Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui

1







Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB).

Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan Persamaan Diferensial Parsial.

2





Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya bersifat linear. Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikut dengan

adalah koefisien PD.



Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.



Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB 3

(1)

dN = kN , N = N(t) , PDB orde 1 dimana N peubah tak dt bebas, t peubah bebasnya

(2) y ’ + 2 cos 2x = 0 , PDB orde 1 dimana y peubah tak bebas, x peubah bebasnya (3) y” + ex y’ + sin xy = ex sin x , PDB orde 2 (4) x3 y”+ cos 2x (y’)3= x2 y2 , PDB orde 2

4





Solusi PDB adalah suatu fungsi y = f (x), jika disubtitusikan ke PDB diperoleh persamaan identitas. Solusi umum dan solusi khusus Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.

5

(1) y = cos x + c



solusi umum

Persamaan Diferensial y ’ + sin x = 0 Karena (cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0

(2) y = cos x + 6  solusi khusus Persamaan Diferensial y ’ + sin x = 0 Karena (cos x + 6)’ + sin x = -sin x + sin x = 0

6

 



PDB dengan variabel terpisah PDB Linear PDB dengan koefisien fungsi homogen

7



PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : g(y) dy = f(x) dx disebut PDB dengan variabel terpisah.

Penyelesaian : integralkan kedua ruas  g ( y) dy   f ( x) dx Contoh : 1. tentukan solusi umum PD

dy  x3 dx

dy 3  x3  dy  x3dx  dy  x dx dx





y

1 4 x C 4

8

2. tentukan solusi umum PD

( x ln x) y '  y

Jawab:

( x ln x) y '  y

ln y  ln cln x 

dy x ln x y dx dy dx  y x ln x

y  cln x 

dy dx   y  x ln x

Jadi solusi umum PD tersebut adalah

y  cln x 

ln y  ln ln x   ln c

9

3. Tentukan Solusi Khusus dari y '  x3e y ; y(2)  0

dy  x 3e  y dx

dy 3  x dx y e y 3 e dy  x   dx

1 4 e  x c 4 y

1 4  y  ln  x  c  4 

Diketahui y(2) = 0, sehingga

1  0  ln  (2) 4  c  4 

1  4  c  c  3 Jadi solusi khusus PD tersebut

adalah

1 4  y  ln  x  3  4  10

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

1.

2.

dy x2  dx 1  y 2

dy e2 x  3 dx 4 y

5.

y '  (1  2 y)(1  x 2  2 x3 )

6.

y '  2(1  x)(1  y 2 ), y(0)  0

3.

x2 y'  y (1  x3 )

7.

dy y cos x  , y(0)  1 2 dx 1  2 y

4.

y '  1  x  y 2  xy 2

8.

(1  e x )

dy x  e y  0, y(0)  1 dx

11

PDB linear adalah PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : y '  P( x) y  r ( x)

Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integral

P ( x ) dx  e

P ( x ) dx P ( x ) dx P ( x ) dx    y 'e  P( x) ye  r ( x)e P ( x ) dx P ( x ) dx   ( ye ) '  r ( x) e

Integralkan kedua ruas terhadap x P ( x ) dx P ( x ) dx   ye  e r ( x)dx  c

Solusi Umum PDB linear : y  e h  eh r ( x)dx  c  ; h  P( x)dx







12

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

1. xy ' 2 y  x3e x Jawab:

2 y ' y  x 2e x (bagi kedua ruas dengan x) x 2 2 P( x)    h( x)    dx  2ln x x x

y  e h

e



ln x 2

h e  r ( x)dx  c

 e

ln(x 2 )





.x 2e x dx  c  x 2



x e  dx  c

Jadi solusi umumnya adalah y  x e  c x 2 x



2

13

2. y ' y  ( x  1)2 ; y(0)  3 Jawab:

