan kenaikan harga saham sektor barang konsumsi adalah sebesar 0,9854 atau 98,54%.
7. PT Goodfood ingin melihat kinerja produksi karyawan lama dan karyawan barunya. Dalam memproduksi 50 biskuit cokelat, Taufik sebagai karyawan baru, menghasilkan 70% produk yang cetakannya sempurna, dan dalam memproduksi 100 biskuit keju, Rudolf menghasilkan 15% biskuit yang ukurannya tidak sesuai. Hitunglah probabilitas : a. Biskuit gagal yang dibuat oleh Taufik lebih banyak 10% daripada Rudolf b. Biscuit gagal produksi kedua karyawan tersebut berbeda antara 5% sampai 15% ?
Jawab : Dik
Dit
: π1 = 30%
π2 = 15%
n1 = 50
n2 = 100
: a. b.
( (5%
%) 5%)
24
= ( 0,30 – 0,15 ) = 0,15
Jawab : a.
√
5
√
(
5
5
)
5
Luas kanan 0 = 0,5000 Luas 0- Z
= 0,2517 –
Luas Kanan Z = 0,2483 0
Z
Jadi, probabilitas biskuit gagal yang dibuat Taufik lebih banyak 10% daripada Rudolf adalah 0,2483 atau 24,83%. = ( 0,30 – 0,15 ) = 0,15
b.
√ 5
√
(
(
5
5
)
)
5
5
5
5
5
25
Luas Z1 - 0
= 0,4115
Luas 0 – Z2
= 0,0000 +
Luas Kanan Z = 0,4115 Z1
0=Z2
Jadi, probabilitas biskuit gagal yang dibuat kedua karyawan tersebut berbeda 5% sampai 15% adalah 0,4115 atau 41,15%.
8. In the competitive area of retail consumer goods, advertising serves to clarify product distinctiveness and increase market penetration. Before adopting a new advertising campaign, large-volume vintner conducted a product preference survey among 1000 regular buyers of wine in the supermarket chain that serves his primary channel of distribution. From that survey, they found that 33% of those contacted were regular purchasers of his wine. Six months after the institution of a revised advertising campaign, 1200 buyers were surveyed, with 44% indicating preference for the vintner’s product. Find the percentage of customer’s preference for the vintner’s product after advertising campaign less than the percentage of customer’s preference for the vintner’s product before advertising campaign, if the left area of Z score is 0,9997.
Jawab Dik
: n1 = 1200
n2 = 1000
= 44%
= 33%
Dit
:X?
Jawab
:
0
(
Z
) = 0,9997
Luas Kiri Z
= 0,9997
Luas Kiri 0
= 0,5000 +
Luas 0 - Z
= 0,4997
Z = 3,39 26
= 0,44 – 0,33 = 0,11
√
√
(
)
5
So, the percentage of customer’s preference for the vintner’s product after advertising campaign less than the percentage of customer’s preference for the vintner’s product before advertising campaign, if the left area of Z score is 0,9997, is 0,18 or 18%. [ (
%)]
27
PENAKSIRAN RATA-RATA DAN PROPORSI 1.
Pengertian Penaksiran adalah keseluruhan proses menduga suatu parameter pada populasi yang
tidak diketahui nilainya dengan menggunakan statistik sampel (Statistika Untuk Ekonomi dan Keuangan Modern, Suharyadi). Pada penaksiran, kita mengambil sample untuk dianalisis sehingga hasil analisis tersebut dapat digunakan untuk memperkirakan ukuran populasi ( parameter populasi). 2.
Jenis Penaksiran Statistik Ada 2 jenis penaksiran/pendugaan yang dilakukan terhadap populasi, yaitu: a. Pendugaan Titik (Point Estimation) Contoh : Dari sample acak rata – rata berat badan mahasiswa FEB Unpad ialah 65kg b. Pendugaan Interval (Interval Estimation). Contoh : Dari sample acak rata – rata berat badan mahsiswa FEB unpad ialah 65 ± 1 kg
3.
Kriteria Penaksir yang Baik Statistik sampel yang digunakan untuk menduga parameter populasi harus memenuhi tiga kriteria berikut, yaitu: Tidak bias Statistik sampel yang digunakan sebagai penduga harus sama atau mendekati parameter populasi yang diduga. Efisien Statistik sampel memiliki standar deviasi yang kecil. Konsisten Jika ukuran sampel meningkat, maka statistik sampel akan semakin mendekati parameter populasinya.
28
4.
Penaksiran Titik (Point Estimation) Pada penaksiran titik, kita menggunakan suatu nilai untuk menduga parameter populasi. Contoh: Mahasiswa Berat Badan Alya 65 Taufik 70 Karina 64 Deasy 61 Yessica 60 Untuk menduga rata-rata berat badan Asisten Statistik diambil 5 orang Asisten statistik sebagai sample 5 ̅
5
Maka dugaan untuk rata – rata berat badan asisten statistik adalah 64 5.
Penaksiran Interval (Interval Estimation) Macam-macam penaksiran interval:
1. Penaksiran Rata-rata Ada 3 rumus pendugaan interval rata-rata µ. a.
̅
̅
√
√
Rumus ini berlaku untuk sampel besar (n ≥ 30) dari populasi yang tak terbatas (infinite population) atau dari populasi terbatas (finite population) namun b.
̅
√
√
̅
√
≤ 0,05.
√
Rumus ini berlaku untuk sampel besar (n ≥ 30) dari populasi terbatas dengan
>
0,05. c.
̅
√
̅
√
Rumus ini berlaku bagi sampel kecil (n < 30)
29
Contoh Soal : Sebanyak 300 perusahaan swasta nasional berdiri di Indonesia, seorang pejabat perbankan berpendapat bahwa dari 75 perusahaan swasta nasional di Indonesia yang ia selidiki, modal perusahaan swasta nasional Rp 750 juta. Standar deviasi modal tersebut sebesar Rp 30 juta. Dengan tingkat keyakinan sebesar 99%, berapakah taksiran rata-rata modal perusahaan swasta nasional? Dik:
N = 300 n = 75 ̅ = 750 s = 30 = 0,25 (menggunakan faktor koreksi) Zα/2 = Z0,495 = 2,575
Dit: P( ̅
√
√ ̅
√
√
) = 0,99
5
5 5
Jawab:
5
5 5
√ 5
√
5
√ 5
√
5
750 – 7,737907277 < µ < 750 + 7,737907277 742,2620927 < µ < 757,737907277 Jadi, dengan tingkat signifikansi 1% rata-rata modal perusahaan swasta nasional berkisar antara Rp 742,2620927 juta dan Rp 757,737907277 juta.
2. Penaksiran Proporsi Kata proporsi menunjukkan persentase dari suatu bagian atau unsur dari suatu bagian. Proporsi menunjukkan jumlah bagian tertentu dari suatu kelompok. Rumus penaksiran proporsi:
√
√
30
Rumus ini berlaku untuk sampel besar (n ≥ 30) dari populasi yang tak terbatas (infinite population) atau dari populasi terbatas (finite population) namun
Jika
≤ 0,05.
> 0,05, gunakan faktor koreksi √
√
√
√
√
Jika sampel kecil (n < 30), ganti Zα/2 menjadi tα/2.
√
√
Contoh Soal : Survei terhadap 25 calon pemilih menunjukkan bahwa 80% akan memilih Bill Clinton. Buatlah dugaan sebesar 95% confidence level untuk proporsi calon yang akan memilih Bill Clinton! Dik:
n = 25 tα/2 = t0,025; 24 = 2,0639 = 0,8
Dit: P(
√
√
5
Jawab: √
5
√
5
0,8 – 0,165112 < π < 0,8 + 0,165112 0,634888 < π < 0,965112 Jadi, dengan tingkat signifikansi 5% proporsi calon yang akan memilih Bill Clinton berkisar antara 63,4888% dan 96,5112%.
