Open Course
Diferensial dan Integral Oleh: Sudaryatno Sudirham
Pengantar Setelah kita mempelajari fungsi dan grafik, yang merupakan bagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahas bagian kedua dari kalkulus yaitu diferensial dan integral. Seperti halnya pada waktu membahas fungsi dan grafik, pembahasan diferensial dan integral juga dilakukan dengan pendekatan dari sisi aplikasi.
Cakupan Bahasan Turunan Fungsi-Fungsi Mononom. Polinom. Nilai Puncak. Garis Singgung. Fungsi Perkalian Dua Fungsi. Fungsi Pangkat Dari Suatu Fungsi. Fungsi Rasional. Fungsi Implisit. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat. Kaidah Rantai. Diferensial dx dan dy. Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi. Fungsi Logaritmik. Fungsi Eksponensial
Integral Integral Tak Tentu. Luas Sebagai Suatu Integral. Integral Tentu. Penerapan Integral. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Volume Sebagai Suatu Integral.
Persamaan Diferensial Pengertian. Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu. Persamaan Diferensial Linier Orde Satu. Persamaan Diferensial Linier Orde Dua.
Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian Pengertian-Pengertian
y
Kita telah melihat bahwa kemiringan garis lurus adalah
2
Δy
1
Δx
0 0
1
2
3
4
x
m=
∆y ( y2 − y1 ) = ∆x ( x2 − x1 )
-1
Bagaimanakah dengan garis lengkung?
Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian y = f(x) P2
y
Δy P1
Δx x
∆x di perkecil menjadi ∆x*
y = f(x)
y
P1
pada kondisi ∆x mendekati nol
P2∗ Δy*
f ( x + ∆x) − f ( x) ∆y = f ′( x) = lim ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x lim
Δx* x
fungsi turunan dari f (x) di titik P ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P
Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian
y (x2,y2) (x1,y1) x
y = f (x) f ′(x) di titik (x1,y1) adalah turunan y di titik (x1,y1), f ′(x) di titik (x2,y2) adalah turunan y di titik (x2,y2)
Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian ∆y ∆x → 0 ∆x
Jika pada suatu titik x1 di mana lim
benar ada
maka dikatakan bahwa fungsi f(x) “dapat didiferensiasi di titik tersebut”
dy d ∆y = ( y ) = lim dx dx ∆x →0 ∆x
kita baca “turunan fungsi y terhadap x”. Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.
Fungsi Mononom
Turunan Fungsi, Mononom Fungsi Mononom Contoh-1.1
y0 = f ( x) = k f ( x + ∆x) − f ( x) 0 = =0 ∆x ∆x ∆x →0
y0′ = lim
Contoh-1.2
y1 = f1 ( x) = 2 x 2( x + ∆x) − 2 x 2∆x = =2 ∆x → 0 ∆x ∆x
f1′( x) = lim
y 10 8
Fungsi ramp
y1 = 2 x
6
f1′( x) = 2
4 2
Fungsi tetapan
0 0
1
2
3
x4
5
Turunan Fungsi, Mononom Contoh-1.3
y2 = f 2 ( x ) = 2 x 2 2( x + ∆x) 2 − 2 x 2 2( x 2 + 2 x∆x + ∆x 2 ) − 2 x 2 f 2′ ( x) = lim = lim ∆x ∆x ∆x →0 ∆x → 0 = lim (2 × 2 x + 2∆x) = 4 x ∆x → 0
Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk mononom pangkat 1 (kurva garis lurus) Contoh-1.4
y3 = f 3 ( x) = 2 x 3 2( x + ∆x)3 − 2 x 3 f 3′ ( x) = lim ∆x ∆x → 0 2( x 3 + 3x 2 ∆x + 3x∆x 3 + ∆x 3 ) − 2 x 3 = lim ∆x ∆x → 0 = lim 2 × 3 x 2 + 2 × 3x∆x 2 + 2∆x 2 = 6 x 2 ∆x → 0
Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk mononom pangkat 2 (kurva parabola)
Turunan Fungsi, Mononom Secara umum, turunan mononom y = f ( x) = mx n
adalah y′ = (m × n) x ( n −1) n Jika n = 1 maka kurva fungsi y = mx berbentuk garis lurus *)
dan turunannya berupa nilai konstan, y′ = f ′( x) = k Jika n > 1, maka turunan fungsi y = mx n akan merupakan fungsi x, y′ = f ′(x) Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi
y′′ = f ′′(x)
turunan dari
y ′ = f ′(x)
y ′′′ = f ′′′(x) turunan dari
y ′′ = f ′′(x)
*) Untuk n berupa bilangan tak bulat akan dibahas kemudian
Turunan Fungsi, Mononom y′ = f ′( x) =
y′′ = f ′′( x) =
y′′′ = f ′′′( x) =
dy dx d2y dx 2 d3y dx
Contoh-1.5:
disebut turunan pertama,
3
turunan kedua,
turunan ke-tiga, dst.
y 4 = f 4 ( x) = 2 x 3 y4′ = 2(3) x (3−1) = 6 x 2 ;
y4′′ = 6(2) x ( 2 −1) = 12 x;
y4′′′ = 12
Turunan Fungsi, Mononom Kurva fungsi mononom y = f ( x) = mx n yang memiliki beberapa turunan akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya.