P( x)  1  h( x)   1dx  x

y  e h

 e x e

x

 e x

    e ( x  1) dx  c  h e  r ( x)dx  c

x

 x 1 

2

2

e x   2( x  1) e x dx



(dengan integral parsial)

 x  1 e x  2( x  1) e x  2e x  c 2

y  x  1  2x  1  2  ce  x 2



 y  x2  1  ce x

y(0)  3  3  1  c  c  2 Sehingga SK : y  x 2  1  2e x

14

Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini: 1. y'2 y  e x

2. ( x  1) y' y  x 2  1

3. y' y tan x  sec x

4. y'

2y 2  x  1 x 1

5. y'2 y  x 2

6. xy ' 1  x  y  e x , y(1)  0 7. y '  e2 x  3 y ; y(0)  1   8. sin x y '  2 y cos x  sin 2 x, y    2 6 15





Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika A(kx,ky) = knA(x,y), k konstan sembarang Contoh : Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak ! 1. A(x,y) = x + y A(kx,ky) = kx + ky = k (x + y) = k A(x,y) A(x,y) = x + y , fungsi homogen dengan derajat 1 2. A(x,y) = x2 + xy A(kx,ky) = k2x2 + kx ky = k2 (x2+xy) = k2 A(x,y) A(x,y) = x2 + xy , fungsi homogen dengan derajat 2

16



PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk

y' 

A( x, y ) B ( x, y )

dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen. Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x) dengan

y'  u' x  u dy du +u =x dx dx dy = x du + u dx

17

Selesaikan solusi persamaan diferensial berikut 1. y ' 

x y x

Jawab: dy x  y  dx x

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx dy  y  1   dx x

x du  dx

y  ln x  c x



 

x du  u dx  1  u  x du  u dx  1  u dx dx dx dx du  du  u  ln x  c     x x

 

y  x ln x  c x

Jadi solusi umum dari PD di atas adalah y  x ln x  c x 18

dy  y 2  2 xy  0 , y(1)=1 2. x dx 2

Jawab:

2

dy y 2  2 xy dy  y   y     2     dx x2 dx  x  x

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx x du  u dx  u 2  2u dx





x du  u  u dx 2





du  u(u  1)  ln x  ln c



 



du dx   u2  u  x

x du  u dx  u 2  2u dx

du dx  u2  u x

1  1     u u  1 du  ln cx





ln u  ln u  1  ln cx

19

 



 u  ln    ln cx  u 1  y    ln cx ln   yx cx 2 y 1  cx



 y   x   ln cx ln   y  1  x 



y  cx yx

 y(1  cx)  cx

2

Diketahui y(1) = 1, sehingga 1

c 1 c



c

1 2

x2 Jadi solusi khusus PD di atas adalah y  2 x 20

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

1. 2y dx – x dy = 0 2.

3. 4.

dy x 2  3 y 2  dx 2 xy dy y 2  2 xy  dx x2 dy x  3 y  dx x  y

21

Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mendapatkan keluarga kurva yang ortogonal atau tegak lurus terhadap keluarga kurva lain. Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal dari suatu kurva adalah sebagai berikut:





◦ ◦

Turunkan secara implisit f(x,y) = c terhadap x, nyatakan parameter c dalam x dan y. Karena tegak lurus maka trayeksi Ortogonal (TO) harus memenuhi: 1 y' 



Df ( x, y )

Trayektori Ortogonal dari f(x,y) = c, didapatkan dengan mencari solusi dari y' 

1 Df ( x, y ) 22

Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva y  cx

2

Jawab:

Langkah-langkah menentukan TO :

y 1. Tuliskan y  cx dalam bentuk c  2 x 2 Kemudian turunkan y  cx yaitu: y  y y' 2cx  y '  2 x 2   y ' 2 x x  2

2. TO akan memenuhi PD

1 x y'   2y / x 2y

23

2 y  cx 3. TO dari adalah solusi dari PD berikut: y

y' 

x 2y

 2 ydy    xdx

 

dy x  dx 2y



2 x y2    c  2

x

x2  y 2  c  (ellips ) 2 2 y  cx Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola x2 adalah  y 2  c  (ellips ) 2

24

Tentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut : 1.

x2  y 2  c2

4.

y  xc

2.

x y c

5.