31
SOAL PENAKSIRAN RATA-RATA DAN PROPORSI
1. Untuk mengetahui rata – rata IPK mahasiswa Fakultas Ekonomi dan Bisnis Universitas Padjadjaran, tim peneliti memanggil 29 mahasiswa. Ternyata rata – rata IPK dari 29 mahasiswa tersebut ialah 3,40 dengan simpangan baku 1,20. Buatlah pendugaan rata – rata IPK mahasiswa FEB Unpad yang sebenarnya dengan tingkat keyakinan 90%. Dik:
n = 29 ̅ = 3,40
s = 1,20
tα/2 = t0,05; 28 = 1,7011 Dit: P ( ̅
̅
√
√
) = 0,90
Jawab: √
√
3,020936 < µ < 3,779063608 Jadi, dengan tingkat signifikansi 10% rata-rata IPK mahasiswa FEB Unpad ialah antara 3,020936 sampai dengan 3,779060638 2.
Lapeto Company want to know how much persentation their employes use bicycle to this office. Therefore, from 200 employes have been taken for the sample, found 50 employes use bicycle to office. With significant level 5% please make interval estimate of proportion the employes use bicycle to office. Dik:
Dit: P(
n = 200
x = 50
√
=
= 0,25
√
Zα/2 = Z0,475 = 1,96
5
Jawab: 5
√
5
5
5
√
5
5
0,1899875013 < π < 0,3100124987 So with Significant level 5% interval estimate of proportion the employes use bicycle to office is between 18,99875013% until 31,00124987% 32
3.
PT AI Motor sells 700 car every year in 2010. Some of them are export to Japan and China. From 300 cars have been choosen, there are 120 cars qualified for export to Japan and China. Please calculate interval estimation car have qualified for export to China and Japan in 2010 with confidence level 98%. Dik:
N = 700
=
= 0,4
=
= 0,4285714286
n = 300 x = 120 Dit:
√
P(
√
√
√
Jawab: √
√
√
√
0,3503608443 < π < 0,4496391557 So with significant level 2% interval estimation car have qualified for export to China and Japan in 2010 is between 35,03608443% until 44,96391557% 4.
Doll and Wall Company want to make a research about what make people be survive in their college especially to achieve high GPA. For this research Doll and Wall Company choose University of Padjadjaran for the area to be researched. Taken 5 students for the sample there are Andy with GPA 3.63, Dedy 3.70, Any 3.90, Rudi 3.87, Riri 3.70 with standart deviation 0,2. The first step, Doll and Wall Company want to make an estimate of the average student’s GPA. From the sample above, please help Doll and Wall Company to make an estimate average of GPA of students in University of Padjadjaran with significant level 10%. Given:
n=5 ̅ = 3,76 s = 1,2 tα/2 = t0,025; 4 = 2,1318
Asked: P ( ̅
√
̅
√
) = 0,95
33
Answer: √5
√5
3,569326011 < µ < 3,950673989 So, with the significance level of 10% the estimate average of GPA of students in University of Padjadjaran between 3,569326011 until 3,950673989
5. PT Lima setiap harinya memproduksi 500 sepatu. Sepatu - sepatu tersebut dijual dengan harga yang berbeda – beda, untuk mengetahui pendugaan interval rata – rata harga sepatu tersebut, diambil 200 sepatu sebagai sample untuk mengatahui rata – rata harga sepatu tersebut. Ternyata , dari 200 sepatu tersebut diperoleh rata – rata harga sepatu tersebut ialah Rp 45.000 dengan standar deviasi Rp 5000. Dari data diatas, hitunglah taksiran interval rata – rata harga sepatu yang diproduksi oleh PT Lima Persada dengan tingkat signifikansi 1%. Jawab:
N = 500
=
n = 200
= 0,4 (menggunakan faktor
koreksi)
̅ = 45.000 Zα/2 = Z0,495 = 2,575
s = 5000 Dit: P( ̅
√
√ ̅
√
√
) = 0,99
Jawab: 5
5 5
5 √
5 √ 5
5
5 5
5 √
√
5 5
44294,10095 < µ < 45705,89905 Jadi taksiran interval rata – rata harga sepatu yang diproduksi oleh PT Lima Persada dengan tingkat signifikansi 1% ialah antara Rp 44.294,10095 sampai Rp 45.705,89905
6.
20 mahasiswa akan dikirim ke Amerika untuk menjadi delegasi Indonesia pada Konfrensi perdamaian dunia. Salah satu syarat untuk menjadi delegasi tersebut ialah harus memiliki TOEFL lebih dari 500. Haxe sebagai salah satu dari 20 mahasiswa tersebut ingin mengetahui taksiran rata – rata TOEFL dari 20 mahasiswa tersebut.Oleh karena itu, ia menanyakan kepada 10 temannya mengenai score TOEFL mereka masing34
masing. Diperoleh rata – rata TOEFL Haxe dan 10 temannya tersebut ialah 550 dengan standar deviasi 10. Dengan tingkat keyakinan sebesar 99%, berapakah rata – rata taksiran score TOEFL mahasiswa – mahasiswa tersebut?
Dik:
N = 20
=
n = 11
(menggunakan faktor koreksi)
̅ = 550 tα/2 = t0,005; 10 = 3,1693
s = 10 Dit: P( ̅
√
√ ̅
√
√
) = 0,99
Jawab: 55
√
√
55
√
√
543,423248 < µ < 556,576752 Jadi, Dengan tingkat signifikansi sebesar 1%, rata – rata taksiran score TOEFL mahasiswa – mahasiswa tersebut ialah antara 543,423248 sampai 556,576752 7.
Pada pemilihan calon presiden BEM FEB Unpad, dilakukan survey terhadap 100 orang pemilih mengenai bagaimana pilihan mereka terhadap calon presiden BEM, dari survey tersebut menunjukkan ternyata 60% menyatakan akan memilih nomor urut 1 sedangkan 40% lainnya akan memilih nomor urut 2. Dengan tingkat dugaan 90% buatlah dugaan interval proporsi para pemilih akan memilih no urut 2. Dik: Dit:
n = 100 P(
Zα/2 = Z0,45 = 1,645 √
√
= 0,4
)= 0,90
Jawab: 5√
5√
0,3194117874 < π < 0,4805882125 Jadi, dengan tingkat signifikansi 10% dugaan interval proporsi para pemilih akan memilih no urut 2. Adalah antara 31,94117874% sampai dengan 48,05882125% 35
PENAKSIRAN SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI
Penaksiran Selisih Rata-Rata Apabila kita hedak menaksir perbedaan rata-rata (1 2 ) pada dua populasi, maka kita bisa menaksir rata-rata populasi tersebut dengan menggunakan statistik sampel rata-rata ( x1 x2 ) . Jika sampel yang diambil dari populasi ke satu berukuran n1 dan simpangan baku s1 dengan rata-rata x 1
dan sample yang diambil dari populasi ke dua berukuran n2 dan simpangan
baku s2 dengan rata-rata x2 , maka titik taksiran selisih rata-rata populasi (1 2 ) adalah
( x1 x2 ) . 1. Untuk sample besar (n1 30 & n2 30) 2
( x1 x2 ) Z
n1
2
2
1
n2
2
( x1 x 2 ) Z
2
1 2 ( x1 x2 ) Z
2
2 1
n1
2
2
s1 s 2 1 2 ( x1 x 2 ) Z 2 n1 n2
2
2
n2
2
2
s1 s 2 *) n1 n2
2. Untuk sample kecil (n1 30 & n2 30) 2
( x1 x 2 ) t
( x1 x 2 ) t
1 2
2
n1
2
n2
(n 1 1)s 1 (n 2 1)s 2 2
2 1 2
n1
2
2
n2
2 2 2 2 s1 s s1 s ; df n1 n2 2 * *) 2 1 2 ( x1 x 2 ) t 2 2 n1 n2 n1 n2 2
(x 1 x 2 ) t
1 2 ( x1 x 2 ) t
2
n1 n 2 2
2
1
1
(n 1 1)s 1 (n 2 1)s 2 2
( ) 1 2 (x 1 x 2 ) t 2 n1 n 2
n1 n 2 2
2
1 1 * **) ( ) n1 n 2
Catatan : *) Digunakan bila
dan
tidak diketahui nilainya
* *) Digunakan bila
dan
tidak diketahui nilainya dan diketahui
* **) Digunakan bila
dan
tidak diketahui nilainya dan diketahui 36
Contoh Soal Sekelompok kolektor barang-barang unik melakukan penelitian terhadap umur 2 buah kamera dari merk yang berbeda. Merk A memiliki rata-rata umur 4.500 jam dengan simpangan baku 300 jam, sedangkan Merk B memiliki rata-rata umur 3.800 jam dengan simpakan baku 200 jam. Apabila diambil sampel acak sebanyak 150 unit, berapakah selisih rata-rata umur kedua merk tersebut dengan CI 5%? Penyelesaian Dik : = 150
̅ = 4500
= 90.000
= 150
̅ = 3800
= 40.000
Dan untuk tingkat signifikansi 95%, maka: 5
5 ⇒
⁄
Maka selisih rata-ratanya: 2
( x1 x 2 ) Z
1 2
n1
2
(4500– 3800) – 1.96 √
2
n2
1 2 ( x1 x 2 ) Z
2 1 2
n1
2
2
n2
< µx - µy < (4500– 3800) +1.96 √
700 – 57.70083766 < µx - µy < 700 + 57.70083766 642.2991623 < µx - µy < 757.7008377 maka selisih rata-rata daya tahan kedua barang tersebut dengan tingkat kepercayaan 95% adalah 642.299 jam sampai dengan 757.7 jam.
