BAB IV HITUNG DIFERENSIAL

2013 Matematika Teknik 1,Bab 3

BAB IV HITUNG DIFERENSIAL (Pertemuan ke 5 s/d 8)

PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang derivatif macam-macam fungsi, yaitu fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi logaritma, fungsi eksponensial, fungsi siklometri, dan fungsi hiperbolik. Selain itu derivatif tingkat tinggi, derivatif yang dinyatakan dalam persamaan parameter, deriatif parsiil. serta arti derivatif suatu fungsi. Manfaat Untuk menentukan derivatif fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi logaritma, fungsi eksponensial, fungsi siklometri, fungsi hiperbol, baik tingkat satu maupun tingkat tinggi. Untuk menentukan koefisien arah garis singgung dan garis normal. Untuk menghitung lau-laju perubahan. Relevansi Arti deriatif sangat luas bila diterapkan di bidang mesin. Selain bermakna sebagai koefisien arah garis singgung dan berkaitan juga dengan garis normal, pada terapannya dalam bidang teknik berhubungan dengan laju-laju perubahan. Penerapannya dalam mata kuliah yang lain juga sangat besar, misalnya digunakan dalam fisika, perpindahan kalor dan lainnya. Learning Outcomes Mahasiswa dapat menentukan garis singgung suatu kurva dan mampu mencari derivatif berbagai fungsi. Serta mahasiswa mampu menerapkan pengertian derivatif dalam bidang mesin dan mata kuliah lainya.

s.johanes, dtm sv ugm

33


PENYAJIAN Diketahui

kontinu dan berharga tunggal dalam interval a

berubah sebesar ∆x maka y berubah sebesar ∆y, sehingga

x

b. Bila x

berubah menjadi

, atau:

Jika ∆y dibagi dengan ∆x, maka:

∆y dan ∆x disebut diferensi dan

disebut hasil bagi diferensi.

Bila untuk ∆x 0, kemudian hasil bagi diferensi dilimitkan, dan ternyata hasilnya ada, maka limit ini disebut derivatif dari

ke peubah x.

dy dan dx disebut “diferensial”. Operasi mencari derivatif disebut “menurunkan” atau “mendiferensialkan”. Aturan rantai Jika

dan

, maka derivatif dari y tehadap peubah x, yaitu

,

dapat diperoleh dari aturan rantai berikut: .

Secara umum aturan rantai ditulis sebagai:


34


Peran aturan rantai menjadi sangat penting terutama untuk pemecahan soal-soal yang begitu kompleks. Karena dengan pemisalan terhadap komponen soal, serta menerapkan aturan rantai ini, soal-soal yang dipecahkan akan mengarah kepada rumusrumus yang ada. Arti derivatif suatu fungsi Garis singgung & garis normal Telah dibahas pada limit dan fungsi, bahwa koefisien arah suatu garis lurus sama dengan tangent α. Bila garis lurus itu adalah garis singgung pada suatu kurva, berarti Δx →0. Maka:

Persamaan garis singgung pada kurva di titik (xo, yo), adalah:

Sedangkan persamaan garis normalnya adalah:

Laju perubahan Misalkan x dan y adalah dua kuantitas fisik yang dihubungkan oleh fungsi . Maka

adalah laju perubahan rata-rata dari y terhadap x dalam interval Δx. Limit

untuk Δx mendekati nol, jika ada, disebut laju perubahan (sesaat) dari y terhadap x, maka


35


Cara mencari derivatif Misalnya diketahui

, maka apa derivatif pertamanya?

Jawab: →

___________________________ _

Jadi derivatif pertama dari

adalah y’ = 2x.

Rumus-Rumus Derivatif 1. Derivatif Fungsi Aljabar Jika c dan k masing-masing adalah konstanta, sedangkan u, v dan w masing-masing adalah merupakan fungsi dengan peubah x, maka : a. b. c. d. e. f. g. s.johanes, dtm sv ugm

36


Contoh soal dan penyelesaian 1.

Carilah turunan pertama dari Jawab:

2.


3.



37


Soal-soal Carilah turunan pertama dari: a.

c.

b.

d.

e.

