PERTEMUAN-2 Persamaan Diferensial Homogen Persamaan diferensial yang n semuanya. F (tx, ty ) = t .F ( x, y )
unsur
x
dan
y
Contoh: 1.
F ( x, y ) = 3 x 2 + 4 xy − 7 y 2
F (tx, ty ) = 3t 2 x 2 + 4t 2 xy − 7t 2 y 2 F (tx, ty ) = t 2 (3x 2 + 4 xy − 7 y 2 ) = t 2 .F ( x, y ) → Homogen derajat 2 2.
F ( x, y ) = x + x 2 + y 2 F (tx, ty ) = tx + t 2 x 2 + t 2 y 2
(
= tx + t x 2 + y 2 = t x + x 2 + y 2
)
= t ⋅ F ( x, y ) → Homogen derajat 1 3.
F ( x, y ) = x 2 + y F (tx, ty ) = t 2 x 2 + ty = t (tx 2 + y ) → Non Homogen
Ciri Umum Homogen : Tiap suku derajatnya sama. Bentuk PD Homogen:
M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 Dikatakan PD Homogen jika: Fungsi M dan N adalah homogen dengan derajat sama. Persamaan ini diselesaikan dengan substitusi:
y =z x
→
y = zx
dy = zdx + xdz M ( x, y ) → M ( x, zx) = x m R(v) N ( x, y ) → N ( x, zx) = x m S (v)
Contoh Soal: 1. (x + y ) dx + x dy = 0
tidak
dapat
dipisah
M ( x, y ) = x + y M (tx, ty ) = tx + ty = t ( x + y ) = t ⋅ M ( x, y ) → Homogen derajat 1 N(x) = x N (tx) = tx = t N(x) → homogen derajat 1 → PD. Homogen z=
y → y = xz x dy = z dx + x dz
( x + xz ) dx + x (z dx + x dz) = 0 (1 + z)x dx + zx dx + x 2 dz = 0
[(1 + z ) x + (zx)] dx + x 2 dz = 0 x[1 + z + z ] dx + x 2 dz = 0
dz x dx 1 + = ∫ 0 → ln x + ln ( 1 + 2z) = ln c 2 2 x 1+ 2z 2 ln x + ln (1 + 2z) = 2 ln c ln x 2 + ln (1 + 2z) = ln c 2 ln x 2 (1 + 2z) = ln c x 2 ⋅ (1 + 2 z ) = c
y x 2 (1 + 2 ⋅ ) = c → x 2 + 2 xy = c x ⎡ x⎤ ⎢Bisa juga pemisalan z = y ⎥ ⎣ ⎦
2.
dy 4 x 2 + 3 y 2 = dx 2 xy Jawab:
2 xy dy = (4x 2 + 3 y 2 ) dx 2 xy dy − (4x 2 + 3 y 2 ) dx = 0 ← (M & N Homogen derajat 2)
M ( x, y ) = 2 xy M (tx, ty ) = 2tx ⋅ ty = t 2 (2 xy ) = t 2 ⋅ M ( x, y ) 2 xy dy − (4 x 2 + 3y 2 ) dx = 0 y z= → y = zx Misalkan : x dy = z dx + x dz
z ⋅ xz ⋅ x (z dx + x dz) − (4x 2 + 3 x 2 z 2 ) dx = 0 2x 2 z 2 dx + 2 x 3 z dx − (4 + 3z 2 ) x 2 dx = 0
(2 x z
2 2
− (4 + 3z 2 ) ⋅ x 2 ) dx + 2x 3 z dz = 0
(2z 2 − 4 − 3z 2 ) x 2 dx + 2x 3 z dz = 0
(− z 2 − 4) x 2 dx + 2 x 3 z dz = 0 x 2 dx 2 z dz − 2 =0 (z + 4) x3 dx dz 2 2 − ∫ x ∫ ( z 2 + 4) = 0 → ln x − ln (z + 4) = ln c x ln 2 = ln c (z + 4) x = c bentuk ini diubah menjadi: z +4 x = c (z 2 + 4 ) 2
x c 2 z + 4 = cx y2 + 4 = cx x2 y 2 + 4 x 2 = cx 3
z2 + 4 =
y 2 = cx 3 − 4 x 2
y = cx 3 − 4x 2 y = x cx − 4 Catatan: Pemilihan bentuk z =
y x atau z = tergantung bentuk persamaannya. y x
Untuk soal di atas sudah selayaknya memakai z = dengan dy tidak terlalu banyak. Contoh penggunaan z = 3.