37
(Komputer dengan software minitab) Langkah-langkahnya : 1. Pilih menu Stat, kemudian basic statistik, kemudian 2 sample t 2. Pilih summarized data, masukkan jumlah sample, mean, standar deviasi masing-masing data kedalam kolom first dan second. Sesuaikan dengan soal. 3. Klik options dan masukkan confidence level 95,0 4. Terakhir klik OK
Output: Two-Sample T-Test and CI SE Sample N Mean StDev Mean 1
150 4500
300
24
2
150 3800
200
16
Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: 700.000 95% CI for difference: (642.029, 757.971) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 23.78 P-Value = 0.000 DF = 259
Penaksiran Selisih Proporsi Begitu juga dengan taksiran selisih proporsi ( 1 2 ) . Jika sample yang diambil dari populasi ke satu berukuran n1 dan terdapat
kejadian dari n1 sampel atau percobaan dan
sample yang diambil dari populasi ke dua berukuran n2 dan terdapat
kejadian dari n2
38
sampel atau percobaan, maka titik taksiran selisih proporsi populasi ( 1 2 ) adalah
x x ( p1 p2 ) dimana p1 1 dan p 2 2 n1 n2 1. Untuk sample besar (n1 30 & n2 30)
x x ( 1 2 ) Z 2 n1 n2
(
x1 x x x x1 x x x (1 1 ) 2 (1 2 ) (1 1 ) 2 (1 2 ) n1 n1 n2 n2 x x n n1 n2 n2 1 2 ( 1 2 ) Z 1 2 n1 n2 n1 n2 n1 n2
*)
x1 x2 x x 1 1 1 *1*) ) Z (1 )( ) 1 2 ( 1 2 ) Z (1 )( ) 2 2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2
2. Untuk sample kecil (n1 30 & n2 30) (
x1 x 2 ) t 2 n1 n 2
x1 x x x x1 x x x (1 1 ) 2 (1 2 ) (1 1 ) 2 (1 2 ) n1 n1 n 2 n2 x x n1 n1 n 2 n2 1 2 ( 1 2 ) t 2 n1 n2 n1 n 2 n1 n2
*)
; df n1 n2 2
(
* *) 1 x1 x2 x x 1 1 1 ) t (1 )( ) 1 2 ( 1 2 ) t (1 )( ) 2 2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2
Catatan : 1.Bila x1, x2, n1 & n2 masing-masing dinyatakan dengan bilangan bulat positif, persoalan penaksiran tersebut dapat diselesaikan atau dipecahkan dengan menggunakan rumus *) atau **). 2.Akan tetapi bila x1/n1, x2/n2 masing-masing dinyatakan dengan bilangan dalam bentuk rasio atau persen maka hanya digunakan rumus *).
39
Contoh Soal : Perusahaan elektronik AH mengambil sampel random produk radio sebanyak 200 buah dan 20 diantaranya adalah cacat. Sampel yang lain dari perusahaan EC yang juga mengambil random produk radio sebanyak 250 radio dan 25 diantaranya cacat. Dengan mengetahui bahwa kualitas produksi radio kedua perusahaan ialah sama, berapa beda 2 proporsi kerusakan produk dengan CL 95%? Penyelesaian (manual) Dik : = 20 5
C.l = 95 %
= 25
⁄
= 1.96
Solusi:
x x ( 1 2 ) Z 2 n1 n2 (
x1 x x x x1 x x x (1 1 ) 2 (1 2 ) (1 1 ) 2 (1 2 ) n1 n1 n2 n2 x x n n1 n2 n2 1 2 ( 1 2 ) Z 1 2 n1 n2 n1 n2 n1 n2
) - 1.96 √(
) < π1 – π2 < (
) + 1.96 √(
)
0.1 – 0.0867729 < π1 – π2 < 0.1 + 0.0867729 0.013223 < π1 – π2 < 0.1867729 Kesimpulan : Dengan tingkat kepercayaan 95 %, rentang taksiran selisih proporsi kerusakan antara dua produk makanan tersebut adalah sebesar 1.32% sampai dengan 18.68 %.
(Komputer dengan software minitab) Langkah-langkahnya : 1. Pilih menu Stat, kemudian basic statistik, kemudian 2 proportions 2. Pilih summarized data, masukkan jumlah trials dan events masing-masing data ke dalam kolom first dan second. Sesuaikan dengan soal.. 3. Klik options dan masukkan confidence level 95,0 4. Terakhir klik OK
40
Output: Test and CI for Two Proportions Sample X
N Sample p
1
20 100 0.200000
2
25 250 0.100000
Difference = p (1) - p (2) Estimate for difference: 0.1 95% CI for difference: (0.0132287, 0.186771) Test for difference = 0 (vs not = 0): Z = 2.26 P-Value = 0.024
41
SOAL PENAKSIRAN SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI
1. Selama 15 tahun terakhir rata-rata curah hujan di suatu daerah selama bulan Mei adalah 4,93 cm dengan standar deviasi 1,14 cm. Di daerah lain, catatan serupa selama 10 tahun terakhir menunjukkan bahwa rata-rata curah hujan selama bulan Mei adalah 2,64 cm dengan standar deviasi 0,66 cm. Tentukan CL 95% bagi beda rata-rata curah hujan selama bulan Mei di kedua daerah tersebut! (Asumsi : pengamatan berasal dari dua populasi normal dengan ragam yang berbeda) Penyelesaian Diket : x1 = 4,93
s1 = 1,14
n1 = 15
X2 = 2,64
s2 = 0,66
n2 = 10
Jawab :
Kesimpulan : Jadi selisih rata-rata curah hujan yang sebenarnya selama bulan Mei di kedua daerah tersebut berada dalam selang 1,54 cm sampai 3,04 cm
2. Untuk mengetahui apakah ada perbedaan rata-rata gaji bulanan bagi para karyawan dari 2 perusahaan yaitu perusahaan A dan B, maka dilakukan wawancara terhadap 9 orang karyawan yang dipilih secara acak sebagai sampel masing-masing perusahaan. Hasilnya sebagai berikut : Karyawan
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Gaji/bln
A
40 46 50 36 38 34 42 44 30
(Rp 10.000)
B
30 24 16 25 35 40 46 38 34
42
Tentukan penaksiran interval dari selisih rata-rata gaji tersebut: Penyelesaian
Jadi dengan CL 95%, interval rata-rata gaji/bulan karyawan perusahaan A dan B antara Rp 12.380,00 sampai dengan Rp 158.800,00
3. Where people turn for news is different for various age groups suppose that a study conducted on this issue was based on 200 respondents who were between the ages of 35 and 50. And 200 respondent who were above ages 50. Old 200 respondents who were between age of 36 and 50, 82 got their news primarily from newspaper. Of 200 respondents who were above 50, 104 got their news primarily from newspaper. Construct and interpret a 95% confidence interval estimate for the difference between the population proportion of respondents who get their news primarily from newspaper between those respondent 30 to 50 years old and those who above 50 years old.