Contoh-1.6:
Fungsi y = x 4 dan turunan-turunannya y′ = 4x 3
y′′ = 12x 2
y′′′ = 24 x
200
y ′′ = 12 x 2 y ′ = 4x 3
y = x4 100
y ′′′ = 24 x
y ′′ = 12x 2
y ′′′′ = 24
0 -3
y ′ = 4x 3
-2
-1 -100
y′′′′ = 24
0
1
2
3
4
Fungsi Polinom
Turunan Fungsi, Polinom y1 = f1 ( x) = 4 x + 2
Contoh-1.7:
f1′( x) = lim
∆x → x
{4( x + ∆x) + 2} − {4 x + 2} = 4
10 y
∆x
f1(x) = 4x + 2
8
f1' ( x) = 4
6 4 2 0 -1
-0,5
-2 -4
0
0,5
1
1,5 x
2
Turunan fungsi ini sama dengan turunan f(x)=4x karena turunan dari tetapan 2 adalah 0.
Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka Fʹ(x) = f′ (x) Kita akan melihat hal ini dalam pembahasan integral tak tentu
Turunan Fungsi, Polinom f 2 ( x) = 4 x − 8
y2 = f 2 ( x) = 4( x − 2)
f 2′ ( x) = 4 10
f 2 ( x) = 4( x − 2)
y
Contoh-1.8:
f 2′ ( x) = 4
5 0 -1
0 -5 -10 -15
1
2
3
x
4
Turunan Fungsi, Polinom Contoh-1.9:
y3 = f 3 ( x) = 4 x 2 + 2 x − 5
{4( x + ∆x) lim
}{
}
+ 2( x + ∆x) − 5 − 4 x 2 + 2 x − 5 y3′ = ∆x ∆x →0 = 4 × 2 x + 2 = 8x + 2
Contoh-1.10:
2
y4 = f 4 ( x) = 5 x 3 + 4 x 2 + 2 x − 5 y 4′ =
{5( x + ∆x) lim
∆x →0
3
}{
}
+ 4( x + ∆x) 2 + 2( x + ∆x) − 5 − 5 x 3 + 4 x 2 + 2 x − 5 ∆x
= 5 × 3 x 2 + 4 × 2 x + 2 = 15 x 2 + 8 x + 2
Secara Umum: Turunan suatu polinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu memang memiliki turunan.
Nilai Puncak Suatu Fungsi
Turunan Fungsi, Nilai Puncak Titik puncak kurva suatu fungsi adalah titik pada kurva di mana garis singgung kurva memiliki kemiringan nol (garis sejajar sumbu-x). Jadi di titik ini turunan pertama fungsi bernilai nol. Contoh-1.11: Polinom Orde Dua
y = 2 x 2 + 15 x + 13
y′ = 4 x + 15 Jika fungsi turunan pertama ini = 0 maka
y ′ = 4 x p + 15 = 0
x p = −3,175
Inilah absis titik puncak Ordinat titik puncak diperoleh dengan memasukkan xp ke persamaan kurva
y p = 2 x p 2 + 15 x p + 13 = 2(-3,75) 2 + 15 × ( −3,75) + 13 = −15,125 Jadi koordinat titik puncak adalah: P = (3.15, - 15.125)
Turunan Fungsi, Nilai Puncak
Secara umum, xp dari fungsi kuadrat y = ax 2 + bx + c
dapat diberoleh dengan membuat y′ = 2ax + b = 0
sehingga diperoleh xp = −
b 2a
Ordinat titik puncak dapat diperoleh dengan memasukkan xp ke persamaan. b 2 − 4ac b2 y p = ax p + bx p + c = − +c=− 4a 4a 2
Turunan Fungsi, Nilai Puncak Maksimum dan Minimum Bagaimanakah mengetahui bahwa suatu nilai puncak merupakan nilai minimum atau maksimum? Kita manfaatkan karakter turunan kedua di sekitar nilai puncak. y′ (kemiringan garis singgung) sekitar titik maksimum terus menurun y″ bernilai negatif di sekitar titik maksimum
P
y
y′ y′
x Q
Apabila di titik puncak y″ < 0, titik puncak tersebut adalah titik maksimum. Apabila di titik puncak y″ < 0, titik puncak tersebut adalah titik minimum
y′ (kemiringan garis singgung) sekitar titik minimum terus meningkat y″ bernilai positif di sekitar titik minimum
Turunan Fungsi, Nilai Puncak Contoh-1.12:
y = 2 x 2 + 15 x + 13
x p = −3,175 y ′′ = 4
y p = −15,125
45 30
Nilai puncak fungsi dan ini merupakan nilai minimum, karena y ″ > 0
15 -10
-8
-6
-4
-2
0 0 -15
2
-30
Ini disebut minimum absulut: nilai x yang lain memberi y > ymin Contoh-1.13:
y = −2 x 2 + 15 x + 13 x p = +3,75
y ′′ = −4
y p = +41,125
Nilai puncak fungsi dan ini merupakan nilai maksimum, karena y ″ < 0
-4
45 30 15 0 -2 0 -15 -30 -45 -60
2
4
6
8
Ini disebut maksimum absulut: nilai x yang lain memberi y < ymaks
Turunan Fungsi, Nilai Puncak Contoh-1.14:
y = 2 x3 − 3x 2 + 3
y ′ = 6 x 2 − 6 x = 6 x ( x − 1) = 0 x p1 = 0 dan
memberikan
x p2 = 1 y puncak = +2
