PERSAMAAN BIDANG RATA

Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom

KEGIATAN BELAJAR 5

PERSAMAAN BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 5 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan vektoris bidang rata 2. Menentukan persamaan linier bidang rata

3. Vektor normal dari bidang rata ≡ + + + = 0 4. Persamaan normal bidang rata

Suatu bidang rata akan tertentu bila diketahui tiga buah titik (yang tidak segaris) yang terletak pada bidang rata tersebut. Misalkan diketahui tiga buah titik pada bidang rata V. Untuk menentukan Persamaan Vektoris Bidang Rata V,

Persamaan Linear Bidang Rata, Vektor Normal dari Bidang Rata ≡ + +

+ = 0 dan Persamaan Normal Bidang Rata, maka lakukanlah kegiatan-

kegiatan berikut ini.

Kegiatan 5.1. Persamaan Vektoris Bidang Rata V Untuk menentukan persamaan vektoris bidang rata, pahami dan lakukan langkah-langkah berikut. 1.

Misalkan diketahui tiga buah titik pada bidang rata yaitu titik , , ,

2.

Ambil sebarang titik , , yang berada pada bidang rata V, berarti titik

3.

, , dan , , .

, , ∈ .

Perhatikan Gambar 5.1 di bawah ini.

[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

1


4. 5.

, , . , Tentukan panjang

Untuk setiap titik sebarang , , pada bidang rata maka berlaku + ! dimana

= dan ! merupakan parameter bidang rata

# dan " # ! # . = + Terlihat jelas pada Gambar 5.1 bahwa

dengan 6. 7.

"#

Apa kesimpulan yang dapat anda peroleh berdasarkan langkah 6 tersebut.

Berdasarkan kegiatan 5.1 di atas, jika kita menemukan panjang = &'( " ') , *( " *) , +( " +) ,, $ = &'. " ') , *. " *) , +. " +) ,, $% = &') , *) , +) , dan /0 = &', *, +, . Pada langkah 6 kita menemukan suatu /$ + 2 $, jika disubsitusikan persamaan $0 = 1 $% persamaan /0 = /$ + $0 ke dalam persamaan /0 = /$ + 1 $% + 2 $-

sehingga diperoleh suatu persamaan vektoris bidang rata yang melalui tiga

buah titik adalah &', *, +, = &') , *) , +) , + 1 &'( " ') , *( " *) , +( " +) , …(1) +2 &'. " ') , *. " *) , +. " +) , Kedua vektor dan di sebut vektor-vektor arah bidang ( setiap dua vektor

yang tidak segaris pada bidang merupakan vektor-vektor arah bidang tersebut). Secara umum:

Jika = &3 , 3 , 3 , dan 4 = &5 , 5 , 5 , adalah vektor-vektor arah bidang rata , maka persamaan bidang rata melalui titik , , adalah: + 2 8 6 ≡ &', *, +, = &') , *) , +) , + 1 7 6 ≡ &', *, +, = &') , *) , +) , + 1 &'7 , *7 , +7 , + 2 &'8 , *8 , +8 , Dengan "∞ # # +∞ dan "∞ # ! # +∞

…(2)


2


Berdasarkan persamaan (2) diperoleh suatu persamaan parameter bidang rata

adalah

' = ') + 1'7 + 2'8 * = *) + 1*7 + 2*8 + = +) + 1+7 + 2+8

…(3) …(4) …(5)

Kegiatan 5.2. Persamaan Linier Bidang Rata 6

Untuk menentukan persamaan linier bidang rata, lakukan langkah-langkah berikut. 1.

Eliminasikan nilai

dan nilai ! dari persamaan (3) dan persamaan (4) yang

telah kita temukan pada kegiatan 1. 2.

3.

Setelah di eliminasi nilai dan nilai !, kita akan memperoleh nilai 3 3 = 3 5 " 3 5 = : : 5 5 Kemudian nilai dan nilai ! pada langkah 1, kita subsitusikan ke persamaan (5).

4. 5.

Dari prosedur di atas kita akan mendapatkan nilai dan nilai serta nilai

.

Apa yang dapat anda simpulkan dari prosedur tersebut.

