Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Sudaryatno Sudirham

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

i

Darpublic

Hak cipta pada penulis, 2010

SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaryatmo Sudirham Darpublic, Bandung fdg-1110 edisi Juli 2011

http://www.ee-cafe.org Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135. Fax: (62) (22) 2534117

ii

Bab 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1.1. Fungsi Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi besaran x. Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur. Secara umum suatu fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaan

y = f (x)

(1.1)

Perhatikan bahwa penulisan y = f (x) bukanlah berarti y sama dengan f kali x, melainkan untuk menyatakan bahwa y merupakan fungsi dari x yang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah y akan memiliki nilai jika kepada x kita berikan suatu nilai. y dan x adalah peubah (variable) yang dibedakan menjadi peubah-takbebas (y) dan peubah-bebas (x). Peubah-bebas x adalah simbol dari suatu besaran yang bisa memiliki nilai sembarang dari suatu set bilangan. Sementara peubah-tak-bebas y memiliki nilai yang tergantung dari nilai yang dimiliki x. Dilihat dari nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (1.1) adalah sebuah persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran yang berbeda. Kita ambil contoh dalam relasi fisis

LT = L0 (1 + λT ) dengan LT adalah panjang sebatang logam pada temperatur T, L0 adalah panjang pada temperatur nol, T temperatur dan λ adalah koefisien muai panjang. Panjang batang tergantung dari temperatur; makin tinggi temperatur makin panjang batang logam. Namun sebaliknya, makin panjang batang logam tidak selalu berarti temperaturnya makin tinggi. Jika logam tersebut mengalami beban tarikan misalnya, ia akan bertambah panjang namun tidak bertambah temperaturnya. Walaupun nilai x di ruas kanan (1.1) bisa berubah secara bebas, sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai x tetap harus ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi.

1

1.2. Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi. Dalam kebanyakan aplikasi, rentang nilai ini bisa berbentuk sebagai berikut: a). rentang nilai berupa bilangan-nyata yang terletak antara dua nilai a dan b. Kita tuliskan rentang nilai ini sebagai a<x
b

a dan b tidak termasuk dalam rentang tersebut. b). rentang nilai a≤x
b

Di sini a masuk dalam rentang nilai, tetapi b tidak. Ini merupakan rentang setengah terbuka. c). rentang nilai a≤x≤b Dalam rentang ini baik a maupun b masuk dalam rentang nilai. Ini adalah rentang tertutup, dan kita gambarkan a

b

1.3. Kurva, Kekontinyuan, Simetri Kurva. Fungsi y = f (x) dapat divisualisasikan secara grafis. Dalam visualisasi ini kita memerlukan koordinat. Suatu garis horisontal memanjang dari −∞ ke arah kiri sampai +∞ ke arah kanan, ditetapkan sebagai sumbu-x atau absis. Pada garis ini ditetapkan pula titik referensi 0 serta panjang satuan skala, sedemikian rupa sehingga kita dapat 2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

menggambarkan nilai-nilai x pada garis ini (lihat Gb.1.1); peubah x memiliki nilai yang berupa bilangan-nyata. y 3 Q[-2,2]

2 II

P[2,1]

1

I

0 -4

-3

-2

0

-1 III -1 -2

R[-3,-3]

1 IV

2

3 x 4

S[3,-2]

-3

-4 Gb.1.1. Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku. Catatan: Suatu bilangan-nyata dapat dinyatakan dengan desimal terbatas maupun desimal tak terbatas. Contoh: 1, 2, 3, ......adalah bilangan-nyata bulat; 1,586 adalah bilangan-nyata dengan desimal terbatas; π adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas, yang jika dibatasi sampai sembilan angka di belakang koma nilainya adalah 3,141592654. Selain sumbu-x ditetapkan pula sumbu-y yang tegak lurus pada sumbu-x, memanjang ke −∞ arah ke bawah dan +∞ arah ke atas, yang melewati titik referensi 0 di sumbu-x dan disebut ordinat. Titik perpotongan sumbu-y dengan sumbu-x merupakan titik referensi yang disebut titikasal dan kita tulis berkoordinat [0,0]. Pada sumbu-y ditetapkan juga satuan skala seperti halnya pada sumbu-x, yang memungkinkan kita untuk menggambarkan posisi bilangan-nyata di sumbu-y. Besaran fisik yang dinyatakan dengan peubah-tak-bebas dalam skala sumbu-y tidak harus sama dengan besaran fisik dan skala sumbu-x; misalnya sumbu-x menunjukkan waktu dengan satuan detik/skala, sedangkan sumbu-y menunjukkan jarak dengan satuan meter/skala. Bidang datar di mana kita menggambarkan sumbu-x dan sumbu-y, selanjutnya kita sebut bidang x-y, akan terbagi dalam 4 kuadran, yaitu kuadran I, II, III dan IV seperti terlihat pada Gb.1.1.

3

Setiap titik K pada bidang datar ini dapat kita nyatakan posisinya sebagai K[xk,yk], dengan xk dan yk berturut-turut menunjukkan jumlah skala di sumbu-x dan di sumbu-y dari titik K yang sedang kita tinjau. Pada Gb.1.1. misalnya, posisi empat titik yang digambarkan di kuadran I, II, III, IV, masing-masing kita tuliskan sebagai P[2,1], Q[-2,2], R[-3,-3] dan S[3,-2]. Dengan demikian setiap pasangan bilangan-nyata akan berkaitan dengan satu titik di bidang x-y. Dengan cara inilah pasangan nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan suatu fungsi y = f(x) dapat divisualisasikan pada bidang x-y. Visualisasi itu akan berbentuk kurva fungsi y di bidang x-y, dan kurva ini memiliki persamaan y = f(x), sesuai dengan pernyataan fungsi yang divisualisasikannya. Contoh: sebuah fungsi y = 0,5 x

(1.2)

Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y. Jika kita muatkan dalam suatu tabel, nilai x dan y akan terlihat seperti pada Tabel-1.1. Tabel-1.1. x y

-1 -0,5

0 0

1 0,5

2 1

3 1,5

4 2

dst. dst.