y puncak = +3 y′′ = 12 x − 6 Untuk x = 0 ⇒ y′′ = −6 Untuk x = 1 ⇒ y′′ = +6
maksimum relatif
y
minimum relatif
15 10
P[0,3]
Q[1,2]
5 -2
-1,5
-1
0 -0,5 0 -5 -10 -15 -20
0,5
1
1,5
2 x 2,5
Turunan Fungsi, Garis Singgung Garis Singgung Kemiringan garis singgung di titik R yang terletak pada kurva suatu fungsi sama dengan turunan pertama fungsi di titik R. Contoh-1.15:
y = 2 x3 − 3x 2 + 3 y′ = 6 x 2 − 6 x = 6 x( x − 1)
Titik R dengan absis x R = 2 memiliki ordinat yR = 2 × 8 − 3 × 4 + 3 = 7
R(2,7)
Kemiringan garis singgung di titik R adalah m = 6 × 2 × 1 = 12 Persamaan garis singgung:
y 15
y = 2 x3 − 3x 2 + 3
10
ys = 12 x + K
R
5 0
-2
-1,5
-1
-0,5 0 -5 -10 -15 -20
0,5
ys
1
1,5
2
x
2,5
7 = 12 × 2 + K K = 7 − 24 = −17
y s = 12 x − 17
Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi
Turunan Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi Jika
y = vw
maka ( y + ∆y ) = (v + ∆v )( w + ∆w) = (vw + v∆w + w∆v + ∆w∆v) ∆y ( y + ∆y ) − y ( wv + v∆w + w∆v + ∆w∆v) − vw = = ∆x ∆x ∆x ∆w ∆v ∆v∆w =v +w + ∆x ∆x ∆x
dy d (vw) dw dv = =v +w dx dx dx dx
Turunan Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi Contoh-1.16: Turunan y = 6x 5 adalah y ′ = 30x 4 Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi
d (2 x 3 × 3x 2 ) y′ = = 2 x 3 × 6 x + 3x 2 × 6 x 2 = 12 x 4 + 18 x 4 = 30 x 4 dx
Jika
y = uvw du dw d (uv) dw d (uvw) d (uv)( w) dv = = (uv) +w = (uv) + wu +v dx dx dx dx dx dx dx dw dv du = (uv) + (uw) + (vw) dx dx dx
Contoh-1.17:
y = 6x 5 Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi
dy d (uvw) = = (2 x 2 × 3x 2 )(1) + (2 x 2 × x)(6 x) dx dx + (3x 2 × x)(4 x) = 6 x 4 + 12 x 4 + 12 x 4 = 30 x 4
Turunan Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi Contoh-1.18:
y1 = v 6 = v 3 × v 2 × v 2 3 dy1 3 2 dv 3 dv 2 dv = (v v ) + (v v ) + (v v ) dx dx dx dx dv dv 2 5 dv 4 dv 3 2 dv +v =v + v v +v +v v dx dx dx dx dx dv dv dv dv dv = v5 + 2v 5 + v5 + v4v +v dx dx dx dx dx dv = 6v 5 dx
Contoh ini menunjukkan bahwa dv dv n Secara Umum: = nv n −1 dx dx
dv 6 dv 6 dv dv = = 6v 5 dx dv dx dx
Turunan Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi
Contoh-1.19:
y = ( x 2 + 1) 3 ( x 3 − 1) 2
Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi 3 2 2 3 dy 2 3 d ( x − 1) 3 2 d ( x + 1) = ( x + 1) + ( x − 1) dx dx dx
= ( x 2 + 1) 3 2( x 3 − 1)(3x 2 ) + ( x 3 − 1) 2 3( x 2 + 1) 2 2 x = 6 x 2 ( x 2 + 1) 3 ( x 3 − 1) + 6 x( x 3 − 1) 2 ( x 2 + 1) 2 = 6 x( x 3 − 1)( x 2 + 1) 2 (2 x 3 + x − 1)
Fungsi Rasional
Turunan Fungsi,
Fungsi Rasional
Fungsi Rasional Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi y=
v w
atau
y = vw −1
dy d v d (vw −1 ) dw −1 dv = =v + w −1 = dx dx w dx dx dx dv dv − v dv 1 dv = −vw − 2 + w −1 = + dx dx w 2 dx w dx =
dw 1 dv w −v 2 dx dx w
Jadi:
dw dv −v w d v dx dx = dx w w2
Turunan Fungsi, Contoh-1.20:
Fungsi Rasional y=
x2 − 3
dy = dx =
x3 x 3 (2 x) − ( x 2 − 3)(3x 2 ) x6
2 x 4 − (3x 4 − 9 x 2 ) x
Contoh-1.21:
Contoh-1.22:
6
=
− x2 + 9 x4
1
y = x2 +
x2 dy x 2 × 0 − 1× 2x 2 = 2x + = 2x − dx 4 x3
y=
dy = dx =
x2 +1
; dengan x 2 ≠ 1 (agar penyebut tidak nol)
x2 −1 ( x 2 − 1)2 x − ( x 2 + 1)2 x
( x 2 − 1) 2 2x3 − 2x − 2x3 − 2x ( x 2 − 1) 2
=
− 4x ( x 2 − 1) 2
Fungsi Implisit
Turunan Fungsi,
Fungsi Implisit
Fungsi Implisit Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian yang lain tidak. Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di atas. Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat didiferensiasi terhadap x.
