TKS 4003 Matematika II
Persamaan Diferensial – Linier Homogen Tk. 2 –
(Differential: Linier Homogen Orde 2) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
PD linier homogen orde 2 Bentuk umum PD linier order dua dengan koefisien konstan adalah : 𝒂𝒚" + 𝒃𝒚′ + 𝒄𝒚 = 𝒇(𝒙) (1) dengan a, b, dan c adalah konstanta Jika 𝒇 𝒙 = 𝟎 , maka 𝒂𝒚" + 𝒃𝒚′ + 𝒄𝒚 = 𝟎 , disebut PD linier homogen orde 2, sedang jika 𝒇 𝒙 ≠ 𝟎, maka disebut PD linier non homogen orde 2.
1
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) Solusi PD homogen ditentukan dengan memperkenalkan pengertian kebebasan linier dan Wronskian dari dua fungsi berikut terlebih dahulu. Dua buah fungsi f(x) dan g(x) dikatakan bebas linier pada interval I, bila persamaan kombinasi linier dari dua fungsi tersebut, m f(x) + n g(x) = 0, untuk setiap x I (2) hanya dipenuhi oleh m = n = 0. Jika tidak demikian, maka dikatakan f(x) dan g(x) tidak bebas linier atau bergantung linier.
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) Jika diberikan dua fungsi f(x) dan g(x) yang diferensiabel untuk setiap x , maka Wronskian dari f(x) dan g(x) didefinisikan : 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) 𝐖 𝒇 𝒙 ,𝒈 𝒙 = (3) 𝒇′(𝒙) 𝒈′(𝒙) Sifat dari kebebasan linear dan wronskian dari dua fungsi f(x) dan g(x) diberikan sebagai berikut : “Dua fungsi f(x) dan g(x) dikatakan bebas linear pada I bila dan hanya bila wronkian dari dua fungsi tersebut, W[f(x),g(x)] K 0 untuk setiap x I”.
2
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) Dari PD order satu didapatkan sebuah solusi, sedangkan PD order dua homogen didapatkan dua buah solusi yang bebas linear. Jika y1(x) dan y2(x) merupakan solusi PD homogen dan keduanya bebas linear, maka kombinasi linear dari keduanya merupakan solusi umum PD homogen, yaitu : y = C1 y1(x) + C2 y2(x) (4) Selanjutnya dalam menentukan solusi PD homogen dilakukan hal berikut. Jika y = emx merupakan solusi PD homogen : ay"+ by’ + cy = 0, dengan mensubstitusikan solusi tersebut dan turunannya ke dalam PD didapatkan :
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) 𝒂 𝒆𝒎𝒙 " + 𝒃 𝒆𝒎𝒙 ′ + 𝒄𝒆𝒎𝒙 = 𝟎 𝒆𝒎𝒙 𝒂𝒎𝟐 + 𝒃𝒎 + 𝒄 = 𝟎 (4) mx 2 Dikarenakan e K 0, "x , maka am + bm + c = 0 dan disebut persamaan karakteristik dari PD. Akar persamaan karakteristik dari PD adalah :
𝒎𝟏,𝟐 =
−𝒃± 𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂
=
−𝒃± 𝑫 𝟐𝒂
(5)
3
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) Kemungkinan nilai m1 dan m2 pada Pers. (5), tergantung dari nilai D, yaitu : 1. Jika D > 0, maka m1 K m2 (akar karakteristik riil dan berbeda) 2. Jika D = 0, maka m1 = m2 (akar karakteristik riil dan sama) 3. Jika D < 0, maka m1 , m2 merupakan bilangan imajinier (akar karakteristik kompleks)
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) 1. Akar karakteristik riil dan berbeda (D > 0) Jika persamaan karakteristik dari PD : ay"+ by’ + cy = 0 merupakan bilangan riil dan berbeda (m1 K m2), maka 𝒚𝟏 = 𝒆𝒎𝟏 𝒙 dan 𝒚𝟐 = 𝒆𝒎𝟐 𝒙 merupakan solusi bebas linier dari PD homogen tersebut. Solusi umum PD dapat ditulis seperti berikut : 𝒚 = 𝑪 𝟏 𝒚 𝟏 + 𝑪 𝟐 𝒚 𝟐 = 𝑪 𝟏 𝒆 𝒎 𝟏 𝒙 + 𝑪 𝟐 𝒆𝒎 𝟐 𝒙 (6) Sedangkan solusi khusus PD dapat diperoleh dengan mencari nilai C1 dan C2 dari nilai awal yang diberikan.
