March 13
Probabilitas Terapan
Materi 1 Distribusi Sampling
UNIVERSITAS GUNADARMA 2013
Probabilitas Terapan
Populasi dan Sampel • Populasi : keseluruhan objek yang menjadi pusat perhatian dalam statistika Parameter besaran yang menggambarkan karakteristik dari populasi • Sampel : Himpunan bagian dari populasi Statistik besaran yang digunakan untuk menggambarkan karakteristik suatu sampel Statistik digunakan untuk pendugaan parameter
1
March 13
Probabilitas Terapan
Populasi dan Sampel
Probabilitas Terapan
Populasi dan Sampel • Alasan menggunakan sampel: a. Biaya & Sumber Daya b. Waktu c. Ketelitian d. Sifat merusak / mengganggu
Populasi Rata-rata µ Simpangan Baku σ
RANDOM
Sampel
Banyak n jika Pengambilan sampel dengan pengembalian = Nn Jika Sampel tanpa pengembalian, maka banyaknya sampel adalah NCn
2
March 13
Probabilitas Terapan
Populasi dan Sampel
Probabilitas Terapan
Metode Sampling • Teori sampling didasarkan atas adanya pengaruh TBMJOHNFOJBEBLBOEJBOUBSBBOHHPUBQPQVMBTJ ‘Random Sampling’ pemilihan acak yang menjamin setiap anggota populasi memiliki peluang yang sama untuk terpilih sebagai sampel
3
March 13
Probabilitas Terapan
Manfaat Sampling • Estimasi suatu parameter populasi • Pengujian hypotesa • Peramalan
Probabilitas Terapan
Populasi vs Sampel • Parameter Populasi Sebuah parameter populasi selalu konstan Sebuah populasi hanya memiliki sebuah nilai µ • Statistik Sampel Merupakan variabel acak (random) Setiap statistik sampel memiliki sebuah distribusi peluang (probability distribution) Distribusi peluang dari suatu statistik sampel disebut ‘distribusi sampling’
4
March 13
Probabilitas Terapan
Distribusi Sampling • Distribusi Peluang Populasi Merupakan distribusi peluang yang diturunkan dari informasi seluruh elemen populasi Contoh 1: Ada 5 mahasiswa yang mengambil m.k. Statistika Lanjut dengan hasil akhir masing2 adalah: 70, 78, 80, 80, 95 Jika tidak dilakukan pengelompokan, maka buatlah distribusi peluang populasinya !
Probabilitas Terapan
Distribusi Sampling • Distribusi Peluang Populasi Jawab: Tabel Distribusi Peluang x x 70 78 80 95
f 1 1 2 1
P(x) 1/5 = 0.2 1/5 = 0.2 2/5 = 0.4 1/5 = 0.2
P(x) = 1.0
5
March 13
Probabilitas Terapan
Distribusi Sampling B. Distribusi Sampling Rata-rata – Dalam suatu populasi, hanya ada 1 nlai rata-rata populasi µ – Rata-rata sampel x, nilainya merupakan variabel acak sehingga memiliki distribusi peluang = distribusi sampling rata-rata, x – Contoh : Dari contoh sebelumnya dengan 5 elemen anggota populasi, buatlah semua kemungkinan sampel yang dapat terjadi jika masing2 sampel terdiri dari 3 score yang diambil tanpa pemulihan dari populasi tersebut. Penyelesaian: Jumlah kombinasi sampel yang terjadi dihitung dengan rumus kombinasi: 5! = 5 10 (kemungkinan kombinasi sampel) 3 ! (5 - 3) ! 3
( )
Tabel 2. Semua Kemungkinan Sampel dan rata-rata dengan ukuran sampel = 3 Sampel
Score Dalam Sampel
Tabel 3. Distribusi Sampling x
Peluang
Rata-rata
x
x
f
P(x)
ABC
70, 78, 80
76.00
76.00
2
2/10 = 0.2
ABD
70, 78, 80
76.00
76.67
1
1/10 = 0.1
ABE
70, 78, 95
81.00
79.33
1
1/10 = 0.1
ACD
70, 80, 80
76.67
81.00
1
1/10 = 0.1
ACE
70, 80, 95
