Sudaryatno Sudirham
Studi Mandiri
Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
ii
Darpublic
BAB 2 Fungsi Linier 2.1. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai +∞. Kita tuliskan
y=k
[2.1]
dengan k bilangan-nyata. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.2.1. berupa garis lurus mendatar sejajar sumbu-x, dalam rentang nilai x dari −∞ sampai +∞. y5 y=4
0 -5
x 5
0 y = −3,5 -4
Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan): y = 4 dan y = −3,5 . 2.2. Fungsi Linier - Persamaan Garis Lurus Persamaan (2.1) adalah satu contoh persamaan garis lurus yang merupakan garis mendatar sejajar sumbu-x, dengan kurva seperti terlihat pada Gb.2.1. Kurva yang juga merupakan garis lurus tetapi tidak sejajar sumbu-x adalah kurva yang memiliki kemiringan tertentu. Kemiringan garis ini adalah perbandingan antara perubahan y terhadap perubahan x, atau kita tuliskan
kemiringan = m =
∆y , ∆x
" delta y" dibaca : " delta x"
(2.2)
2-1
Dalam hal garis lurus, rasio ∆y memberikan hasil yang sama di titik ∆x manapun kita menghitungnya. Artinya suatu garis lurus hanya mempunyai satu nilai kemiringan, yaitu yang diberikan oleh m pada fungsi y = mx . Gb.2.2. berikut ini memperlihatkan empat contoh kurva garis lurus yang semuanya melewati titik-asal [0,0] akan tetapi dengan kemiringan yang berbeda-beda. Garis y = x lebih miring dari
y = 0,5 x , garis y = 2 x lebih miring dari y = x dan jauh lebih miring dari y = 0,5 x , dan ketiganya miring ke atas. Makin besar nilai m, garis akan semakin miring. Garis yang ke-empat memiliki m negatif −1,5 dan ia miring ke bawah (menurun). y
8 y = 2x
6
y=x y = 0,5x
4 2 0 -1
-2
0
1
2
3
x
4
-4 y = -1,5 x
-6
Gb.2.2. Empat contoh kurva garis lurus y = mx . Secara umum, persamaan garis lurus yang melalui titik-asal [0,0] adalah
y = mx
(2.3)
dengan m menunjukkan kemiringan garis; makin besar nilai m garis akan semakin miring. Jika m bernilai positif, garis miring ke atas (naik). Jika m bernilai negatif, garis akan miring ke bawah (menurun). 2.3. Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Bagaimanakah persamaan garis lurus jika ia tidak melalui titik-asal [0,0] melainkan memotong sumbu-y misalnya di titik [0,2]? Misalkan garis ini memiliki kemiringan 2. Setiap nilai y pada garis ini untuk suatu nilai x, sama dengan nilai y pada garis yang melalui [0,0], yaitu y = 2x, ditambah 2. Oleh karena itu kita dapat menuliskan persamaa garis ini sebagai y = 2 x + 2 . Perhatikan Gb.2.3. 2-2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
10 8
y = 2x + 2
6
y = 2x
4 2 0 -1
-2
0
1
2
3
x
4
-4
Gb.2.3. Garis lurus melalui titik [0,2], kemiringan 2. Secara umum, persamaan garis dengan kemiringan m dan memotong sumbu-y di [0,b] adalah ( y − b) = mx
(2.4)
b bisa positif ataupun negatif. Jika b positif, maka garis tergeser ke arah sumbu-y positif (ke atas) yang berarti garis memotong sumbu-y di atas titik [0,0]. Jika b negatif, garis tergeser kearah sumbu-y negatif (ke bawah); ia memotong sumbu-y di bawah titik [0,0]. Secara singkat, b pada (2.4) menunjukkan pergeseran kurva y sepanjang sumbu-y. Kita lihat sekarang garis yang memiliki kemiringan 2 dan memotong sumbu-x di titik [a,0], misalnya di titik [1,0]. Lihat Gb.2.4. Dibandingkan dengan garis yang melalui titik [0,0] yaitu garis y = 2 x , setiap nilai y pada garis ini terjadi pada (x−1) pada garis y = 2 x ; atau dengan kata lain nilai y pada garis ini diperoleh dengan menggantikan nilai x pada garis y = 2 x dengan (x−1). Contoh: y = 2,8 pada garis ini terjadi pada x = x1 dan hal ini terjadi pada x = ( x1 − 1) pada kurva y = 2x . y 8 6