43
Solution Given
Determine
: n1 = 200
n2 = 200
x1 = 82
x2 = 104
: interval estimate for the difference between the population proportion?
Answer
: 5 5%
5
⁄
x x ( 1 2 ) Z 2 n1 n2
0.41 0.52
⁄
x1 x x x x1 x x x (1 1 ) 2 (1 2 ) (1 1 ) 2 (1 2 ) n1 n1 n2 n2 x x n n1 n2 n2 1 2 ( 1 2 ) Z 1 2 n1 n2 n1 n2 n1 n2
1.96√
0.41 (0.59) 0.52 (0.48) 0.41 (0.59) 0.52 (0.48) + <π1 π2 < 0.41 0.52 + 1.96√ + 200 200 200 200
So, with 5% significance level, the interval estimation for the difference for the population proportion of respondents who get their news primarily from newspaper between those respondent 30 to 50 years old and those who above 50 years old is between 1.28% and 20.72%
4. Seorang peneliti ingin meneliti sebuah sampel yang terdiri dari 500 pelanggan toko yang dipilih di Garut untuk menentukan macam-macam informasi mengenai kebiasaan pelanggan. Diantara pertanyaan yang diajukan, terdapat pertanyaan ”apakah kamu senang berbelanja pakaian?” dari 240 laki-laki, 136 menjawab ya. Dari 260 perempuan, 36 menjawab tidak. Dari data tersebut, peneliti ingin menentukan selisih antara proporsi lakilaki dan perempuan yang menyenangi berbelaja pakaian. Tentukanlah selisih proporsi tersebut jika peneliti ingin taraf nyatanya 1%!
44
Penyelesaian Dik: = 240 5
= ⁄
= 260 =
= 0.862
= 2.575
(manual)
x x ( 1 2 ) Z 2 n1 n2
x1 x x x x1 x x x (1 1 ) 2 (1 2 ) (1 1 ) 2 (1 2 ) x x n1 n1 n2 n2 n1 n1 n2 n2 1 2 ( 1 2 ) Z 2 n1 n2 n1 n2 n1 n2
5
– 2.575 √
< π1 – π2 <
5
+ 2.575 √
or
-0.295 - 0.0990785 < π1 – π2 < -0.295 + 0.0990785 -0.394079 < π1 – π2 < -0.1959215 Jadi, dengan tingkat signifikansi 1% selisih antara proporsi laki-laki dan perempuan yang menyenangi berbelaja pakaian adalah diantara 19.59% dan 39.41% proporsi perempuan yang menyenangi berbelanja pakaian lebih besar dibanding proporsi lakilaki.
(Komputer dengan software Minitab) Test and CI for Two Proportions Sample X
N Sample p
1
136 240 0.566667
2
224 260 0.861538
Difference = p (1) - p (2) Estimate for difference: -0.294872 99% CI for difference: (-0.394031, -0.195712) Test for difference = 0 (vs not = 0): Z = -7.66 P-Value = 0.000
45
5. The results of a study conducted as part of a yield-improvement effort at a semiconductor manufacturing facility provided defect data for a sample of 450 wafers. The following contingency table presents a summary of the responses to two questions: ”was a particle found on the die that produced the wafer?” and “is the wafer good or bad?” Quality of water PARTICLES
Good
Bad
Total
Yes
14
36
50
No
320
80
400
Total
334
116
450
Construct and interpret a 95% confidence interval estimate of the difference between the population proportion of good and bad wafers that contain particles! Solution Given: = 334
= 116
=
=
⁄
= 0.3103
= 1.96
Jawab:
x x ( 1 2 ) Z 2 n1 n2
x1 x x x x1 x x x (1 1 ) 2 (1 2 ) (1 1 ) 2 (1 2 ) x x n1 n1 n2 n2 n1 n1 n2 n2 1 2 ( 1 2 ) Z 2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 – 1.96 √
< π1 – π2 <
– 1.96 √
or
-0.2684 - 0.0443299 < π1 – π2 < -0.2684 + 0.0443299 -0.31273 < π1 – π2 < -0.2241 With 5% significance level, interval estimate of the difference between the population proportion of good and bad wafers that contain particles is between 22.41% and 31.27%, the proportion of bad wafers that contain particles larger than proportion of good wafers.
46
Test and CI for Two Proportions Sample X
N Sample p
1
17 334 0.050898
2
36 116 0.310345
Difference = p (1) - p (2) Estimate for difference: -0.259447 95% CI for difference: (-0.346873, -0.172020) Test for difference = 0 (vs not = 0): Z = -5.82 P-Value = 0.000
6. Dari hasil sebuah proses produksi dikirim ke lokasi X sebanyak 15 buah barang, ternyata rata-rata masa pakainya 150 menit dengan deviasi standar 10 menit. Barang itu juga dikirim ke lokasi Y sebanyak 10 barang dan ternyata mempunyai rata-rata masa pakainya 120 menit dengan deviasi standar 12 menit. Tentukanlah selisih rata-rata masa pakai barang yang dikirim pada kedua lokasi tsb dengan derajat kepercayaan 1% ?
Penyelesaian Dik : = 15
̅ = 150
= 100
= 10
̅ = 120
= 144
Dan untuk tingkat signifikansi 95%, maka: 5 ⇒
⁄
Maka selisih rata-ratanya: 2
( x1 x 2 ) Z
1 2
n1
(150– 120) – 2,67 √
2
2
n2
1 2 ( x1 x 2 ) Z
2 1 2
n1
2
2
n2
< µx - µy < (150– 120) +2,67 √
30 – 12,254883118073 < µx - µy < 30 + 12,254883118073 17,745116881927 < µx - µy < 42,254883118037 47
Maka selisih rata-rata masa pakai barang yang dikirim kedua lokasi dengan tingkat kepercayaan 99% adalah 17,745116881927 menit sampai dengan 42,254883118037 menit.
7. Dalam mengerjakan skripsinya, seorang mahasiswa ingin mengadakan sebuah survey dengan tujuan mengetahui waktu tunggu layanan perbankan dan rumah sakit. Untuk itu dilakukan pengamatan pada data-data waktu tunggu setiap pelanggan selama satu periode yang didapat dari dua sektor usaha tersebut. Data berikut merupakan waktu tunggu dari sampel yang dipilih secara acak 11 pelanggan : Waktu tunggu (dalam menit) Perbankan
9,66 5,9
8,02 5,79 8,73 3,82 8,01 8,35 10,1
6,6
5,6
Rumah Sakit
4,21 5,55
3,02 5,13 4,77 2,34 3,54 3,2
6,1
0,3
4,5
Asumsikan varians populasinya sama, tentukanlah batas-batas taksiran selisih rata-rata waktu tunggu hasil survei mahasiswa tersebut dengan tingkat sigifikansi 5%?
Jawab : Dik: = 11
= 11
̅ = 7.326
̅ = 3.878
= 3.730287273 C.l = 95 %
⁄
= 2.707076364
= 2.0860 (df = 11 + 11 -2 = 20)
Solution (n1 1)s1 (n2 1) s2 1 1 (n1 1)s1 (n2 1)s2 1 1 ( ) 1 2 ( x1 x2 ) t ( ) 2 n1 n2 2 n1 n2 n1 n2 2 n1 n2 2
( x1 x2 ) t
2
(7.326-3.878) - 2.0860√
2
2
2
< µ1 - µ2<
(7.326-3.878) - 2.0860√ 1.851< µ1 - µ2 < 5.043 Dengan tingkat sigifikansi 5%, maka batas-batas taksiran selisih rata-rata waktu tunggu hasil survei mahasiswa tersebut antara 1.851 menit dan 5.043 menit.
