17. y = cot x → y ' = - cosec 2 x 18. y = sec x → y ' = sec x tan x
BAB XV DIFERENSIAL (Turunan)
19. y = cosec x → y ' = - cosec x cotan x Jika y = f(x), maka turunan pertamanya dinotasikan dy dengan y’ = = f ' (x) dx Lim dy f ( x + h) − f ( x ) dengan = h→0 dx h
Penggunaan Turunan : 1. Garis singgung
Rumus-Rumus Diferensial:
1. y = k
→ y'= 0
2. y = k x n
→ y ' = k. n x n −1
3. y = sin x
→ y ' = cos x
4. y = cos x
→ y ' = - sin x
persamaan garis singgungya adalah y –b = m (x –a) dimana m = f ' (x)
5. y = u ± v → y ' = u ' ± v ' 6. y = u. v 7. y =
apabila terdapat dua persamaan garis y= m 1 x + c 1 dan y= m 2 x + c 2 dikatakan - sejajar apabila m 1 = m 2 - tegak lurus apabila m 1 . m 2 = -1
→ y =u v+v u '
u v
'
→ y' =
'
u ' v − v' u v2
2. Fungsi naik/turun
8. y = k [f(x)] n → y ' = k . n [f(x)] n −1 . [f’(x)]
diketahui y = f(x); - jika f ' (x) < 0 maka f(x) turun - jika f ' (x) >0 maka f(x) naik
9. y = sin f(x) → y ' = f ' (x). cos f(x) 10. y = cos f(x) → y ' = - f ' (x). sin f(x) 11. y = sin f(x) → y = n sin '
n
n −1
'
f(x). cos f(x) . f (x)
12. y = cos n f(x) → y ' = - n cos n −1 f(x). sin f(x) . f ' (x) 13. y = a
f ( x)
14. y = e f ( x )
→ y =a '
f ( x)
. ln a . f’(x)
→ y ' = e f ( x ) . f ' (x)
f ' ( x) 15. y = ln f(x) → y ' = f ( x)
16. y = tan x
→ y ' = sec 2 x =
1 cos 2 x
3. Menentukan titik stasioner diketahui y = f (x). Bila f ' (a) = 0 maka (a, f(a) ) adalah titik stasioner
- (a, f(a) ) titik minimum jika f '' (a) > 0 - (a, f(a) ) titik maksimum jika f '' (a) < 0 - (a, f(a) ) titik belok jika f '' (a) = 0 3. Menentukan Kecepatan dan percepatan S = S(t) → jarak yang ditempuh S merupakan fungsi waktu (t), maka - kecepatan v = S ' (t) - percepatan a = S '' (t) www.belajar-matematika.com - 1
15. SOAL-SOAL DIFERENSIAL
EBTANAS1995 3. Diketahui f(x) = adalah….
EBTANAS2000 3 2
1. Turunan pertama dari f(x) = 6x adalah f ′(x) = … 1
1
A. 3x 2
lim f ( x + t ) − f ( x) 1 , maka 2 t→0 t 3x
1
1
A.
−6 x3
C.
−2 3x
C.
−2 3x 3
D.
3 2x 2
E.