Berdasarkan kegiatan 5.2 di atas, jika kita mengeliminasikan persamaan (3) dan (4) diperoleh: " 5 " " 5 = 3 5 " 5 3 3 5 " 5 3 = dimana ≠ 0 " 3 " " 3 != Kita subsitusikan nilai dan ! ke persamaan (5) diperoleh: 3 + ! 5 + " = 0 " 5 " " " 3 " " 3 3 < = + 5 < = + " = 0 3 5 " " 3 5 " + 5 3 " " 5 3 " + " {3 5 " 5 3 } = 0 3 5 " " 3 5 " + 5 3 " " 5 3 " " 3 5 " " 3 5 " = 0 3 5 " 5 3 " + 5 3 " 3 5 " + {3 5 " 3 5 } " = 0 3 5 " 5 3 " + 5 3 " 3 5 " + {5 3 " 5 3 } " = 0 *7 @ = :* 8

+7 +8 : = *7 +8 " *8 +7


3


+7 '7 A = :+ ' : = +7 '8 " +8 '7 8 8 '7 *7 B = :' * : = '7 *8 " '8 *7 8 8

Sehingga dapat kita peroleh suatu persamaan bidang rata yang melalui titik

, , adalah

6 ≡ @' " ') + A* " *) + B+ " +) = C

…(6)

Persamaan (6) di atas dapat kita tulis menjadi:

" + " + " = 0 + + " " " = 0 " " " = , dimana = konstanta

Sehingga diperolehlah suatu persamaan linier (umum) dari suatu bidang rata adalah

@' + A* + B+ + D = C

…(7)

Kegiatan 5.3 Vektor Normal Bidang Rata 6 Kita sudah menemukan persamaan umum bidang rata adalah

@' + A* + B+ + D = C Untuk membuktikan kebenaran bahwa persamaan tersebut merupakan persamaan bidang rata, maka perhatikan langkah-langkah berikut: 1.

2.

3.

kita tentukan sebarang titik, misalkan titiknya E, F, G yang terletak pada

bidang tersebut. Sehingga diperoleh bahwa E + F + G + = 0, maka

= "E " F " G.

Subsitusikan nilai ke persamaan umum bidang rata yaitu: + + + "E " F " G = 0 " E + " F + " G = 0 Perhatikan bahwa

" E + " F + " G = 0 J + KL. N " EO + " FP + " GKQ = 0 Jika hanya jika HI +

J + K merupakan suatu vektor yang sudah tertentu Hal ini berarti bahwa I + adalah vektor yang besar dan arahnya, sedangkan " EO + " FP + " GK

J + K serta berpangkal pada E, F, G dan selalu tegak lurus vektor I + berubah arah tergantung posisi , , .

4.

Jadi dapat disimpulkan bahwa , , adalah koordinat titik-titik yang J + terletak pada bidang yang melalui titik E, F, G dan tegak lurus I + K, yang selanjutnya disebut dengan normal bidang rata yang disimbolkan . dengan R


4


Perhatikan Gambar 5.2 di bawah ini.

Gambar 5.2 Kesimpulan yang dapat kita peroleh dari proses di atas adalah jika sebuah J + K bidang rata melalui S , S , S dan mempunyai normal I +

maka persamaan bidang rata tersebut adalah

5.

@H' " 'T L + AH* " *T L + BH+ " +T L = C Terbukti bahwa persamaan umum bidang rata adalah

= &@, A, B, @' + A* + B+ + D = C dengan vektor normalnya adalah R

Masalah 5.1

Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui titik 3,2,1, 4,1,5 dan 2,4,3!

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.

Pertama kita cari persamaan vektoris bidang rata yaitu: &, , , = & , , , + & " , " , " , + !& " , " , " , &, , , = &3,2,1, + &1, "1,5, + !&"1,2, 2, Persamaan linier bidang rata adalah + + + = 0 *7 +7 @ = :* + : = *7 +8 " *8 +7 8 8 "1 5 =: : = "2 " 10 = "12 2 2 +7 '7 A = :+ ' : = +7 '8 " +8 '7 8 8 5 1 = : : = "5 " 2 = "7 2 "1 '7 *7 B = :' * : = '7 *8 " '8 *7 8 8 1 "1 = : := 2"1=1 "1 2 D = "@') " A*) " B+) [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

5


= ""123 " "72 " 11

= "36 + 14 " 1 = "23 Jadi, persamaan linier bidang rata adalah "12 " 7 + " 23 = 0 atau ≡ 12 + 7 " + 23 = 0. Kedudukan Istimewa

Hal-hal khusus dari bidang rata ≡ + + + = 0. 1.

