Sudaryatno Sudirham
Studi Mandiri
Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
ii
Darpublic
BAB 13 Integral (2) (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung integral adalah dengan pendekatan numerik, walaupun cara ini memberikan hasil yang mengandung error. Namun error dalam pendekatan numerik bisa ditekan sampai pada batas-batas toleransi. Dalam bab ini kita akan melihat perhitungan integral tak tentu secara analitis dari macam-macam fungsi. 13.1. Integral Fungsi Tetapan:
∫ adx = ax + K
∫ adx
karena dax = adx
∫
Contoh: y = 2dx = 2 x + K 13.2. Integral Fungsi Mononom:
∫ x dx n
Karena dx n = x n −1dx dengan syarat n ≠ −1, maka
∫
∫
Contoh: y = 2 x 2 dx = 2 x 2 dx = 13.3. Integral Fungsi Polinom
∫ (x
n
∫
x n dx =
x n +1 +K n +1
2 3 x +K 3
+ x m )dx
Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Integral suatu polinom sama dengan jumlah integral mononom yang menyusunnya. Karena d ( x n + x m ) = x n dx + x m dx maka
∫
( x n + x m )dx =
x n +1 x m +1 + + K, n +1 m +1
dengan syarat n ≠ −1, m ≠ −1
Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.
∫ 5dx ; ∫ 2 xdx; ∫ 4 x dx; ∫ (2 x + 5)dx ; 1 2 3 2 ∫0 ( x − 2 x + 4)dx ; ∫ (4 x + 6 x + 4 x + 2)dx 4
1
13.4. Integral Fungsi Pangkat Dari Fungsi: Jika v adalah polinom, maka
d
∫
∫v
n
v n dv =
dx v n +1 dv + K n +1
karena
v n +1 = v n dv dengan syarat n ≠ −1. Formulasi ini digunakan untuk n +1
mencari
∫ v dx . n
∫
Contoh: Hitunglah y = (2 x + 1) 2 dx Misalkan v = 2 x + 1 → dv = 2dx → dx =
dv 2
8 x 3 + 12 x 2 + 6 x + 1 v2 v3 dv = +K= +K 2 6 6 4 1 = x3 + 2 x 2 + x + + K 3 6 Kita coba untuk meyakinkan hasil ini dengan hasil yang akan diperoleh jika polinom kita kuadratkan lebih dulu.
∫
y = (2 x + 1) 2 dx =
∫
4 x3 4 x 2 + + x + K′ 3 2 Hasil perhitungan sama dengan hasil sebelumnya,
∫
∫
y = (2 x + 1) 2 dx = (4 x 2 + 4 x + 1)dx =
K ′ = K + 1/ 6 . Contoh: Hitunglah y =
∫
3x
dx 1 − x2 dv dv Misalkan 1 − x 2 = v → = −2 x → dx = dx − 2x y=
∫
3x 1− x 2
dx =
dv 3 −1 / 2 3 v1/ 2 =− = −3 1 − x 2 v dv = − 1/ 2 − 2x 2 2 1 / 2 v 3x
∫
Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.
∫ ( x + 1) 2
2
dx ;
∫
4 x + 1dx ;
∫
2 + 5 x dx ;
1
∫ (3x + 2)2 dx ; ∫
x 2 x2 + 1
Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
dx
dv
∫v
13.5. Integral Fungsi Berpangkat -1: Karena
d (ln v) =
dv , v
dv
∫v
maka
= ln v + K .
Integrasi
memecahkan masalah persyaratan n ≠ −1 pada integrasi Contoh: Carilah integral y =
ini
∫ v dx . n
2x
∫ x 2 + 1 dx
dv dv = 2 x → dx = 2x dx 2x 2 x dv dx = = ln v + K = ln( x 2 + 1) + K 2 v 2x x +1
Misalkan v = x 2 + 1 →
y=
∫
∫
Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.
∫
dx ; 2x + 3
x 2 dx
dx
xdx
xdx
xdx
∫ 4 − x3 ; ∫ 2 − 3x ; ∫ x + 1 ; ∫ 1 − x 2 ; ∫ 4 x 2 + 1
∫
13.6. Integral Fungsi Eksponensial: ev dv Karena dev = ev dv maka
∫ e dv = e v
v
+K
Soal-Soal:
∫
e 2 x dx ;
∫
2
xe x dx ;
∫
e x dx
∫ 1 + 2e x
e x / 3dx ;
∫
13.7. Integral Tetapan Berpangkat Fungsi : a v dv Karena da v = a v ln adv maka
∫
a v dv =
av +K ln a
∫
Contoh: Carilah y = 32 x dx
dv dv = 2 → dx = Misalkan v = 2x → 2 dx
∫
y = 32 x dx =
∫
3v 1 32 x dv = +K 2 2 ln 3 3
13.8. Integral Fungsi Trigonometri
∫ cos vdx = sin v + K Karena d cos v = − sin vdx maka ∫ sin vdx = − cos v + K
Karena d sin v = cos vdv maka
Relasi diferensial dan integral fungsi trigonometri yang lain termuat dalam Tabel-13.1.