48
Two-Sample T-Test and CI: Garut, Bandung Two-sample T for Garut vs Bandung N Mean StDev SE Mean Garut
11 7.33 1.93
Bandung 11 3.88 1.65
0.58 0.50
Difference = mu (Garut) - mu (Bandung) Estimate for difference: 3.44727 95% CI for difference: (1.85152, 5.04302) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 4.51 P-Value = 0.000 DF = 20 Both use Pooled StDev = 1.7941
49
UJI HIPOTESIS RATA-RATA DAN PROPORSI Hipotesis adalah sebuah dugaan atau referensi yang dirumuskan serta diterima untuk sementara yang dapat menerangkan fakta-fakta yang diamati dan digunakan sebagai petunjuk dalam pengambilan keputusan.(Suharyadi; 2009).
Pengujian Hipotesis Pengujian Hipotesis adalah prosedur yang didasarkan pada bukti sampel yang dipakai untuk menentukan apakah hipotesis merupakan suatu pernyataan yang wajar dan oleh karenanya tidak ditolak, atau hipotesis tersebut tidak wajar dan area itu ditolak.
Perumusan Hipotesis Perumusan hipotesis dikembangkan menjadi hipotesis nol dan hipotesis alternatif. a. Hipotesis Nol(Ho) - Hipotesis nol dilambangkan dengan Ho dan diformulasikan untuk ditolak sesudah pengujian. - Memprediksi tidak adanya perbedaan antara satu kondisi dengan kondisi yang lain. b. Hipotesis Alternatif (Ha) - Hipotesis alternatif (Ha) merupakan hipotesis yang diterima ketika menolak hipotesis nol (Ho) dan berlaku sebaliknya. - Memprediksi adanya perbedaan antara satu kondisi dengan kondisi lain. Contoh : 1. Ho : Rata-rata nilai Bahasa Inggris mahasiswa kelas A sama dengan rata-rata nilai Bahasa Inggris mahasiswa kelas B 2. Ha : Rata-rata nilai Bahasa Inggris mahasiswa kelas A tidak sama dengan rata-rata nilai Bahasa Inggris mahasiswa kelas B
50
Uji Hipotesis Rata-Rata Adalah pengujian mengenai hipotesis rata-rata suatu populasi yang didasarkan atas informasi sampelnya.
Langkah-Langkah Menguji Rata-Rata Populasi (µ): 1. Rumuskan Hipotesis a.
:
=
(pengertian sama/uji 2 pihak)
: :
>
:
<
b.
≤
: :
c.
> :
:
(uji 1 pihak kanan/ pengertian max)
(uji 1 pihak kiri/ pengertian min) <
2. Perhitungan Z stat dan t stat Perhitungan Z stat: bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan
5,
gunakan faktor koreksi √ ̅ √ √ bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan
≤
5 atau bila
populasinya tidak terbatas (N tidak diketahui nilainya) ̅ √ Bila standar deviasi populasi ( ) tidak diketahui dapat diganti dengan standar deviasi sampelnya (s). 51
Perhitungan t stat: bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan
5,
gunakan faktor koreksi √ ̅ √ √ bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan
≤
5 atau
bila populasinya tidak terbatas (N tidak diketahui nilainya) ̅ √ Bila standar deviasi populasi ( ) tidak diketahui dapat diganti dengan standar deviasi sampelnya (s).
3. Menentukan batas daerah penerimaan dan penolakan: a.
n > 30, tentukan nilai Z table Zα = 5
Z1/2α = Ket : Z1/2α =
α
Z table untuk uji 2 pihak
Zα = Z table untuk uji 1 pihak n≤ 30, tentukan nilai t table dengan derajat kebebasan (degree of freedom/df) t1/2α =
t table untuk uji 2 pihak
tα =t table untuk uji 1 pihak df = n -1 b. Gunakan α (tingkat signifikasi) c. Gambarkan daerah penolakan dan penerimaan hipotesis nol berdasarkan langkah 1 i. Uji 2 pihak
Daerah penolakan H (daerah kritis )
Daerah penolakan H (daerah kritis )
Daerah penerimaan H
-Z1/2α
?
Z1/2α
52
ii. Uji 1 pihak kanan
Daerah penolakan H (daerah kritis) Daerah penerimaan H
Zα
iii. Uji 1 pihak kiri
Daerah penolakan H (daerah kritis)
Daerah penerimaan H
-Zα
Keterangan : Daerah yang diasir adalah daerah penolakan Ho dan untuk n ≤30, Z diganti dengan t.
4. Menentukan kriteria penerimaan atau penolakan (1) Untuk uji 2 pihak : Z <- atau Z > 2
Jika ≤ Z ≤ 2
2
2
Ho ditolak Ho tidak dapat ditolak
(2) Uji 1 pihak kanan : Z > , Ho ditolak Z ≤ , Hotidak dapat ditolak (3) Uji 1 pihak kiri :
Z < Ho ditolak Z ≥ Hotidak dapat ditolak
Nilai Z diganti dengan t jika n ≤ 30.
5. Bandingkan nilai Z atau t (yang diperoleh pada tahap 2) dengan Z atau t table serta simpulkan apakah Ho tidak dapat ditolak atau ditolak berdasarkan kriteria penerimaan/penolakan. 6. Membuat kesimpulan secara komprehensif/lengkap
53
Contoh Soal : Berat dari buku yang diproduksi oleh PT X memiliki rata-rata 1900 gram dengan standar deviasi 100 gram. Dengan menggunakan teknik produksi baru, PT X mengklaim bahwa berat buku dapat dikurangi. Untuk menguji klaim ini, diambil sampel sebanyak 50 buah buku, dan diketahui bahwa rata-rata berat buku adalah 1850 gram. Dapatkan klaim dari PT X dibenarkan pada tingkat signifikansi 1%?
Jawab : α = 1%
Dik : n = 50
σ = 100
= 1850
1. Ho : μ = 1900 Ha : μ < 1900 2.
̅ √
√
= -3,535
3. = 2,33 4. Kriteria Uji : Uji 1 pihak kiri : Z < Ho ditolak Z ≥ Hotidak dapat ditolak 5. Daerah penolakan Ho (
Daerah penerimaan Ho -Zα
6. Ternyata -3,535 < 2,33 maka Ho ditolak 7. Kesimpulan : Pada tingkat signifikansi 1%, klaim PT X mengenai berat buku dapat dikurangi dengan menggunakan teknik produksi baru adalah benar.
54
Uji Hipotesis Proporsi Adalah pengujian hipotesis mengenai proporsi/perbandingan suatu populasi yang didasarkan atas informasi sampelnya. Langkah – langkah menguji proporsi populasi (
:
a. Rumuskan Hipotesis a.
:
=
(uji 2 pihak)
:
b.
:
>
:
<
:
(uji 1 pihak kanan/ pengertian max) :
c.
>
:
(uji 1 pihak kiri/ pengertian min) :
<
2) Perhitungan Z stat dan t stat (Z hitung atau t hitung) Perhitungan Z stat: bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan
,
gunakan faktor koreksi
Z=
( ) √
bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan
atau bila
populasinya tidak terbatas (N tidak diketahui nilainya)
Ket : x/n = proporsi sampel
55
π = proporsi populasi Perhitungan t stat: bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan
,
gunakan faktor koreksi
t=
( ) √
bila populasinya terbatas (N dan n diketahui nilainya) dan
atau bila
populasinya tidak terbatas (N tidak diketahui nilainya) t=
( ) √
; df : n – 1
3) Menentukan batas daerah penerimaan dan penolakan a. n > 30, tentukan nilai Z table Zα = 5
Z1/2α = Ket : Z1/2α =
α
Z table untuk uji 2 pihak
Zα = Z table untuk uji 1 pihak n≤ 30, tentukan nilai t table dengan derajat kebebasan (degree of freedom/df) t1/2α =
t table untuk uji 2 pihak
tα =t table untuk uji 1 pihak df = n -1 a. Gunakan tingkat signifikansi ( b. Gambarkan daerah penolakan dan penerimaan hipotesis nol berdasarkan langkah 1. i. Uji 2 pihak
Daerah penolakan H (daerah kritis )
Daerah penolakan H (daerah kritis )
Daerah penerimaan H
-Z1/2α
?
Z1/2α
56
ii. Uji 1 pihak kanan
Daerah penolakan H (daerah kritis) Daerah penerimaan H
Zα
iii. Uji 1 pihak kiri
Daerah penolakan H (daerah kritis)
Daerah penerimaan H
-Zα
Keterangan : Daerah yang diasir adalah daerah penolakan Ho dan untuk n ≤30, Z diganti dengan t.