x yang tepat: y
2 xy dx + (x 2 − y 2 ) dy = 0 x z= → x = zy Misalkan : y dx = z dy + y dz 2 xy dx + (x 2 − y 2 ) dy = 0
2 ⋅ ( zy ) ⋅ y (z dy + y dz) + (y 2 z 2 − y 2 ) dy = 0
2 z 2 y 2 dy + 2 z y 3 dz + ( z 2 − 1) y 2 dy = 0
y , sebab perkalian M ( x, y ) x
(2 z 2 + z 2 − 1) y 2 dy + 2z y 3dz = 0 y 2 dy 2 z dz + 2 =0 3z − 1 y3 dy 2 z dz + =0 y 3z 2 − 1
( (
)
dy 1 d 3 z 2 − 1 + = ∫0 y 3 ∫ 3z 2 − 1
)
1 ln y + ln (3z 2 − 1) = ln c 3 3ln y + ln (3z 2 − 1) = 3 ln c ln y 3 + ln (3z 2 − 1) = ln c 3 ln y 3 (3z 2 − 1) = ln c
⎛ x2 ⎞ y 3 (3 z 2 − 1) = c → y 3 ⎜⎜ 3 2 − 1⎟⎟ = c ⎝ y ⎠ 2 3 3x y − y = c
-y
4.
dy x e x + y = dx x x dy = x e -y/x + y dx
(
)
Cara lain melihat ‘homogen’ adalah dengan melihat pangkat x dan y pada:
M ( x, y ) dx = x e x dy − (x e
-y
Misalkan :
x
-y x
+ y → homogen berderajat 1
+ y ) dx = 0
z=
y x
x (x dz + z dx) − (x e
→
y = xz dy = x dz + z dx
-xz
x
+ xz ) dx = 0
x dz + zx dx − (e + z ) x dx = 0 2
-z
x 2 dz + (−e − z ) x dx = 0 x dx dx − e z dz + 2 = 0 → ∫ − e z dz = ∫ 0 x ∫ x ln x − e z = ln c ln x − ln c = e z x e z = ln c
e z = ln cx ln e z = ln (ln cx ) z = ln(ln cx ) y = ln (ln cx ) x y = x ln (ln cx )
5.
x2 + y2 + y dy − =0 dx x x dy − ⎛⎜ x 2 + y 2 + y ⎞⎟ dx = 0 (homogen berderajat 1) ⎝ ⎠ y z= → y = zx Misalkan : x dy = z dx + x dz
x (z dx + x dz) −
(x
2
)
+ z 2 x 2 + zx dx = 0
) ( + z )) x dx + x dz = 0
zx dx + x 2 dz − 1 + z 2 + z x dx = 0
(z − ( 1 + z
2
2
dz x dx − =0 2 x 1+ z2 dz dx x dx dz − 2 = 0→∫ −∫ = 0 x ∫ x 1+ z2 1+ z2 dz dz ∫ 1 + z 2 − ln x = ln c → ∫ 1 + z 2 = ln x ⋅ c Kita hitung
∫
dz 1 + z2
[Bentuk Integral Trigonometri]
z = tg α → dz = sec 2α dα 1 + z 2 = sec α
∫
sec 2 α dα =∫ = ∫ sec α dα sec α 1+ z2 dz
= ln sec α + tg α = ln = ln 1+
1+
1+ z2 + z
y2 y + = ln cx x2 2
y2 y + = cx → y + x 2 + y 2 = cx 2 2 x x
Persamaan Diferensial yang dapat diubah menjadi Persamaan Diferensial Homogen (Persamaan Diferensial dengan koefisien linear] Bentuk Umum (ax + by + c) dx + (px + qy + r) dy = 0 u
v
Konstanta yang mengakibatkan tidak homogen
Kejadian yang mungkin terjadi: 1.
Bila c = 0 dan r = 0 Persamaan menjadi: (ax + by) dx + (px + qy) dy = 0 → menjadi PD. Homogen
2.