−1 6x
1
B. 5x 2 C. 6x 2 D. 9x 2 E. 12x 2
jawab:
Jawab:
3 2
f(x) = 6x 3 1 −1 3 2 f ′(x) = .6 x = 9x 2 2
1 1 = x −2 2 3 3x 1 −2 f ' (x) = . -2 x −3 = 3 3x 3
Cara 1: f(x) =
Jawabannya adalah D
Cara 2: Merupakan pembuktian dari:
EBTANAS1999 2. Turunan pertama f(x)= (2x -
A. 8x -
2 x
C. 8x +
2 x
B. 8x +
1 x
D. 8x -
2 x3
1 2 ) adalah f ' (x) = …. x
E. 8x +
Jawab: f(x)=(2x -
1 2 ) x
f ' (x) = 2 (2x -
1 ) . (2 – (-x −2 )) x
1 1 = 2 (2x - ). (2 + 2 ) x x = 2 (4x + {(
= 2 (4x -
2x 2 1 - )- 3 }) 2 x x x
1 2 ) = 8x - 3 3 x x
2 x3
lim f ( x + t ) − f ( x) t→0 t
f ' (x) =
1 1 − 2 2 lim 3( x + t ) 3x = t →0 t x 2 − (x + t)2 x 2 − ( x 2 + 2 xt + t 2 ) lim 3( x + t ) 2 x 2 lim 3( x + t ) 2 x 2 = = t→0 t→0 t t − (2 xt + t 2 ) lim 3( x 2 + 2 xt + t 2 ) x 2 = t→0 t
− t (2 x + t ) lim 3( x + 2 x 3t + x 2 t 2 ) = t→0 t 4
=
lim − t (2 x + t ) 1 . 4 3 2 2 t → 0 3( x + 2 x t + x t ) t
=
− (2 x + t ) t → 0 3( x + 2 x 3 t + x 2 t 2 )
=
− (2 x + 0) − 2x −2 = = 3 3 2 4 3( x + 2 x .0 + x .0) 3x 3x
lim
4
jawabannya adalah D 4
Jawabannya adalah C www.matematika-sma.com - 1
EBTANAS1995 4. Turunan pertama dari fungsi f yang ditentukan oleh f(x) = (2-3x)
5 3
=
(4 x − 1) + 2( x − 3) (4 x − 1)
adalah f ' (x) = …..
5
5 A. (2-3x) 3 3 8 3 B. − (2-3x) 3 8 8 8 3 3 C. (2-3x) (2-3x) 3 8
D. -5 (2-3x)
=
2 3
=
1 2
4x − 1
2
E. 5 (2-3x) 3
Jawabannya adalah D EBTANAS1999 x2 + 6 x
Turunan pertama fungsi f(x) adalah f ′(x) = …
jawab: 5
f(x) = (2-3x) 3
A.
x+
6 x2
x
D.
3 1 x+ 2 2 3x
B.
x−
3 x2
x
E.
3 3 x− 2 2 x
C.
x−
1 3x 2
5
−1 5 f (x) = (2-3x) 3 . -3 3
'
= - 5 (2-3x)
2 3
y=
UN2006
u v
→ y' =
1 2
5. Turunan pertama dari y = (x-3)(4x-1) adalah…. 2
C.
4x − 1 2x − 5
D.
4x − 1
x
Jawab:
jawabannya adalah D
B.
4x − 1
6x − 7
6. Diketahui fungsi f(x) =
A.
4x − 1 + 2x − 6
x−3
E.
2 4x − 1
2x − 5 2 4x − 1
6x − 7
x2 + 6
f(x) =
x 1
1 − 2 x. x − x 2 ( x 2 + 6) 2 f ' (x) = ( x )2
4x − 1
3
2.x. x −
= Jawab: =2
y = u. v → y ' = u ' v + v ' u y = (x-3)(4x-1)
1 2
1 2
= (4x-1)
1 2
+
− 1 2 x − 3x 2 x
1 x 2
=
3 2
x -
=
3 2
x -(
=
3 2
x -(
x - 3x
−
1 2
3 2
3 x x
1
− 1 y = 1 .(4x-1) + (4x-1) 2 . 4 . (x-3) 2 '
u ' v − v' u v2
2( x − 3) (4 x − 1)
1 2
3 x x
.
x x
3 x 3 )= 2 2 x
jawabannya adalah E www.matematika-sma.com - 2
)
x -
3 x x2
x
x
EBTANAS1998 7. Diketahui fungsi f(x) = sin 2 (2x + 3) dan turunan dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = … A. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3) B. 2 sin (2x + 3) cos (2x + 3) C. sin (2x + 3) cos (2x + 3) D. –2 sin (2x + 3) cos (2x + 3) E. –4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
A. 3x+ y - 1 = 0 B. 2x - y = 0 C. –x + 2y + 5 = 0 D. x + y + 1 = 0 E. x – y – 3 = 0
Jawab: . y = sin n f(x) → y ' = n sin n −1 f(x). cos f(x) . f ' (x) f(x) = sin 2 (2x + 3) f ' x) = 2 sin (2x+3) . cos(2x+3) . 2
jawab: Persamaan garis singgung y – b = m(x –a) Diketahui a = 1 dan b = -2 x 2 - 4x – 2y – 1 = 0 2y = x 2 - 4x – 1 1 1 y = x 2 - 2x – 2 2
= 4 sin (2x+3) . cos(2x+3) jawabannya adalah A EBTANAS1997 8. Turunan pertama fungsi f(x) = cos 3 (3-2x) adalah f ' (x) =…. A. B. C. D. E.