4. Menentukan kriteria penerimaan atau penolakan (1) Untuk uji 2 pihak : Z <- atau Z > 2
Jika ≤ Z ≤ 2
2
2
Ho ditolak Ho tidak dapat ditolak
(2) Uji 1 pihak kanan : Z > , Ho ditolak Z ≤ , Hotidak dapat ditolak (3) Uji 1 pihak kiri :
Z < Ho ditolak Z ≥ Hotidak dapat ditolak
Nilai Z diganti dengan t jika n ≤ 30. 5. Bandingkan nilai Z atau t (yang diperoleh pada tahap 2) dengan Z atau t table serta simpulkan apakah Ho tidak dapat ditolak atau ditolak berdasarkan kriteria penerimaan/penolakan.
57
6. Membuat kesimpulan secara komprehensif/lengkap Contoh Soal : Para dosen di suatu perguruan tinggi sangat yakin bahwa dengan adanya praktikum maka nilai akhir mahasiswa akan meningkat. Pada tahun 2011 dari 30 kelas yang mengikuti praktikum, sebanyak 26 kelas menunjukan peningkatan nilai dan 4 kelas lainnya mengalami penurunan. Dari data tersebut ujilah pernyataan bahwa 90% lebih kelas mengalami peningkatan nilai dengan taraf nyata 5%! α = 5%
Dik : x = 26
π = 90%
n = 30
Dit : Ujilah pernyataan tersebut
Jawab : : π ≥ 0.9
1.
: π < 0.9 2. t =
( ) √
=
0
0 0
0 0
√
0 10 0
t = - 0,6086 3. tα
df : n – 1 = 29
Lihat table t; maka tα = 1,6991
α= 0,05 4. Kriteria uji :
Uji 1 pihak kiri : t < tα , t
tα ,
ditolak tidak dapat ditolak
Daerah Penolakan Ho Daerah penerimaan Ho -tα
5. Ternyata : - 0,6086> -1,6691; maka t >tα ,
tidak dapat ditolak
58
Kesimpulan : Dengan tingkat signifikansi 5%, maka pernyataan bahwa bahwa 90% lebih kelas mengalami peningkatan nilai adalah benar.
SOAL UJI HIPOTESIS RATA-RATA DAN PROPORSI
1. PT. Otomotif Indonesia Jaya melakukan suatu sistem produksi baru dengan tujuan untuk mengurangi masalah produk yang rusak. Perusahaan menginginkan bahwa tidak boleh ada lebih dari 10 unit yang rusak dalam sehari. Selama pengamatan 32 hari ternyata rata-rata jumlah produk yang rusak adalah 9 unit, dengan standar deviasi sebesar 2 unit. Dengan menggunakan taraf nyata 1%, apakah target PT. Otomotif Indonesia Jaya tercapai?
Dik : n = 32
= 1%
s=2
μ = 10
=9
Dit : Apakah target perusahaan tersebut tercapai? Jawab : : μ ≤ 10
√
: μ > 10
Z = -2,828
̅
Zα = 2.33 √
Kriteria : Z >
,
ditolak ,
tidak dapat ditolak
2.33 Ternyata : -2,828< 2.33, maka Z <
,
tidak dapat ditolak
Kesimpulan : Dengan tingkat signifikansi 1%, maka PT Otomotif Indonesia Jaya dapat menurunkan tingkat produknya yang rusak dengan menggunakan sistem produksi baru.
59
2. Dalam dunia fashion, dengan memiliki suatu produk dari merk mewah merupakan suatu hal yang dapat meningkatkan status sosial penggunanya. Dimana ini merupakan suatu merk yang hanya dapat dimiliki oleh orang-orang dengan kemampuan keuangan yang tinggi. Harga rata-rata produk dari merk mewah tersebut adalah Rp 50 juta. Dari hasil survei yang dilakukan suatu lembaga sosial terhadap 30 merk mewah diperoleh hasil bahwa rata-rata harga dari produknya adalah Rp 52 juta dengan standar deviasi 3 juta. Dengan tingkat signifikansi 5% ujilah apakah harga produk dari merk mewah tersebut sama dengan Rp 50 juta?
Dik : n = 30
= 5%
s=3
μ = 50
= 52
: μ = 50
Jawab :
: μ ≠ 50 ̅ √ √
t = 3,651 t1/2α = 2,0452 (df = n – 1 = 30 -1 = 29) Ternyata, t > t1/2α maka Ho ditolak
- t1/2α
t1/2α
Kesimpulan dengan tingkat signifikansi 5%, maka harga produk dari merk mewah sebesar Rp 50 juta adalah salah.
3. Dalam suatu konferensi internasional diperoleh hasil bahwa dengan adanya kerjasama internasional dapat meningkatkan pendapatan masing-masing negara anggota konferensi. Pada tahun 2011, dari 59 negara anggota, terdapat 50 negara yang mengalami peningkatan pada pendapatan, sedangkan 9 negara lainnya mengalami penurunan. Dari data tersebut
60
ujilah pernyataan bahwa setidaknya terdapat kemungkinan 90% bahwa kerjasama internasional dapat meningkatkan pendapatan negara dengan taraf nyata 5%?
Dik :
= 90%
x = 50
:
≥ 90%
:
< 90%
n = 59
Z= √
= -1,344 Zα = 0.5-0.05 = 0.4500
= 1,645
Kriteria uji : uji 1 pihak kiri : Z < Z
,
ditolak
,
tidak dapat ditolak
-1,645 Ternyata -1,344 > -1,645, Z >
,
tidak dapat ditolak
Kesimpulan : Pada tingkat signifikansi 5% pernyataan perusahaan bahwa kerjasama internasional dapat meningkatkan pendapatan negara setidaknya 90 % adalah benar.
4. Kementrian Keuangan menyatakan harapan bahwa pada akhir tahun 2012 terdapat 60% saham dalam negeri yang terdapat di Bursa Efek Indonesia akan terus mengalami peningkatan dalam penjualannya. Untuk melihat kinerja dari saham dalam negeri yang terdapat di Bursa Efek Indonesia diambil sampel sebanyak 20 saham dari perusahaan dalam negeri yang berbeda-beda, dan hasilnya didapatkan bahwa terdapat 45% saham
61
yang mengalami peningkatan dalam penjualannya. Dengan tingkat signifikansi 5%, apakah harapan dari Kementrian Keuangan pada akhir tahun 2013 akan tercapai ?
Dik :
= 60%
t=
x/n = 45%
:
= 60%
:
≠ 60%
n = 20 t= √
( )
t = -1,369
√
t1/2α = 2,0930 (df = n – 1 = 20 -1 = 19) Ternyata, -t1/2α < t < t1/2α maka Ho diterima
- t1/2α
t1/2α
Kesimpulan dengan tingkat signifikansi 5%, maka harapan dari Kementrian Keuangan pada akhir tahun 2013 akan tercapai.
5. The quality control manager at a lightbulb factory needs to determine whether the mean life of a large shipment of lightbulbs is equal to the specified value of 375 hours. The process standard deviation is known to be 100 hours. A random sample of 64 lightbulbs indicates a sample mean life of 350 hours. At the 0,05 level of significance is the evidence that the mean life is different from 375 hours ? Dik : n = 64 = 350
= 5%
σ = 100 μ = 375
Jawab : : μ = 375 : μ ≠ 375 ̅
√
Z = -2 = 1.96
√
62
Kriteria uji : Two tailed test : Z <
or Z > ,
,
cannot be rejected
-1.96 In fact : -2 > -1.96 so
rejected
1.96
rejected
Conclusion : At the 0,05 level of significance there is an evidence that the mean life is different from 375 hours.
