Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Sudaryatno Sudirham

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

1

Darpublic

Hak cipta pada penulis, 2010

SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaryatmo Sudirham Darpublic, Bandung fdg-1110 edisi Juli 2011

http://www.ee-cafe.org Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135. Fax: (62) (22) 2534117

2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

BAB 6 Fungsi Trigonometri 6.1. Peubah Bebas Bersatuan Derajat Berikut ini adalah fungsi-fungsi trigonometri dengan sudut θ sebagai peubah-bebas.

y1 = sin θ;

y2 = cos θ

sin θ ; cos θ 1 y5 = sec θ = ; cos θ

cos θ sin θ 1 y6 = csc θ = . sin θ

y3 = tan θ =

y 4 = cot θ =

(6.1)

Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaransatuan, yaitu lingkaran berjari-jari satu. Bentuk lingkaran ini diperlihatkan pada Gb.6.1. Kita menggunakan referensi arah positif berlawanan dengan arah jarum jam; artinya sudut θ makin besar jika jarijari r berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. y 1 P r

-1

O [0,0]

θ -θ

Q

1

x

P’ -1 Gb.6.1. Lingkaran berjari-jari 1.

3

Fungsi sinus. Dengan membuat jari-jari r = OP = 1, maka

PQ = PQ (6.2) r PQ = 0 pada waktu θ = 0o, dan membesar jika θ membesar sampai mencapai maksimum PQ = 1 pada waktu θ = 90o. Kemudian PQ menurun lagi dan mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 180o. Sesudah itu PQ menjadi negatif (arah ke bawah) dan mencapai minimum PQ = −1 pada waktu θ = 270o, kemudian meningkat lagi mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 360o. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya terjadi pada waktu θ = 720o. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusnya. Kejadian satu siklus kita sebut satu perioda. Secara singkat kita memperoleh sin θ =

sin 0o = 0; sin 90o = 1; sin 180o = 0; sin 270o = −1; sin 360o = 0 Fungsi Cosinus. Karena telah ditetapkan r = 1, maka

cos θ =

OQ = OQ r

(6.3)

OQ = 1 pada waktu θ = 0, dan mengecil jika θ membesar sampai mencapai minimum OQ = 0 pada waktu θ = π/2. Kemudian OQ meningkat lagi tetapi negatif dan mencapai OQ = −1 pada waktu θ = π. Sesudah itu OQ mengecil dan tetap negatif dan mencapai minimum OQ = 0 pada waktu θ = 1,5π, kemudian meningkat lagi mencapai OQ = 1 pada waktu θ = 2π. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya terjadi pada waktu θ = 4π. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusnya. Secara singkat

cos 0o = 1; cos 90o = 0; cos180o = −1; cos 270o = 0; cos 360o = 1 Pada Gb.6.1, jika sin(θ) = PQ dan cos(θ) = OQ, sedangkan dalil Pitagoras memberikan PQ2 + OQ2 = OP2 =1, maka

sin 2 (θ) + cos 2 (θ) = 1

(6.4.a)

Dari Gb.6.1. dapat kita peroleh juga 4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

sin(−θ) =

P′Q −PQ = = − sin θ r r

(6.4.b)

OQ = cos θ r

(6.4.c)

cos(−θ) =

Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP’Q sisi tegak selalu lebih kecil dari sisi miring. Oleh karena itulah sinθ maupun cosθ akan bernilai antara −1 dan +1. Fungsi Tangent.

tan θ = tan(−θ) =

PQ OQ

P′Q −PQ = = − tan θ OQ OQ

(6.4.d)

(6.4.e)

Nilai tanθ akan menjadi 0 jika θ = 0o, dan akan menuju +∞ jika θ menuju 90o karena pada waktu itu PQ juga ∞ dan tan(−θ) akan menuju −∞ pada waktu θ menuju −90o. Jadi tanθ bernilai antara −∞ sampai +∞. Nilai tanθ = 1 bila θ = 45o karena pada waktu itu PQ = OQ; tan(−θ) = −1 jika θ = −45o. Lihat pula kurva pada Gb.6.5. Fungsi Cotangent.