Tentukan persamaan garis singgung terhadap grafik fungsi,

,

pada titik (1,4). Gambarkan fungsinya dan tunjukkan garis singgung tersebut. f.


, pada

titik (1,2). Gambarkan fungsinya dan tunjukkan garis singgung tersebut. g.

Apakah garis singgung pada grafik

, di (1,1) melalui titik (2,5) ?

h. Sebuah pesawat pembom terbang dari arah kanan menuju ke kiri menurut kurva . Jika bom yang diluncurkan bergerak menurut garis lurus (pada bidang xy), dimana pilot harus melepaskan bom jika sasaran berada pada titik (1,0) ? i.

Volume bola adalah V=4πR3/3. Jika radius bola berubah dari R menjadi R+ΔR, tentukan a) perubahan volume, b) laju perubahan rata-rata volume terhadap radius, dan c) laju perubahan volume terhadap radius.

j.

Sebuah kubus metal dengan panjang sisi x, mengembang secara proporsional, jika dipanaskan. Tentukkan a) laju perubahan rata-rata volume kubus terhadap sisinya, jika bertambah dari 2 cm menjadi 2,01 cm, b) laju perubahan sesaat volume kubus terhadap sisinya, pada x = 2 cm.

2. Derivatif Fungsi Logaritma Jika diketahui fungsi logaritma

, dan y berubah dengan Δy karena x

berubah dengan Δx, maka:


38


Jika persamaan pertama dikurangkan dengan persamaan yang kedua, maka hasilnya adalah:

Ingat bahwa:

atau

Bilangan Napier, ,71828… Maka:

Jadi:

Jika

dan

, dan jika

, maka

atau dapat ditulis sebagai

. Jika

, maka

atau dapat ditulis sebagai

. Domain dari x

adalah bilangan riil. s.johanes, dtm sv ugm

34


y

0

y

1

x

y

1 0

1 x

0

x

Gambar 4-1

a. b. c. d.



Misalkan,


, maka

, maka:

35


2.


3.

Carilah turunan pertama dari Jawab: misalkan

, misalkan

, maka

Soal-soal Carilah turunan pertama dari: 1.

4.

2.

5.

3. s.johanes, dtm sv ugm

36


6.

Laju aliran kalor radial melewati isolator berbentuk silinder, dinyatakan oleh persamaan:

, dengan L, ri, k, h, To & T adalah konstanta. Carilah

: turunan pertama dari q ke peubah ro, yaitu

?

3. Derivatif Fungsi Eksponensial Jika diketahui

, dengan a = konstanta, berapakah turunannya?

Maka:

. Jika persamaan ini diturunkan ke peubah u, maka:

Jadi

dari au adalah:

Rumus-rumus untuk turunan fungsi eksponensial, adalah disajikan sebagai berikut:

a. b. c. d.




33


2.

Carilah turunan pertama dari Jawab: , misalkan

3.

, maka

Carilah turunan pertama dari Jawab: , misalkan

dan

, maka

Soal-soal. Carilah turunan pertama dari:

1. 2. 3. 4. 5. 6. s.johanes, dtm sv ugm

34


4. Derivatif Fungsi Trigonometri (Goniometri) Rumus-rumus untuk turunan fungsi Trigonometri, adalah disajikan sebagai berikut:

a. b. c. d. e. f.

Contoh soal dan penyelesaian 1. Carilah turunan pertama dari Jawab

2. Carilah turunan pertama dari Jawab


34



Soal-soal Carilah turunan pertama dari: 1. 2. 3. 4. 5.

5. Derivatif Fungsi Siklometri Funggsi siklometri disajikan dengan hubuungan arcus, dan merupakan kebalikan dari fungsi goniometri. Ambillah :

, diubah menjadi

Jika diturunkan, hasilnya: Dengan melihat hubungan pada segitiga

1

u

y

di samping, maka: Jadi : s.johanes, dtm sv ugm

Gambar 4-2

35


atau

Rumus-rumus untuk turunan fungsi siklometri, adalah disajikan sebagai berikut:

a. b. c. d. e. f.

