Sudaryatno Sudirham
Studi Mandiri
Integral dan Persamaan Diferensial
ii
Darpublic
BAB 3 Integral (3) (Integral Tentu) 3.1. Luas Sebagai Suatu Integral. Integral Tentu Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar dari integral tertentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit. Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva y = f(x), sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q, yaitu luas bagian yang diarsir pada Gb.3.1.a. Sebutlah luas bidang ini Apq. Bidang ini kita bagi dalam n segmen dan kita akan menghitung luas setiap segmen dan kemudian menjumlahkannya untuk memperoleh Apq. Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas segmen seperti tergambar pada Gb.3.1.b, kita akan memperoleh luas yang lebih kecil dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas segmen ini Apqb (jumlah luas segmen bawah). Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas segmen seperti tergambar pada Gb.3.1.c, kita akan memperoleh luas yang lebih besar dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas segmen ini Apqa (jumlah luas segmen atas). Kedua macam perhitungan tersebut di atas akan mengakibatkan terjadinya galat (error). Antara mereka ada selisih seperti digambarkan pada Gb.3.1.d. Jika x0k adalah suatu nilai x di antara kedua batas segmen ke-k, yaitu antara xk dan (xk+∆x), maka berlaku
f ( xk ) ≤ f ( x0 k ) ≤ f ( xk + ∆x)
(3.1)
Jika pertidaksamaan (3.1) dikalikan dengan ∆xk yang yang cukup kecil dan bernilai positif, maka
f ( xk )∆xk ≤ f ( x0k )∆xk ≤ f ( xk + ∆x)∆xk
(3.2)
3-1
y
(a)
(b)
(c)
0 p y
0 p y
0 p y
y = f(x)
x2
xk+1
xn q
x
xk xk+1
xn q
x
xk xk+1
xn q
x
xk
y = f(x)
x2
y = f(x)
x2
y = f(x)
xk xk+1 xn q x (d) 0 p x2 Gb.3.1. Menghitung luas bidang di bawah kurva.
3-2 Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
Sekarang luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (3.2) kita jumlahkan dari 1 sampai n (yaitu sebanyak jumlah segmen yang kita buat), kita akan memperoleh n
∑
n
f ( xk )∆xk ≤
k =1
∑
n
f ( x0 k )∆xk ≤
k =1
∑ f ( xk + ∆x)∆xk
(3.3)
k =1
Ruas paling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, Apqb; ruas paling kanan adalah jumlah luas segmen atas, Apqa; ruas yang di tengah adalah jumlah luas segmen pertengahan, kita namakan An. Jelaslah bahwa
A pqb ≤ An ≤ A pqa
(3.4)
Nilai An dapat dipakai sebagai pendekatan pada luas bidang yang kita cari. Galat (error) yang terjadi sangat tergantung dari jumlah segmen, n. Jika n kita perbesar menuju tak hingga, seraya menjaga agar semua ∆xk menuju nol, maka luas bidang yang kita cari adalah
Apq = lim A pqb = lim An = lim Apqa
(3.5)
Jadi apabila kita menghitung limitnya, kita akan memperoleh nilai limit yang sama, apakah kita menggunakan penjumlahan segmen bawah, atau atas, atau pertengahannya. Limit yang sama ini disebut integral tertentu, dituliskan
Apq =
q
∫p f ( x)dx
(3.6)
Integral tertentu (3.6) ini terkait dengan integral tak tentu (9.12)
Apq =
q
∫p f ( x)dx = F ( x)]p = F (q) − F ( p) q
(3.7)
Jadi untuk memperoleh limit bersama dari penjumlahan segmen bawah, penjumlahan segmen atas, maupun penjumlahan segmen pertengahan dari fungsi f(x) dalam rentang p ≤ x ≤ q, kita cukup melakukan:
∫ f ( x)dx ;
a.
integrasi untuk memperoleh F ( x) =
b. c. d.
masukkan batas atas x = q untuk mendapat F(q); masukkan batas bawah x = p untuk mendapat F(p); kurangkan perolehan batas bawah dari batas atas, F(q) − F(p).
3-3
Walaupun dalam pembahasan di atas kita mengambil contoh fungsi yang bernilai positif dalam rentang p ≤ x ≤ q , namun pembahasan itu berlaku pula untuk fungsi yang dalam rentang p ≤ x ≤ q sempat bernilai negatif. Kita hanya perlu mendefinisikan kembali apa yang disebut dengan Apx dalam pembahasan sebelumnya. Pendefinisian yang baru ini akan berlaku umum, yaitu Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh y = f (x) dan sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x. Agar lebih jelas kita mengambil contoh pada Gb 3.2.
y y = x3−12x 20 10
x
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-10 -20
Gb.3.2. Kurva y = x 3 − 12 x Kita akan menghitung luas antara y = x 3 − 12 x dan sumbu-x dari x = −3 sampai x = +3. Bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.3.2 Di sini terlihat bahwa dari x = −3 sampai 0 kurva berada di atas sumbu-x dan antara x = 0 sampai +3 kurva ada di bawah sumbu-x. Untuk bagian yang di atas sumbu-x kita mempunyai luas
x4 ( x − 12 x)dx = − 6x2 Aa = −3 4
∫
0
0
3
−3
= −0 − (20,25 − 54) = 33,75 Untuk kurva yang di bawah sumbu-x kita dapatkan
x4 Ab = ( x − 12 x)dx = − 6x2 0 4
∫
3
3
3
0
= 20,25 − 54 − (0) = −33,75 3-4 Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
Luas yang kita cari adalah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x
Apq = Aa − Ab = 33,75 − (−33,755) = 67,5 Contoh ini menunjukkan bahwa dengan pengertian yang baru mengenai Apx, formulasi
A=
q
∫p f ( x)dx = F (q) − F ( p))
tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x. Dengan demikian maka untuk bentuk kurva seperti pada Gb.3.3. kita dapatkan
Apq = − A1 + A2 − A3 + A4 yang kita peroleh dari
Apq =
q
∫p f ( x)dx = F (q) − F ( p))
y y = f(x) A2
p A1
A4 A3
q
x
Gb.3.3. Kurva memotong sumbu-x di beberapa titik.
3-5
3.2. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva Kita akan menghitung luas bidang di antara kurva y1 = f1( x) dan
y2 = f 2 ( x) pada batas antara x = p dan x = q . Kurva yang kita hadapi sudah barang tentu harus kontinyu dalam rentang p ≤ x ≤ q . Kita tetapkan bahwa kurva y1 = f1( x) berada di atas y2 = f 2 ( x) meskipun mungkin mereka memiliki bagian-bagian yang berada di bawah sumbu-x. Perhatikan Gb.3.4. Rentang p ≤ x ≤ q kita bagi dalam n segmen, yang salah satunya diperlihatkan pada Gb.3.4. dengan batas kiri x dan batas kanan (x+∆x), dimana ∆x = (q − p ) / n . y
y1 ∆Apx
p
x
0
x+∆x
q
x
y2
Gb.3.4. Menghitung luas bidang antara dua kurva. Luas segmen dapat didekati dengan
Asegmen = { f1 ( x) − f 2 ( x)}∆x
(3.8)
yang jika kita jumlahkan seluruh segmen akan kita peroleh x = q − ∆x
n
∑
Asegmen =
∑ { f1( x) − f 2 ( x)}∆x
(3.9)
x= p
1
Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kita sampai pada suatu limit n →∞
Apq = lim
q
∑ Asegmen = ∫p { f1( x) − f 2 ( x)}dx
(3.10)
1
Kita akan melihat beberapa contoh Contoh 1: Jika y1 = 4 dan y 2 = −2 berapakah luas bidang antara y1 dan y2 dari x1 = p = −2 sampai x2 = q = +3.
Apq =
+3
∫−2 ({4 − (−2)}dx = 6 x]−2 = 18 − (−12) = 30 +3
3-6 Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
Hasil ini dengan mudah dijakinkan menggunakan planimetri. Luas yang dicari adalah luas persegi panjang dengan lebar y1 − y2 = 6 dan panjang x2 − x1 = 5 . Contoh 2: Jika y1 = x 2 dan y 2 = 4 berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2. Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1 dan y2.
y1 = y2 → x 2 = 4 ⇒ x1 = p = −2, x2 = q = 2 Perhatikan bahwa y1 adalah fungsi pangkat dua dengan titik puncak minimum yang berada pada posisi [0,0]. Oleh karena itu bagian kurva y1 yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya, berada di di bawah y2 = 4. 2
x 3 Apq = (4 − x )dx == 4 x − −2 3 -2 8 − 8 16 − 16 32 − = 8 − − − 8 − = 3 3 3 3 3 Jika kita terbalik dalam memandang posisi y1 terhadap y2 kita akan melakukan kesalahan:
∫
2
2
2
x3 ( x − 4)dx = − 4 x Apq * = 3 −2 - 2
∫
2
2
8 −8 − 16 + 16 + 8 = − =0 − 8 − 3 3 3 3 Contoh 3: Jika y1 = − x 2 + 2 dan y2 = − x berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2. Terlebih dulu kita perhatikan karakter fungsi-fungsi ini. Fungsi y1 adalah fungsi kuadrat dengan titik puncak maksimum yang memotong sumbu-y di y = 2. Fungsi y2 adalah garis lurus melalui titik asal [0,0] dengan kemiringan negatif −1, yang berarti ia menurun pada arah x positif. Dengan demikian maka bagian kurva y1 yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya berada di atas y2. 3-7
Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva.