81.67
81.67
2
2/10 = 0.2
ADE
70, 80, 95
81.67
84.33
2
2/10 = 0.2
BCD
78, 80, 80
79.33
85.00
1
BCE
78, 80, 95
84.33
BDE
78, 80, 95
84.33
CDE
80, 80, 95
85.00
1/10 = 0.1 ΣP(x) = 1.0
P(x = 81.67) = 0.20
• Jika dipilih suatu sampel yang berukuran 3 dari populasi yang berukuran 5, maka akan didapatkan 10 kemungkinan sampel terpilih. Masing2 akan sampel memiliki Rata-rata Sampel x. • Table 3 menunjukkan peluang rata-rata sampel x yang terdiri dari 3 score yang diambil secara acak. 19
6
March 13
Bentuk Distribusi Sampling Bentuk distribusi sampling x berkaitan dengan dua kondisi, yaitu: 1. Populasi dimana sampel diambil memiliki distribusi normal 2. Populasi dimana sampel diambil tidak memiliki distribusi normal A. Sampling dari populasi yang terdistribusi normal Jika populasi dimana sampel diambil memiliki distribusi normal dengan mean µ dan simpangan baku , maka distribusi sampling dari mean sampel x akan juga terdistribusi normal, dengan mean dan simpangan baku: µx = µ
x =
dan
σ , jika n
n 0.05 N
20
B. Sampling dari populasi yang tidak terdistribusi normal • Sering juga populasi dimana sampel diambil tidak terdistribusi normal. Bentuk distribusi sampling x didasarkan pada teori batas pusat (Central Limit Theorem). • Berdasar teori tersebut, untuk suatu sampel yang berukuran besar (n ≥ 30), distribusi sampling x adalah mendekati normal. Sehingga mean dan simpangan baku distribusi sampling x adalah: µx = µ •
dan
x =
σ , jika n
n 0.05 N
Contoh 6: Rata-rata biaya sewa apartement di sebuah kota A adalah $950 dengan simpangan baku $225. Kemudian, distribusi populasi biaya sewa apartement tersebut miring ke kanan. Hitung mean dan simpangan baku x dan bagaimana bentuk distribusi samplingnya bila ukuran sampel: a. 30 b. 100 Penyelesaian: Meskipun populasi terdistribusi tidak normal, jumlah sampel adalah besar (n ≥ 30), sehingga berlaku Central Limit Theorem. A. Anggap x adalah rata-rata sampel dari 30 penyewa. Maka, distribusi samplingnya adalah mendekati normal dengan mean dan simpangan baku:
21
7
March 13
µx = µ = $950
x =
dan
225 σ = = $41.079 30 n x = $41.079
= $225
µ = $950
x
x
µx = $950
B. Anggap x adalah rata-rata sampel dari 100 penyewa. Maka, distribusi samplingnya adalah mendekati normal dengan mean dan simpangan baku: µx = µ = $950 dan
x =
225 σ = = $22.500 100 n
x = $22.500
= $225
µ = $950
x
µx = $950
x 22
Applikasi Distribusi Sampling x Contoh 7: Suatu perusahaan memproduksi bohlam. Bila umur bohlam pada perusahaan tersebut terdistribusi normal dengan rata-rata µ adalah 800 jam dan simpangan baku sama dengan 40 jam. Hitunglah peluang bahwa suatu contoh acak yang terdiri dari 18 bohlam, memiliki umur rata-rata x kurang dari 775 jam ! Penyelesaian: Karena populasi bohlam terdistribusi normal, maka sampel juga terdistribusi normal meskipun ukuran sampel < 30, sehingga: µx = µ = 800
dan
x =
40 σ = = 10 16 n
Ditanyakan P(x < 775)…? Untuk menghitungnya, kita menggunakan distribusi normal baku z, dimana:
z
x - μ 775 - 800 - 2.5 σx 10
P(x < 775) = P(z < -2.5) = 0.0062 (Tabel distribusi z)
daerah terarsir = 0.0062
775
µx = 800
x
-2.5
0
z
23
8
March 13
24
25
9