cot θ = cot(−θ) =

OQ PQ

OQ OQ = = − cot θ ′ P Q − PQ

(6.4.f)

(6.4.g)

Nilai cotθ akan menuju +∞ jika θ menuju 0o karena PQ akan menuju 0 walau OQ menuju 0; cotθ = 0 jika θ = 90o karena OQ = 0. Sebaliknya cotθ akan menuju −∞ jika θ menuju −0 karena P’Q akan menuju −0; cotθ = 0 jika θ = −90o karena P’Q menuju −∞. Lihat pula kurva Gb.6.6.

5

Fungsi Secan dan Cosecan

sec θ =

1 r = cos θ OQ

(6.4.h)

csc θ =

1 r = sin θ PQ

(6.4.i)

Nilai secθ menuju ∞ jika θ menuju 90o karena OQ menuju 0 dan secθ = 1 pada waktu θ = 0o karena pada waktu itu OQ = r atau cosθ = 1. Sementara itu cscθ akan menuju ∞ jika θ menuju 0 karena sinθ menuju 0. Lihat pula Gb.6.7. Relasi-Relasi. Relasi-relasi yang lain dapat kita turunkan dengan mengunakan Gb.6.2., yaitu y

sinα cosβ sinα

1

sinα sinβ

cosα

β α

-1

cosα sinβ

β

1

[0,0]

x

cosα cosβ

-1 Gb.6.2. Relasi-relasi

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

(6.5)

Karena sin(−β) = − sin β dan cos(−β) = cos β maka kita peroleh pula

sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β

(6.6)


6.2. Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y Bilangan-nyata dengan desimal yang tidak terbatas, π, digunakan untuk menyatakan besar sudut dengan r s satuan radian. Jumlah radian dalam sudut θ θ didefinisikan dengan persamaan s θ= , s = rθ (6.7) r o Jika θ = 360 maka s menjadi penuh satu keliling lingkaran, atau s = 2πr . Jadi jumlah radian dalam sudut 360o adalah 2π. Dengan demikian maka ukuran sudut

θ1 = 180o adalah π rad. θ2 = 90o adalah 0,5π rad. θ3 = 1o adalah (π / 180) rad. dst. Fungsi Sinus. Dengan menggunakan satuan radian, fungsi trigonometri akan kita gambarkan pada sistem koordinat x-y, yang kita ketahui bahwa sumbu-x adalah sumbu bilangan-nyata, termasuk π. Bentuk kurva fungsi sinus

y = sin(x)

(6.8)

terlihat pada Gb.6.3. yang dibuat untuk nilai x dari −2π sampai +2π. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = π/2 atau θ = 90o, mencapai nilai nol pada x = π atau θ = 180o, mencapai minimum −1 (arah negatif) pada x = 1,5π atau θ = 270o, kembali nol pada x = 2π atau θ = 360o; inilah satu perioda.

y

1,5 1 0,5

−2π

−π

0 -0,5

0

π

2π x

-1 -1,5

Gb.6.3. Kurva fungsi sinus dalam dua perioda. 7

Fungsi Cosinus. Kurva fungsi cosinus y = cos(x)

(6.9)

terlihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = 0 atau θ = 0o, mencapai nilai nol pada x = π/2 atau θ = 90o, mencapai minimum −1 (arah negatif) pada x = π atau θ = 180o, kembali nol pada x = 1,5π atau θ = 270o, dan ke nilai maksimum +1 lagi setelah satu perioda, 2π. 1,5

y

1

perioda

0,5

−π

0 -0,5

0

π

2π

x

-1 -1,5

Gb.6.4. Kurva fungsi cosinus. Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik dengan perioda sama sebesar 2π, dengan nilai maksimum dan minimum yang sama yaitu +1 dan −1. Perbedaan antara keduanya terlihat, yaitu

sin( x) = − sin(− x)

sedangkan

cos( x) = cos(− x)

(6.10)

Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [0,0], dan disebut memiliki simetri ganjil. Fungsi cosinus simetris terhadap sumbu-y dan disebut memiliki simetri genap. Dengan memperbandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsi sinus dapat dipandang sebagai fungsi cosinus yang tergeser sejajar sumbu-x sebesar π/2. Oleh karena itu fungsi sinus dapat kita nyatakan dalam cosinus

y = sin( x) = cos( x − π / 2)

(6.11)

Fungsi Tangent. Selanjutnya kita lihat fungsi

y = tan( x) =

sin( x) cos( x)

(6.12)


Karena cos(x) = 0 pada x = +π/2 dan −π/2, maka tan(x) bernilai tak hingga pada x = +π/2 dan −π/2.

y

3 2 1

-1,5π -π

0 -0,5π 0 -1

0,5π π

1,5π

-2 -3

Gb.6.5. Kurva y = tan(x)

Fungsi Cotangent. Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi tangent.

y = cot( x) =

cos( x) 1 = sin( x) tan( x )

(6.13)

Karena sin(x) = 0 pada x = 0, maka cot(x) bernilai tak hingga pada x = 0. Lihat Gb.6.6. 3 2 1 -1,5π -π

0 -0,5π 0 -1

0,5π π

1,5π

-2 -3

Gb.6.6. Kurva y = cot (x)

9

Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi cosinus.

y = sec( x) =

1 cos( x)

(6.14.a)

Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.a. Perhatikan bahwa sec(x) bernilai 1 pada x = 0 karena pada nilai x itu cos(x) juga bernilai 1.

Fungsi Cosecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus.

y = csc( x) =

1 sin( x)

(6.14.b)

Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.b. csc(x) bernilai ∞ pada x = 0 kara pada nilai x ini sin(x) bernilai 0. 3 2 1

-1,5π -π

0 -0,5π 0 -1

0,5π

π

1,5π

0,5π

π

1,5π

-2 -3

(a) y = sec(x) 3 2 1

-1,5π -π

0 -0,5π 0 -1 -2

(b) y = csc(x)

-3

Gb.6.7. Kurva y = sec(x) dan y = csc(x) 10 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Soal-Soal: Skets kurva fungsi-fungsi berikut:

y = 2 sin x ;

y = 3 sin 2 x ;

y = 3 cos(2 x + π / 4) ;

y = 2 cos 3x ;

y = 2 tan( x / 3)

6.3. Fungsi Trigonometri Inversi Sinus Inversi. Jika fungsi sinus kita tuliskan sinus inversi dituliskan sebagai

y = arcsin x atau

y = sin(x ) , maka fungsi

y = sin −1 x

(6.15)

Perhatikan bahwa sin−1x bukan berarti 1/sinx, melainkan inversi sinus x yang bisa kita baca sebagai: y adalah sudut yang sinusnya sama dengan x. Karena fungsi sinus adalah periodik dari −∞ sampai +∞ maka fungsi

y = sin −1 x tidaklah bernilai tunggal. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.8.a. Ia akan terlihat bernilai tunggal jika kita membatasi nilai y; kita hanya meninjau fungsi sinus inversi pada − π ≤ y ≤ π . Dengan pembatasan ini 2 2 maka kita hanya terlibat dengan nilai-nilai utama dari sin−1x. Jadi nilai utama y = sin −1 x terletak pada − π ≤ sin −1 x ≤ π . Kurva fungsi 2 2 y = sin −1 x yang dibatasi ini terlihat pada Gb.6.8.b. Perhatikanlah bahwa pada x = 0, y = sin−1x = 0 karena pada y = 0 sin(y) = 0 = x. Pada x = 1, y = sin−1x = π/2 karena sin(y) = sin(π/2) = 1 = x.

