Ukuran Statistik 1. Pendahuluan Ukuran Statistik: 1.
Ukuran Pemusatan Bagaimana, di mana data berpusat? ♦ Rata-Rata Hitung = Arithmetic Mean ♦ Median ♦ Modus ♦ Kuartil, Desil, Persentil Ukuran Penyebaran Bagaimana penyebaran data? ♦ Ragam, Varians ♦ Simpangan Baku
2.
Ukuran Statistik nantinya akan mencakup data: 1. Ungrouped Data : Data yang belum dikelompokkan 2. Grouped Data : Data yang telah dikelompokkan Î Tabel Distribusi Frekuensi 2.
Ukuran Pemusatan
2.1.
Rata-Rata Hitung = Arithmetic Mean
Notasi :
µ : rata-rata hitung populasi
x : rata-rata hitung populasi
A. Rata-Rata Hitung untuk Ungrouped Data n
N
µ=
∑x i =1
µ : rata-rata hitung populasi N : ukuran Populasi xi : data ke-i
N
i
dan
x=
∑x i =1
i
n
x : rata-rata hitung sampel n : ukuran Sampel
Contoh 1: Misalkan diketahui Di kota A hanya terdapat 6 PTS, masing-masing tercatat mempunyai banyak mahasiswa sebagai berikut : 850, 1100, 1150, 1250, 750, 900 Berapakah rata-rata banyak mahasiswa PTS di kota A? Rata-Rata Populasi atau Sampel ? 6000 Jawab: µ= = 1000 6
1
Contoh 2 : Setiap 12 jam sekali bagian QC pabrik minuman ringan memeriksa 6 kaleng contoh untuk diperiksa kadar gula sintetisnya (%). Berikut adalah data 6 kaleng minuman contoh yang diperiksa : 13.5
12.5
Jawab: x =
13
12
11.5
12.5
75 = 12.5 % 6
B. Rata-Rata untuk Grouped Data Nilainya merupakan pendekatan, biasanya berhubungan dengan rata-rata hitung sampel k
x=
∑ i =1 k
∑f i =1
x : rata-rata hitung sampel n : ukuran Sampel xi : Titik Tengah Kelas ke-i
k
f i xi x=
sehingga :
∑fx i
i =1
i
n
i
k fi
: banyak kelas : frekuensi di kelas ke-i
Contoh 3: Kelas
Titik Tengah Kelas (xi)
Frekuensi (fi)
19.5 27.5 35.5 43.5 51.5 59.5
10 17 7 10 3 3 50
16-23 24-31 32-39 40-47 48-55 56-63 Jumlah (Σ)
Jawab : x =
fi xi 195 467.5 248.5 435 154.5 178.5 1679
1679 = 33.58 50
2
2.2
Modus
Nilai yang paling sering muncul Nilai yang frekuensinya paling tinggi A. Modus untuk Ungrouped Data Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus) Bisa terjadi data tanpa modus Contoh 4: a. Sumbangan PMI warga Depok: Rp.7500 8000 9000 8000 Modus : Rp. 8000
3000
5000
8000
b.
Berat 5 unit kendaraan (ton): 3.6
3.5 2.9 3.1 (Tidak Ada Modus)
3.0
c.
Umur Mahasiswa (tahun)
19 19
18 20
:
18 21
19 18
23 22
21 17
Modus : 18 dan 19 B. Modus untuk Grouped Data Kelas Modus :
Kelas di mana Modus berada Kelas dengan frekuensi tertinggi
Tepi Batas Bawah kelas ke-i =
Batas Bawah kelas ke-i + Batas Atas kelas ke (i-1) 2
Tepi Batas Atas kelas ke-i
Batas Atas kelas ke-i + Batas Bawah kelas ke (i+1) 2
=
d1 d1 + d 2
Modus = TBB Kelas Modus + i
di mana : TBB : Tepi Batas Bawah d1 : Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi Kelas sebelumnya d2 : Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi Kelas sesudahnya i : interval kelas
3
Kelas
Frekuensi (fi)
16-23 24-31 32-39 40-47 48-55 56-63 Jumlah (Σ)
10 17 7 10 3 3 50
Kelas Modus = 24 - 31 TBB Kelas Modus = 23.5 i=8 frek. kelas Modus = 17 frek, kelas sebelum kelas Modus = 10 frek. kelas sesudah kelas Modus = 7 d1 = 17 - 10 = 7 d2 = 17 - 7 = 10 7 7 Modus = 23.5 + 8 = 23.5 + 8 = 23.5 + 8 (0.41176...) = 23.5 + 3.2941... 7 + 10 17 = 26.7941... ≈ 27 2.3
Median, Kuartil, Desil dan Persentil
Median
→
Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar
Kuartil
→
Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 4 bagian yang sama besar
Desil
→
Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 10 bagian yang sama besar
Persentil
→
Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 100 bagian yang sama besar
4
A.
