Statistik Deskriptif
DEVIASI RATA-RATA / RATA-RATA SIMPANGAN
Mean Deviasi atau Average Deviation atau Deviasi Mean dari deviasi
nilai-nilai dari Mean dalam suatu distribusi, diambil nilainya yang absolut. Dalam hal ini, deviasi absolut adalah nilai-nilai yang positif. Secara aritmetik mean deviasi dapat didefinisikan sebagai mean dari harga mutlak dari deviasi nilai-nilai individual. Selanjutnya untuk dapat menyelesaikan pekerjaan mencari mean deviasi, pertama-tama haruslah ditemukan mean. Kemudian ditentukan berapa besarnya penyimpangan tiap-tiap dari nilai mean. Dalam statistika, deviasi diberi simbol dengan huruf-huruf kecil seperti x, y, z, d, dan sebagainya.
Deviasi rata-rata (rata-rata simpangan) data yang belum dikelompokkan Berbeda dengan tiga cara sebelumnya, maka deviasi rata-rata melibatkan seluruh data observasi dalam penghitungannya. Disini, variabilitas diukur dengan membandingkan data observasi secara individual dengan pusat datanya (biasanya rata-rata). Perhitungan dilakukan dengan mencari rata-rata beda absolut antara data observasi secara individual dengan pusat datanya. Apabila tersedia data X1, X2, … , Xi, … , Xn, dan rata-rata ̅
∑
, maka simpangan terhadap rata-
rata hitung diartikan sebagai berikut: (X1- ̅ ), (X2 - ̅ ), … , (Xi- ̅ ), … , (Xn- ̅ ). Deviasi rata-rata (MD)/ Rata-rata simpangan adalah rata-rata hitung dari nilai absolut simpangan yang dirumuskan:
𝑴𝑫
𝑛
∑ 𝑋𝑖 − 𝑋̅ ,
MD : Deviasi Rata-rata; Xi: data ke i ; 𝑋̅ : rata-rata,
n : jumlah data
2.4.
Perhatikan bahwa hasil pengurangan data observasi dengan rata-ratanya berada pada dua tanda garis tegak. Tanda ini menunjukkan bahwa hasil pengurangan tersebut berbentuk absolut /mutlak (senantiasa positif). 10
Ukuran Penyebaran Contoh 2.5 Soal: Berdasarkan data pada contoh 2.2, hitunglah nilai deviasi rata-rata nilai penjualan pada dua kota tersebut ? Penyelesaian Soal: Rata-rata penjualan di Surabaya
̅=
= 1.500.000
Rata-rata penjualan di Malang
̅=
= 1.500.000
Perhitungan Deviasi Rata-rata (MD) adalah sebagai berikut Tabel 2.3 Perhitungan MD Nilai penjualan di kota Surabaya
̅
Xi 900.000,00
1.500.000,00
| − ̅| 600.000,00
1.100.000,00
1.500.000,00
400.000,00
2.200.000,00
1.500.000,00
700.000,00
1.400.000,00
1.500.000,00
100.000,00
1.600.000,00
1.500.000,00
100.000,00
1.800.000,00
1.500.000,00
300.000,00
Jumlah
2.200.000,00
= 366.667
Deviasi rata-rata (MD) =
Tabel 2.4 Perhitungan MD Nilai penjualan di kota Malang
̅
Xi 1.600.000,00
1.500.000,00
| − ̅| 100.000,00
1.400.000,00
1.500.000,00
100.000,00
1.500.000,00
1.500.000,00
0
1.500.000,00
1.500.000,00
0
1.700.000,00
1.500.000,00
200.000,00
1.300.000,00
1.500.000,00
200.000,00
Jumlah
600.000,00
= 100.000
Deviasi rata-rata (MD) = 11
Statistik Deskriptif Jika Deviasi rata-rata dihitung berdasarkan Simpangan terhadap median diartikan sebagai berikut: (X1 – med), (X2 – med), … (Xn – med), Jadi, simpangan terhadap median dirumuskan:
𝑴𝑫
𝑛
∑ 𝑋𝑖 − 𝑚𝑒𝑑 MD : Deviasi Rata-rata, Xi: data ke i
𝑚𝑒𝑑: nilai median, n: ukuran data
2.5
1.1
Contoh 2.5 Soal Cari rata-rata simpangan, baik terhadap rata-rata hitung maupun terhadap median dari data berikut X1 = 30, X2 = 40, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 70 Penyelesaian Soal: ̅ ∑
− ̅
∑
−
−
−
Deviasi rata-rata data yang telah dikelompokkan Seperti halnya ketika menentukan ukuran pusat data yang telah dikelompokkan, diperlukan penaksir data observasi (asli) dari kelas-kelas data yang terdapat dalam sebuah distribusi frekuensi, yaitu titik-ttitik tengah masing-masing kelas.Bila nilai-nilai observasi sudah dikelompokkan ke dalam bentuk distribusi frekuensi, maka deviasi rata-ratanya dirumuskan sebagai berikut: Untuk n (sampel) 𝐷𝑒𝑣𝑖𝑎𝑠𝑖 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑀𝐷 Xi : Titik tengah kelas ke-I fi : Frekuensi kelas ke-I