Turunan Fungsi, Contoh-1.23:
Fungsi Implisit x 2 + xy + y 2 = 8
Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh dy dy dx +y + 2y =0 dx dx dx dy ( x + 2 y) = −2 x − y dx 2x + x
Jika ( x + 2 y ) ≠ 0 kita peroleh turunan dy 2x + y =− dx x + 2y
Turunan Fungsi, Contoh-1.24:
Fungsi Implisit x 4 + 4 xy 3 − 3 y 4 = 4
Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh 4 dy 3 3 d ( 4 x ) d (3 y ) 4x + 4x +y − =0 dx dx dx dy dy 4 x 3 + 4 x(3 y 2 ) + 4 y 3 − 12 y 3 =0 dx dx 3
Untuk ( xy 2 − y 3 ) ≠ 0 kita dapat memperoleh turunan dy − ( x3 + y 3 ) = dx 3( xy 2 − y3 )
Fungsi Berpangkat Tidak Bulat
Turunan Fungsi,
Fungsi Berpangkat Tidak Bulat
Fungsi Berpangkat Tidak Bulat Bilangan tidak bulat n =
p dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0 q
yq = v p
y = vn = v p / q
qy q −1
Jika y ≠ 0, kita dapatkan
(
y q −1 = v p / q
)
q −1
dy dv = pv p −1 dx dx dy d (v p / q ) pv p −1 dv = = dx dx qy q −1 dx
(v adalah fungsi yang bisa diturunkan)
= v p −( p / q ) sehingga
dy d (v p / q ) pv p −1 dv p ( p −1) − p + ( p / q ) dv = = = v p − ( p / q ) dx dx dx q dx qv p dv = v ( p / q ) −1 q dx Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat, hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.
Kaidah Rantai
Turunan Fungsi,
Kaidah Rantai
Kaidah Rantai Apabila kita mempunyai persamaan x = f (t )
dan
y = f (t )
maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk y = F (x) Kaidah rantai Jika y = F (x) dapat diturunkan terhadap x dan x = f (t ) dapat diturunkan terhadap t, maka y = F ( f (t ) ) = g (t ) dapat diturunkan terhadap t menjadi
dy dy dx = dt dx dt
Diferensial dx dan dy
Turunan Fungsi,
Diferensial dx dan dy
Diferensial dx dan dy Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi ∆y dy = f ′( x) = lim dx ∆x→0 ∆x Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx≠ 0, sama dengan turunan fungsi y terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x: y = F (x) dx dan dy didefinisikan sebagai berikut: 1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan merupakan peubah bebas lain selain x; 2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx yang dinyatakan dengan dy = F ' ( x)dx
Turunan Fungsi,
Diferensial dx dan dy Penjelasan secara grafis
y P
dy
Ini adalah fungsi (peubah tak bebas) dy = F ' ( x )dx
dx
θ
P
dx
θ
Ini adalah peubah bebas
x
Jika dx berubah, maka dy dy berubah sedemikian rupa sehingga dy/dx sama dengan kemiringan garis singgung pada kurva
y
x
; laju perubahan y terhadap perubahan x.
dy = tan θ dx
dy = (tan θ)dx
besar perubahan nilai y sepanjang garis singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx
Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”. y
y
y dx
P P
dy
dy
dx
dx
dy θ
θ x
x
P θ x
Turunan Fungsi,
Diferensial dx dan dy
Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut. Dalam tabel ini v adalah fungsi x. Turunan Fungsi
Diferensial
dc = 0; c = konstan dx
dc = 0; c = konstan
dcv dv =c dx dx
dcv = cdv
d (v + w) dv dw = + dx dx dx
d (v + w) = dv + dw
dvw dw dv =v +w dx dx dx v d w dv − v dw w = dx dx dx w2 dv dv n = nv n −1 dx dx dcx n = cnx n −1 dx
d (vw) = vdw + wdv v wdv − vdw d = w w2 dv n = nv n −1dv d (cx n ) = cnx n −1dx
Turunan Fungsi,
Diferensial dx dan dy
Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi. 1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx. 2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel)
Contoh-1.25:
y = x 3 − 3x 2 + 5 x − 6 y ′ = 3x 2 − 6 x + 5 2 sehingga dy = (3 x − 6 x + 5)dx
Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas
dy = d ( x 3 ) + d ( −3x 2 ) + d (5 x) + d ( −6) = 3x 2 dx − 6 xdx + 5dx = (3 x 2 − 6 x + 5)dx
Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi,
Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi Trigonometri Jika y = sin x maka dy d sin x sin( x + ∆x) − sin x = = dx dx ∆x sin x cos ∆x + cos x sin ∆x − sin x = ∆x
Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x. Oleh karena itu
d sin x = cos x dx
Turunan Fungsi,
Fungsi Trigonometri
Jika
y = cos x maka
dy d cos x cos( x + ∆x) − cos x = = dx dx ∆x cos x cos ∆x − sin x sin ∆x − cos x = ∆x
Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x. Oleh karena itu
d cos x = − sin x dx
Turunan Fungsi,
Fungsi Trigonometri
Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari. d tan x d sin x cos 2 x − sin x(− sin x) 1 = = sec 2 x = = dx dx cos x cos 2 x cos 2 x d cot x d cos x − sin 2 x − cos x(cos x) −1 = = = − csc2 x = dx dx sin x sin 2 x sin 2 x
d sec x d 1 0 − (− sin x) sin x = = = = sec x tan x 2 2 dx dx cos x cos x cos x d csc x d 1 0 − (cos x) − cos x = = = − csc x cot x = 2 2 dx dx sin x sin x sin x
Turunan Fungsi,
Fungsi Trigonometri
Contoh-1.26: Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah dv iC = C C dt Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 2×10-6 farad merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor ini adalah dv d iC = C C = 2 × 106 × (200 sin 400t ) = 0,160 cos 400t ampere dt dt Daya adalah perkalian tegangan dan arus. Daya pada kapasitor adalah pC = vC iC = 200 sin 400t × 0,16 cos 400t = 32 cos 400t sin 400t = 16 sin 800t watt vC vC iC pC