Contoh:

y = sin −1(1) = 0,5π ; y = sin −1 (−1) = −0,5π y = sin −1 (0,5) =

π ; 6

y = sin −1 (−0,5) = −

π 6 11

y 2π

π 0,5π -1

0

0

1

y

x

0,25π 0

−π

-1

-0,5

0

0,5

x

1

-0,25π

−2π -0,5π

a)

Gb.6.8. Kurva y = sin−1x

b)

Jika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.3. (fungsi sinus) terlihat bahwa jika sumbu-y pada Gb.6.8. kita gambarkan horizontal sedangkan sumbu-x kita gambarkan vertikal, maka kita akan memperoleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.3. pada rentang π π − ≤ y ≤ , yaitu rentang di mana kita membatasi nilai y pada fungsi 2 2 sinus inversi, atau rentang nilai utama fungsi sinus inversi.

Cosinus Inversi. Fungsi cosinus inversi kita peroleh melalui hubungan

y = cos −1 x =

π − sin −1 x 2

(6.16)

Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β = π / 2 − α dan sin α = cos β . Oleh karena itu jika sin α = x maka cos β = x sehingga

cos −1 x = β = π / 2 − α = π / 2 − sin −1 x 12 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Karena dengan pembatasan − π ≤ y ≤ π pada fungsi sinus inversi 2 2 π π − 1 memberikan − ≤ sin x ≤ maka nilai-nilai utama dari cos −1 x akan 2 2 − 1 terletak pada 0 ≤ cos x ≤ π . Gb.6.9.b. memperlihatkan kurva fungsi cosinus inversi pada nilai utama. Perhatikan bahwa jika sumbu-x digambar vertikal sedang sumbu-y digambar horizontal, kita dapatkan fungsi cosinus seperti pada Gb.6.4. dalam rentang 0 ≤ x ≤ π . y

π

y -1

0

0

1

1π

0,75π

x

0,5π 0,25π

−π

0 -1

-0,5

0

a)

0,5

x

1

b) Gb.6.9. Kurva y = cos

−1

x

Tangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalah

y = tan −1 x dengan nilai utama −

(6.17)

π π < tan −1 x < 2 2

Untuk fungsi ini, nilai y = ±(π / 2) tidak kita masukkan pada pembatasan untuk y karena nilai tangent akan menjadi tak hingga pada nilai y tersebut. Gb.6.10.a. memperlihatkan kurva y = tan −1 x lengkap sedangkan Gb.6.10.b. dibatasi pada nilai − 0,5π < y < 0.5π . 13

1,5π

y

π

0,5π

0,5π

y 0,25π

-3

-2

-1

0

-0,5π

0

1

2

3

x 0 -10

0

-5

-π

-0,25π

-1,5π

-0,5π

a) Gb.6.10. Kurva

y = tan

b) −1

5

x 10

x

Jika kita mempertukarkan posisi sumbu-x dan sumbu-y pada Gb.6.10.b ini, kita akan memperoleh kurva pada Gb.6.5. yaitu kurva fungsi tangent, dalam rentang π π − < tan −1 x < 2 2 Inilah batas nilai-nilai utama fungsi tangent inversi.

Cotangent inversi. Fungsi ini diperoleh melalui hubungan π y = cot −1 x = − tan −1 x 2 dengan nilai utama 0 < cot −1 x < π

(6.18)

0 dan π tidak masuk dalam pembatasan y karena pada nilai tersebut y menjadi tak hingga. Hubungan (6.18) diperoleh dari segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β = π / 2 − α dan tan α = cot β . Oleh karena itu jika tan α = x maka cot β = x sehingga

cot −1 x = β = π / 2 − α = π / 2 − tan −1 x Kurva fungsi cotangent inversi terlihat pada Gb.6.11.


1π

y

0,5π

0 -10

0

-5

5

Gb.6.11. Kurva y = cot

x −1

10

x

Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y Gb.6.11. ini akan memberikan bentuk kurva fungsi cotangent pada Gb.6.6.

Fungsi Secan Inversi. Selanjutnya kita memperoleh fungsi secan inversi

y = sec−1 x = cos −1

1 x

(6.19)

dengan nilai utama 0 ≤ sec−1 x ≤ π . π

0,75π 0,5π 0,25 0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

Gb.6.12. Kurva y = sec

3 −1

4

x

Fungsi Cosecan Inversi.