Fungsi y = 0,5 x yang memiliki pasangan nilai x dan y seperti tercantum dalam Tabel-1.1. di atas akan memberikan kurva seperti terlihat pada Gb.1.2. Kurva ini berbentuk garis lurus melalui titikasal [0,0] dan memiliki kemiringan tertentu (yang akan kita pelajari lebih lanjut), dan persamaan garis ini adalah y = 0,5 x . 2,5

y

2

R

1,5

∆y

Q

1

∆x

0,5

P

0 -0,5 0

1

2

3

x

4

-1

Gb.1.2. Kurva dari fungsi y = 0,5 x

4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Dengan contoh ini, relasi (1.2) yang merupakan relasi fungsional, setelah berbentuk kurva berubah menjadi sebuah persamaan yaitu persamaan dari kurva yang diperoleh. Ruas kiri dan kanan persamaan ini menjadi berimbang karena melalui kurva tersebut kita bisa mendapatkan dengan mudah nilai y jika diketahui nilai x, dan sebaliknya kita juga dapat memperoleh nilai x jika diketahui nilai y. Dengan contoh di atas kita mengerti bahwa fungsi y = 0,5 x membentuk kurva dengan persamaan y = 0,5 x di bidang x-y. Dalam contoh ini titiktitik P, Q, dan R terletak pada garis tersebut dengan koordinat P[-1,-0,5], Q[2,1], R[3,1.5]. Pengertian tentang fungsi dan persamaan kurva ini perlu kita fahami benar karena kedua istilah ini akan muncul secara paralel dalam pembahasan bentuk-bentuk geometris.

Kekontinyuan. Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut. Syarat untuk terjadinya fungsi yang kontinyu dinyatakan sebagai berikut: Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat: (1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c; (2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai lim f ( x) = f (c) yang kita baca limit f(x) x →c

untuk x menuju c sama dengan f(c).

Contoh: Kita lihat misalnya fungsi y = 1/x. Pada x = 0 fungsi ini tidak terdefinisi karena 1/0 tidak dapat kita tentukan berapa nilainya; lim f ( x) tidak terdefinisi jika x menuju nol. Kedua persyaratan x→c

kekontinyuan tidak dipenuhi; ia merupakan fungsi tak-kontinyu di x = 0. Hal ini berbeda dengan fungsi yang terdefinisikan di x = 0 (lihat selanjutnya ulasan di Bab-3) sebagai

y = u ( x),

y = 1 untuk x ≥ 0 y = 0 untuk x < 0

5

yang bernilai 0 untuk x < 0 dan bernilai 1 untuk x ≥ 0. Perhatikan Gb.1.3. y

1

y = 1/x -10

-5

0

0

5

x 10

y = 1/x -1

Tak terdefinikan di x = 0. y = u(x)

y 1 0 0

x

Terdefinisikan di x = 0

Gb.1.3. Fungsi y = 1 / x dan y =u(x)

Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik tertentu a)

jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. c)

jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Contoh: Perhatikan contoh pada Gb.1.4. berikut ini. Kurva y = 0,3x2 simetris terhadap sumbu-y. Jika kita ganti nilai x = 2 dengan x = - 2, nilai tidak berubah karena x berpangkat genap. Kurva y = 0,05x3 simetris terhadap titik-asal [0,0]. Di sini x 6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

berpangkat ganjil sehingga fungsi tidak akan berubah jika x diganti – x dan y diganti – y. Kurva x 2 + y 2 = 9 simetris terhadap sumbu-x, simetris terhadap sumbu-y, simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III, dan juga simetris terhadap garis-bagi kuadran II dan IV. 6

y = 0,3x

tidak berubah bila x diganti −x

y

2

3

tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y

0 -6

0

-3

-3

y = 0,05x3

-6

3

x

6

y2 + x 2 = 9 tidak berubah jika x diganti −x x dan y diganti dengan −x dan −y x dan y dipertukarkan y diganti dengan −y

Gb.1.4. Contoh-contoh kurva fungsi yang memiliki simetri.

1.4. Bentuk Implisit Suatu fungsi kebanyakan dinyatakan dalam bentuk eksplisit dimana peubah-tak-bebas y secara eksplisit dinyatakan dalam x, seperti y = f ( x) . Namun sering kali kita jumpai pula bentuk implisit di mana nilai y tidak diberikan secara eksplisit dalam x. Berikut ini adalah beberapa contoh bentuk implisisit.

x2 + y2 = 1 xy = 1

(1.3)

y2 = x x 2 + xy + y 2 = 8 7

Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y. Contoh pertama sampai ke-tiga pada (1.3) dengan mudah kita ubah dalam bentuk eksplisit sehingga untuk menggambarkan fungsi tersebut kedalam sistem koordinat x-y dengan menggunakan tabel tidaklah terlalu sulit. Contoh yang ke-empat agak sulit, namun persamaan tersebut dapat dijadikan bentuk persamaan kuadrat

x 2 + xy + y 2 = 8 ⇒ y 2 + xy + ( x 2 − 8) = 0 yang akar-akarnya adalah

y1 , y 2 =

− x ± x 2 − 4( x 2 − 8) 2

Nilai y1 dan y2 dapat dihitung untuk setiap x yang masih memberikan nilai nyata untuk y. Perhatikan bahwa akar-akar persamaan ini dapat kita tuliskan sebagai

y=

−x ± 2

x 2 − 4( x 2 − 8)

(1.4)

2

yang merupakan bentuk pernyataan eksplisit ini terlihat pada Gb.1.5. y8

y = f (x ) . Kurva fungsi

4 0 -4

-2

0 -4

2

x

4

-8

Gb.1.5. Kurva

x 2 − 4( x 2 − 8) −x y= ± 2 2


1.5. Fungsi Bernilai Tunggal dan Fungsi Bernilai Banyak Fungsi Bernilai Tunggal. Fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas, disebut fungsi bernilai tunggal. Berikut ini contoh fungsi bernilai tunggal. 1). y = 0,5 x 2 . Pada fungsi ini setiap nilai x hanya memberikan satu nilai y. Kurva dari fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.6. Kita tahu bahwa kurva fungsi ini simetris terhadap sumbu-y namun dalam gambar ini terutama diperlihatkan rentang x ≥ 0. 8

y

6 4 2 0

-1

0

2

1

3

Gb.1.6. Kurva y = 0,5 x

x 4

2

2). y = + x . Pada fungsi ini, y hanya mengambil nilai positif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb 1.7. y1,6 1,2 0,8 0,4 0 0