y = 2x
4 y =2(x–1)
2 0 -1
0 -2
1 2 x1−1 x1
3
x
4
-4
Gb.2.4. Garis lurus melalui titik [1,0]. 2-3
Secara umum persamaan garis yang melalui titik [a,0] dengan kemiringan m kita peroleh dengan menggantikan x pada persamaan y = mx dengan (x−a). Persamaan garis ini adalah
y = m( x − a )
(2.5)
Pada persamaan (2.5), jika a positif garis y = mx tergeser ke arah sumbu-x positif (ke kanan); dan jika a negatif garis itu tergeser ke arah sumbu-x negatif (ke kiri). Secara singkat a pada (2.5) menunjukkan pergeseran kurva y sejajar sumbu-x. Pada contoh di atas, dengan tergesernya kurva ke arah kanan dan memotong sumbu-x di titik [1,0] ia memotong sumbu-y di titik [0,-2]. Suatu garis yang titik perpotongannya dengan kedua sumbu diketahui, pastilah kemiringannya diketahui. Dalam contoh di atas, kemiringannya adalah
m=
∆y 0 − (−2) 2 = = =2 ∆x 1 1
dan persamaan garis adalah y = 2x − 2
(2.6)
Bandingkanlah persamaan ini dengan persamaan (2.4), dengan memberikan m = 2 dan b = −2. Secara umum, persamaan garis yang memotong sumbu-sumbu koordinat di [a,0] dan [0,b] adalah
y = mx + b
dengan
m=−
b a
(2.7)
Contoh: y
garis memotong sumbu x di 2, dan memotong sumbu y di 4
8 6
Persamaan garis: y = −
4
4 x + 4 = −2 x + 4 2
2 0 0
-1 -2
1
2
3
x
4
-4
2-4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
Bagaimanakah persamaan garis lurus yang tidak terlihat perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat? Persamaan garis demikian ini dapat dicari jika diketahui koordinat dua titik yang ada pada garis tersebut. Lihat Gb.2.5. Pada Gb.2.5. kemiringan garis dengan mudah kita peroleh, yaitu
m=
∆y ( y2 − y1 ) = ∆x ( x2 − x1 )
(2.8)
8 y
[x2,y2]
6 4
[x1,y1]
2 0 -1
0
1
2
x
3
-2 -4
Gb.2.5. Garis lurus melalui dua titik. Persamaan (2.8) ini harus berlaku untuk semua garis yang melalui dua titik yang diketahui koordinatnya. Jadi secara umum harus berlaku
y − y1 m= 2 x2 − x1
(2.9)
Dengan demikian maka persamaan garis yang memiliki kemiringan ini adalah
y − y1 = m( x − x1 )
(2.10)
Persamaan (2.10) inilah persamaan garis lurus dengan kemiringan m yang diberikan oleh (2.9), bergeser searah sumbu-y sebesar y1 dan bergeser searah sumbu-x sebesar x1.
Contoh: Carilah persamaan garis yang melalui dua titik P(5,7) dan Q(1,2).
2-5
Kemiringan garis ini adalah m =
y P − yQ x p − xQ
=
7−2 = 1,25 5 −1
Kemiringan garis ini memberikan persamaan garis yang melalui titik asal y = 1,25 x . Persamaan garis dengan kemiringan ini dan melalui titik P(5,7) adalah
y − 7 = 1,25( x − 5) → y = 1,25 x − 6,25 + 7 y = 1,25 x + 0,75 Kita bisa melihat secara umum, bahwa kurva suatu fungsi y = f (x) akan tergeser sejajar sumbu-x sebesar x1 skala jika x diganti dengan (x − x1), dan tergeser sejajar sumbu-y sebesar y1 skala jika y diganti dengan (y − y1)
y = f (x)
menjadi
y = f ( x − x1 ) atau
y − y1 = f ( x)
(2.11)
Walaupun (2.11) diperoleh melalui pembahasan fungsi linier, namun ia berlaku pula untuk fungsi non linier. Fungsi non linier memberikan kurva garis lengkung yang akan kita pelajari dalam bab-bab selanjutnya.