1 x π dengan nilai utama − ≤ csc−1 x ≤ π 2 2 csc −1 x = sin −1

(6.20)

15

Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y pada gambar kurva kedua fungsi terakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi non-konversinya. 0,5π y 0,25π

0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3 x 4

-0,25π

-0,5π

Gb.6.12. Kurva y = csc−1 x

Hubungan Fungsi-Fungsi Inversi. Hubungan antara fungsi inversi dengan fungsi-fungsi non-inversi dapat kita cari dengan menggunakan gambar segitiga siku-siku. 1). Dari fungsi y = sin −1 x , yaitu sudut y yang sinus-nya adalah x dapat kita gambarkan segitiga siku-siku dengan sisi miring sama dengan 1 seperti terlihat di bawah ini. 1

x

y

1 − x2 Dari gambar ini selain fungsi y = sin −1 x dan sin y = x , kita dapat peroleh x cos y = 1 − x 2 , tan y = , dst. 1 − x2 2). Dari fungsi cosinus inversi y = cos −1 x dapat kita gambarkan segitiga siku-siku seperti di bawah ini. 16 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

1

1 − x2

y x Selain cos y = x dari gambar ini kita dapatkan

sin y = 1 − x 2 ,

tan y =

1 − x2 , x

dst.

3). Dari fungsi y = tan −1 x , kita gambarkan segitiga seperti di bawah ini.

1+ x2 x y 1 Selain tan y = x , kita peroleh

sin y =

x

1 + x2

cos y =

,

1 1 + x2

,

dst

4). Dari fungsi y = sec −1 x kita gambarkan

x

x2 −1

y 1 Dari gambar ini kita peroleh

tan y = 1 − x 2 , sin y =

x2 − 1 , dst. x 17

Soal-Soal: 1) Dari fungsi y = cot −1 x tentukan sin y dan cos y 2) Dari fungsi y = csc −1 x tentukan tan y dan cos y


BAB 7 Gabungan Fungsi Sinus 7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb. Peristiwa-peristiwa itu merupakan fungsi waktu, sehingga kita akan melihatnya dengan menggunakan waktu sebagai peubah bebas, dengan simbol t, satuan detik. Dalam peristiwa sinusoidal, jumlah siklus yang terjadi setiap detik disebut frekuensi siklus, dengan simbol f , dengan satuan Hertz (1 Hz = 1 siklus per detik). Jadi jika fungsi sinus memiliki perioda T0 maka 1 f0 = (7.1) T0 Sebagaimana dikemukakan di bab sebelumnya, kita menggunakan jumlah radian untuk menyatakan sudut. Karena satu siklus perubahan sudut bersesuaian dengan perubahan sebesar 2π radian, maka f siklus per detik bersesuaian dengan 2πf radian per detik. Jadi di samping frekuensi siklus f kita memiliki frekuensi sudut dengan simbol ω, dengan satuan radian per detik. Relasi antara frekuensi siklus (f) dengan frekuensi sudut (ω), dan juga dengan perioda (T0), adalah 2π ω = 2πf 0 = (7.2) T0 Suatu fungsi cosinus yang memiliki amplitudo (nilai puncak) A dituliskan sebagai  2πt   y = A cos ωt = A cos (7.3)   T0 

Catatan: Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita, ada sedikit catatan yang perlu dicermati. Di bab sebelum ini kita menyatakan fungsi sinus y = sin(x) atau fungsi cosinus y = cos(x) dengan x sebagai peubah bebas dengan satuan radian. Pada (7.3) kita menyatakan fungsi cosinus y = cos ωt dengan t sebagai peubah bebas dengan satuan detik. Faktor ω-lah yang membuat satuan detik menjadi radian; ω disebut frekuensi susut, satuan rad/detik. 19

Gb.7.1. memperlihatkan kurva fungsi cosinus. Jika fungsi cosinus ini kita geser ke arah positif sebesar ¼ perioda kita akan mendapatkan fungsi sinus. Gb.7.2.