4
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) Contoh 1 : Diketahui PD : y” – 5y’ + 6y = 0, tentukan : 1. Solusi umum PD 2. Solusi khusus PD, jika y(0) = 1 dan y’(0) = 0 Jawab : 1. Persamaan karakteristik PD : m2 – 5m + 6 = 0, mempunyai akar m1 = 3 dan m2 = 2. Solusi umum PD : 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝟑𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆𝟐𝒙
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) 2. Substitusi nilai awal kedalam solusi umum PD : 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝟑𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆𝟐𝒙 dan turunan pertamanya : 𝒚′ = 𝟑𝑪𝟏 𝒆𝟑𝒙 + 𝟐𝑪𝟐 𝒆𝟐𝒙 didapatkan C1 = -2 dan C2 = 3. Sehingga solusi khusus PD : 𝒚 = −𝟐𝒆𝟑𝒙 + 𝟑𝒆𝟐𝒙
5
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) 2. Akar karakteristik riil dan sama (D = 0) Jika persamaan karakteristik dari PD : ay"+ by’ + cy = 0 −𝒃 merupakan bilangan riil dan sama 𝒎 = 𝟐𝒂 , maka salah satu solusi (solusi kesatu PD) adalah : −𝒃𝒙
𝒚𝟏 = 𝒆𝒎𝒙 = 𝒆 𝟐𝒂 (7) Untuk menentukan solusi yang lain (solusi kedua PD), didapatkan dengan pemisalan : −𝒃𝒙
𝒚𝟐 = 𝒗 𝒙 𝒚𝟏 = 𝒗(𝒙)𝒆 𝟐𝒂
(8)
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) Fungsi v(x) pada Pers. (8) dapat dicari dengan mensubstitusikan solusi kedua dan turunannya ke dalam PD. Cara ini dikenal dengan nama Metode Urutan Tereduksi. −𝒃𝒙
𝒚𝟐 = 𝒗(𝒙)𝒆 𝟐𝒂 −𝒃𝒙
𝒚𝟐 ′ = 𝒗′ 𝒙 𝒆 𝟐𝒂 − −𝒃𝒙
𝒃 𝒗 𝟐𝒂 𝒃
−𝒃𝒙
𝒙 𝒆 𝟐𝒂 −𝒃𝒙
𝒃𝟐
−𝒃𝒙
𝒚𝟐 " = 𝒗" 𝒙 𝒆 𝟐𝒂 − 𝒂 𝒗′ 𝒙 𝒆 𝟐𝒂 + 𝟒𝒂𝟐 𝒗 𝒙 𝒆 𝟐𝒂
6
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) 𝒃 𝒂
𝒂 𝒗"(𝒙) − 𝒗′(𝒙) + 𝒃 𝒂
𝒃𝟐 𝒗 𝟒𝒂𝟐
𝒂 𝒗"(𝒙) − 𝒗′(𝒙) +
𝒂𝒗"(𝒙) −
𝒃𝟐 − 𝟒𝒂
−𝒃𝒙
𝒙
𝒃𝟐 𝒗 𝟒𝒂𝟐
𝒆 𝟐𝒂 + 𝒃 𝒗′(𝒙) −
𝒙
+ 𝒃 𝒗′(𝒙) −
𝒃 𝒗(𝒙) 𝟐𝒂
−𝒃𝒙
−𝒃𝒙
𝒆 𝟐𝒂 + 𝒄𝒗(𝒙)𝒆 𝟐𝒂 = 𝟎
𝒃 𝒗(𝒙) 𝟐𝒂
+ 𝒄𝒗(𝒙) = 𝟎
𝒄 𝒗(𝒙) = 𝟎
karena b2 – 4ac = 0, maka v”(x) = 0, sehingga : 𝒗 𝒙 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝒙 Jadi satu solusi lain y(x) adalah : −𝒃
−𝒃
𝒚 𝒙 = 𝒗 𝒙 𝒆 𝟐𝒂 𝒙 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝒙 𝒆 𝟐𝒂 𝒙
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) Karena satu solusi PD telah diketahui, yaitu : −𝒃
𝒚 𝒙 = 𝑪𝟏 𝒆 𝟐𝒂 𝒙 maka solusi lain yang dimaksud adalah : −𝒃
𝒚 𝒙 = 𝑪𝟐 𝒙𝒆 𝟐𝒂 𝒙 Sehingga solusi umum PD menjadi : −𝒃
−𝒃
𝒚 𝒙 = 𝑪𝟏 𝒆 𝟐𝒂 𝒙 + 𝑪𝟐 𝒙𝒆 𝟐𝒂 𝒙
7
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) Contoh 2 : Diketahui PD : y” – y = 0, tentukan : 1. Solusi umum PD 2. Solusi khusus PD, jika y(0) = 1 dan y’(0) = – 1 Jawab : 1. Akar persamaan karakteristik PD : m = 1. Solusi umum PD : 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝒙 + 𝑪𝟐 𝒙𝒆𝒙 2. Solusi umum PD : 𝒚 = 𝒆𝒙 − 𝟐𝒙𝒆𝒙