6. The mean weight of a small silver ring is 25 gram. There is concern that the adjustment of the machine producing affected the weight of the ring. Fifteen ring were randomly selected from production. The mean weight of the samples is 27 gram with standard deviation is 4 gram. Test the hypothesis at 5%! Given : n = 15 = 27
= 5%
s=4
μ = 25
Question : Test the hypothesis Answer: : μ = 25
√
: μ ≠ 25
t = 1,93649
̅
tα/2 = 2,1448 √
Criteria : 2 tailed test
:t<
or t >
, ,
reject do not reject
62
-2,1448
2,1448
Fact : -2,1448 < 01,93649 < -2,1448 ; so Ho do not reject Conclusion : with 5% significance level, we can conclude that the mean is 25 gram is accepted. The adjustment of the machine producing doesn’t affect the weight of the silver ring.
7. The National Safety Council reported that 52% of American Turnpike drivers are men. A sample of 29 cars traveling eastbound on the Ohio Turnpike yesterday revealed that 16 were driven by men. At the significance 1%, can we conclude that a smaller proportion of men were driving on the Ohio Turnpike than the National Safety Council indicates? Given : n= 29
= 1%
x = 16
= 52%
Question : can we conclude that a smaller proportion of men were driving on the Ohio Turnpike Answer : : = 52%
t=
: <52% t=
√
= 0,3420
tα = 2,467
( ) √
Criteria : one tailed test : t < t
, ,
reject do not reject
-2,467 64
0,3420 > -2,467; so t >
,
do not reject
Conclusion : So the null hypothesis is not rejected at the 1% significance level we can not conclude that a smaller proportion of men were driving on the Ohio Turnpike than the National Safety Council indicates (we can conclude that that 52% of American Turnpike drivers are men).
UJI HIPOTESIS SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI A. UJI HIPOTESIS SELISIH RATA-RATA Pengujian hipotesis selisih rata-rata digunakan ketika terdapat dua buah rata-rata hitung. Pengujian ini dimaksudkan untuk mengetahui apakah: 1. Beberapa populasi mempunyai rata-rata yang sama ataukah berbeda? 2. Beberapa buah sampel berasal dari sebuah populasi yang sama ataukah berlainan? (Prof. Dr. Sudjana, M.A., M.Sc - Statistika Untuk Ekonomi dan Niaga Jilid II) Perumusan Hipotesis:
Uji 2 Pihak :μ
μ
:μ
μ
Kurva :
Kriteria : ≤Z≤ Z<
atau Z >
n > 30 dimana n ≤30 dimana Dimana
tidak dapat ditolak
ditolak
dengan df = n1 + n2 – 2 dengan df = n1 + n2 – 2
Uji Pihak Kanan :μ ≤ μ :μ
μ 65
Kurva :
Kriteria : Z≤
tidak dapat ditolak
Z>
ditolak 5
n > 30 dimana n ≤ 30 dimana Dimana
dengan df = n1 + n2 – 2 dengan df = n1 + n2 – 2
Uji Pihak Kiri :μ
μ
:μ
μ
Kurva :
Kriteria : Z≥
tidak dapat ditolak
Z<
ditolak 5
n > 30 dimana n ≤ 30 dimana Dimana
dengan df = n1 + n2 – 2 dengan df = n1 + n2 – 2
Keterangan: -
Untuk sampel kecil ubah Z menjadi t
-
Untuk proporsi ubah μ menjadi
Rumus: n>30 (sampel besar) (
) (μ
μ )
Z= √
66
Jika
dan
tidak diketahui nilainya, maka:
(
) (μ
μ )
Z= √
n≤30 (sampel kecil) (
) (μ
μ )
t= √
Jika
dan
(
tidak diketahui nilainya, tetapi diketahui bahwa ) (μ
≠
maka :
=
maka :
μ )
t= √
Jika
dan
tidak diketahui nilainya, tetapi diketahui bahwa
(
) (μ
μ )
t= √
(
)
Contoh soal: Manajer HRD suatu perusahaan berpendapat bahwa prestasi kerja karyawan yang mendapatkan training ternyata lebih bagus daripada karyawan yang tidak mendapatkan training. Maka dari itu, diambil sampel dari karyawan, masing-masing 40 dn 30 orang dengan rata-rata dan simpangan baku 300 dan 4 untuk karyawan yang mendapatkan training serta 302 dan 4.5 untuk karyawan yang tidak mendapatkan training. Ujilah pendapat dari Manajer HRD tersebut dengan tingkat signifikansi 5%! Dik:
Dit:
= 40
= 302
=4
= 30
= 300
= 4.5
Ujilah pernyataan bahwa bahwa prestasi kerja karyawan yang mendapatkan training ternyata lebih bagus daripada karyawan yang tidak mendapatkan training (μ
μ )!
Jawab: :μ ≤ μ :μ
μ
(
)
Z= √
67
= 1.92897128869
Z=
1.9289
√
α = 0.05 = 0.5 – 0.05 = 0.45
= 1.645
Kriteria : Z≤
tidak dapat ditolak
Z>
ditolak
Ternyata: 2.4414 > 1.645
Z>
ditolak
Kesimpulan: Dengan tingkat signifikansi 5%, pernyataan tersebut benar yaitu prestasi kerja karyawan yang mendapatkan training ternyata lebih bagus daripada karyawan yang tidak mendapatkan training. B. UJI HIPOTESIS SELISIH PROPORSI Pengujian hipotesis selisih proporsi digunakan ketika terdapat dua buah perbandingan. Pengujian ini dimaksudkan untuk mengetahui apakah ada perbedaan presentase yang menyolok ataukah tidak antara dua kelompok yang sedang dipelajari. Rumus:
n>30 (sampel besar) (
)
Z= √
Jika
dan
tidak diketahui, maka: (
)
√
68
=
dimana,
atau dapat juga digunakan rumus: (
)
Z= √
n≤30 (sampel kecil) (
)
t= √
Jika
dan (
tidak diketahui, maka: )
t= √
dimana,
=
atau dapat juga digunakan rumus: (
)
t= √
Contoh soal: Seorang ahli fermentasi mengadakan percobaan pada dua macam obat fermentasi dan menyatakan bahwa perubahan obat pertama dan kedua pada gelas susu adalah sama. Obat pertama diberikan pada 100 gelas susu dan ternyata 60 gelas susu menunjukkan perubahan. Obat kedua diberikan pada 150 gelas susu yang lain dan ternyata 85 gelas susu berubah. Ujilah dengan taraf nyata 5%! Dik: Dit: π
= 60
= 85
= 100
= 150
π
Jawab: : : 69
= =
= 0.58 (
)
√ (
)
= 0.52419410927
0.5241
√
α = 0.05
-
⁄
= 1.96
⁄
Kriteria : ≤Z≤ Z<
tidak dapat ditolak
atau Z >
ditolak
Ternyata: -1.96 ≤ 0.5241 ≤ 1.96
tidak dapat ditolak
Kesimpulan: Jadi, dengan taraf nyata 5% dapat disimpulkan bahwa pernyataan perubahan obat pertama dan kedua pada gelas susu adalah sama dapat diterima, karena tidak terdapat perbedaan yang signifikan.
70
SOAL UJI HIPOTESIS SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI
1. Manajer produksi suatu perusahaan menyatakan bahwa persentase barang yang rusak dari dua jalur produksi (production lines) adalah sama. Untuk mrnguji pernyataan tersebut diambil sampel sebanyak 200 barang yang dihasilkan jalur produksi pertama dan ternyata terdapat 20 barang yang rusak. Sedangkan dari jalur produksi kedua diambil sampel sebanyak 300 barang, ternyata terdapat 45 barang yang rusak. Dengan α = 1%, apakah sampel yang diperoleh dapat digunakan sebagai bukti membenarkan pernyataan tersebut? Dik:
= 20
= 45
= 200 Dit: π
= 300 π
Jawab: : :
= =
= 0.13 (
)
√ (
)
= -0.6902097202
-0.6902
√
α = 0.01
=2.575
71
-
⁄
⁄
Kriteria : ≤Z≤ Z<
atau Z >
tidak dapat ditolak
ditolak
Ternyata: -2.575 ≤ 0.6902 ≤ 2.575
tidak dapat ditolak
Kesimpulan: Jadi, dengan taraf nyata 1% dapat disimpulkan bahwa pernyataan persentase barang yang rusak dari dua jalur produksi (production lines) adalah sama dapat diterima, karena tidak terdapat perbedaan yang signifikan.