0,5

1

1,5

x 2

Gb.1.7. Kurva y = + x

9

3). y = − x . Peubah tak-bebas y hanya mengambil nilai negatif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb.1.8. Sesungguhnya kurva fungsi ini adalah pasangan dari kurva

y = + x . Hal ini terlihat pada Gb.1.11 di mana y mengambil nilai baik positif maupun negatif. 0

0 -0,4

0,

1

1,5

x 2

-0,8 -1,2

y -1,6

Gb.1.8. Kurva y = − x 4). y = log10 x . Sebelum melihat kurva fungsi ini ada baiknya kita mengingat kembali tentang logaritma. log10 adalah logaritma dengan basis 10; log10a berarti berapakah 10 harus dipangkatkan agar diperoleh a. Jadi

y = log10 x berarti 10 y = x

y1 = log10 1 = 0 ; y 2 = log10 1000 = 3 ; y 3 = log10 2 = 0,30103 ;

...dst.

Kurva fungsi y = log10 x terlihat pada Gb.1.9. y 0,8 0,4 0

0

1

2

3

x 4

-0,4 -0,8

Gb.1.9. Kurva y = log10 x 10 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

5). y = x =

x2 .

Fungsi ini berlaku untuk nilai x negatif maupun positif. 2

Perhatikanlah bahwa x tidak hanya sama dengan x, melainkan ± x. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.10. y 4 3 2 1 -4

-3

-2

-1

0

0

1

2

3 x4

Gb.1.10. Kurva y = |x| = √x2

Fungsi Bernilai Banyak. Jika untuk satu nilai peubah-bebas terdapat lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas, fungsi tersebut disebut bernilai banyak. Berikut ini adalah contoh fungsi bernilai banyak. 1). Fungsi y = ± x . Perhatikan bahwa ada dua nilai y untuk setiap nilai x. Sesungguhnya

x bernilai ± x dan bukan hanya x saja. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.11. Jika y hanya mengambil nilai positif atau negatif saja, fungsi akan menjadi bernilai tunggal, sebagaimana disebutkan pada contoh 2 dan 3 pada fungsi bernilai tunggal . y 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 0 -1 -1,5 -2

0,5

1

1,5

2

2,5

x

3

Gb.1.11. Kurva y = ± x

11

2). Fungsi y 2 =

1. x

Fungsi ini bernilai banyak; ada dua nilai y untuk setiap nilai x. Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.12. 10

y 5 0 0

1

2

x

3

-5 -10

Gb.1.12. Kurva y 2 = 1 / x ⇒ y = ± 1 / x

1.6. Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas Fungsi dengan banyak peubah bebas tidak hanya tergantung dari satu peubah bebas saja, x, tetapi juga tergantung dari peubah bebas yang lain. Misalkan suatu fungsi dengan dua peubah bebas x dan t dinyatakan sebagai

y = f ( x, t )

(1.5)

Sesungguhnya dalam peristiwa fisis banyak fungsi yang merupakan fungsi dengan peubah-bebas banyak, misalnya persamaan gelombang berjalan. Simpangan gelombang berjalan merupakan fungsi dari posisi (x) dan waktu (t). Secara umum kita menuliskan fungsi dengan peubah-bebas banyak sebagai

w = f ( x, y , z , u , v )

(1.6)

untuk menyatakan secara eksplisit fungsi w dengan peubah bebas x, y, z,u,dan v. Fungsi dengan peubah bebas banyak juga mungkin bernilai banyak, misalnya


ρ2 = x 2 + y 2 + z 2

(1.7)

Fungsi ini akan bernilai tunggal jika kita hanya meninjau nilai positif dari ρ dan kita nyatakan fungsi yang bernilai tunggal ini sebagai

ρ = + x2 + y2 + z2

(1.8)

1.7. Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar ini posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol θ. Kalau dalam koordinat sudut-siku posisi titik dinyatakan sebagai P(x,y) maka dalam koordinat polar dinyatakan sebagai P(r,θ). Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar adalah

y = r sin θ ; x = r cos θ ; r = x2 + y2 θ = tan −1 ( y / x) Hubungan ini terlihat pada Gb.1.13. y

rcosθ

P

r rsinθ θ x

Gb.1.13. Hubungan koordinat sudut-siku dan koordinat polar.

13

1.8. Fungsi Parametrik Dalam koordinat sudut-siku fungsi y = f (x) mungkin juga dituliskan sebagai

y = y (t ) x = x(t )

(1.10)

jika y dan x masing-masing tergantung dari peubah lain t. Fungsi yang demikian disebut fungsi parametrik dengan t sebagai parameter.

1.9. Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan Dalam buku ini kita hanya akan membahas fungsi-fungsi dengan peubah bebas tunggal sedangkan fungsi dengan banyak peubah bebas dibahas di buku lain. Kita juga membatasi diri hanya pada bilangan nyata. Bilangan kompleks belum akan kita bahas sehingga fungsi-fungsi kompleks tidak dicakup oleh buku ini. Bahasan dari Bab-2 mengenai fungsi linier sampai dengan Bab-16 mengenai persamaan diferensial dilakukan dalam pengertian koordinat sudut-siku. Koordinat polar dibahas pada Bab-17.


Bab 2 Fungsi Linier 2.1. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai +∞. Kita tuliskan

y=k

[2.1]

dengan k bilangan-nyata. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.2.1. berupa garis lurus mendatar sejajar sumbu-x, dalam rentang nilai x dari −∞ sampai +∞. y5 y=4

0 -5

x 5

0 y = −3,5 -4

Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan): y = 4 dan y = −3,5 .