y1 = y2 → − x 2 + 2 = − x atau − x 2 + x + 2 = 0 x1 = p =
− 1 + 12 + 8 − 1 − 12 + 8 = −1; x2 = q = =2 −2 −2 2
x3 x 2 + + 2 x Apq = (− x + 2 + x)dx = − 3 −1 2 −1
∫
2
2
8 −1 1 = − + 2 + 4 − − + − 2 = 4,5 3 3 2 3.3. Penerapan Integral Pembahasan di atas terfokus pada penghitungan luas bidang di bawah suatu kurva. Demikian juga di bab sebelumnya. Hal tersebut dilakukan untuk memudahkan visualisasi. Dalam praktek kita tidak selalu menghitung luas melainkan menghitung berbagai besaran fisis yang berubah terhadap waktu misalnya. Perubahan besaran fisis ini dapat pula divisualisasi dengan membuat absis dengan satuan waktu dan ordinat dengan satuan besaran fisis yang dimaksud. Dengan demikian seolaholah kita menghitung luas bidang di bawah kurva. Berikut ini dua contoh dalam kelistrikan. Contoh 1: Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ? Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka
p=
dw yang memberikan w = dt
∫ pdt
Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah
w=
8
∫0
8
∫0
8
pdt = 100dt = 100t 0
= 800 Watt.hour [Wh] = 0,8 kilo Watt hour [kWh] 3-8 Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
Contoh 2: Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ? Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.
i=
dq sehingga q = idt dt
∫
Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah 5
∫0
q = idt =
5
∫0
0,05tdt =
0,05 2 t 2
5
= 0
1,25 = 0,625 coulomb 2
3.4. Pendekatan (umerik Dalam pembahasan mengenai integral tentu, kita fahami bahwa langkahlangkah dalam menghitung suatu integral adalah: 1.
Membagi rentang f(x) ke dalam n segmen; agar proses perhitungan menjadi sederhana buat segmen yang sama lebar, ∆x.
2.
Integral dalam rentang p ≤ x ≤ q dari f(x) dihitung sebagai q
∫p
n
f ( x)dx = lim
∆x → 0
∑ f ( xk )∆xk k =1
dengan f(xk) adalah nilai f(x) dalam interval ∆xk yang besarnya akan sama dengan nilai terendah dan tertinggi dalam segmen ∆xk jika ∆x menuju nol. Dalam aplikasi praktis, kita tentu bisa menetapkan suatu nilai ∆x sedemikian rupa sehingga jika kita mengambil f(xk) sama dengan nilai terendah ataupun tertinggi dalam ∆xk, hasil perhitungan akan lebih rendah ataupun lebih tinggi dari nilai yang diharapkan. Namun error yang terjadi masih berada dalam batas-batas toleransi yang dapat kita terima. Dengan cara ini kita mendekati secara numerik perhitungan suatu integral, dan kita dapat menghitung dengan bantuan komputer. Sebagai ilustrasi kita akan menghitung kembali luas bidang yang dibatasi oleh kurva y = x 3 − 12 x dengan sumbu-x antara x = −3 dan x = +3. Lauas
3-9
ini telah dihitung dan menghasilkan Apq = 67,5 . Kali ini kita melakukan perhitungan pendekatan secara numerik dengan bantuan komputer.
Apq =
3
∫−3 ( x
3
− 12 x)dx
Karena yang akan kita hitung adalah luas antara kurva dan sumbu-x, maka bagian kurva yang berada di bawah sumbu-x harus dihitung sebagai positif. Jika kita mengambil nilai ∆x = 0,15 maka rentang −3 ≤ x ≤ 3 akan terbagi dalam 40 segmen. Perhitungan menghasilkan 40
A pq =
∑ ( xk 3 − 12 xk ) = 67,39875 ≈ 67,4 k =1
Error yang terjadi adalah sekitar 0,15%. Jika kita mengambil ∆x = 0,05 maka rentang −3 ≤ x ≤ 3 akan terbagi dalam 120 segmen. Perhitungan menghasilkan 120
Apq =
∑ ( xk 3 − 12 xk ) = 67,48875 ≈ 67,5 k =1
Error yang terjadi adalah sekitar 0,02%. Jika kita masih mau menerima hasil perhitungan dengan error 0,2%, maka hasil pendekatan numerik sebesar 67,4 cukup memadai. Perhitungan numerik di atas dilakukan dengan menghitung luas setiap segmen sebagai hasilkali nilai minimum ataupun nilai maksimum masing-masing segmen dengan ∆x. Satu alternatif lain untuk menghitung luas segmen adalah dengan melihatnya sebagai sebuah trapesium. Luas setiap segmen menjadi
Asegmen = ( f ( xk min ) + f ( xkmaks ) ) × ∆x / 2
(3.13)
Perhitungan pendekatan numerik ini kita lakukan dengan bantuan komputer. Kita bisa memanfaatkan program aplikasi yang ada, ataupun menggunakan spread sheet jika fungsi yang kita hadapi cukup sederhana.
3-10 Sudaryatno Sudirham, Integral dan Persamaan Diferensial
3-11