EBTANAS1986 9. Persamaan garis singgung pada kurva x 2 - 4x – 2y – 1 = 0 di titik (1,- 2) adalah …
-3 cos 2 (3-2x) sin (3-2x) 3 cos 2 (3-2x) sin (3-2) -6 cos (3-2x) sin (3-2x) -3 cos (3-2x) sin (6-4x) 3 cos (3-2x) sin (6-4x)
Jawab: y = cos n f(x) → y ' =- n cos n −1 f(x). sin f(x) f ' (x) f(x) = cos 3 (3-2x) f ' (x) = - 3 cos 2 (3-2x) . sin (3-2x) . -2 = 6 cos 2 (3-2x) . sin (3-2x) (jawabannya tidak ada yang cocok ya!!!)
m(gradien) = y ' = x - 2 (di titik (1,-2) Æ x = 1 ) = 1 - 2 = -1 persamaan garis singgungya adalah : y – (- 2) =-1 (x – 1) y + 2 = - x + 1 ⇔ x + y +1 = 0 jawabannya adalah D EBTANAS2000 10. Garis singgung pada kurva x 2 – y + 2x – 3 = 0 yang tegak lurus pada garis x – 2y + 3 = 0 mempunyai persamaan … A. y + 2x + 7 = 0 B. y + 2x + 3 = 0 C. y + 2x + 4 = 0 D. y + 2x – 7 = 0 E. y + 2x – 3 = 0
Ingat rumus trigonometri: sin 2A = 2 sin A cosA
jawab:
terapkan dalam soal ini :
x 2 – y + 2x – 3 = 0 → y = x 2 + 2x – 3
f ' (x) = 6 cos 2 (3-2x) . sin (3-2x)
Persamaan garis x – 2y + 3 = 0 → 2y = x + 3 1 3 y= x+ 2 2
= 6. cos (3-2x) . cos (3-2x) sin (3-2x) = 3. ( 2 sin (3-2x). cos (3-2x) ) . cos (3-2x) = 3 (sin 2 (3-2x) ) . cos (3-2x) = 3 sin (6-4x) .cos (3-2x) = 3 cos (3-2x) sin (6-4x) Jawabannya adalah E
www.matematika-sma.com - 3
didapat m 1 =
1 2
garis singgung tegak lurus maka : m 1 . m 2 = -1 1 . m 2 = -1 Æ m 2 = -2 2 kurva y = x 2 + 2x – 3 y ' = 2x + 2 = m 2 = -2 2x + 2 = -2 2x = -4 x = -2 jika x = -2 maka y = (-2) 2 + 2 . (-2) – 3 =4–4–3 = -3 didapat (x 1 , y 1 ) = (-2,-3) sehingga garis singgungnya adalah: y - y1 = m 2 ( x - x1) y +3 = -2 ( x + 2) y + 3 = -2x – 4 y = -2x - 7 ⇔ y + 2x – 7 = 0 jawabannya adalah D EBTANAS1991 11. Fungsi f yang dirumuskan dengan f(x) = x 3 + 3x 2 – 9x – 1 naik dalam interval … A. x < –3 atau x > 1 B. x < –1 atau x > 1 C. –3 < x < 1 D. –1 < x < 1 E. x < –3 atau x > –1 Jawab: f(x) = x 3 + 3x 2 – 9x – 1 f ' (x) = 3x 2 + 6x – 9 = x 2 + 2x – 3 ⇔ (x + 3 ) (x -1 ) x 1 = -3, x 2 = 1 + + -- - - - - - -- + + • • • • • • • • • -3 0 1 ' jika f (x) >0 maka f(x) naik (bertanda +) yaitu x < -3 atau x > 1
Jawabannya adalah A
EBTANAS2003 12. Fungsi f(x) = x 3 + 3x 2 – 9x – 7 turun pada interval .. A. 1 < x < 3 B. –1 < x < 3 C. –3 < x < 1 D. x < –3 atau x > 1 E. x < –1 atau x > 3 Jawab : fungsi turun jika f ' (x) < 0 f(x) = x 3 + 3x 2 – 9x – 7 f ' (x) = 3x 2 + 6x – 9 = x 2 + 2x – 3 ⇔ (x + 3 ) (x -1 ) x 1 = -3, x 2 = 1 + + -- - - - - - -- + + • • • • • • • • • -3 0 1 ' jika f (x) < 0 maka f(x) turun (bertanda -) yaitu x > -3 dan x < 1