Bila (px + qy) = k (ak + by); k = konstanta Maka: (ax + by + c) dx + [k (ax + by) + r] dy = 0 Misal: ax + by = z → dz = a dx + b dy b dy = dz – a dx dz − a dx dy = b ⎛ dz − a dx ⎞ (z + c ) dx + (k z + r) ⎜ ⎟=0 b ⎝ ⎠
⎛ k az + r a ⎞ ⎛ kz + r ⎞ (z + c ) dx + ⎜ ⎟ dx = 0 ⎟ dz − ⎜ b ⎝ ⎠ ⎝ b ⎠ k az + ra ⎞ ⎛ kz + r ⎞ ⎛ ⎟ dz = 0 ⎜z + c − ⎟ dx + ⎜ b ⎝ b ⎠ ⎝ ⎠ → PD dengan variabel yang dapat dipisahkan. 3.
a b ≠ ; c≠0, r≠0 p q u = ax + by + c → du = a dx + b dy v = px + qy + z → dv = p dx + q dy Bila
kita akan cari dx dan dy Cara I.
•
Kita cari dx dulu q du = aq dx + q b dy b dv = bp dx + b q dy
(di kali q)
−
(dikali b)
q du – b dv = (aq – bp) dx
→ dx = •
q du − b dv (aq − bp)
Kita cari dy: (di kali p)
p du = ap dx + b p dy a dv = ap dx + a q dy p du – a dv = (bp – aq) dy
p du − a dv a dv − p du = ( bp − aq) (aq − bp)
→ dy = Cara II.
dx =
du
b
dv a
q q du − b dv = b (aq − bp) q
p
a du dy =
p dv a dv − p du = a b (aq − bp) p q
Dimasukkan dalam PD:
u dx + v dy = 0 ⎡ q du − b dv ⎤ ⎡ a dv − p dv ⎤ +v⎢ u⎢ ⎥ ⎥=0 ⎣ aq − bp ⎦ ⎣ aq − bp ⎦ u (q du − b dv) + v (a dv − p du) = 0 uq du − ub dv + va dv − vp du = 0 (up − vp) du + (va − ub) dv = 0 → PD. Homogen u dan v Contoh Soal: 1.
(x + y + 1) dx + (2x + 2y + 1) dy = 0 Jawab : Perhatikan 2x + 2y = 2 (x + y) (bentuk II) (x + y + 1) dx + (2 (x + y) + 1) dy = 0
−
(dikali a)
Misal: x + y = z → dx + dy = dz dy = dz – dx (z + 1) dx + (2z + 1) (dz – dx) = 0 (z + 1) dx + (2z + 1) dz – (2z + 1) dx = 0 {z + 1 – 2z – 1} dx + (2z + 1) dz = 0 -z dx + (2z + 1) = 0
dx +
(2z + 1) dz =0 −z
dz = 0 z ∫ x – 2z – ln z = c
∫ dx − ∫ 2 dz − ∫
x – 2 (x + y) – ln (x + y) = c -x – 2y – ln (x + y) = c x + 2y + ln (x + y) = c 2.
dy x − y − 4 . Tentukan Solusi umum PD! = dx x + y − 2 (x – y – 4) dx – (x + y – 2) dy = 0 u=x–y–4 v=x+y–2
dx =
→ du = dx – dy → dv = dx + dy
du + dv [lebih cepat gunakan rumus] 2
dv − du 2 u dx − v dy = 0
dy =
1 v (du + dv) − (dv − du) = 0 2 2 u (du + dv) − v (dv − du) = 0 u du + u dv − v dv + v du = 0 (u + v) du + (u − v) dv = 0 u
z=
v → v = u ⋅z u dv = u dz + z du
(u + uz) du + (u - uz) (u dz + zdu) = 0 u(1 + z) du + u (1 - z) (u dz + z du) = 0 (1 + z) du + (1 - z) (u dz + z du) = 0 (1 + z) du + (1 - z) u dz + (1 - z) z du = 0 (1 + z + z - z 2 ) du + (1 - z) u dz = 0 (1 + 2z - z 2 ) du + (1 - z) u dz = 0
du (1 − z ) dz +∫ = 0 u (1 + 2z − z 2 ) ∫ du (z1) dz ∫ u + ∫ (z 2 − 2z − 1) = c 1 ln u + ln (z 2 − 2z − 1) = ln c 2 2 2 u (z − 2 z − 1) = c
∫
⎛ v2 v ⎞ u 2 ⎜⎜ 2 − 2 − 1 ⎟⎟ = c u ⎝u ⎠ v 2 − 2 uv − u 2 = c (x + y − 2 ) 2 − 2 (x + y − 2 )(x − y − 4 ) − ( x − y − 4 ) 2 = c
x 2 − y 2 − 2 xy − 8 x + 4 y = c 3.