Contoh: kurva semula y 8 6
y + 2 = 2x (pergeseran –2 searah sumbu-y) atau y = 2(x – 1) (pergeseran +1 searah sumbu-x)
y = 2x
4 2 0 -1
0 -2
1
2
3
x
4
-4
Contoh: Kita kembali pada contoh sebelumnya, yaitu persamaan garis yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2). Persamaan garis dengan 2-6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
kemiringan 1,25 dan melalui titik asal adalah y = 1,25 x . Garis ini harus kita geser menjadi ( y − b) = 1,25( x − a) agar melalui titik P dan Q. Nilai a dan b dapat kita peroleh jika kita masukkan koordinat titik yang diketahui, P(5,7) dan Q(1,2). Dengan memasukkan koordinat titik ini kita dapatkan persamaan
7 − b = 1,25(5 − a) dan
2 − b = 1,25(1 − a )
Dari sini kita akan mendapatkan nilai a = −0,6 dan juga b = 0,75 sehingga persamaan garis yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2) dapat diperoleh, yaitu y − 0,75 = 1,25x atau y = 1,25( x + 0,6) . Garis ini memotong sumbu-y di +0,75 dan memotong sumbu-x di −0,6.
2.4. Perpotongan Garis Dua garis lurus
y1 = a1x + b1 dan
y2 = a2 x + b2
berpotongan di titik P sehingga koordinat P memenuhi y1 = y2
a1xP + b1 = a2 xp + b2 sehingga
⇒ xP =
b2 − b1 a1 − a2
⇒ yP = a1xP + b1
(2.12)
atau
yP = a2 xP + b2
Contoh: Titik potong dua garis
y1 = 2 x + 3
dan
y2 = 4 x − 8
y1 = y 2 → 2 x + 3 = 4 x − 8 → 2 x = 11 11 = 5,5 ; yP = 2 x + 3 = 2 × 5,5 + 3 = 14 2 atau yP = 4 × 5,5 − 8 = 14 xP =
Jadi titik potong adalah P[(5,5), 14] . Perhatikan Gb.2.6. berikut ini.
2-7
30
y1
y
y2
20
P ⇒ Koordinat P memenuhi persamaan y1 maupun y2.
10 0 -10
-5
0
x
5
10
-10 -20 -30
Gb.2.6. Perpotongan dua garis. Jika kedua garis memiliki kemiringan yang sama sudah barang tentu kita tak akan memperoleh titik potong karena mereka sejajar; dikatakan juga mereka berpotongan di ∞.
Contoh: Dua garis sejajar.
y1 = 4 x + 3
dan
y2 = 4 x − 8 adalah
2.5. Pembagian Skala Pada Sumbu Koordinat Pada penggambaran kurva-kurva di atas, panjang per skala kedua sumbu koordinat tidak sama. Apabila panjang per skala dibuat sama kita akan memiliki kemiringan garis
m = tan θ
(2.13)
dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh garis lurus dengan sumbu-x atau dengan garis mendatar, seperti pada Gb.2.7. y 5−
m = tan θ
θ | 5
|
x
−5 − Gb.2.7. Panjang per skala sama di sumbu-x dan y. 2-8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
Sesungguhnya formulasi (2.13) berlaku umum, baik untuk pembagian skala di kedua sumbu koordinat sama besar ataupun tidak. Namun jika pembagian skala tersebut sama besar, sudut θ yang terlihat dalam grafik menunjukkan kemiringan garis sebenarnya; jika pembagian tidak sama besar sudut θ yang terlihat pada grafik bukanlah sudut sebenarnya sehingga sudut θ sebenarnya harus dihitung dari formula (2.13) dan bukan dilihat dari grafik.
2.6. Domain, Kekontinyuan, Simetri Pada fungsi linier y = m( x − a ) + b , peubah y akan selalu memiliki nilai, berapapun x. Peubah x bisa bernilai dari −∞ sampai +∞. Fungsi ini juga kontinyu dalam rentang tersebut. Kurva fungsi y = mx simetris terhadap titik asal [0,0] karena fungsi ini tak berubah jika y diganti dengan −y dan x diganti dengan −x.
2.7. Contoh-Contoh Fungsi Linier Contoh-contoh fungsi linier berikut ini mamberikan gambaran bahwa fungsi linier dengan kurva yang kita gambarkan berbentuk garis lurus, merupakan bentuk fungsi yang biasa kita jumpai dalam praktik rekayasa. 1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan.