2. Forty employees at PT.A and 36 employees at PT.B randomly selected as a sample to test that the average wage per day in PT.A lower than average wage per day in PT.B. Based on the sample was obtained information that the average wage per day in PT.A is $80 with standard deviation is $1.6 and PT.B is $78.2 with standard deviation is $2.1. At the level of 5%, test the statement that the average wage per day in PT.A lower than average wage per day in PT.B! = 40
= 80
= 1.6
= 36
= 78.2
= 2.1
Unknown :
Asked : test the statement that the average wage per day in PT.A lower than average wage per day in PT.B! (μ μ ) Answer
:
:μ
μ (the average wage per day in PT.A is not lower than average wage per day in PT.B)
:μ
μ
(the average wage per day in PT.A lower than average wage per day in
PT.B) (
)
Z= √
= 4.16805160186
Z=
4.1680
√
72
α = 0.05
= 0.5 – 0.05 = 0.45
= 1.645
Criteria : Z≥
Z<
rejected
Fact: 4.1680 > 1.645
Z>
cannot be rejected
Conclusion: With 0.05 significance level, the claim that the average wage per day in PT.A lower than average wage per day in PT.B can’t be accepted.
3. Sebuah perusahaan menyatakan bahwa kekuatan rentangan rata-rata tali A melebihi kekuatan rentangan tali B. untuk menguji pernyataan ini, 50 tali dari masing-masing jenis tersebut diuji dibawah kondisi yang sama. Hasil uji memperlihatkan bahwa tali A mempunyai kekuatan rentangan rata-rata 86.7 kg dengan simpangan baku 6.28 kg, sedangkan tali B mempunyai rentangan rata-rata 77.8 kg dengan simpangan bak 5.61 kg. ujilah pernyataan perusahaan tersebut dengan menggunakan taraf nyata 0.01! Dik:
= 50
= 86.7
= 6.28
= 50
= 77.8
= 5.61
Dit: Ujilah pernyataan bahwa kekuatan rentangan rata-rata tali A melebihi kekuatan rentangan tali B (
)!
Jawab: :
≤
(kekuatan rentangan rata-rata tali A tidak melebihi kekuatan rentangan
tali B) :
(kekuatan rentangan rata-rata tali A melebihi kekuatan rentangan tali B) (
)
Z= √
73
= 7.47342596675
Z=
7.4734
√
α = 0.01 = 0.5 – 0.01 = 0.49
= 2.33
Kriteria : Z≤
tidak dapat ditolak
Z>
ditolak
Ternyata: 7.4734 > 2.33 Z>
ditolak
Kesimpulan: Dengan tingkat signifikansi 1%, ternyata benar bahwa kekuatan rentangan rata-rata tali A melebihi kekuatan rentangan tali B.
4. A sample of 500 shoppers was selected in a large metropolitan area to determine verious information concerning consumer behavior. Among the questions asked was “do you enjoy shopping for clothing?” of 240 males, 136 answered yes. Of 260 females, 224 answered yes. Is there evidence of a significant difference between males an females in the proportion who enjoy shopping for clothing at the 0.01 level of significance? Unknown :
= 136 = 240
Asked
= 224 = 260
: Is there evidence of a significant difference between males an females in the
proportion who enjoy shopping for clothing at the 0.01 level of significance? Answer :
: (there are no significant difference between males an females in the proportion who enjoy shopping for clothing) 74
:
(there are significant difference between males an females in the proportion who enjoy shopping for clothing)
= =
= 0.72 (
)
√ (
)
= -7.33660863025
-7.3366
√
α = 0.01
-
⁄
=2.575
⁄
Criteria : ≤Z≤ Z<
atau Z >
can’t rejected
rejected
Fact : -7.3366 < -2.575 or 7.3366 > 2.575
rejected
Conclusion : So, with 0.01 level of significance, we can conclude that there are significant difference between males an females in the proportion who enjoy shopping for clothing.
5. The A company are produce and assemble lawnmowers, which are sent to distributors throughout the United States and Canada. Two different producers are advised to install the motor in the frame of the machine. Then performed two procedures in which the two pieces of the procedure will be seen time and movement. A sample of 5 employees recorded the time it takes to use the procedure 1, and 6 employees who use the procedure 2. Obtained by procedure 1 the average is 4 with a variance of 8.5, while the second
75
procedure the average is 5 with variance 4.4. Is there a difference in median time to put the motor in the frame of the machine, with a significance level of 5%? Unknown :
Asked
:
Answer
:
:
=5
=4
= 8.5
=6
=5
= 4.4
(there are no difference in median time to put the motor in the frame of the
machine) :
(there are difference in median time to put the motor in the frame of the
machine)
(
) (μ
μ )
0.64106076519 -0.6410
t= √
√
5
df = (n1 + n2) -2 = (5 + 6 ) – 2 = 9
Curve :
Criteria : ≤t≤ t<
atau t >
can’t rejected
rejected
Fact : -0.6410 < 2.2622 < 0.6410 Ho rejected Conclusion : so, with 0.05 significance level there are difference in median time to put the motor in the frame of the machine
6. Seorang direktur pemasaran berpendapat bahwa proporsi persentase barang yang tidak laku untuk merk A lebih kecil dari merk B. setelah dilakukan pengecekan, barang merk A 76
sebanyak 25 buah dan yang tidak laku adalah 5 buah. Sedangkan barang merk B sebanyak 20 buah dan yang tidak laku adalah 6 buah. Dengan menggunakan α=5% ujilah pernyataan tersebut! Dik
:
= 50
= 60
= 250
= 200
Dit
: Ujilah pernyataan tersebut!
Jawab
:
:
≤
(proporsi persentase barang yang tidak laku untuk merk A tidak lebih kecil dari merk B)
:
(proporsi persentase barang yang tidak laku untuk merk A lebih kecil dari merk B)
= (
)
√
(
)
= 0.00166222017
0.0016
√
= 0.5-0.05 = 0,45
= 1,645
kriteria : Z≥
Z<
ditolak
Ternyata : 0.0016 < 1.645 Z<
ditolak
77
Kesimpulan : jadi, dengan tingkat signifiksni 5% dapat disimpulkan pernyataan bahwa proporsi persentase barang yang tidak laku untuk merk A lebih kecil dari merk B adalah benar.
7. Direktur pembelian untuk sedang menyelidiki kemungkinan pembelian mesin penggiling baru. Dia menentukan bahwa mesin baru akan dibeli jika ada bukti bahwa bagian-bagian yang diproduksi mesin baru memiliki rata-rata kekuatan yang lebih tinggi daripada yang dihasilkan mesin tua. Standar deviasi untuk mesin tua adalah 10 kilogram dan untuk mesin baru adalah 9 kilogram. Sebuah sampel dari 100 bagian yang diambil dari mesin tua menunjukkan sampel dengan rata-rata 65 kilogram, sedangkan sampel yang sama 100 dari mesin baru menunjukkan rata-rata 72 kilogram. Menggunakan tingkat signifikansi 0.05, apakah ada buktinya bahwa direktur pembelian harus membeli mesin baru? Dik
= 100
= 72
=9
= 100
= 65
= 10
:
Dit
: Ujilah pernyataan tersebut!
Jawab
: ≤
(bagian-bagian yang diproduksi mesin baru tidak memiliki rata-rata
kekuatan yang lebih tinggi daripada yang dihasilkan mesin tua) (bagian-bagian yang diproduksi mesin baru memiliki rata-rata kekuatan yang lebih tinggi daripada yang dihasilkan mesin tua) (
)
Z= √
= 5.20204734420
Z=
5.2020
√
α = 0.05 = 0.5 – 0.05 = 0.45
= 1.645
2
Kriteria : Z≤
tidak dapat ditolak
Z>
ditolak
Ternyata: 5.2020 > 1.645 Z>
ditolak
Kesimpulan: Dengan tingkat signifikansi 5%, ternyata bagian-bagian yang diproduksi mesin baru memiliki rata-rata kekuatan yang lebih tinggi daripada yang dihasilkan mesin tua bahwa hal tersebut merupakan suatu bukti sehingga direktur pembelian harus membeli mesin baru.
3