Bila = 0 maka bidang rata ≡ + + = 0 maka bidang rata

tersebut melalui pusat koordinat 0,0,0. Atau setiap bidang rata ≡ +

+ + = 0 yang melalui titik 0,0,0 akan berbentuk ≡ + + = 0.

Masalah 5.2 Untuk Bidang Rata ≡ + + + = 0 yang melalui titik 2, 3, 1,

"1, "2,1 dan 0, 0, 0. Lukislah persamaan bidang rata tersebut kedalam sistem koordinat kartesius.

Penyelesaian: Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, perhatikan langkah-langkah sebagai berikut. (1) Pertama kita cari dulu persaman bidang rata yang melalui tiga titik tersebut dengan menggunakan persamaan 7 sehingga diperoleh persamaan bidang ratanya adalah ≡ 5 " 3 " = 0.

(2) Kemudian kita buat gambar garis di bidang, seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini.

Gambar 5.3. Persamaan Garis lurus di Bidang


6


(3) Setelah kita melukis garis lurus di bidang baru kita memindahkan ke tiga garis tersebut ke ruang, seperti yang terlihat pada gambar 5.4.

Gambar 5.4. Bidang Rata 6 yang melalui titik asal 2.

Apabila ≠ 0 persamaan + + + = 0 dapat ditulis menjadi + + =1 " " "

+ + =1

" " " \ \ \ Misalkan " = E, " = F dan " = G , sehingga didapat sebuah persamaan

yaitu:

]

^

b

+ + =1 E F G Yang mana memotong sumbu di E, 0, 0, sumbu c di 0, F, 0, sumbu d di 0, 0, G.

Masalah 5.3 Gambarkanlah Bidang rata ≡ 3 + 4 + 2 " 12 = 0. Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Secara grafis bidang dapat disajikan yaitu dengan memotongkan bidang tersebut dengan sumbu-sumbu koordinat, setiap dipotongkan dengan sebarang sumbu dianggap sumbu yang lain sama dengan nol (0). a. b.

Titik potong dengan sumbu , jika = = 0 adalah 3 = 12 maka = 4

Berarti titiknya 4, 0, 0

Titik potong dengan sumbu c, jika = = 0 adalah 4 = 12 maka = 3 [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

7


c.

Berarti titiknya 0, 3, 0

Titik potong dengan sumbu d, jika = = 0 dalah 2 = 12 maka = 6 Berarti titiknya 0, 0, 6

Sehingga Gambar bidang rata tersebut adalah:

3.

Gambar 5.5. Gambar Bidang Rata jika ≠

Apabila = 0 berarti bidang rata ≡ + = 0 sejajar dengan sumbu . Hal itu dapat dilihat pada Gambar 5.6.

Gambar 5.6. Bidang Rata 6 sejajar dengan sumbu 0 Apabila = 0, berarti bidang rata ≡ + + = 0 sejajar dengan

sumbu c.

Hal itu dapat dilihat pada Gambar 5.7.


8


Gambar 5.7. Bidang Rata 6 sejajar dengan sumbu e Apabila = 0, berarti bidang rata ≡ + + = 0 sejajar dengan sumbu d.

Hal itu dapat di lihat pada Gambar 5.8.

4.

Gambar 5.8. Bidang Rata 6 sejajar dengan sumbu f Apabila = = 0, berarti bidang rata ≡ + = 0 sejajar dengan

bidang c.


Gambar 5.9. Bidang Rata 6 sejajar dengan Bidang 0/e


9


Apabila = = 0, berarti bidang rata ≡ + = 0 sejajar dengan bidang d.


Gambar 5.10. Bidang Rata 6 sejajar dengan Bidang 0/f Apabila = = 0, berarti bidang rata ≡ + = 0 sejajar dengan

bidang cd.


Gambar 5.11. Bidang Rata 6 sejajar dengan bidang e/f Berdasarkan persamaan (6) yang telah di peroleh kita dapat menentukan

persamaan bidang rata yang melalui titik , , . Untuk menentukan

persamaan bidang rata yang melalui titik , , , perhatikan langkah-

langkah di bawah ini: 1.

Buatlah persamaan bidang rata yang melalui titik , , yaitu: @' " ') + A* " *) + B+ " +) = C dengan 3 3 = : : = 3 5 " 5 3 5 5 3 3 = : : = 3 5 " 5 3 5 5 [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

10


2.