 2πt  π   y = A cos ωt −  = A sin ωt = A sin  2   T0 

(7.4)

y A

0

T0

t

0

-A

 2πt   Gb.7.1. Fungsi cosinus y = A cos ωt = A cos   T0  y A

T0

0 0

t

-A

 2πt  π  = A cos ωt −  Gb.7.2. Fungsi sinus y = A sin ωt = A sin  2   T0  Pergeseran fungsi cosinus sebesar Ts diperlihatkan pada Gb.7.3. Persamaan kurva cosinus tergeser ini adalah

 2πt 2πTs   − y = A cos ω(t − Ts ) = A cos T0   T0


y A

T0

0 0

Ts

t

-A

Gb.7.3. Fungsi cosinus tergeser Kita perhatikan bahwa puncak pertama fungsi cosinus menunjukkan pergeseran. Pada Gb.7.1. pergeseran adalah nol. Pada Gb.7.3. pergeseran adalah Ts . Pada Gb.7.2. pergeseran adalah π/2 yang kemudian menjadi kurva fungsi sinus. Jadi akan sangat mudah menuliskan persamaan suatu fungsi sinusoidal sembarang, yaitu dengan menuliskannya dalam bentuk cosinus, dengan memasukkan pergeseran yang terjadi yaitu yang ditunjukkan oleh posisi puncak yang pertama. Untuk selanjutnya, peristiwa-peristiwa yang berubah secara sinusoidal kita nyatakan dengan menggunakan fungsi cosinus, yang dianggap sebagai bentuk normal Perhatikanlah bahwa Ts adalah pergeseran waktu dalam detik, sehingga fungsi sinusoidal dengan pergeseran Ts kita tuliskan (Gb.7.3)

y = A cos ω(t − Ts ) yang dapat pula kita tuliskan

y = A cos(ωt − ωTs ) Pada penulisan terakhir ini, ωTs mempunyai satuan radian, sama dengan satuan ωt. Selanjutnya 2πTs ϕ = ωTs = (7.5) T0 disebut sudut fasa dari fungsi cosinus dan menunjukkan posisi puncak pertama dari fungsi cosinus. Fungsi cosinus dengan sudut fasa ϕ kita tuliskan

y = cos(ωt − ϕ)

(7.6) 21

Jika ϕ = π/2 maka kita mempunyai fungsi sinus. Jadi untuk mengubah fungsi sinus ke dalam format normal (menggunakan fungsi cosinus) kita menambahkan pergeseran sebesar π/2 pada fungsi cosinus.

7.2. Kombinasi Fungsi Sinus. Dalam tinjauan selanjutnya, jika disebut fungsi sinus, yang dimaksudkan adalah fungsi sinus yang dinyatakan dalam bentuk normal, yaitu cosinus. Fungsi sinus adalah fungsi periodik. Fungsi-fungsi periodik lain yang bukan sinus, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari fungsi-fungsi sinus. Atau dengan kata lain suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi jumlah dari beberapa komponen sinus, yang memiliki amplitudo, sudut fasa, dan frekuensi yang berlainan satu sama lain. Dalam penguraian itu, fungsi akan terdiri dari komponen-komponen yang berupa komponen searah (nilai rata-rata dari fungsi), komponen sinus dengan frekuensi dasar f0 , dan harmonisa yang memiliki frekuensi harmonisa nf0 . Sebaliknya dapat juga dikatakan bahwa jumlah dari beberapa fungsi sinus yang memiliki amplitudo, frekuensi, serta sudut fasa yang berlainan, akan membentuk fungsi periodik, walaupun bukan berbentuk sinus. Gb.7.4. memperlihatkan beberapa bentuk fungsi periodik; bentuk fungsi-fungsi periodik ini tergantung macam komponen sinus yang menyusunnya. Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakan kelipatan bulat n dari frekuensi dasar f0. Frekuensi f0 kita sebut sebagai frekuensi dasar karena frekuensi inilah yang menentukan perioda T0 = 1/f0 . Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa kedua (2fo), harmonisa ketiga (3f0), dan seterusnya, yang secara umum kita katakan harmonisa ke-n mempunyai frekuensi nf0 .