Contoh soal dan penyelesaian 1. Carilah turunan pertama dari Jawab



36


3. Carilah turunan pertama dari

Jawab:

Soal-soal Carilah turunan pertama dari: 1.

4.

2.

5.

3.

6. Derivatif Fungsi Hiperbolik Rumus-rumus untuk turunan fungsi Hiperbolik, adalah disajikan sebagai berikut:

a. b. c. d. e. f. s.johanes, dtm sv ugm

37



Carilah turunan pertama dari Jawab

2.


3.


Soal-soal Carilah turunan pertama dari: 1. 2. 3. 4.

5.


38


Derivatif Tingkat Tinggi Jika

diderivatifkan akan didapatkan y’. Jika y’ masih merupakan fungsi x,

maka masih dapat diderivatifkan lagi, hasil derivatif ini disebut derivatif ke-dua atau turunan ke-dua. Notasi : , (dengan

)

derivatif tinkat (order) satu,

derivatif tinkat (order) dua, derivatif tinkat (order) tiga, derivatif tinkat (order) ke-n. Pada ungkapan turunan (tingkat satu saja) di atas ada tiga macam notasi yang digunakan, yaitu notasi aksen (

), notasi d (

) dan notasi Leibniz ( ).

Contoh: tentukan derivatif tingkat tiga, dari: Jawab:

Soal-soal Tentukan: 1)

, dari:

2)

, dari:

3)

, dari:

4)

, dari:


39


Derivatif fungsi-fungsi yang dinyatakan dalam persamaan parameter Bila untuk menyatakan hubungan antara y sebagai fungsi x digunakan peubah ketiga (disebut parameter), maka derivatif y ke peubah x ditentukan dengan aturan sebagai berikut: Jika:

dan

, maka

a) b)

contoh: Carilah

jika diketahui

&

Jawab: , ,

, maka:

Soal-soal: Tentukan

dari

a)

&

b)

&


40


Derivatif Parsiil Derivatif parsiil: derivatif fungsi dengan dua peubah atau lebih. Misalkan

, dengan x dan y adalah variabel bebas.

1. Z bertambah dengan ∆z oleh karena x bertambah dengan ∆x, sedangkan y tetap, maka:

___________________________ (-)

= derivatif parsiil tingkat satu ke-x, sedangkan y = konstan. 2. Z bertambah dengan ∆z oleh karena y bertambah dengan ∆y, sedangkan x tetap, maka:

___________________________ (-)

= derivatif parsiil tingkat satu ke-y, sedangkan x = konstan. Derivatif parsiil tingkat tinggi Derivatif parsiil tingkat dua diperoleh dari derivatif parsiil tingkat satu (

&

),

masing-masing diturunkan ke peubah x dan y. Maka menghasilkan: a. b. s.johanes, dtm sv ugm

41


c. Dapat dibuktikan bahwa:

=

d. Derivatif parsiil tingkat tiga diperoleh dari derivatif parsiil tingkat dua ( &

,

,

) , masing-masing diturunkan ke peubah x dan y. Maka menghasilkan: a.

e.

b.

f.

c.

g.

d.

h.

Dapat dibuktikan bahwa:

&

Contoh 1.

Tentukan derivatif parsiil tingkat satu dari:

2.

Tentukan derivatif parsiil tingkat satu dari:


42


Soal-soal Tentukan derivatif parsiil tingkat satu dari: 1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

11. Suhu pada (x, y, z) dari sebuah bola yang berpusat di titik asal, diberikan oleh persamaan berikut:

, dengan pemeriksaan , putuskan di

bagian mana yang paling panas ? 12. Hitung harga: 13. Hitung: 14. Tentukan

, bila , bila , bila

15. Tentukan derivatif parsiil tingkat dua dari: 16. Hitung harga


, bila

, dimana

43


Diferensial Total Jika fungsi dengan dua variabel bebas, z berubah dengan Δz karena x berubah dengan Δx dan y berubah dengan Δy, maka:

Persamaan terakhir di atas dapat ditulis menjadi:

Turunan pertama

Diferensial total

Turunan kedua:

Suku 1

Suku 2

Turunan ketiga:


44


Turunan tingkat ke-n:

Bila persamaan menggunakan parameter:

&

, maka derivatif

total menjadi:

Derivatif fungsi implisit. Deriatif fungsi implisit dengan satu peubah Contoh fungsi implisit: Jika:

Turunan pertama:

Turunan kedua:


45


Contoh: Tentukan

&

dari:

dapat dicari menggunakan rumus yang telah tersedia, atau langsung diturunkan dari yang sudah diperoleh, sebagai berikut:

Tugas pertemuan ke 5, carilah turunan pertama dari soal-soal 1 & 2 berikut. 1. 2. 3.