2.2. Fungsi Linier - Persamaan Garis Lurus Persamaan (2.1) adalah satu contoh persamaan garis lurus yang merupakan garis mendatar sejajar sumbu-x, dengan kurva seperti terlihat pada Gb.2.1. Kurva yang juga merupakan garis lurus tetapi tidak sejajar sumbu-x adalah kurva yang memiliki kemiringan tertentu. Kemiringan garis ini adalah perbandingan antara perubahan y terhadap perubahan x, atau kita tuliskan

kemiringan = m =

∆y , ∆x

" delta y"    dibaca :  " delta x"  

(2.2)

15

Dalam hal garis lurus, rasio ∆y memberikan hasil yang sama di titik ∆x manapun kita menghitungnya. Artinya suatu garis lurus hanya mempunyai satu nilai kemiringan, yaitu yang diberikan oleh m pada fungsi y = mx . Gb.2.2. berikut ini memperlihatkan empat contoh kurva garis lurus yang semuanya melewati titik-asal [0,0] akan tetapi dengan kemiringan yang berbeda-beda. Garis y = x lebih miring dari

y = 0,5 x , garis y = 2 x lebih miring dari y = x dan jauh lebih miring dari y = 0,5 x , dan ketiganya miring ke atas. Makin besar nilai m, garis akan semakin miring. Garis yang ke-empat memiliki m negatif −1,5 dan ia miring ke bawah (menurun). y

8 y = 2x

6

y=x y = 0,5x

4 2 0 -1

-2

0

1

2

3

x

4

-4 y = -1,5 x

-6

Gb.2.2. Empat contoh kurva garis lurus y = mx . Secara umum, persamaan garis lurus yang melalui titik-asal [0,0] adalah

y = mx

(2.3)

dengan m menunjukkan kemiringan garis; makin besar nilai m garis akan semakin miring. Jika m bernilai positif, garis miring ke atas (naik). Jika m bernilai negatif, garis akan miring ke bawah (menurun).

2.3. Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Bagaimanakah persamaan garis lurus jika ia tidak melalui titik-asal [0,0] melainkan memotong sumbu-y misalnya di titik [0,2]? Misalkan garis ini memiliki kemiringan 2. Setiap nilai y pada garis ini untuk suatu nilai x, sama dengan nilai y pada garis yang melalui [0,0], yaitu y = 2x, ditambah 2. Oleh karena itu kita dapat menuliskan persamaa garis ini sebagai y = 2 x + 2 . Perhatikan Gb.2.3. 16 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

10 8

y = 2x + 2

6

y = 2x

4 2 0 -1

-2

0

1

2

3

x

4

-4 Gb.2.3. Garis lurus melalui titik [0,2], kemiringan 2.

Secara umum, persamaan garis dengan kemiringan m dan memotong sumbu-y di [0,b] adalah ( y − b) = mx

(2.4)

b bisa positif ataupun negatif. Jika b positif, maka garis tergeser ke arah sumbu-y positif (ke atas) yang berarti garis memotong sumbu-y di atas titik [0,0]. Jika b negatif, garis tergeser kearah sumbu-y negatif (ke bawah); ia memotong sumbu-y di bawah titik [0,0]. Secara singkat, b pada (2.4) menunjukkan pergeseran kurva y sepanjang sumbu-y. Kita lihat sekarang garis yang memiliki kemiringan 2 dan memotong sumbu-x di titik [a,0], misalnya di titik [1,0]. Lihat Gb.2.4. Dibandingkan dengan garis yang melalui titik [0,0] yaitu garis y = 2 x , setiap nilai y pada garis ini terjadi pada (x−1) pada garis y = 2 x ; atau dengan kata lain nilai y pada garis ini diperoleh dengan menggantikan nilai x pada garis y = 2 x dengan (x−1). Contoh: y = 2,8 pada garis ini terjadi pada x = x1 dan hal ini terjadi pada x = ( x1 − 1) pada kurva y = 2x . y 8 6

y = 2x

4 y =2(x–1)

2 0 -1

0 -2

1 2 x1−1 x1

3

x

4

-4

Gb.2.4. Garis lurus melalui titik [1,0]. 17

Secara umum persamaan garis yang melalui titik [a,0] dengan kemiringan m kita peroleh dengan menggantikan x pada persamaan y = mx dengan (x−a). Persamaan garis ini adalah

y = m( x − a )

(2.5)

Pada persamaan (2.5), jika a positif garis y = mx tergeser ke arah sumbu-x positif (ke kanan); dan jika a negatif garis itu tergeser ke arah sumbu-x negatif (ke kiri). Secara singkat a pada (2.5) menunjukkan pergeseran kurva y sejajar sumbu-x. Pada contoh di atas, dengan tergesernya kurva ke arah kanan dan memotong sumbu-x di titik [1,0] ia memotong sumbu-y di titik [0,-2]. Suatu garis yang titik perpotongannya dengan kedua sumbu diketahui, pastilah kemiringannya diketahui. Dalam contoh di atas, kemiringannya adalah

m=

∆y 0 − (−2) 2 = = =2 ∆x 1 1

dan persamaan garis adalah y = 2x − 2

(2.6)

Bandingkanlah persamaan ini dengan persamaan (2.4), dengan memberikan m = 2 dan b = −2. Secara umum, persamaan garis yang memotong sumbu-sumbu koordinat di [a,0] dan [0,b] adalah

y = mx + b

dengan

m=−

b a

(2.7)

Contoh: y

garis memotong sumbu x di 2, dan memotong sumbu y di 4

8 6

Persamaan garis: y = −

4

4 x + 4 = −2 x + 4 2

2 0 0

-1 -2

1

2

3

x

4

-4


Bagaimanakah persamaan garis lurus yang tidak terlihat perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat? Persamaan garis demikian ini dapat dicari jika diketahui koordinat dua titik yang ada pada garis tersebut. Lihat Gb.2.5. Pada Gb.2.5. kemiringan garis dengan mudah kita peroleh, yaitu

m=

∆y ( y2 − y1 ) = ∆x ( x2 − x1 )

(2.8)

8 y

[x2,y2]

6 4

[x1,y1]

2 0 -1

0

1

2

x

3

-2 -4

Gb.2.5. Garis lurus melalui dua titik. Persamaan (2.8) ini harus berlaku untuk semua garis yang melalui dua titik yang diketahui koordinatnya. Jadi secara umum harus berlaku

y − y1 m= 2 x2 − x1

(2.9)

Dengan demikian maka persamaan garis yang memiliki kemiringan ini adalah

y − y1 = m( x − x1 )

(2.10)

Persamaan (2.10) inilah persamaan garis lurus dengan kemiringan m yang diberikan oleh (2.9), bergeser searah sumbu-y sebesar y1 dan bergeser searah sumbu-x sebesar x1.