3 3 = : : = 3 5 " 5 3 5 5 3 5 " 5 3 " + 3 5 " 5 3 " + 3 5 " 5 3 " = 0 & " , " , " , . &3 5 " 5 3 , 3 5 " 5 3 , 3 5 " 5 3 , = 0 ≡ G " G . &, , , = 0 ≡ G " G . = 0 Dengan G adalah vektor posisi pada sebarang titik , , di = 0

diperoleh,

≡ G " G . = 0 dengan = 4

3.

4.

≡ G " G . 4 ≡ G " G . &3 , 3 , 3 , &5 , 5 , 5 , = 0 ≡ & " , " , " , . &3 , 3 , 3 , &5 , 5 , 5 , = 0 " " " 3 3 g = 0 ≡ g 3 5 5 5 Sehingga dapat di simpulkan bahwa persamaan bidang rata secara determinan yang melalui titik , , dan vektor arahnya = &3 , 3 , 3 , dan 4 = &5 , 5 , 5 , adalah ' " ') * " *) + " +) *7 +7 g = C 6 ≡ g '7 …(10) '8 *8 +8 Dari persamaan di atas kita juga bisa menentukan persamaan bidang rata yang melalui tiga titik yaitu: Jika = &3 , 3 , 3 , = & " , " , " , dan 4 = &5 , 5 , 5 , = & " , " , " ,

5.

determinan di peroleh suatu persamaan: ' " ') * " *) ' " ' * 6≡ g ( ) ( " *) '. " ') *. " *) Sehingga dapat disimpulkan Persamaan

maka

=0

secara

+ " +) +( " +) g = C +. " +) Bidang Rata = 0 yang melalui

tiga titik yaitu , , , , , dan , , adalah: ' " ') * " * ) + " +) …(11) ' " ' * 6≡ g ( ) ( " *) +( " +) g = C '. " ') *. " *) +. " +) Sedangkan Jika empat buah titik , , , , , , , , dan hi , i , i akan sebidang (rata) jika dan hanya jika '( " ') *( " *) +( " +) ' 6 ≡ g . " ') *. " *) +. " +) g = C 'j " ') *j " *) +j " +)

…(12)

Selanjutnya, perhatikan dan pahamilah masalah 5.4 berikut ini.


11

12


Masalah 5.4 a. Tentukan b.

persamaan

=0

melalui

titik 1, 1, 2,

2, 4, 5,

"1, "2, 1 Selidiki apakah titik 0, 0, 0 terletak pada bidang rata tersebut.

dan

Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. a.

b.

Untuk menentukan persamaan bidang rata = 0 yang melalui tiga titik,

kita menggunakan persamaan (11) yaitu: " " " ≡ g " " " g = 0 " " " "1 "1 "2 ≡ g 2"1 4 " 1 5 " 2g = 0 "1 " 1 "2 " 1 1 " 2 "1 "1 "2 ≡ g 1 3 3 g=0 "2 "3 "1 "3 " 1 " 6 " 1 " 3 " 2 + " 1 + 9 " 1 + 6 " 2 = 0 "3 + 3 " 6 + 6 " 3 + 6 + " 1 + 9 " 9 + 6 " 12 = 0 6 " 5 + 3 " 7 = 0 Jadi, persamaan bidang rata ≡ 6 " 5 + 3 " 9 = 0

Untuk menyelidiki apakah titik (0, 0, 0) terletak pada bidang rata tersebut atau tidak, dengan cara mensubsitusikan titik tersebut kedalam bidang rata

6 " 5 + 3 " 9 = 0 sehingga di peroleh suatu kesimpulan bahwa titik 0, 0, 0 tidak berada pada bidang rata tersebut. kegiatan 5.4. Persamaan Normal Bidang Rata Untuk menentukan persamaan normal bidang rata, pahami langkahlangkah berikut ini. 1.

Misalkan vektor normal bidang rata ≡ + + + = 0 adalah = &, , ,. Sudut antara vektor normal dengan sumbu-sumbu koordinat (yang arahnya ditentukan dengan vektor I, J dan K) adalah l, m dan n,

sedangkan cos l, cos m dan cos n disebut dengan cosinus-cosinus arah dari ,

seperti yang terlihat pada Gambar 5.12 di bawah ini.



2.