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) 3. Akar karakteristik kompleks (D < 0) Jika akar karakteristik dari PD : ay"+ by’ + cy = 0 merupakan bilangan kompleks : 𝒎𝟏 = 𝒑 + 𝐢𝒒 dan 𝒎𝟐 = 𝒑 − 𝐢𝒒 dengan :
𝐢 = −𝟏 𝒑= 𝒒=
−𝒃 𝟐𝒂 𝑫 𝟐𝒂
8
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) maka solusi umum PD dapat ditulis : 𝒚 = 𝑪 𝟏 𝒆𝒎 𝟏 𝒙 + 𝑪 𝟐 𝒆𝒎 𝟐 𝒙 = 𝑪𝟏 𝒆(𝒑+𝐢𝒒)𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆(𝒑−𝐢𝒒)𝒙 (10) iy Dengan menggunakan rumus Euler : e = cos y + i sin y, didapatkan : 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝒑𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒒𝒙 + 𝐢 𝐬𝐢𝐧 𝒒𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆𝒑𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒒𝒙 − 𝐢 𝐬𝐢𝐧 𝒒𝒙 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝒆𝒑𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒒𝒙 + 𝐢 𝑪𝟏 − 𝑪𝟐 𝒆𝒑𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒒𝒙
Karena solusi PD yang diharapkan dalam fungsi bernilai riil, maka dapat diambil C3 = C1 + C2 dan C4 = i(C1 – C2).
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) Sehingga didapatkan solusi umum PD : 𝒚 = 𝒆𝒑𝒙 𝑪𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝒒𝒙 + 𝑪𝟒 𝐬𝐢𝐧 𝒒𝒙 (11) Dari Pers. (11) terlihat bahwa solusi pertama dan solusi kedua PD : 𝒚𝟏 = 𝒆𝒑𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒒𝒙 𝒚𝟐 = 𝒆𝒑𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒒𝒙 merupakan solusi bebas linier.
9
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) Contoh 3 : Diketahui PD : y” + 4y = 0, tentukan : 1. Solusi umum PD 2. Solusi khusus PD, jika y(0) = 1 dan y’(0) = – 3 Jawab : 1. Akar persamaan karakteristik PD : m = E didapatkan p = 0 dan q = 3. Solusi umum PD : 𝒚 = 𝑪𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 + 𝑪𝟒 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙
3i,
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) 2. Substitusi nilai awal kedalam solusi umum PD dan turunan pertamanya, didapatkan C3 = 1 dan C4 = -1. Sehingga solusi khusus PD : 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 − 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙
10
PD linier homogen orde 2 (lanjutan) Latihan : Tentukan solusi umum PD berikut : 1. y”+5y’-6yJ0 4. y”+2y’+5yJ0 2. y”+2y’-3yJ0 5. y”-4y’+4yJ0 3. y”+2y’+8yJ0 6. y”-4y’+7yJ0 Tentukan solusi khusus PD berikut : 7. y”-6y’+9yJ0 ; y(0)J1 , y’(0)J0 8. y”-4y’+7yJ0 ; y(0)J-1 , y’(0)J0 9. y”+3y’-4yJ0 ; y(0)J0 , y’(0)J-1 10. y”+3y’-10yJ0 ; y(0)J0 , y’(2)J1
Terima kasih dan
Semoga Lancar Studinya!
11