4 x2 + y2 = c

3.

2

2

2

y = cx

25





Bentuk umum : y  + p(x)y  + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien. Jika r(x) = 0, maka Persamaan Diferensial diatas disebut homogen, sebaliknya disebut non homogen. Persamaan Diferensial Biasa linier orde dua homogen dengan koefisien konstan, memiliki bentuk umum : y + ay  + by = 0 dimana a, b merupakan konstanta sebarang.

26

Solusi dari PDB Orde Dua Homogen

ay ' 'by 'cy  0 adalah:: adalah

y  C1 y1  C2 y2 dimana C1, C2 konstanta, dan

y1 , y2

solusi basis. 27

disebut solusi basis jika

bebas linear.

disebut bebas linear jika W (Wronskian)≠0.

28

ay ' 'by 'cy  0 Buat Persamaan Karakteristik (PK):

a  b  c  0 2

Ada 3 kemungkinan akar dari PK : 1. Dua akar real berbeda (Diskriminan > 0)

1  2 Solusi umum PD:

y  C1e

1 x

 C2e

2 x

29

2. Dua akar real kembar (Diskriminan = 0)

1  2

y  C1e

Solusi umum PD:

x

 C2 xe

x

3. Akar kompleks konjugate (Diskriminan < 0)

12     i Solusi umum PD:

y  e x (C1 cos  x  C2 sin  x) 30

ay ' 'by 'cy  0 Jika PD ini mempunyai akar real berbeda, 1

maka

y1  e

1 x

, y2  e

2 x

 2

adalah solusi basis.

Bukti:

31

1. Tentukan solusi umum dari PD y '' 5 y ' 6 y  0 Jawab: PK :

 2  5  6  0 (  3)(  2)  0

(solusi basis)

1  3 ; 2  2 Solusi Umum :

y  C1e 32

3 x

(solusi basis)

 C2 e

2 x

2. Tentukan solusi umum dari PD y '' 6 y ' 9 y  0 Jawab: PK :

 2  6  9  0 (  3)2  0

1  2    3 Solusi Umum :

y  C1e 33

3 x

 C2 xe

3 x

3. Tentukan solusi umum dari PD

y '' 4 y  0

Jawab: PK :

2  4  0

 0

12  2i

Solusi Umum :

 2

y  C1 cos 2 x  C2 sin 2 x 34

Bentuk umum: dengan r(x)  0

ay  + by + cy = r(x) … *)

Solusi total : y = yh + yp dimana yh = solusi PD homogen yp = solusi PD non homogen Menentukan yp : 1. Metode koefisien tak tentu 2. Metode variasi parameter

35

Pilih yp yang sesuai dengan

r(x), substitusikan ke PD (*)

a. Kasus khusus

r(x)

No 1. 2. 3. 4.

yp

Cex

x

Ke

Kn x n  Kn 1x n 1  ...  K0

K cos x ,

K sin x

An x n  An1 x n1  ...  A0

Acos x  B sin x

Kex cos x , Kex sin x ex ( A cos x  B sin x) 36

y' '3 y'2 y  e4 x

1.Tentukan Solusi Umum dari Jawab: Persamaan karakteristiknya:

2  3  2  0 (  2)(  1)  0

  2 ;  1 Jadi solusi homogennya adalah Solusi Umum :

y  yh  y p

Selanjutnya tentukan

yp 37

yh  C1e2 x  C2e x

Pilih

y p  Ce

y p ' 4Ce

4x

4x

y p ' '  16Ce

4x

Substitusikan ke PD soal

16Ce  3.4Ce  2Ce  e 4x

4x

4x

4x

e4 x (16C  12C  2C )  e4 x

6C  1  C  1 / 6 1 4x Jadi yp  e 6 1 4x 2x x y  C1e  C2e  e Sehingga SU : 6 38

2. y” – 3y’ + 2y = cos x

Jawab: Solusi PD Homogen yh = C1 e2x + C2 ex Untuk yp dipilih yp = A cos x + B sin x yp’ = - A sinx + B cos x  yp” = - A cos x – B sin x Kemudian substitusi ke ke PD semula: (-A cos x – B sin x)–3(-A sin x + B cos x)+2(A cos x +B sin x)= cos x (-A-3B+2A) cos x + (-B+3A+2B) sin x= cos x (-3B + A) cos x + (3A+B) sin x= cos x