dapat ditulis dengan
-3< x < 1
jawabannya adalah C EBTANAS2000 13. Nilai maksimum fungsi f(x) = x 4 – 12x pada interval –3 ≤ x ≤ 1 adalah … A. 16
B. 9
C. 0
D. -9
E. -16
Jawab: Tentukan nilai stasioner yaitu f ' (a) = 0 f(x) = x 4 – 12x f ' (x) = 4x 3 -12x ⇔ x 3 - 3x ⇔ x (x 2 - 3) ⇔ x (x - 3 ) ( x + 3 ) = 0 -- ++ -++ • • • 0 3 - 3 max min Jika x < - 3 Æ - . - . - = - 3<x<0Æ-.-.+=+ 0 < x < 3 Æ +. - . + = 3 Æ +. + . + = + x> www.matematika-sma.com - 4
terlihat pada grafik garis nilai max jika x = 0 (interval –3 ≤ x ≤ 1)
A. 16m
Luas = L = p l + p . l = 2 p. l Panjang kawat = 120 m
jawabannya adalah C EBTANAS2000 14. Nilai minimum fungsi f(x) = x 3 - 27x pada interval -1 ≤ x ≤ 4 adalah…. B. 0 C. -26 D. -46
E. -54
120 = 3. p + 4. l 3p = 120 – 4. l 4 p = 40 - . l 3 L = 2. l (40 -
jawab:
4 .l) 3
8 .l 3
= 80 l -
f(x) = x 3 - 27x f ' (x) = 3x 2 - 27 ⇔ x2 - 9 ⇔ (x – 3 ) (x + 3) = 0 x = 3 ; x = -3 +++ ---+++ • • -3 3 max min
2
Luas maksimum jika L ' = 0 L = 80 l L ' = 80 -
sehingga nilai minimumnya adalah: f(x) = x 3 - 27x f(3) = 3 3 - 27. 3 = 27 - 81 = -54
UN2005 15. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar. Agar luasnya maksimum, panjang kerangka(p) tersebut, adalah :
l
2
16 .l=0 3
agar luas maksimum maka p = 4 p = 40 - . l 3 4 . 15 = 40 3 = 40 -20 = 20 m
jawabannya adalah E
l
8 .l 3
16 l = 80 3 240 = 15 l= 16
nilai minimum jika nilai x = 3 (interval -1 ≤ x ≤ 4)
p
C. 20m D. 22m E. 24m
jawab:
sehingga nilai maksimumnya : f(x) = x 4 – 12x f(0) = 0 – 0 = 0
A. 26
B. 18m
Jawabannya adalah C UN2005 16. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam 120 (4x - 800 + ) ratus ribu rupiah . Agar biaya x minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu ........ A . 40 jam B . 60 jam C . 100 jam D . 120 jam E . 150 jam
www.matematika-sma.com - 5
Jawab: 120 ) x ditanya = waktu pengerjaan agar biaya minimum ? Diketahui biaya perjam = (4x - 800 +
Waktu pengerjaan = x Biaya Produksi (B) = Biaya perjam . waktu pengerjaan 120 = (4x - 800 + ).x x = 4x 2 - 800 x + 120 agar biaya minimum maka B ' = 0 B ' = 8 x – 800 = 0 8x = 800 x = 100 jam jawabannya adalah C
www.matematika-sma.com - 6