Contoh: Carilah persamaan garis yang melalui dua titik P(5,7) dan Q(1,2).

19

Kemiringan garis ini adalah m =

y P − yQ x p − xQ

=

7−2 = 1,25 5 −1

Kemiringan garis ini memberikan persamaan garis yang melalui titik asal y = 1,25 x . Persamaan garis dengan kemiringan ini dan melalui titik P(5,7) adalah

y − 7 = 1,25( x − 5) → y = 1,25 x − 6,25 + 7 y = 1,25 x + 0,75 Kita bisa melihat secara umum, bahwa kurva suatu fungsi y = f (x) akan tergeser sejajar sumbu-x sebesar x1 skala jika x diganti dengan (x − x1), dan tergeser sejajar sumbu-y sebesar y1 skala jika y diganti dengan (y − y1)

y = f (x)

menjadi

y = f ( x − x1 ) atau

y − y1 = f ( x)

(2.11)

Walaupun (2.11) diperoleh melalui pembahasan fungsi linier, namun ia berlaku pula untuk fungsi non linier. Fungsi non linier memberikan kurva garis lengkung yang akan kita pelajari dalam bab-bab selanjutnya.

Contoh: kurva semula y 8 6

y + 2 = 2x (pergeseran –2 searah sumbu-y) atau y = 2(x – 1) (pergeseran +1 searah sumbu-x)

y = 2x

4 2 0 -1

0 -2

1

2

3

x

4

-4

Contoh: Kita kembali pada contoh sebelumnya, yaitu persamaan garis yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2). Persamaan garis dengan kemiringan 1,25 dan melalui titik asal adalah y = 1,25 x . Garis ini 20 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

harus kita geser menjadi ( y − b) = 1,25( x − a) agar melalui titik P dan Q. Nilai a dan b dapat kita peroleh jika kita masukkan koordinat titik yang diketahui, P(5,7) dan Q(1,2). Dengan memasukkan koordinat titik ini kita dapatkan persamaan

7 − b = 1,25(5 − a) dan

2 − b = 1,25(1 − a )

Dari sini kita akan mendapatkan nilai a = −0,6 dan juga b = 0,75 sehingga persamaan garis yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2) dapat diperoleh, yaitu y − 0,75 = 1,25x atau y = 1,25( x + 0,6) . Garis ini memotong sumbu-y di +0,75 dan memotong sumbu-x di −0,6.

2.4. Perpotongan Garis Dua garis lurus

y1 = a1x + b1 dan

y2 = a2 x + b2

berpotongan di titik P sehingga koordinat P memenuhi y1 = y2

a1xP + b1 = a2 xp + b2 sehingga

b −b ⇒ xP = 2 1 a1 − a2 ⇒ yP = a1xP + b1

(2.12)

atau

yP = a2 xP + b2

Contoh: Titik potong dua garis

y1 = 2 x + 3

dan

y2 = 4 x − 8

y1 = y 2 → 2 x + 3 = 4 x − 8 → 2 x = 11 11 = 5,5 ; yP = 2 x + 3 = 2 × 5,5 + 3 = 14 2 atau yP = 4 × 5,5 − 8 = 14 xP =

Jadi titik potong adalah P[(5,5), 14] . Perhatikan Gb.2.6. berikut ini.

21

30

y1

y

y2

20

P ⇒ Koordinat P memenuhi persamaan y1 maupun y2.

10 0 -10

-5

0

x

5

10

-10 -20 -30

Gb.2.6. Perpotongan dua garis. Jika kedua garis memiliki kemiringan yang sama sudah barang tentu kita tak akan memperoleh titik potong karena mereka sejajar; dikatakan juga mereka berpotongan di ∞.

Contoh: Dua garis sejajar.

y1 = 4 x + 3

dan

y2 = 4 x − 8 adalah

2.5. Pembagian Skala Pada Sumbu Koordinat Pada penggambaran kurva-kurva di atas, panjang per skala kedua sumbu koordinat tidak sama. Apabila panjang per skala dibuat sama kita akan memiliki kemiringan garis

m = tan θ

(2.13)

dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh garis lurus dengan sumbu-x atau dengan garis mendatar, seperti pada Gb.2.7. y 5−

m = tan θ

θ | 5

|

x

−5 − Gb.2.7. Panjang per skala sama di sumbu-x dan y.


Sesungguhnya formulasi (2.13) berlaku umum, baik untuk pembagian skala di kedua sumbu koordinat sama besar ataupun tidak. Namun jika pembagian skala tersebut sama besar, sudut θ yang terlihat dalam grafik menunjukkan kemiringan garis sebenarnya; jika pembagian tidak sama besar sudut θ yang terlihat pada grafik bukanlah sudut sebenarnya sehingga sudut θ sebenarnya harus dihitung dari formula (2.13) dan bukan dilihat dari grafik.

2.6. Domain, Kekontinyuan, Simetri Pada fungsi linier y = m( x − a ) + b , peubah y akan selalu memiliki nilai, berapapun x. Peubah x bisa bernilai dari −∞ sampai +∞. Fungsi ini juga kontinyu dalam rentang tersebut. Kurva fungsi y = mx simetris terhadap titik asal [0,0] karena fungsi ini tak berubah jika y diganti dengan −y dan x diganti dengan −x.

2.7. Contoh-Contoh Fungsi Linier Contoh-contoh fungsi linier berikut ini mamberikan gambaran bahwa fungsi linier dengan kurva yang kita gambarkan berbentuk garis lurus, merupakan bentuk fungsi yang biasa kita jumpai dalam praktik rekayasa. 1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan.

F = ma ; a adalah percepatan Jika tidak ada gaya lain yang melawan F, maka dengan percepatan a benda akan memiliki kecepatan sebagai fungsi waktu sebagai

v(t ) = v0 + at v kecepatan gerak benda, v0 kecepatan awal, t waktu. Jika kecepatan awal adalah nol maka kecepatan gerak benda pada waktu t adalah v(t ) = at 2) Dalam tabung katoda, jika beda tegangan antara anoda dan katoda adalah V , dan jarak antara anoda dan katoda adalah l maka antara anoda dan katoda terdapat medan listrik sebesar

23

E= Elektron yang muncul di permukaan katoda akan mendapat percepatan dari adanya medan listrik sebesar

V l

anoda ]

katoda l

a = eE a adalah percepatan yang dialami elektron, e muatan elektron, E medan listrik. Jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada waktu mencapai katoda adalah

vk = at 3) Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula jika tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya yang diperlukan untuk menarik pegas sepanjang x merupakan fungsi linier dari x.