∫
Contoh: Carilah integral tak tentu y = sin 2 xdx
dv dv = 2 → dx = 2 dx sin v − cos v cos 2 x y = sin 2 xdx = dv = =− 2 2 2
Misalkan v = 2 x →
∫
∫
Soal-Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.
∫ sin 4 xdx ; ∫ cos(2 x + 2)dx ; ∫ 4 cos 3xdx . 2 ∫ 2 sin x cos xdx ; ∫ sin x cos xdx . 2 2 ∫ sin xdx ; ∫ cos axdx sin 2 x 2 ∫ cos x sin xdx ; ∫ 2 − cos 2 x dx . 13.9. Integral Fungsi Hiperbolik
∫ cosh vdv = sinh v + K Karena d (cosh v ) = sinh vdv maka ∫ sinh vdv = cosh v + K Karena d (sinh v) = cosh v maka
Relasi diferensial dan integral fungsi hiperbolik yang lain termuat dalam Tabel-13.1.
∫
Contoh: Carilah y = cosh(2 x + 1)dx
dv dv = 2 → dx = dx 2 1 1 cosh(v)dv = sinh v + K y = cosh(2 x + 1)dx = 2 2 1 = sinh(2 x + 1) + K 2
Misalkan v = 2 x + 1 →
∫
4
∫
Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Soal-Soal: Carilah integral berikut
∫
sinh x
dx ;
x
∫ tanh xdx ; ∫ cosh
2
2 xdx ;
sinh x
∫ cosh 4 x dx ; ∫ tanh
2
xdx
13.10. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri Inversi Integral fungsi-fungsi yang berbentuk
∫v
∫
dv
,
1 − v2
dv
dan setrusnya mulai nomer 20 v2 − 1 menghasilkan fungsi-fungsi trigonometri inversi.
Contoh: Carilah y =
∫
sampai
31,
dx 1 − 4x 2
Jika kita membuat pemisalan v = 1 − 4 x 2 maka
dx =
dv
∫ 1 + v2 ,
dv = −8 x atau dx
dv . Kalau pemisalan ini kita masukkan dalam persoalan − 8x
integral yang diberikan, kita akan mendapatkan bentuk
∫v
−1 / 2
dv − 8x
yang tidak dapat diproses lebih lanjut; persoalan integral tidak dapat ter-transformasi menjadi integral dalam peubah v. Namun bentuk
dx
∫
ini dapat kita transformasi menjadi bentuk
1 − 4x2
yang termuat dalam Tabel-13.1, yaitu nomer 20. Kita misalkan v = 2x dv dv = 2 atau dx = . Persoalan integral kita yang akan memberikan 2 dx menjadi dx dv 1 dv y= = = 2 2 2 1 − 4x 2 1− v 1 − v2
∫
yang menghasilkan
∫
y=
∫
1 −1 1 sin v + K = sin −1 (2 x) + K 2 2
Soal-Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini. dx dx dx dx ; ; ; ; 1 + 4x2 1 − x2 4 + x2 x 4 + x2
∫
∫
∫
∫
dx
∫ 1 − x2 5
13.9. Relasi Diferensial dan Integral Berikut ini daftar formula untuk deferensial beserta pasangan integralnya. Beberapa di antaranya perlu untuk diingat, misalnya formula 1 sampai 9 dan 16, 17 yang sering kita temui. Tabel-13.1.
∫
dv dx dx 2. d (kv) = kdv
1. dv = v + K
3. d (v + w) = dv + dw
3. (dv + dw) = dv + dw
1. dv =
4. dv n = nv n −1dv 5. d (ln v) =
dv v
6. dev = ev dv 7. da v = a v ln adv 8. d (sin v) = cos vdv 9. d (cos v) = − sin vdv 10. d (tan v) = sec2 vdv 11. d (cot v) = − csc2 vdv 12. d (sec v) = sec v tan vdv 13. d (csc v) = − csc v cot vdv 14. d (sinh v) = cosh v 15. d (cosh v) = sinh vdv 16. d (tanh v) = sec h 2vdv 6
2.