 -3B + A = 1 dan 3A+B= 0 39

Didapat

A = 1/10 dan B = -3/10

Jadi solusi umum PD di atas adalah

40

b. Jika r(x) merupakan solusi basis PD homogen, maka kalikan yp dengan

x (atau x 2

, jika akar PK PD

Homogen kembar).

Contoh : 1. Tentukan Solusi Umum dari y '' 3 y ' 2 y

 ex

Jawab : PK PD homogen :

 2  3  2  0 (  2)(  1)  0

1  2 ; 2  1 Sehingga 1/30/2016

yh  C1e2 x  C2e x 41

y1  e 2 x

y2  e x

Karena r(x)=solusi basis PD homogen, maka x x x y  Cxe  y '  C ( e  xe ) pilih p p

Substitusi ke soal

y p ''  C (e x  e x  xe x )  C (2e x  xe x )

C (2e  xe )  3C (e  xe )  2Cxe  e x

x

x

x

e (2C  Cx  3C  3Cx  2Cx)  e x

x

x

x

C  1  C  1 x y   xe Jadi p 2x x x y  y  C e  C e  xe Sehingga Solusi Umum: h p 1 2 1/30/2016

42

2. Tentukan solusi khusus dari y” – 3y’ + 2y = ex, y(0)=1, y’(0)=-1 Jawab:

Persamaan karakteristiknya:

 2  3  2  0 (  1)(  2)  0

1  1 ; 2  2 Jadi solusi PD homogennya :

yh  C1e x  C2 e2 x 43

 y p  Axe x y p '  Ae x  Axe x , y p ''  Ae x  Ae x  Axe x y p ''  2 Ae x  Axe x Kemudian substitusi ke PD semula: 2Aex+Axex – 3 (Aex + Axex) + 2 Axex = ex -A ex = ex A = -1 Jadi solusi umum PD di atas adalah y = C1e2x + C2ex – xex 44

Kita punya y(0)=1 dan y’(0)=-1 y = C1 e2x + C2 ex – x ex  1=C1+C2 y’ = 2C1e2x + C2ex – ex – xex  0=2C1+C2 Didapat C1=-1, dan C2 = 2

Jadi solusi khusus PD di atas adalah y = – e2x + 2 ex – x ex 45

1. Tentukan Solusi umum dari PD berikut

a. y '' 3' 2 y  cos x

i. y '' 4 y ' 4 y  e 2 x

b. y '' 9 y  x  2

j. y '' 3 y ' 4 y  3x 2  2

c. y '' 3 y ' 4 y  3 x 2  2

k . y '' 9 y  sin 3 x  e 2 x

d . y '' 3 y ' 4 y  e 2 x

l. y '' y '  e x  3x

e. y '' 4 y  2sin x

m. y '' 6 y ' 9 y  18cos 3 x

f . y '' 4 y  2 cos 2 x

n. y '' 2 y ' 3 y  8e3 x  cos 2 x

g . y '' 2 '  3 x  2

o. y '' 4 y ' 3 y  8e 3 x  e3 x

h. y '' 4 y ' 4 y  9 cosh x

p. y '' 4 y  8 x 2

2

1/30/2016

46

2. Tentukan Solusi Khusus dari PD berikut

a. y '' y ' 2 y  3e 2 x ; y (0)  0 , y '(0)  2 b. y '' 4 y ' 3 y  10e

2 x

c. y '' 3 y ' 2 y  e  e 4x

; y (0)  1 , y '(0)  3 3x

; y (0)  1 , y '(0)  2

d . y '' 4 y  4sin x ; y (0)  4 , y '(0)  0 e. y '' 5 y ' 6 y  e

2x

; y (0)  1 , y '(0)  0





f . y '' y ' 2 y  10sin x ; y ( )  3 , y '( )  1 2 2 1/30/2016

47



Metoda ini digunakan sebagai alternatif untuk mencari solusi PD non homogen (yp) yang tidak dapat diselesaikan dengan metoda koefisien tak tentu.