F = kx dengan k adalah konstanta pegas. 4) Dalam sebatang logam sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung logam diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus yang mengalir merupakan fungsi linier dari tegangan dengan relasi V 1 i = GV = , dengan G = R R G adalah tetapan yang disebut konduktansi listrik dan R disebut resistansi listrik.Persamaan ini juga bisa dituliskan V = iR yang dikenal sebagai relasi hukum Ohm dalam kelistrikan. Jika penampang logam adalah A dan rata sepanjang logam, maka resistansi dapat dinyatakan dengan ρl R= A 24 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

ρ disebut resistivitas bahan logam. Kerapatan arus dalam logam adalah j =

i dan dari persamaan di A

atas kita peroleh

j=

i V 1V = = = σE A RA ρ l

dengan E = V / l adalah kuat medan listrik dalam logam, σ = 1 / ρ adalah konduktivitas bahan logam. Secara infinitisimal kuat medan listrik adalah gradien potensial atau dV gradien dari V yang kita tuliskan E = . Mengenai pengertian dx gradien akan kita pelajari di Bab-9. 5). Peristiwa difusi. Secara thermodinamis, faktor pendorong untuk terjadinya difusi, yaitu penyebaran materi masuk materi menembus materi keluar di xa materi lain, adalah Ca di x adanya perbedaan konsentrasi. Situasi Cx ini analog dengan peristiwa aliran x xa ∆x muatan listrik di mana faktor pendorong untuk terjadinya aliran muatan adalah perbedaan tegangan. Analog dengan peristiwa listrik, fluksi materi yang berdifusi dapat kita tuliskan sebagai dC J x = −D dx D adalah koefisien difusi, dC/dx adalah variasi konsentrasi dalam keadaan mantap di mana C0 dan Cx bernilai konstan. Relasi ini disebut Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi; dengan kata lain fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi. 25

Berikut ini tersaji soal-soal untuk latihan. Soal-soal ini hanya berkenaan dengan kurva garis lurus. Namun dengan contoh-contoh di atas kita menyadari bahwa fungsi linier bukan hanya sekedar pernyataan suatu garis lurus melainkan suatu bentuk fungsi yang banyak dijumpai dalam praktik rekayasa.

Soal-Soal 1. Tentukan persamaan garis-garis yang membentuk sisi segi-lima yang tergambar di bawah ini.

y 5 4 3

y1

y2

2 1

x

0 -5

-4

-3

y5

-2

-1

-1 -2 -3

0

1

2

3

4

5

y3 y4

-4 -5

2.

Carilah koordinat titik-titik potong dari garis-garis tersebut pada soal nomer-1 di atas.

3.

Carilah persamaan garis yang a) melalui titik asal (0,0) dan sejajar garis y2; b) melalui titik asal (0,0) dan sejajar dengan garis y3.

4.

Carilah persamaan garis yang melalui a) titik potong y1 − y2 dan titik potong y3 – y4 ; b) titik potong y3 − y4 dan titik potong y1 – y5 ; c) titik potong y1 − y2 dan titik potong y4 – y5.

5.

Carilah persamaan garis yang a) melalui titik potong y1 – y5 dan sejajar dengan garis y2 ; b) melalui titik potong y4 – y5 dan sejajar dengan garis y1.


Bab 3 Gabungan Fungsi Linier Fungsi-fungsi linier banyak digunakan untuk membuat model dari perubahan-perubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin merupakan fungsi waktu, temperatur, tekanan atau yang lain. Artinya waktu, temperatur, tekanan dan lainnya itu menjadi peubah bebas, x, sedangkan besaran fisis yang tergantung padanya merupakan peubah tak bebas, y. Pada umumnya perubahan besaran fisis terjadi secara tidak linier. Jika dalam batas-batas tertentu perubahan tersebut dapat dianggap linier, besaran fisis tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan fungsifungsi linier dan model ini kita sebut model linier dari besaran fisis tersebut. Fungsi-fungsi berikut ini biasa dijumpai dalam analisis rangkaian listrik.

3.1. Fungsi Anak Tangga Fungsi tetapan membentang pada nilai x dari −∞ sampai +∞. Jika kita menginginkan fungsi bernilai konstan yang muncul pada x = 0 dan membentang hanya pada arah x positif, kita memerlukan fungsi lain yang disebut fungsi anak tangga satuan yang didefinisikan bernilai nol untuk x < 0, dan bernilai satu untuk x ≥ 0 dan dituliskan sebagai u (x) . Jadi

u ( x) = 1 untuk x ≥ 0 = 0 untuk x < 0

(3.1)

Jika suatu fungsi tetapan y = k dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan, akan kita peroleh suatu fungsi lain yang kita sebut fungsi anak tangga (disebut juga undak), yaitu (3.2) y = ku (x) Fungsi anak tangga (3.2) bernilai nol untuk x < 0, dan bernilai k untuk x ≥ 0. Gb.3.1. memperlihatkan kurva dua fungsi anak tangga. Fungsi y = 3,5u ( x) dan fungsi y = −2,5u ( x) yang bernilai nol untuk x < 0 dan bernilai 3,5 dan −2,5 untuk x ≥ 0.

27

y 5 y = 3,5 u(x)

0 -5

x

0

5

y = −2,5 u(x) -4

Gb.3.1. Fungsi anak tangga. Fungsi anak tangga seperti (3.2) dikatakan mulai muncul pada x = 0 dan k disebut amplitudo. Kita lihat sekarang fungsi anak tangga yang baru muncul pada x = a. Ini tidak lain adalah fungsi anak tangga tergeser. Fungsi demikian ini dinyatakan dengan mengganti peubah x dengan ( x − a) . Dengan demikian maka fungsi anak tangga y = ku ( x − a )

(3.3)

merupakan fungsi yang mulai muncul pada x = a dan disebut fungsi anak tangga tergeser dengan pergeseran sebesar a. Jika a positif fungsi ini bergeser ke arah positif sumbu-x dan jika negatif bergeser ke arah negatif sumbu-x. Gb.3.2. memperlihatkan kurva fungsi seperti ini. y 5 y = 3,5 u(x−1)

0 -5

0

1

x 5

-4

Gb.3.2. Kurva fungsi anak tangga tergeser. Perhatikanlah bahwa fungsi anak tangga memiliki nilai yang terdefinisi di x = 0. Oleh karena itu fungsi ini kontinyu di x = 0, berbeda dengan fungsi y = 1/x yang tidak terdefinisi di x = 0 (telah disinggung di Bab-1).