iC
pC
200 100 0 0 -100 -200
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 t [detik]
Turunan Fungsi,
Fungsi Trigonometri
Contoh-1.27: Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus iL = −0,2cos400t ampere. Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah di vL = L L dt di d v L = L L = 2,5 × (− 0,2 cos 400t ) = 2,5 × 0,2 × sin 400t × 400 = 200 sin 400t dt dt
p L = v L i L = 200 sin 400t × (−0.2 cos 400t ) = −40 sin 400t cos 400t = −20 sin 800t W vL iL p L vL iL pL
200 100 0 0 -100 -200
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
t[detik]
Fungsi Trigonometri Inversi
Turunan Fungsi,
Fungsi Trigonometri Inversi
Turunan Fungsi Trigonometri Inversi y = sin −1 x
x = sin y
dx = cos ydy
1
x
y
dy 1 = dx cos y
1 dy = dx 1 − x2
1 − x2
y = cos −1 x
x = cos y 1 y x
1 − x2
dx = − sin ydy dy −1 = dx sin y
dy −1 = dx 1 − x2
Turunan Fungsi,
Fungsi Trigonometri
y = tan −1 x
x = tan y
1
dx =
dy
2
cos y
1+ x2 y
x
dy = cos 2 y dx
dy 1 = dx 1 + x 2
1
y = cot −1 x
x = cot y
dx =
−1 2
dy
sin y
1+ x2 y x
1
dy = − sin 2 y dx
dy −1 = dx 1 + x 2
Turunan Fungsi,
Fungsi Trigonometri
y = sec −1 x
x = sec y =
x
x2 − 1
y 1
y = csc
−1
dx =
x y
x −1
1
0 − (− sin x) 2
dy
cos y
dy cos 2 y 1 x = = × sin y dx x 2 x 2 − 1 1 = x x2 − 1
1 x = csc y = sin y
x
2
1 cos y
dx =
0 − (cos x) 2
dy
sin y
1 dy sin 2 y = =− × 2 dx − cos y x =
−1 x x2 − 1
x x2 − 1
Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi
Turunan Fungsi,
Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi
Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi Jika v = f(x), maka dv d (sin v) d (sin v) dv = = cos v dx dx dv dx dv d (cos v) d (cos v) dv = = − sin v dx dx dv dx d (tan v) d sin v cos 2 x + sin 2 x dv 2 dv = = = sec v 2 dx dx cos v dx dx cos x d (cot v) d cos v 2 dv = = − csc v dx dx sin v dx dv d (sec v) d 1 0 + sin v dv = = sec v tan v = dx dx dx cos v cos 2 v dx d (csc v) d 1 dv = = − csc v cot v dx dx sin v dx
Turunan Fungsi,
Fungsi Trigonometri
Jika w = f(x), maka
1 dw d (sin −1 w) = dx 1 − w2 dx 1 d (cos −1 w) dw =− dx 1 − w2 dx d (tan −1 w) 1 dw = dx 1 + w2 dx d (cot −1 w) 1 dw =− dx 1 + w2 dx dw d (sec−1 w) 1 = dx w w2 − 1 dx dw d (csc−1 w) 1 =− dx w w2 − 1 dx
Fungsi Logaritmik dan Fungsi Eksponensial
Turunan Fungsi,
Fungsi Logaritmik
Turunan Fungsi Logaritmik Fungsi logaritmik f ( x) = ln x didefinisikan melalui suatu integral f ( x) = ln x =
6 y
5
1/t
4
ln x =
3
x1
∫1 t
dt
x1
∫1 t dt
1 0
1
2
1/x
x
3
x +Δx
Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut
luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, dalam selang antara t = 1 dan t = x
2
0
( x > 0)
4
t
1/(x+Δx)
ln(x+∆x)−lnx
d ln x 1 = dx x
d ln x ln( x + ∆x) − ln( x) 1 = = dx ∆x ∆x
x + ∆x 1
∫x
dt t
Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (∆x × 1/x). Namun jika ∆x makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (∆x × 1/x); dan jika ∆x mendekati nol luas tersebut sama dengan (∆x × 1/x).
Turunan Fungsi,
Fungsi Eksponensial
Turunan Fungsi Eksponensial y = ex
ln y = x ln e = x penurunan secara implisit di kedua sisi d ln y 1 dy = =1 dx y dx
dy = y = ex dx Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri
atau
.
y′ = e x
Jika v = v(x) −1
y = e tan x
y′′ = e x
y′′′ = e x
dst.
dv de v de v dv = = ev dx dx dv dx −1
−1 dy e tan x tan −1 x d tan x =e = dx dx 1 + x2
Integral Tak Tentu
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Pengertian-Pengertian Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan dy = f (x) dx
Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti ini disebut persamaan diferensial. Contoh persamaan diferensial dy = 2 x2 + 5x + 6 dx d2y dx 2
+ 6 xy
dy + 3x 2 y 2 = 0 dx
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Tinjau persamaan diferensial
dy = f (x) dx
Suatu fungsi y = F (x) dikatakan merupakan solusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat memenuhi dF ( x) = f ( x) dx Karena d [F ( x) + K ] = dF ( x) + dK = dF ( x) + 0 maka dx dx dx dx fungsi y = F ( x) + K juga merupakan solusi
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian dF ( x) = f ( x) dx dapat dituliskan
dF ( x) = f ( x)dx Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum
∫ f ( x)dx = F ( x) + K Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
Contoh-2.1: Cari solusi persamaan diferensial dy = 5x 4 dx ubah ke dalam bentuk diferensial
dy = 5 x 4 dx
Kita tahu bahwa d ( x5 ) = 5 x 4 dx oleh karena itu
∫
∫
y = 5 x 4 dx = d ( x5 ) = x5 + K
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Contoh-2.2: Carilah solusi persamaan dy = x2 y dx dy = x 2 y dx
y −1 / 2 dy = x 2 dx
(
1/ 2
d 2y
)= y
−1 / 2
kelompokkan peubah sehingga ruas kiri dan kanan mengandung peubah berbeda
1 d x 3 = x 2 dx 3
dy
(
)
1 d 2 y1 / 2 = d x 3 3 Jika kedua ruas diintegrasi 2 y1 / 2 + K1 = 2 y1 / 2 =
1 3 x + K2 3
1 3 1 x + K 2 − K1 = x 3 + K 3 3
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan tersebut. 1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.