∫ kdv = k ∫ dv ∫
∫
∫
4. v n dv =
∫
n +1
v + C ; n≠1 n +1
dv
∫ v = ln v + K 6. ∫ ev dv = ev + K 5.
av +K ln a
∫ 8. ∫ cos vdv = sin v + K 9. ∫ sin vdv = − cos v + K 10. ∫ sec2 vdv = tan v + K 11. ∫ csc2 vdv = − cot v + K 12. ∫ sec tan vdv = sec v + K 13. ∫ csc cot vdv = − csc v + K 14. ∫ cosh vdv = sinh v + K 15. ∫ sinh vdv = cosh v + K 16. ∫ sec h 2vdv = tanh v + K 7. a v dv =
Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
17. d (coth v) = − csc h 2vdv 18. d (sechv) = − sec hv tanh vdv 19. d (cschv) = − csc hv coth vdv
dv
20. d (sin −1 v) =
20.
1 − v2 −dv
21. d (cos −1 v) =
1− v 22. d tan −1 v = 23. d cot −1 v = 24. d sec−1 v =
∫ 18. ∫ sec hv tanh vdv = −sechv + K 19. ∫ cschv coth vdv = −coshv + K 17. csc h 2vdv = − coth v + K
21. 2
dv 2
1+ v −dv
2
1+ v dv 2
− dv v v −1
26. d (sinh
−1
dv
v) =
1+ v2 dv
27. d (cosh −1 v) =
29. d (coth −1 v) =
1− v dv
2
1− v −dv −1 30. d (sec h v) = v 1 − v2 31. d (csc h −1v) =
−dv v 1+ v
2
dv
−1
24.
∫v
dv
∫
26. ∫ 27.
2
= − cos −1 v + K ′
1 − v2
∫ 1 + v2 = − cot
2
dv
dv
23.
v −1 28. d (tanh −1 v) =
1− v
= sin −1 v + K
2
∫ 1 + v 2 = tan
25.
2
∫
dv
22.
v v −1 25. d csc−1 v =
∫
∫
dv
−1
v+K
= sec−1 v + K , v >0
2
v −1
dv v v2 − 1 dv 1+ v 2
= sinh −1 v + K
2
dv
= − csc −1 v + K , v >0
= cosh −1 v + K
v −1
dv
−1
28.
∫ 1 − v 2 = tanh
29.
∫ 1 − v2 = coth
30.
∫v
31.
v+K
dv
∫v
dv 1− v
2
dv 1+ v
2
v + K ; jika |v|<1
−1
v + K ; jika |v|>1
= − sec h −1 v + K ; = − csc h −1 v + K ;
7
Catatan Tentang Isi Tabel-13.1. Dengan menggunakan relasi-relasi dalam Tabel-13.1 kita dapat melakukan proses integrasi fungsi-fungsi mencakup: Fungsi mononom dan polinom: Fungsi polinom berpangkat:
∫ vdv dv
∫ v dv ; ∫ v n
∫ e dv ; ∫ a dv Fungsi trigonometri: ∫ cos vdv ; ∫ sin vdv ; ∫ sec2 vdv ; ∫ csc2 vdv ; ∫ sec tan vdv ; ∫ csc cot vdv . tetapi tidak: ∫ tan vdv ; ∫ cot vdv ; ∫ sec vdv ; ∫ csc vdv . 2 Fungsi hiperbolik: ∫ cosh vdv ; ∫ sinh vdv ; ∫ sec h vdv ; 2 ∫ csc h vdv ; ∫ sec hv tanh vdv ; ∫ cschv coth vdv . tetapi tidak: ∫ tanh vdv ; ∫ coth vdv ; ∫ sec hvdv ; ∫ csc hvdv . v
Fungsi exponensial:
v
Integrasi fungsi aljabar yang menghasilkan fungsi trigonometri inversi dan fungsi hiperbolik inversi, seperti
∫ ∫
dv
;
1− v
2
dv
;
v2 − 1
dv
∫ 1 + v2 ; ∫ v ∫ 1 − v2 ; ∫ v dv
dv
;
2
v −1 dv 1 − v2
;
∫
∫v
dv
;
1 + v2
dv 1 + v2
.
tetapi tidak mengintegrasi fungsi inversi seperti
∫ sin
−1
vdv ;
∫ tan
−1
∫
xdx ; sinh
−1
vdv ;
∫ tanh
−1
vdv
Tabel-13.1 tidak memuat relasi integrasi fungsi-fungsi aljabar yang berbentuk
8
dv
∫ a2 + v2 ; ∫
a 2 ± v 2 dv;
∫
v 2 − a 2 dv; dsb
Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Referensi 1.
2.
3. 4. 5.
Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut Teknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisan dalam buku ini. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison Wesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika di ITB, tahun 1963 - 1964. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB, ISBN 979-9299-54-3, 2002. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010.
9