3.2. Fungsi Ramp Telah kita lihat bahwa fungsi y = ax berupa garis lurus dengan kemiringan a, melalui titik [0,0], membentang dari x = -∞ sampai x = +∞. Fungsi ramp terbentuk jika persamaan garis tersebut bernilai nol untuk x < 0, yang dapat diperoleh dengan mengalikan ax dengan fungsi anak tangga satuan u(x) (yang telah didefisisikan lebih dulu bernilai nol untuk x < 0). Jadi persamaan fungsi ramp adalah y = axu (x)

(3.4)

Jika kemiringan a = 1, fungsi tersebut menjadi fungsi ramp satuan.

Fungsi ramp tergeser adalah y = a ( x − g )u ( x − g )

(3.5)

dengan g adalah pergeserannya. Perhatikanlah bahwa pada (3.5) bagian y1 = a( x − g ) adalah fungsi linier tergeser sedangkan

y2 = u ( x − g ) adalah fungsi anak tangga satuan yang tergeser. Gb.3.3. memperlihatkan kurva fungsi ramp satuan y1 = xu ( x) , fungsi ramp

y2 = 2 xu ( x) , dan fungsi ramp tergeser y3 = 1,5( x − 2)u ( x − 2) . y

6

y2 = 2xu(x)

5

y1 = xu(x)

4 3

y3 = 1,5(x-2)u(x-2)

2 1 0 -1

0

1

2

3

x

4

Gb.3.3. Ramp satuan y1 = xu(x), ramp y2 = 2xu(x), ramp tergeser y3 = 1,5(x-2)u(x-2).

3.3. Pulsa Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x1 tertentu dan menghilang pada x2>x1. Bentuk pulsa ini dapat dinyatakan dengan gabungan dua fungsi anak tangga, yang memiliki amplitudo sama tetapi

29

berlawanan amplitudo dan berbeda pergeserannya. Persamaan umumnya adalah

y = au ( x − x1 ) − au ( x − x2 )

(3.6)

x1 menunjukkan pergeseran fungsi anak tangga yang pertama dan x2 adalah pergeseran fungsi anak tangga yang ke-dua, dengan x2 > x1. Penjumlahan kedua fungsi anak tangga inilah yang memberikan bentuk pulsa, yang muncul pada x = x1 dan menghilang pada x = x2. Selisih ( x 2 − x1 ) disebut lebar pulsa

lebar pulsa = x2 − x1

(3.7)

Gb.3.4. memperlihatkan pulsa dengan amplitudo 2, yang muncul pada x = 1 dan menghilang pada x = 2, yang persamaannya adalah

y = 2u ( x − 1) − 2u ( x − 2) = 2{u ( x − 1) − u ( x − 2)} lebar pulsa y1=2u(x-1)

2

y1+y2= 2u(x-1)-2u(x-2)

1 0 -1

0

1

2

3 x

4

-1 -2

y2=-2u(x-2)

Gb.3.4. Fungsi pulsa 2u(x-1)-2u(x-2) Apa yanga berada dalam tanda kurung pada persamaan terakhir ini, yaitu y′ = {u ( x − 1) − u ( x − 2)} , adalah pulsa beramplitudo 1 yang muncul pada x = 1 dan berakhir pada x = 2. Secara umum pulsa beramplitudo A yang muncul pada x = x1 dan berakhir pada x = x2 adalah y′ = A{u ( x − x1 ) − u ( x − x2 )} ; lebar pulsa ini adalah (x2 – x1).

Contoh lain: Pulsa yang muncul pada x = 0, dengan lebar pulsa 3 dan amplitudo 4, memiliki persamaan y = 4{u ( x) − u ( x − 3)} .


Fungsi pulsa memiliki nilai hanya dalam selang tertentu yaitu sebesar lebar pulsanya, ( x2 − x1) , dan di luar selang ini nilanya nol. Oleh karena itu fungsi apapun yang dikalikan dengan fungsi pulsa, akan memiliki nilai hanya dalam selang di mana fungsi pulsanya juga memiliki nilai. Dalam praktek, fungsi pulsa terjadi berulang secara periodik. Gb.3.5. memperlihatkan deretan pulsa perioda y

x Gb.3.5. Deretan Pulsa. Peubah x biasanya adalah waktu. Selang waktu di mana pulsa muncul biasa diberi simbol ton sedangkan selang waktu di mana ia menghilang diberi simbol toff. Satu perioda T = ton + toff. Nilai rata-rata deretan pulsa adalah t yrr pulsa = on y maks (3.8) T dengan ymaks adalah amplitudo pulsa.

3.4. Perkalian Ramp dan Pulsa. Persamaan umumnya adalah

y = mxu ( x) × A{u ( x − x1) − u ( x − x2 )}

(3.9)

dengan m dan A berturut-turut adalah kemiringan kurva ramp dan amplitudo pulsa. Persamaan (3.9) dapat kita tulis

y = mAx{u ( x − x1 ) − u ( x − x2 )} Perhatikan bahwa u ( x) = 1 karena ia adalah fungsi anak tangga satuan. Gb.3.6. memperlihatkan perkalian fungsi ramp y1 = 2 xu ( x) dengan

fungsi pulsa y2 = 1,5{u ( x − 1) − u ( x − 3)} yang hanya memiliki nilai antara x = 1 dan x = 3. Perhatikan bahwa hasil kalinya hanya memiliki

31

nilai antara x = 1 dan x = 3, dengan kemiringan yang merupakan hasil kali antara amplitudo pulsa dengan kemiringan ramp.