Median untuk Ungrouped Data
Letak Median → Letak Median =
Letak Median dalam gugus data yang telah tersortir
n +1 2
n : banyak data
Contoh 1: Tinggi Badan 5 mahasiswa : 1.75 1.78 Sorted :1.60 1.73
n=5
1.60 1.75
1.73 1.78
1.78 meter 1.78 meter
5+1 6 = =3 2 2
Letak Median =
Median = Data ke 3 = 1.75 Contoh 2: Tinggi 6 mahasiswa : 1.60 n= 6 Letak Median →
1.73
1.75
1.78
1.78
1.80 meter (Sorted)
6+1 7 = = 3.5 2 2
Median = 1 (Data ke 3 + Data ke 4) = 1 (1.75 + 1.78) = 1 × 3.53 = 1.765 2 2 2 B.
Median untuk Grouped Data n Letak Median = 2
n : banyak data
Kelas Median : Kelas di mana Median berada Kelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif
Median
=
s TBB Kelas Median + i fM
5
atau
Median
di mana :
TBB s
=
s' TBA Kelas Median - i fM
: Tepi Batas Bawah : selisih antara Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Median
TBA : Tepi Batas Atas s’ : selisih antara Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif sampai kelas Median i fM
: interval kelas : Frekuensi kelas Median
Contoh 4 : Kelas
Frekuensi
16 - 23 24 - 31 32 - 39 40 - 47 48 - 55 56 - 63 Σ
10 17 7 10 3 3 50
Kelas Median = 24 - 31 n 50 Letak Median = = = 25 2 2 Median = Data ke-25 terletak di kelas 24-31 TBB Kelas Median = 23.5 dan f M = 17 Frek. Kumulatif sebelum Kelas Median = 10→ Frek. Kumulatif sampai Kelas Median = 27 → interval = i = 8
Frek. Kumulatif 10 27 34 44 47 50 ----
Kelas Median = 24 - 31 TBA Kelas Median = 31.5 s = 25 - 10 = 15 s’ = 27 - 25 = 2
6
Median
Median
2.4.
=
s TBB Kelas Median + i fM
=
15 23.5 + 8 17
= 23.5 + 8 (0.8823...)
=
23.5 + 7.0588...
= 30.5588... ≈ 30.6
=
s' TBA Kelas Median - i fM
=
2 31.5 - 8 17
= 31.5 - 8 (0.1176...)
=
31.5 - 0.9411..
= 30.5588... ≈ 30.6
Ukuran Kemencengan & Keruncingan Kurva Distribusi Frekuensi
Ukuran Kemencengan (Skewness) Kurva Distribusi Frekuensi diketahui dari posisi Modus, Rata-Rata dan Median Jika Rata-Rata = Median = Modus maka Kurva Simetris Jika Rata-Rata < Median < Modus maka Kurva Menceng ke Kiri Jika Rata-Rata > Median > Modus maka Kurva Menceng ke Kanan Berdasarkan tingkat keruncingan (Kurtosis), kurva distribusi frekuensi dibagi menjadi tiga, yaitu: a. Leptokurtis: Kurva sangat runcing b. Mesokurtis: Kurva dengan tingkat keruncingan sedang c. Platykurtis: Kurva datar 3.
Ukuran Penyebaran
3.1
Ragam = Varians (Variance) dan Simpangan Baku = Standar Deviasi (Standard Deviation)
A.