∑ 𝑋𝑖 −𝑋̅ 𝑓𝑖 𝑛
2.6
1.1
̅ : Rata-rata sampel n : Ukuran sampel
2.7 12
1.1
Ukuran Penyebaran Untuk N (populasil) 𝑫𝒆𝒗𝒊𝒂𝒔𝒊 𝒓𝒂𝒕𝒂 − 𝒓𝒂𝒕𝒂 𝑴𝑫 = Xi : Titik tengah kelas ke-i
∑ 𝑿 𝒊 − 𝝁 𝒙 𝒇𝒊 𝑵
µx : Rata-rata populasi fi : Frekuensi kelas ke-i N : Ukuran populasi Contoh 2.6 Soal: Berikut adalah data yang sudah dikelompokkan dari harga saham pilihan pada bulan Juni 2007 di BEJ. Hitunglah Deviasi rata-rata
dari data
tersebut! Tabel 2.5 Data harga saham Kelas ke-
Interval
1 2 3 4 5
160 – 303 304 – 447 448 – 591 592 – 735 736 – 878
Jumlah Frekuensi (F) 2 5 9 3 1
Penyelesaian Soal: a. Menghitung nilai tengah kelas. Untuk memperoleh nilai tengah data (X), maka nilai tengah kelas dikalikan dengan frekuensi masing-masing kelas (fX). Jumlah dari perkalian antara frekuensi dengan nilai tengah kelas dibagi dengan jumlah data mendapatkan nilai rata-rata hitung data berkelompok (∑fX/n) b. Langkah kedua menghitung deviasi setiap kelas dengan cara mengurangkan nilai tengah kelas dengan rata-rata hitungnya (│Xi - ̅ │) c. Langkah ketiga mengalikan frekuensi dengan deviasi setiap kelas f (│Xi ̅│ d. Menjumlahkan hasil perkalian frekuensi dengan deviasi setiap kelas kemudian membaginya dengan jumlah data (n). Langkah – langkah disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut:
13
Statistik Deskriptif Tabel 2.6 Interval 160 – 303 304 – 447 448 – 591 592 – 735 736 – 878
Titik tengah (Xi) 231,5 375,5 519,5 663,5 807,0
∑ a. ̅
│Xi - ̅ │
f.Xi
2 5 9 3 1 20
463,0 1.877,5 4.677,5 1.990,0 807,0
-259,2 -115,2 28,8 172,8 316,3
f│Xi - ̅ │ 518,4 576,0 259,2 518,4 316,3
− ̅
∑ ∑f ∑f |
b.
f
-̅̅̅|
Contoh 2.7 Soal: Upah untuk 50 Orang karyawan P.T ABADI (dalam Ribuan Rp/hari), datanya telah diolah dalam tabel sebagai berikut : Tabel 2.7 Perhitungan Deviasi Rata-Rata Nilai Upah Karyawan Upah 130139 140149 150159 160169 170179 180189 190199
134,5
4
538
− ̅ 30,6
144,5
6
867
20,6
154,5
8
1236
10,6
164,5
12
1974
0,6
174,5
9
1570,5
9,4
184,5
7
1291,5
19,4
194,5
4
778
29,4
50
8255
120,6
x
14
− ̅ 122,4 123,6 84,8 7,2 84,6 135,8 117,6 676
Ukuran Penyebaran Penyelesaian Soal: n
X
fx i 1 n
i
f i 1
i
=
= 165,1 , MD=
∑
−̅
=
= 13,2
i
Hasil penghitungan variabilitas dengan menggunakan deviasi ratarata ini tentu saja lebih baik daripada menggunakan jangkauan (range), inter-kuartil, dan deviasi-kuartil, karena penghitungan deviasi melibatkan seluruh data observasi. Akan tetapi deviasi rata-rata masih memiliki kelemahan, untuk memperoleh nilai-nilai beda data obervasi dengan ratarata yang positif, metode ini menganggap sama antara nilai-nilai negatif dan positif. Secara matematik, kedua sifat bilangan tersebut baik positif maupun negatif harus dibedakan dengan tegas. Keunggulan mean deviasi terhadap pengukuran variabilitas dengan range tersebut adalah dipenuhinya definisi tentang variabilitas oleh mean deviasi itu, yaitu penyebaran nilai-nilai yang ditinjau dari tendensi sentral. Akan tetapi mean deviasi mempunyai satu kelemahan pokok, karena cara perhitungannya mengabaikan tanda-tanda plus dan minus. Oleh karena itu mean deviasi tidak dapat dikenai perhitungan-perhitungan matematik yang tetap mempertahankan nilai-nilai plus dan minus. Untuk mengatasi kelemahan itu, maka timbullah cara pengukuran variabilitas lain, yaitu ”standard deviasi”
15