y3 = y1 y 2 = 2 xu ( x ) × 1,5{u ( x − 1) − u ( x − 3)} = 3 x{u ( x − 1) − u ( x − 3)} 10 8

y3 = y1 y2

y1=2xu(x)

6 y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)}

4 2 0 0

-1

1

2

3

4

x 5

Gb.3.6. Perkalian fungsi ramp y1 dan pulsa y2. Perkalian fungsi ramp y1 = mxu ( x) dengan pulsa y2 = 1{u ( x) − u ( x − b)} membentuk fungsi gigi gergaji y = (m × 1) x{u ( x) − u ( x − b)} yang muncul pada t = 0 dengan kemiringan m dan lebar b. (Gb.3.7). y 10 y 8

y1=mxu(x) y3 = y1 y2 =mx{u(x)-u(x-b)}

6 4

y2={u(x)-u(x-b)}

2 0 -1

0

1

2

b

3

4 xx

5

Gb.3.7. Kurva gigi gergaji Seperti halnya pada pulsa, fungsi gigi gergaji biasanya terjadi secara periodik, dengan perioda T, seperti terlihat pada Gb.3.8. Nilai rata-rata fungsi gigi gergaji adalah

y yrr gigi - gergaji = maks 2

(3.10)


dengan ymaks adalah nilai puncak gigi gergaji. y 6 4 2 0 0

1

2

3

4 x 5

Gb.3.8. Gigi gergaji terjadi secara periodik.

3.5. Gabungan Fungsi Ramp Penjumlahan fungsi ramp akan berbentuk

y = axu( x) + b( x − x1 )u ( x − x1 )

(3.11)

+ c( x − x2 )u ( x − x2 ) + .......

Kita ambil contoh penjumlahan dua fungsi ramp, y1 = 2 xu ( x) dan

y2 = −2( x − 2)u ( x − 2) seperti terlihat pada Gb.3.9. Gabungan dua fungsi ramp ini akan memiliki nilai konstan mulai dari x = 2, karena mulai dari titik itu jumlah kedua fungsi adalah nol sehingga fungsi gabungan akan bernilai sama dengan nilai fungsi yang pertama pada saat mencapai x = 2. y

y 12 10

y1=2xu(x)

8 6 4 2 0 -2 0 -4 -6 -8

y3= 2xu(x)−2(x−2)u(x−2) 1

2

3

4 x

5

y2= −2(x−2)u(x−2)

Gb.3.9. Gabungan ramp y1 dan ramp tergeser y2. Gb.3.10. memperlihatkan kurva gabungan dua fungsi ramp, y1 = 2 xu ( x) dan y = −4( x − 2)u ( x − 2) . Di sini, fungsi kedua memiliki kemiringan 33

negatif dua kali lipat dari kemiringan positif fungsi yang pertama. Oleh karena itu fungsi gabungan y3 = y1 + y2 akan menurun mulai dari x = 2.

y

15 10

y1=2xu(x)

5

y3= 2xu(x)−4(x−2)u(x−2)

0 0

1

2

3

4

5

x

-5

y2= −4(x−2)u(x−2)

-10

Gb.3.10. Gabungan ramp y1 dan ramp tergeser y2. Apabila fungsi gabungan ini kita kalikan dengan fungsi pulsa y pulsa = u ( x − 1) − u ( x − 3) akan kita peroleh bentuk kurva seperti terlihat pada Gb.3.11. y

15

y3= {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)}

10

y1=2xu(x)

5 0 0

1

2

5

3

4

-5

x

-10

y2= −4(x-2)u(x-2)

5

Gb.3.11. Kurva {2xu(x)−4xu(x−2)}{u(x-1)-u(x-3)} Gabungan fungsi ramp dapat digunakan untuk menyatakan bentuk gelombang segitiga seperti terlihat pada Gb.3.12.

x Gb.3.12. Gelombang segitiga. 34 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai dalam bentuk gelombang sinyal di rangkaian listrik, terutama elektronika. Rangkaian elektronika yang membangkitkan gelombang gigi gergaji misalnya, kita jumpai dalam osciloscope.

3.6. Domain, Kekontinyuan, Simetri Fungsi anak tangga satuan yang tergeser y = u ( x − a) hanya mempunyai nilai untuk x ≥ a. Oleh karena itu semua bentuk fungsi yang dikalikan dengan fungsi anak tangga ini juga hanya memiliki nilai pada rentang x ≥ a. Dalam rentang ini pula fungsi anak tangga kontinyu. Fungsi anak tangga tidak memiliki sumbu simetri. Hanya fungsi yang memiliki sumbu-x sebagai sumbu simetri yang akan tetap simetris terhadap sumbu-x apabila dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan yang tergeser.

35

Soal-Soal Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai pada bentuk gelombang sinyal dalam rangkaian listrik. 1.

Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk kurva fungsi anak tangga berikut ini : a) y1: ymaks = 5, muncul pada x = 0. b) y2: ymaks = 10 , muncul pada x = 1. c) y3: ymaks = −5 , muncul pada x = 2.

2.

Dari fungsi-fungsi di soal nomer 3, gambarkanlah kurva fungsi berikut ini.

a). y 4 = y1 + y 2 ;

b). y5 = y1 + y3 ;

c). y 6 = y1 + y 2 + y3

3.

Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk pulsa berikut ini : a). Amplitudo 5, lebar pulsa 1, muncul pada x = 0. b). Amplitudo 10, lebar pulsa 2, muncul pada x=1. c). Amplitudo −5, lebar pulsa 3, muncul pada x=2.

4.

Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik yang berupa deretan pulsa dengan amplitudo 10, lebar pulsa 20, perioda 50.

5.

Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik gigi gergaji dengan amplitudo 10 dan perioda 0,5.

6.

Tentukan persamaan siklus pertama dari kurva periodik yang digambarkan di samping ini.

perioda y 5 0 −3

7.

Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk kurva periodik yang digambarkan di samping ini.

1 2

3 4 5

6

x

perioda y

5 0

1 2 3 4 5 6

−5


x

Referensi 1.

2.

3. 4. 5.

Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut Teknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisan dalam buku ini. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison Wesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika di ITB, tahun 1963 - 1964. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB, ISBN 979-9299-54-3, 2002. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010.

37

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Recommend Documents