7.3. Spektrum Dan Lebar Pita. Spektrum. Jika kita menghadapi suatu fungsi periodik, kita bisa mempertanyakan bagaimana komponen-komponen sinusoidalnya. Bagaimana penyebaran amplitudo dan sudut fasa setiap komponen, atau dengan singkat bagaimana spektrum fungsi tersebut. Kita juga mempertanyakan bagaimana sebaran frekuensi dari komponenkomponen tersebut.


y 4

y

4

0 -5

t

15 -4

y = 3 cos 2f0t

0 -5

15 -4

4

y = 1 + 3 cos 2f0t

y

0 -5

t

15

t

-4

y = 1 + 3 cos 2πf 0t − 2 cos(2π(2 f 0 )t )

1 -5

15 -4

y = 1 + 3 cos 2πf 0t − 2 cos(2π(2 f 0 )t + π / 4) Gb.7.4. Beberapa fungsi periodik. Berikut ini kita akan melihat suatu contoh fungsi yang dinyatakan dengan persamaan y = 10 + 30 cos(2πf 0t ) + 15 sin (2π(2 f 0 )t ) − 7,5 cos(2π(4 f 0 )t )

Fungsi ini merupakan jumlah dari satu komponen konstan dan tiga komponen sinus. Komponen konstan sering disebut komponen berfrekuensi nol karena y(t) = A cos(2πft) = A jika f = 0. Komponen sinus yang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen inilah yang mempunyai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Suku ketiga dan keempat adalah harmonisa ke-2 dan ke-4; harmonisa ke-3 tidak ada. Fungsi ini dinyatakan dengan campuran fungsi sinus dan cosinus. Untuk melihat bagaimana spektrum fungsi ini, kita harus menuliskan tiap suku dengan bentuk yang sama yaitu bentuk normal (standar). Telah dikatakan 23

di depan bahwa bentuk normal pernyataan fungsi sinusoidal adalah menggunakan fungsi cosinus, yaitu y = A cos(2πft + ϕ) . Dengan menggunakan kesamaan

sin(2πft ) = cos(2πft − π / 2)

dan − cos(2πft ) = cos(2πft + π)

persamaan fungsi di atas dapat kita tulis y = 10 + 30 cos( 2πf 0t ) + 15 cos( 2π2 f 0t − π / 2) + 7,5 cos( 2π4 f 0t + π)

Dalam pernyataan terakhir ini semua suku telah kita tuliskan dalam bentuk standar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiap komponen seperti dalam tabel berikut. Frekuensi Amplitudo Sudut fasa

0 10 −

f0 30 0

2 f0 15 −π/2

4 f0 7,5 π

Fungsi yang kita ambil sebagai cintoh mungkin merupakan pernyataan suatu sinyal (dalam rangkaian listrik misalnya). Tabel ini menunjukkan apa yang disebut sebagai spektrum dari sinyal yang diwakilinya. Suatu spektrum sinyal menunjukkan bagaimana komposisi baik amplitudo maupun sudut fasa dari semua komponen cosinus sebagai fungsi dari frekuensi. Sinyal yang kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, yaitu : 0, f0 , 2f0 , dan 4f0. Amplitudo dari setiap frekuensi secara berturut-turut adalah 10, 30, 15, dan 7,5 satuan (volt misalnya, jika ia adalah sinyal tegangan). Sudut fasa dari komponen sinus yang berfrekuensi f0 , 2f0 dan 4f0 berturut turut adalah 0, −π/2, dan π radian. Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik yaitu grafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsi frekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrum amplitudo (Gb.7.5.a) dan grafik yang kedua kita sebut spektrum sudut fasa (Gb.7.5.b).