Gambar 5.12. sudutsudut-sudut pada bidang rata 6

Berdasarkan Gambar 5.12 di atas, dapat terlihat jelas bahwa: . I cos l = = , karena O = &1, 0, 0, dan |O| = 1 |||I| . J cos m = = , karena P = &0, 1, 0, dan |P| = 1 |||J| . K = &0, 0, 1, dan K = 1 cos γ = = , karena K |||K| @(

A(

B(

tuv ( w + tuv ( x + tuv ( y = |R ( + |R ( + |R ( = |

|

|

|R |( |R|(

= )

…(13)

. Persamaan (13) Maka vektor &cos l, cos m, cos n, adalah satuan searah R dapat juga kita namakan dengan vektor normal yang panjangnya satu.

3.

Misalkan E adalah jarak dari titik 0, 0, 0 ke bidang rata , sedangkan

l, m, n adalah sudut-sudut arah yang tegak lurus terhadap bidang rata . Seperti yang terlihat pada Gambar 5.13.

Gambar 5.13. Titik $ ke bidang rata 6


13

14


Kita

ambil

= &cos l, cos m, cos n,

yang

panjangnya

=

z{|} l + {|} m + {|} n = 1, sebagai vektor normal satuan dari bidang rata

4.

.

Perhatikan ~ = &, , ,. Proyeksi ~ pada adalah |~. | = |&, , ,. &cos l, cos m, cos n,| = | cos l + cos m + cos n| = E (harus positif atau E > 0). Sehingga diperoleh suatu Persamaan Normal HESSE dari duatu

Bidang Rata adalah ' tuv w + * tuv x + + tuv y = T

Catatan : Bila bidang rata melalui 0, 0, 0 maka E = 0

Dapat disimpulkan bahwa persamaan normal bidang rata adalah 5.

…(14) ' tuv w + * tuv x + + tuv y = T Untuk mengubah persamaan umum Bidang Rata + + + = 0 ke bentuk normal adalah sebagai berikut:

Hubungan antara bilangan arah , , dan cosinus arah adalah: cos l cos m {|}n E = = =" misalkan =

Sehingga diperoleh suatu persamaan: cos l = , cos m = , cos n = dan E = " sedangkan {|} l + {|} m + {|} n = + + = 1

maka di peroleh nilai, 1 = , cos l = , cos m = ±√ + + ±√ + + ±√ + + "

dan E = cos n = ±√ + + ±√ + + Tanda ± dipilih salah satu sehingga nilai E bertanda positif. Masalah 5.5

Carilah persamaan normal dari bidang rata + 2 + 2 + 9 = 0.

Penyelesaian

Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.

Persamaan normal bidang rata adalah cos l + cos m + cos n = E. Pertama

kita cari dulu nilai dari masing-masing persamaan di atas, yaitu: "9 "9 E= = ±√1 + 2 + 2 √5 1 2 2 cos l = , cos m = , cos n = √5 √5 √5 Jadi, diperoleh persamaan normal bidang rata adalah



√5

+

2

√5

+

2

√5

= "

9

√5

.

Rangkuman 1. 2. 3.

4.

5.

6. 7.

Persamaan umum Bidang Rata adalah

6 ≡ @' + A* + B+ + D = C Persamaan bidang Rata yang melalui titik , , adalah 6 ≡ @' " ') + A* " *) + B+ " +) = C Persamaan Bidang Rata secara determinan yang melalui titik , , dan vektor arahnya = &3 , 3 , 3 , dan 4 = &5 , 5 , 5 , adalah ' " ') * " *) + " +) *7 +7 g = C 6 ≡ g '7 '8 *8 +8 Persamaan Bidang Rata = 0 yang melalui tiga titik yaitu , , , , , dan , , adalah: ' " ') * " *) + " +) ' " ' * " * + 6≡ g ( ) ( ) ( " +) g = C '. " ') *. " *) +. " +) Empat buah titik , , , , , , , , dan hi , i , i akan

sebidang (rata) jika dan hanya jika '( " ') *( " *) +( " +) ' 6 ≡ g . " ') *. " *) +. " +) g = C 'j " ') *j " *) +j " +) Bentuk normal bidang rata adalah = &@, A, B, R Persamaan normal bidang rata adalah 6 ≡ ' tuv w + * tuv x + + tuv y = T


15

PERSAMAAN BIDANG RATA

Recommend Documents