∫ dy = y + K 2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan
∫ ady = a ∫ dy 3. Jika bilangan n ≠ −1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).
∫
y n +1 + K, y dy = n +1 n
jika n ≠ −1
Integral Tak Tentu, Penggunaan Penggunaan Integral Tak Tentu Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang. Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki oleh K. yi = 10x2 +Ki y = 10x2 100
100
y
-3
-1
K3 K2 K1
50
50
-5
y
1
3
x
5
kurva y = 10x 2 adalah kurva bernilai tunggal
-5
-3
kurva
-1
∫
1
3
x
5
3
10 x dx = 10 x 2 + K 3
adalah kurva bernilai banyak
Integral Tak Tentu, Penggunaan Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal. Contoh-2.3: Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai v = at = 3t
kecepatan percepatan waktu Posisi benda pada waktu t = 0 adalah s 0 = 3 ; tentukanlah posisi benda pada t = 4.
ds dt dv Percepatan adalah laju perubahan kecepatan, a = dt ds = vdt . t2 s = atdt = 3 + K = 1,5t 2 + K 2 3 = 0 + K K = 3 Kondisi awal: pada t = 0, s0 = 3 Kecepatan adalah laju perubahan jarak, v =
∫
sehingga pada t = 4 posisi benda adalah s4 = 27
s = 1,5 t 2 + 3
Luas Sebagai Suatu Integral
Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral Luas Sebagai Suatu Integral Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva y = f (x) sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q. Contoh-2.4:
Apx
y
∆Apx
y = f(x) =2
2
0 p
x x+∆x
∆Apx = 2∆x atau lim
∆x →0
∆Apx ∆x
=
dApx dx
= f ( x) = 2
x
q
∆Apx ∆x
∫
= 2 = f ( x)
∫
Apx = dApx = 2dx = 2 x + K
Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p 0 = 2 p + K atau K = −2 p A px = 2 x − 2 p
A pq = 2q − 2 p = 2(q − p)
Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang p ≤ x ≤ q y
f(x+∆x )
f(x)
0 p
x
y = f(x)
x+∆x
q
x
Apx ∆Apx
∆Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan ∆Apx = f(x)∆x
atau
∆Apx = f(x+∆x)∆x
∆A px = f ( x)∆x ≤ f ( x0 )∆x ≤ f ( x + ∆x)∆x x0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+∆x
Jika ∆x → 0: lim
∆x →0
∆A px ∆x
=
dA px dx
= f ( x)
∫
A px = dA px =
∫ f ( x)dx = F ( x) + K
A pq = F (q) − F ( p) = F ( x)] qp
Integral Tentu
Integral Tentu, Pengertian Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit. y
y = f(x)
Bidang dibagi dalam segmen-segmen
0 p x2
xk
xk+1
xn q
x
Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas segmen
Dua pendekatan dalam menghitung luas segmen y
y
y = f(x)
0 p x2
xk xk+1
xn q
Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk)×∆xk
x
y = f(x)
0 p x2
xk xk+1
xn q
Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk+∆x)×∆xk
x
Integral Tentu, Pengertian y
y
y = f(x)
0 p x2
xk xk+1
xn q
Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk)×∆xk
x
y = f(x)
0 p x2
xk xk+1
xn q
Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk+∆x)×∆xk
Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka
f ( xk )∆xk ≤ f ( x0k )∆xk ≤ f ( xk + ∆x)∆xk n
n
n
k =1
k =1
k =1
∑ f ( xk )∆xk ≤ ∑ f ( x0k )∆xk ≤ ∑ f ( xk + ∆x)∆xk Jika ∆xk → 0 ketiga jumlah ini mendekati suatu nilai limit yang sama Nilai limit itu merupakan integral tentu
x
Integral Tentu, Pengertian y
y = f(x)
0 p x2
xk
xk+1
xn q
x
Luas bidang menjadi Apq = Apq =
q
∫p
q
∫p f ( x)dx
f ( x)dx = F ( x)]qp = F (q) − F ( p )
Luas Bidang
Integral Tentu, Luas Bidang Definisi Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh y = f (x) dan sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x. Contoh-2.5:
Luas antara y = x 3 − 12 x dan sumbu-x dari x = −3 sampai x = +3.