Amplitudo

40 30 20 10 0 0

1

2

3

4

5

Frekuensi [×f0]

Gb.7.5.a. Spektrum Amplitudo

Sudut Fasa

2π π/2

0 0

1

2

3

4

5

−π/2 −2π

Frekuensi [×f0]

Gb.7.5.b. Spektrum sudut fasa. Penguraian fungsi periodik menjadi penjumlahan harmonisa sinus, dapat dilakukan untuk semua bentuk fungsi periodik dengan syarat tertentu. Fungsi persegi misalnya, yang juga periodik, dapat diuraikan menjadi jumlah harmonisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraian fungsi persegi ini adalah sebagai berikut :

A cos(2π3 f 0t − π / 2) 3 A A + cos(2π5 f 0t − π / 2) + cos(2π7 f 0t − π / 2) + .... 5 7

y = A cos(2πf 0t − π / 2) +

Dari persamaan ini, terlihat bahwa semua harmonisa mempunyai sudut fasa sama besar yaitu –π/2; amplitudonya menurun dengan meningkatnya frekuensi dengan faktor 1/n; tidak ada komponen konstan dan tidak ada harmonisa genap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut.

25

Frekuensi:

0

f0

2f0

3f0

4f0

5f0

..

nf0

Amplitudo:

0

A

0

A/3

0

A/5

..

A/n

Sudut Fasa:

-

-π/2

-

-π/2

-

-π/2

..

-π/2

Gb.7.6. berikut ini memperlihatkan bagaimana fungsi persegi dibangun dari harmonisa-harmonisanya.

a)

c)

b)

d)

e)

Gb.7.10. Uraian fungsi persegi. a). sinus dasar. b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3. c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5. d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7. e) hasil penjumlahan yang dilakukan sampai pada harmonisa ke-21.

Lebar Pita. Dari contoh fungsi persegi di atas, terlihat bahwa dengan menambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarnya kita akan makin mendekati bentuk persegi. Penambahan ini dapat kita lakukan terus sampai ke suatu harmonisa tinggi yang memberikan bentuk fungsi yang kita anggap cukup memuaskan artinya cukup dekat dengan bentuk yang kita inginkan. Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggi frekuensi harmonisa akan makin rendah amplitudonya. Hal ini tidak hanya berlaku untuk fungsi persegi saja melainkan berlaku secara umum. Oleh karena itu secara umum kita dapat menetapkan suatu batas 26 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

frekuensi tertinggi dari suatu fungsi periodik, dengan menganggap amplitudo harmonisa-harmonisa yang frekuensinya di atas frekuensi tertinggi ini dapat diabaikan. Batas frekuensi tertinggi tersebut dapat kita tetapkan, misalnya frekuensi harmonisa yang amplitudonya tinggal 2% dari amplitudo sinus dasar. Jika batas frekuensi tertinggi kita tetapkan, batas frekuensi terendah juga perlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar jika bentuk fungsi yang kita tinjau tidak mengandung komponen konstan. Jika mengandung komponen konstan maka frekuensi terendah adalah nol. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (band width).

27

Soal-Soal: Fungsi Sinus, Gabungan Sinus, Spektrum 1.

Tentukan persamaan bentuk kurva fungsi sinus berikut ini dalam format cosinus y = A cos( x − x s ) : a). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0, frekuensi siklus 10 siklus/skala. b). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0,02, frekuensi siklus 10 siklus/skala. c). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa 0o, frekuensi sudut 10 rad/skala. d). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa +30o, frekuensi sudut 10 rad/skala.

2.

Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan sinus berikut ini y = 4 + 5 sin 2π2000t − 2 cos 2π4000t + 0,2 sin 2π8000t

Dengan mengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%, tentukan lebar pita fungsi ini. 3.

Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut. y = 3 cos(2π1000t − 60o ) - 2sin2π2000t + cos2π8000t

4.

Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut. y = 10 cos 100t + 2 cos 300t + cos 500t + 0.2 cos1500t + 0,02 cos 5000t

5.

Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut. y = 10 + 10 cos 2π500t + 3 cos 2π1000t + 2 cos 2π1500t + 0,2 cos 2π2000t


Referensi 1.

2.

3. 4. 5.

Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut Teknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisan dalam buku ini. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison Wesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika di ITB, tahun 1963 - 1964. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB, ISBN 979-9299-54-3, 2002. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010.

29

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Recommend Documents