Ragam dan Simpangan Baku untuk Ungrouped Data
POPULASI : N
σ2 = dan
∑ (x i =1
i
− µ)
N
2
Ν
atau
σ2 =
N
N ∑ xi − ( ∑ xi ) 2 2
i =1
i =1
N
2
σ = σ2
7
SAMPEL : n
s2 =
∑ (x
i
− x)
n
2
i =1
s2 =
atau
n −1
dan
s = s2
xi : µ : σ²: σ: N:
data ke-i rata-rata populasi ragam populasi simpangan baku populasi ukuran populasi
x: s²: s: n:
Contoh 3 : Data Usia 5 mahasiswa : 18 a. Hitunglah µ, σ² dan σ x , s² dan s b. Hitunglah
n
n∑ xi − ( ∑ xi )2 2
i =1
i =1
n(n − 1)
rata-rata sampel ragam sampel simpangan baku sampel ukuran sampel
19 20 21 22 tahun (anggap data sebagai data populasi) (data adalah data sampel)
Jawab :
Σ
xi
µ atau x
18 19 20 21 22 100
20 20 20 20 20 ------
( xi -µ) atau ( xi - x ) -2 -1 0 1 2 -------
( xi -µ)² atau ( xi - x )² 4 1 0 1 4 10
xi 2 324 361 400 441 484 2010
POPULASI : µ=
N=5 n
σ2 =
σ2 =
∑ (x i =1
i
− µ) 2 =
Ν N
N
i =1
i =1
100 = 20 5
10 =2 5
N ∑ xi 2 − ( ∑ xi ) 2 N2
=
(5 × 2010) − 100 2 10050 − 10000 50 = = =2 25 25 52
σ = σ 2 = 2 = 1.414... SAMPEL :
8
x=
n=5 n
s2 =
∑ (x i =1
n −1 n
s = 2
− x )2
i
=
10 = 2.5 4
n
n∑ xi − ( ∑ xi )2 2
i =1
i =1
n( n − 1)
s = s2 = B.
100 =2 5
=
(5 × 2010) − 100 2 10050 − 10000 50 = = = 2.5 5× 4 20 20
2.5 =1.581...
Ragam dan Simpangan Baku untuk Grouped Data
POPULASI : k
σ2 =
∑f
i
× ( xi − µ ) 2
i =1
Ν
dan
σ = σ2
dan
s = s2
SAMPEL : k
s2 =
xi : k : µ : σ²: σ: N:
∑f i =1
i
× ( xi − x ) 2 n −1
Titik Tengah Kelas ke-i banyak kelas rata-rata populasi ragam populasi simpangan baku populasi ukuran populasi
fi : x: s²: s: n:
frekuensi kelas ke-i rata-rata sampel ragam sampel simpangan baku sampel ukuran sampel
9
Contoh 4 : Rata -Rata (µ atau x ) = Kelas
TTK xi
Frek . fi
16 - 23 24 - 31 32 - 39 40 - 47 48 - 55 56 - 63 Σ
19.5 27.5 35.5 43.5 51.5 59.5 -----
10 17 7 10 3 3 50
1679 = 33.58 (dari catatan terdahulu) 50 f i xi
µ atau x
( xi -µ) atau ( xi - x )
195 467.5 248.5 435 154.5 178.5 1679
33.58 33.58 33.58 33.58 33.58 33.58 ----
-14.08 -6.08 1.92 9.92 17.92 25.92 ----------
( xi -µ)² atau ( xi x )² 198.2464 36.9664 3.6864 98.4064 321.1264 671.8464 -----------
f i ( xi -µ)² atau f i ( xi - x )² 1982.4640 628.4288 25.8048 984.0640 963.3792 2015.5392 6599.68
POPULASI : N = 50 k
σ2 =
∑f
× ( xi − µ ) 2
i
i =1
Ν
=
6599.68 = 131.9936 50
σ = σ = 131.9936 = 11.4888.... 2
SAMPEL : k
s2 =
∑f i =1
× ( xi − x ) 2 n −1
s = s2 = 3.2
i
=
6599.68 = 134.6873.... 49
134.6873... = 11.6054....
Koefisien Ragam = Koefisien Varians
Semakin besar nilai Koefisien Ragam maka data semakin bervariasi, keragamannya data makin tinggi. Untuk Populasi
→
Koefisien Ragam
=
Untuk Sampel
→
Koefisien Ragam
=
σ × 100% µ s × 100% x
10
Contoh 5: x = 33.58
s = 11.6054 s Koefisien Ragam = × 100% x 3.3 • • • • •
=
116054 . × 100% 3358 .
= 34.56 %
Angka Baku (z-score)
Angka baku adalah ukuran penyimpangan data dari rata-rata populasi . z dapat bernilai nol (0), positif (+) atau negatif (-) z nol → data bernilai sama dengan rata-rata populasi z positif → data bernilai di atas rata-rata populasi z negatif → data bernilai di bawah rata-rata populasi
z=
x−µ
σ
z : Angka baku µ: rata-rata populasi
x : nilai data σ : simpangan baku populasi
Contoh 6: Rata-rata kecepatan lari atlet nasional = 20 km/jam dengan simpangan baku = 2.5 km Hitung angka baku untuk kecepatan lari : a. Ali = 25 km/jam b. Didi = 18 km/jam Jawab :
a. z =
b. z =
x−µ
σ x−µ
σ
=
25 − 20 5 = =2 2.5 2.5
=
18 − 20 − 2 = = -0.8 2.5 2.5
W selesai X
11