y = x 3 − 12 x
x4 3 2 Aa = ( x − 12 x)dx = − 6x −3 4
∫
20 10
-20
0 −3
= −0 − (20,25 − 54) = 33,75 x
0 -4 -3 -2 -1 0 -10
0
1
2
3
4
3
x − 6x2 Ab = ( x 3 − 12 x)dx = 0 4 0 = 20,25 − 54 − (0) = −33,75
∫
3
Apq = Aa − Ab = 33,75 − (−33,755) = 67,5
4
Integral Tentu, Luas Bidang Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi mengenai Apx, formulasi A=
q
∫p f ( x)dx = F (q) − F ( p))
tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x y y = f(x) A2
p
A3
A1
A pq =
A4 q
q
x
∫p f ( x)dx = F (q) − F ( p))
A pq = − A1 + A2 − A3 + A4
Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva Luas Bidang Di Antara Dua Kurva y1 = f1 ( x) berada di atas y2 = f 2 ( x) y1
y
p
x
0
y2
x+∆x
Rentang p ≤ x ≤ q dibagi dalam n segmen q
x
Asegmen = ∆A px = { f1 ( x) − f 2 ( x)}∆x
∆Apx
jumlah semua segmen:
n
x = q − ∆x
1
x= p
∑ Asegmen = ∑ { f1( x) − f 2 ( x)}∆x
n →∞ Dengan membuat n menuju tak Asegmen = hingga sehingga ∆x menuju nol A pq = lim 1 kita sampai pada suatu limit
∑
q
∫p { f1 ( x) − f 2 ( x)}dx
Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva Jika y1 = 4 dan y 2 = −2
Contoh-2.6:
berapakah luas bidang antara y1 dan y2 dari x1 = p = −2 sampai x2 = q = +3.
A pq =
+3
∫−2
({4 − (−2)}dx = 6 x ]+−32 = 18 − (−12) = 30
2 Contoh-2.7: Jika y1 = x dan y 2 = 4
berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2. Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1 dan y2. y2
y1 = y 2 → x 2 = 4 ⇒ x1 = p = −2, x2 = q = 2
4
y
y2 di atas x y1
y1 2
-2
-1
0
0
1
2
2
2 x 2 (4 − x )dx = 4 x − A pq = −2 3 -2
∫
3
− 8 16 − 16 32 8 − = 8 − − − 8 − = 3 3 3 3 3
Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva 2 Contoh-2.8: Jika y1 = − x + 2 dan y2 = − x
berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
y
Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva
4 2
y1
y1 = y2 → −x2 + 2 = −x atau − x 2 + x + 2 = 0
0 -2
-1
0 -2
y2
-4
y1 di atas y2
1
2
x
−1+ 12 + 8 −1− 12 + 8 x1 = p = = −1; x2 = q = =2 −2 −2 2
x3 x 2 2 2 + + 2 x Apq = (− x + 2 + x)dx = − 3 −1 2 −1
∫
8 −1 1 = − + 2 + 4 − − + − 2 = 4,5 3 3 2
Integral Tentu, Penerapan Penerapan Integral Contoh-2.9:
Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ?
Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka
p=
dw dt
yang memberikan w =
∫ pdt
Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah
w=
8
∫0
8
∫0
8
pdt = 100dt = 100t 0 = 800 Watt.hour [Wh] = 0,8 kilo Watt hour [kWh]
Integral Tentu, Penerapan Contoh-2.10: Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ? Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q. i=
∫
dq sehingga q = idt dt
Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah 5
5
5
0,05 2 1,25 q = idt = 0,05tdt = t = = 0,625 coulomb 0 0 2 2 0
∫
∫
Volume Sebagai Suatu Integral
Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume.
Balok
Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+∆x) adalah luas irisan di sebelah kanan maka volume irisan ∆V adalah
A( x)∆x ≤ ∆V ≤ A( x + ∆x)∆x q
∆x
Volume balok V adalah V =
∑ A( x )∆x p
Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu: V ≈
luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+∆x). q
∑ A( x)∆x p
Jika ∆x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka :
q
∑ ∆x → o
V = lim
p
A( x)∆x =
q
∫p A( x)dx
Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x P
y Q
O
x
A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP.
∆x
m : kemiringan garis OP h : jarak O-Q.
V=
h
∫0
A( x)dx =
h
∫0
π[r ( x)] dx = 2
h
∫0
πm 2 x 2 dx
πm 2 h3 π(PQ/OQ) 2 h3 h Vkerucut = = = πr 2 3 3 3 Jika garis OP memotong sumbu-y maka diperoleh kerucut terpotong
Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral Rotasi Bidang Sembarang f(x)
y 0 a
A( x) = π(r ( x) )2 = π( f ( x) )2 b
x
V=
∆x
b
∫a
π( f ( x) )2 dx
Rotasi Gabungan Fungsi Linier f3(x) f2(x)
y f1(x) 0 a
b ∆x
x
Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping ini terdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.
Pengertian-Pengertian
Persamaan Diferensial, Pengertian-Pengertian Pengertian Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi. Persamaan duferensial diklasifikasikan sebagai: 1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas. 2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan. 3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi. 2
Contoh:
5
2 d3y + d y + y = ex dx 2 dx 3 x2 + 1
adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
Persamaan Diferensial, Pengertian-Pengertian Solusi Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya. Contoh: y = ke − x adalah solusi dari persamaan karena turunan y = ke
−x
dy + y=0 dt
dy = −ke − x adalah dt
dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan kita peroleh − ke − x + ke − x = 0
Persamaan terpenuhi. Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang mengandung n tetapan sembarang.
Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan
Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan Jika pemisahan ini bisa dilakukan maka persamaan dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y )dy + g ( x)dx = 0 Apabila kita lakukan integrasi kita akan mendapatkan solusi umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu
∫ f ( y)dy + ∫ g ( x)dx) = K
Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah
Contoh-3.1:
dy = ex− y dx Persamaan ini dapat kita tuliskan
dy e x = dx e y
yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai persamaan dengan peubah terpisah
e y dy − e x dx = 0 Integrasi kedua ruas: y x sehingga e − e = K
∫
∫
e y dy − e x dx = K
atau e y = e x + K
Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah
Contoh-3.2:
dy 1 = dx xy
Pemisahan peubah akan memberikan bentuk ydy =
dx x
ydy −
atau
Integrasi kedua ruas
∫
ydy −
dx =0 x
∫
dx =K x
y2 − ln x = K 2 atau y = ln x 2 + K ′
Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk dy y = F dx x Jadikan sebagai peubah bebas baru y yang akan memberikan v= x y = vx dan dv dv dy v+x = F (v ) v x = + dx dx dx dv = F (v ) − v pemisahan peubah: x dx dv dx = F (v ) − v x dx dv + =0 atau: x v − F (v )
Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu Contoh-3.3:
( x 2 + y 2 )dx + 2 xydy = 0 2
Usahakan menjadi homogen x (1 +
y2 x
(1 +
Peubah baru v = y/x y = vx dv dy = v+ x dx dx
peubah terpisah
dy dx dy dx
y2
2
)dx + 2 xydy = 0
y dy 2 x x 1 + ( y / x) 2 =− = F ( y / x) 2( y / x) 1+ v2 =− = F (v ) 2v )dx = −2
dv 1 + v2 =− v+x dx 2v dv 1 + v2 1 + 3v 2 x = −v − =− dx 2v 2v dx 2vdv dx + =0 =− atau 2 2 x 1 + 3v x 1 + 3v
2vdv
Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkan v sebagai fungsi x.
dx 2vdv + =0 x 1 + 3v 2 Suku ke-dua ini berbentuk 1/x dan kita tahu bahwa 1 d (ln x ) = x dx d ln(1 + 3v 2 ) d ln(1 + 3v 2 ) d (1 + 3v 2 ) 1 Kita coba hitung = = (6v) 2 2 dv dv d (1 + 3v ) 1 + 3v
Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah bentuk persamaan menjadi dx 1 d ln(1 + 3v 2 ) + dv = 0 x 3 dv 1 1 Integrasi ke-dua ruas: ln x + ln(1 + 3v 2 ) = K = ln K ′ 3 3 3 ln x + ln(1 + 3v 2 ) = K = ln K ′ x 3 (1 + 3v 2 ) = K ′
(
)
x 3 1 + 3( y / x) 2 = K ′
(
)
x x2 + 3y2 = K ′
Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol. Persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk dy + Py = Q dx P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik. Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai a
dy + by = f (t ) dt
Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk utama yang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik. Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan. Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian. Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi penggerak. Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogen dy + by = 0 a dt
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen, maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan, sebab a
d ( f1 + f 2 ) dy + by = a + b( f1 + f 2 ) dt dt df df df = a 1 + bf1 + a 2 + bf 2 = a 1 + bf1 + 0 dt dt dt
Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen.
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Solusi Homogen Persamaan homogen a
dy + by = 0 dt
Jika ya adalah solusinya maka dy a b + dt = 0 ya a
integrasi kedua ruas memberikan ln y a +
sehingga
ya =
b − t+K e a
b t=K a
b ln y a = − t + K a
= K a e − ( b / a )t
Inilah solusi homogen
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Jika solusi khusus adalah yp , maka dy p a + by p = f (t ) dt Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f (t ) = 0 → y p = 0 Jika f (t ) = A = konstan, → y p = konstan = K Jika f (t ) = Ae αt = eksponensial, → y p = eksponensial = Ke αt Jika f (t ) = A sin ωt , atau f (t ) = A cos ωt → y p = K c cos ωt + K s sin ωt Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi − (b / a ) t Jika dugaan solusi total adalah ytotal = y p + K a e
Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Contoh-3.4: Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan dv + 1000v = 0 dt
Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V. Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi khusus bernilai nol. dv + 1000dt = 0 v ln v = −1000t + K v = e −1000t + K = K a e −1000t
Penerapan kondisi awal:
12 = K a
−1000t V Solusi total: v = 12e
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Contoh-3.5: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan dv 10 −3 + v = 12 dt Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap. Solusi homogen: 10 −3 dva + va = 0 dt
dva + 10 3 dt = 0 va
va = K a e −1000t
Solusi khusus:
v p = 12
karena f(t) = 12
Solusi total (dugaan): vtotal = 12 + K a e −1000t Penerapan kondisi awal:
0 = 12 + K a
Solusi total: vtotal = 12 − 12e −1000t V
K a = −12
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Contoh-3.6:
Pada kondisi awal v = 0 V suatu analisis transien dv + 5v = 100 cos 10t menghasilkan persamaan dt Carilah solusi total
Solusi homogen:
dv a + 5va = 0 dt
dv a + 5dt = 0 va ln va + 5t = K
va = K a e −5t
Solusi khusus: v p = Ac cos 10t + As sin 10t −10 Ac sin 10t + 10 As cos 10t + 5 Ac cos 10t + 5 As sin 10t = 100 cos 10t 10 As cos 10t + 5 Ac cos 10t = 100 cos 10t −10 Ac sin 10t + 5 As sin 10t = 0
10 As + 5 Ac = 100 −10 Ac + 5 As = 0 As = 8
Solusi total (dugaan): v = 4 cos 10t + 8 sin 10t + K a e −5t Penerapan kondisi awal: 0 = 4 + K a Solusi total :
v = 4 cos 10t + 8 sin 10t − 4e −5t
K a = −4
Ac = 4
Persamaan Diferensial Linier Orde Dua Untuk Persamaan Diferensial Linier Orde Dua silakan langsung melihat Analisis Transien
Courseware
Diferensial dan Integral
Sudaryatno Sudirham