ay' 'by'cy  r ( x)

Misalkan

y p  uy1  vy2 y1 , y2

1/30/2016

(1)

(2)

solusi basis PD homogen

48

y p  u ' y1  uy1 ' v ' y2  vy2 ' Pilih

u ' y1  v ' y2  0

Sehingga

(3)

y p '  uy1 ' vy2 '

(4)

y p ''  u ' y1 '  uy1 ''  v ' y2 '  vy2 ''

(5)

Substitusikan (2),(4),(5) ke (1)

a(u ' y1 'uy1 ' 'v' y2 'vy2 ' ' )  b(uy1 'vy2 ' )  c(uy1  vy2 )  r ( x) 1/30/2016

49

u(ay1 ' 'by1 'cy1 )  v(ay2 ' 'by2 'cy2 )  =0

=0

u' y1 'v' y2 ' )  r ( x) Jadi u ' y1 '  v ' y2 '  r ( x)

(6)

Dari (3) dan (6) tentukan u dan v

u ' y1  v ' y2  0 u ' y1 '  v ' y2 '  r ( x) 1/30/2016

50

Dengan aturan Cramer diperoleh

0

y2

r ( x ) y2 ' u' y1 y2 y1 '

y2 '

y1

0

y2 r ( x )  u   dx W

y1 ' r ( x) y1 r ( x) v'   v dx , y1 y2 W y1 ' y2 '

1/30/2016

W

51

y1

y2

y1 '

y2 '

Contoh 4x y ' '  3 y '  2 y  e 1. Tentukan solusi umum dari PD

Jawab: PK PD homogen :

2  3  2  0 (  2)(  1)  0

1  2  y1  e

2x

2  1  y2  e x yh  C1e  C2e Solusi non homogen, pilih : y p  uy1  vy2 2x

Solusi homogen :

W 1/30/2016

e2 x

ex

2e2 x

ex

52

x

 e3 x  2e3 x

 e3x

y p  uy1  vy2 y2 r ( x) u   dx W

y1r ( x) v   dx W

e x .e4 x   dx 3x e 1 2x 2x   e dx  e 2 e2 x .e4 x  dx 3x e 1 3x    e dx   e 3 3x

1/30/2016

53

y p  uy1  vy2 1 2 x 2 x 1 3x x 1 4 x y p  e .e  e .e  e 2 3 6 Sehingga solusi umum

y  yh  y p 1 4x  C1e  C2 e  e 6 2x

x

54

2. y '' y  tan x Jawab: Persamaan karakteristiknya:

  1  0  1  i ; 2  i 2

y1  cos x ; y2  sin x Jadi solusi homogennya adalah Untuk yp dipilih

W 1/30/2016

y1

y2

y1 '

y2 '

yh  C1 cos x  C2 sin x

y p  uy1  vy2 

cos x

sin x

 sin x cos x

1 55

2 1  cos x sin x tan x sin x dx u   dx    dx    cos x 1 cos x 2

  (sec x  cos x) dx   sec x dx   cos x dx

  ln sec x  tan x  sin x

cos x tan x v  dx   sin x dx   cos x 1

56

Sehingga didapat

y p  ln sec x  tan x cos x  sin x cos x  sin x cos x  ln sec x  tan x cos x Jadi solusi umum PD tersebut

y  yh  y p y  C1 cos x  C2 sin x   ln sec x  tan x  cos x

1/30/2016

57

Tentukan solusi umum dari PD

a. y '' y  csc x 2e 2 x b. y '' 4 y ' 5 y  sin x c. y '' y  cot x d . y '' 9 y  sin x  e 2 x 2 x e e. y '' 4 y ' 4 y  2 xx e f . y '' 2 y ' y  1  x2

58