(x + 2y-1) dx + (2x – y - 7) dy = 0 Jawab: u = x + 2y-1 → v = 2x – y – 7
du = dx + 2 dy dv = 2 dx – dy
du 2 dv − 1 − du − 2 du du + 2 dv dx = = = 1 2 5 −1 − 4 2 −1 1 2 dy = 1 2
du dv dv − 2 du − 2 du + dv 2 du − dv = = = 2 5 −5 −5 −1
u dx + v dy = 0 ⎛ 2 du − dv ⎞ ⎛ du + 2 dv ⎞ u⎜ ⎟=0 ⎟+v⎜ 5 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ u du + 2 u dv + 2v du – v dv = 0 (u + 2v) du + (2u – v) dv = 0 → PD. Homogen dalam u dan v
z=
u → u = v ⋅z v du = v dz + z dv
(vz + 2v) (v dz + z dv) + (2v.z – v) dv = 0 (z + 2) (v dz + z dv) + (2z – 1) dv = 0 (z + 2) (v dz) + (z + 2) z dv + (2z – 1) dv = 0 (z + 2) v dz + (z2 + 2z + 2z – 1) dv = 0
(z + 2) dz dv + =0 z 2 + 4z − 1 v
dv 1 d (z 2 + 4 z − 1) ∫ v + 2 ∫ z 2 + 4z − 1 = ∫ 0 1 ln z 2 + 4z − 1 = ln c 2
ln v +
(
)
v 2 ⋅ z 2 + 4z − 1 = c ⎛u u ⎞ v 2 ⎜⎜ 2 + 4 − 1⎟⎟ = c → u 2 + 4 uv − v 2 = c v ⎠ ⎝v 2
(x + 2y-1)2 + 4 (x + 2y-1) (2x-y-7) – (2x-y-7)2 = c Jika terus anda turunkan akan didapat:
x 2 + 4 xy − y 2 − 2 x − 14 y = c
Cara II. (x + 2y – 1) dx + (2x-y-7) dy = 0 x + 2y – 1 = 0
→
x + 2y – 1 = 0
2x – y – 7 = 0
→
4x – 2y – 14 = 0 5x – 15 = 0
-
5x = 15 → x1 = 3 2x – y – 7 = 0 2x – 7 = y y1 = -1 Misal: p = x – x1 p=x–3 p+3=x dp = dx
q = y – y1 q = y – (-1)=y+1 q -1 = y dq = dy
(x + 2y – 1) dx + (2x – y – 7) dy = 0 (p + 3 + 2 (q-1) – 1) dp + (2 (p + 3) – (q-1)-7) dq = 0 (p + 2q) dp + (2p-q) dq = 0 → Persamaan Homogen Misal:
z=
q → q = pz p dq = p dz + z dp
(p + 2pz) dp + (2p – pz) (p dz + z dp) = 0 (p + 2pz) dp + (2p2 – p2z) dz + (2pz - p z2) dp = 0
(p + 2pz+2pz - p z2) dp = - (2p2 – p2z) dz (p + 4pz - p z2) dp = - p2 (2 – z) dz p (1 + 4z - z2) dp = p2 (z - 2) dz , kiri-kanan dibagi dengan p (1 + 4z - z2) dp = p (z - 2) dz -( z2 -4z-1) dp= p (z - 2) dz , dikalikan dengan -1 ( z2 -4z-1) dp= - p (z - 2) dz
dp ( z − 2) dz =0 + 2 p ( z − 4 z − 1) dp ( z − 2) dz ∫ p + ∫ ( z 2 − 4 z − 1) = ∫ 0 1 ln (z 2 − 4 z − 1) = c 2 2 ln p + ln (z 2 − 4 z − 1) = 2c
ln p +
ln p 2 + ln (z 2 − 4 z − 1) = ln c
(
)
ln p 2 ( z 2 − 4 z − 1) = ln c
p 2 ( z 2 − 4 z − 1) = c ⎛ q2 q ⎞ p 2 ⎜⎜ 2 − 4 − 1⎟⎟ = c p ⎠ ⎝p q 2 − 4 pq − p 2 = c ( y + 1) 2 − 4( x − 3)( y + 1) − ( x − 3) 2 = c y 2 + 2 y + 1 − 4( xy + x − 3 y − 3) − ( x 2 − 6 x + 9) = c y 2 + 2 y + 1 − 4 xy − 4 x + 12 y + 12 − x 2 + 6 x − 9 = c − x 2 + y 2 − 4 xy + 2 x + 14 y = c − 13 x 2 + 4 xy − y 2 − 2 x − 14 y = c