,

pada titik (1,4). Gambarkan fungsinya dan tunjukkan garis singgung tersebut. Latihan untuk pertemuan ke 5, selesaikan soal-soal berikut. 1.

Carilah turunan pertama dari


46


2.


, pada

titik (1,2). Gambarkan fungsinya dan tunjukkan garis singgung tersebut. Petunjuk. 1. Misalkan

dan

, selanjutnya gunakan rumus derivatif

fungsi aljabar berikut:

. jawabnya:

2. Turunkan dulu:

, maka

.Turunan ini, yaitu:

,

yaitu koefisien arah garis singgung. Karena garis singgung melalui titik (1,2), maka masukkan nilai x pada m. selanjutnya ggunakan persamaan garis melalui suatu titik (xo, yo) dan mempunyai koefisien arah m, yaitu: Jawabnya:

.

.

Tugas pertemuan ke 6, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut. 1. 2. Latihan untuk pertemuan ke 6, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut. 1. 2. Petunjuk. 1.

Misalkan

, maka

menghasilkan

. Selanjutnya dimisalkan dulu

kemudian dihitung menggunakan aturan rantai, yaitu

2.

Untuk menyelesaikan soal: sehingga

. Selanjutnya y turunkan ke peubah w, ,

. Selanjutnya y diturunkan ke peubah x, dengan .

, dimisalkan dulu

. Selanjutnya y turunkan ke peubah u, menghasilkan:

Kemudian u turunkan ke x, menghasilkan: s.johanes, dtm sv ugm

, dan

, . . Untuk 47


mempermudah misalkan

, maka

dapat dicari. Sehingga:

. Selanjutnya

.

Tugas pertemuan ke 7, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut. 1. 2. Latihan untuk pertemuan ke 7, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut. 1. 2. Petunjuk. 1. Untuk menyelesaikan sehingga

, dimisalkan

,

. Kemudian masing-masing diturunkan ke x menghasilkan

, Maka

dan

.

2. Untuk menyelesaikan Sehingga

dan

&

, dimisalkan

, maka

dapat dicari. Dengan aturan rantai maka:

.

.

Tugas pertemuan ke 8. 1. Carilah

dari:

&

2. Tentukan derivatif parsiil dari: Latihan untuk pertemuan ke 8. 1.

Tentukan derivatif parsiil dari:

2.

Hitung:

, bila

Petunjuk. 1.

Untuk menyelesaikan

, dimisalkan

, dan

, sehingga

. Maka: s.johanes, dtm sv ugm

48


2.

Untuk menyelesaikan soal nomer 2, dicari dan

,

.

PENUTUP Tes formatif dan kunci tes formatif

1. Tentukan

dari

2. Tentukan

dari

3. Tentukan 4. Tentukan

. Kuncinya: . Kuncinya:

dari , bila

&

. Kuncinya: . Kuncinya:

Petunjuk penilaian dan umpan balik Penilaian hasil tugas, latihan dan ujian debiri skor (nilai) antara 0 sampai dengan 100. Kesahan hasil akhir bukanlan merupakan kesalahan yang fatal, kalaupun dikurangi skornya, hanya sedikit saja (atau bahkan tak perlu dikurangi), tetapi kesalahan proses itu yang perlu pengurangan nilai . Tindak lanjut Bagi mahasiswa yang skornya kurang dari 50, wajib mempelajari lagi uraian di depan, dan selanjutnya diuji lagi.


49

BAB IV HITUNG DIFERENSIAL

Recommend Documents