F = ma ; a adalah percepatan Jika tidak ada gaya lain yang melawan F, maka dengan percepatan a benda akan memiliki kecepatan sebagai fungsi waktu sebagai
v(t ) = v0 + at v kecepatan gerak benda, v0 kecepatan awal, t waktu. Jika kecepatan awal adalah nol maka kecepatan gerak benda pada waktu t adalah v(t ) = at 2) Dalam tabung katoda, jika beda tegangan antara anoda dan katoda adalah V , dan jarak antara anoda dan katoda adalah l maka antara anoda dan katoda terdapat medan listrik sebesar
2-9
E= Elektron yang muncul di permukaan katoda akan mendapat percepatan dari adanya medan listrik sebesar
V l
anoda ]
katoda l
a = eE a adalah percepatan yang dialami elektron, e muatan elektron, E medan listrik. Jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada waktu mencapai katoda adalah
vk = at 3) Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula jika tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya yang diperlukan untuk menarik pegas sepanjang x merupakan fungsi linier dari x.
F = kx dengan k adalah konstanta pegas. 4) Dalam sebatang logam sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung logam diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus yang mengalir merupakan fungsi linier dari tegangan dengan relasi V 1 i = GV = , dengan G = R R G adalah tetapan yang disebut konduktansi listrik dan R disebut resistansi listrik.Persamaan ini juga bisa dituliskan V = iR yang dikenal sebagai relasi hukum Ohm dalam kelistrikan. Jika penampang logam adalah A dan rata sepanjang logam, maka resistansi dapat dinyatakan dengan ρl R= A 2-10 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
ρ disebut resistivitas bahan logam. Kerapatan arus dalam logam adalah j =
i dan dari persamaan di A
atas kita peroleh
j=
i V 1V = = = σE A RA ρ l
dengan E = V / l adalah kuat medan listrik dalam logam, σ = 1 / ρ adalah konduktivitas bahan logam. Secara infinitisimal kuat medan listrik adalah gradien potensial atau dV gradien dari V yang kita tuliskan E = . Mengenai pengertian dx gradien akan kita pelajari di Bab-9. 5). Peristiwa difusi. Secara thermodinamis, faktor pendorong untuk terjadinya difusi, yaitu penyebaran materi masuk materi menembus materi keluar di xa materi lain, adalah Ca di x adanya perbedaan konsentrasi. Situasi Cx ini analog dengan peristiwa aliran xa ∆x x muatan listrik di mana faktor pendorong untuk terjadinya aliran muatan adalah perbedaan tegangan. Analog dengan peristiwa listrik, fluksi materi yang berdifusi dapat kita tuliskan sebagai dC J x = −D dx D adalah koefisien difusi, dC/dx adalah variasi konsentrasi dalam keadaan mantap di mana C0 dan Cx bernilai konstan. Relasi ini disebut Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi; dengan kata lain fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi. 2-11
Berikut ini tersaji soal-soal untuk latihan. Soal-soal ini hanya berkenaan dengan kurva garis lurus. Namun dengan contoh-contoh di atas kita menyadari bahwa fungsi linier bukan hanya pernyataan suatu garis lurus melainkan suatu bentuk fungsi yang banyak dijumpai dalam praktik.
Soal-Soal 1. Tentukan persamaan garis-garis yang membentuk sisi segi-lima yang tergambar di bawah ini.
y 5 4 3
y1
y2
2 1
x
0 -5
-4
-3
y5
-2
-1
-1 -2 -3
0
1
2
3
4
5
y3 y4
-4 -5
2.
Carilah koordinat titik-titik potong dari garis-garis tersebut pada soal nomer-1 di atas.
3.
Carilah persamaan garis yang a) melalui titik asal (0,0) dan sejajar garis y2; b) melalui titik asal (0,0) dan sejajar dengan garis y3.
4.
Carilah persamaan garis yang melalui a) titik potong y1 − y2 dan titik potong y3 – y4 ; b) titik potong y3 − y4 dan titik potong y1 – y5 ; c) titik potong y1 − y2 dan titik potong y4 – y5.
5.
Carilah persamaan garis yang a) melalui titik potong y1 – y5 dan sejajar dengan garis y2 ; b) melalui titik potong y4 – y5 dan sejajar dengan garis y1.
2-12 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral
