Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3

Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3

Week 4: Separasi Variabel untuk Persamaan Panas Orde Satu

Tim Ilmu Komputasi

Coordinator contact: Dr. Putu Harry Gunawan

[email protected]

1

Persamaan Panas 1D

2

Separasi Variabel

3

Contoh

4

Latihan

5

Perhatian!

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Sebuah batang besi tipis dengan panjang L dipanaskan dengan api di bagian tengah besi sedangkan ujung kiri dan kanan besi dipertahankan dalam suhu dingin yakni 00 C (lihat Gambar di bawah ini).

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas


Sehingga nantinya dapat diamati bahwa besarnya temperatur di daerah tengah besi akan lebih besar dibandingkan dengan daerah lainnya.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas


Sehingga nantinya dapat diamati bahwa besarnya temperatur di daerah tengah besi akan lebih besar dibandingkan dengan daerah lainnya. Selanjutnya, pada waktu tertentu atau waktu akhir pengamatan, api dipadamkan dan pengamatan dilanjutkan dengan mengukur penyebaran panas dari tengah ke bagian lainnya selama proses pendinginan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut ∂ u (x , t ) ∂ 2 u (x , t ) =µ + Q (x ), t > 0, x ∈ (0, 1) ∂t ∂x 2 u (0, x ) = f (x , ) x ∈ [0, 1]

u (x , t ) = g (x ), t ≥ 0, x ∈ {0, 1}

(1.1) (1.2) (1.3)

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas


u (x , t ) = g (x ), t ≥ 0, x ∈ {0, 1}

dengan u (x , t ) merupakan temperatur,

(1.1) (1.2) (1.3)

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas


u (x , t ) = g (x ), t ≥ 0, x ∈ {0, 1}

dengan u (x , t ) merupakan temperatur, (internal source),

Q (x ) sumber dalam

(1.1) (1.2) (1.3)

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas


u (x , t ) = g (x ), t ≥ 0, x ∈ {0, 1}

dengan u (x , t ) merupakan temperatur, Q (x ) sumber dalam (internal source), f (x ) distribusi awal panas,

(1.1) (1.2) (1.3)

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas


u (x , t ) = g (x ), t ≥ 0, x ∈ {0, 1}

dengan u (x , t ) merupakan temperatur, Q (x ) sumber dalam (internal source), f (x ) distribusi awal panas, g (x ) fungsi batas (boundary),

(1.1) (1.2) (1.3)

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas


u (x , t ) = g (x ), t ≥ 0, x ∈ {0, 1}

dengan u (x , t ) merupakan temperatur, Q (x ) sumber dalam (internal source), f (x ) distribusi awal panas, g (x ) fungsi batas (boundary), µ koesien difusi,

(1.1) (1.2) (1.3)

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas


u (x , t ) = g (x ), t ≥ 0, x ∈ {0, 1}

dengan u (x , t ) merupakan temperatur, Q (x ) sumber dalam (internal source), f (x ) distribusi awal panas, g (x ) fungsi batas (boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang dan waktu berurutan.

(1.1) (1.2) (1.3)

Persamaan Panas 1D

Persamaan Panas

Untuk menyederhanakan persamaan diatas (Q (x ) = 0), maka kita dapat menulis ulang persamaan (1.1-1.3) menjadi: ∂u ∂2u = µ 2, ∂t ∂x u (x , 0) = f (x ),

u (0, t ) = 0,

x ∈ (0, 1), t > 0

x ∈ [0 , 1 ] u (1, t ) = 0. t ≥ 0

(1.4) (1.5) (1.6)

Persamaan Panas 1D

Persamaan Panas

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi separasi adalah solusi dari persamaan (1.4-1.6) dalam bentuk

u (x , t ) = X (x )T (t ).

(2.1)

Penting bahwa variabel bebas dinotasikan dengan huruf kecil sedangkan fungsi dengan huruf kapital. Tujuan pertama kita adalah mencari kemungkinan solusi separasi sebanyak mungkin.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Substitusikan persamaan

u (x , t ) = X (x )T (t ).

(2.2)

∂u ∂2u =µ 2 ∂t ∂x

(2.3)

ke dalam

didapat

Separasi Variabel

Separasi variabel

Substitusikan persamaan

u (x , t ) = X (x )T (t ).

(2.2)

∂u ∂2u =µ 2 ∂t ∂x

(2.3)

ke dalam

didapat

X (x )T 0 (t ) = µX 00 (x )T (t ),

Separasi Variabel

Separasi variabel

Selanjutnya kita bagi dengan µX (x )T (t ), didapat

T 0 (t ) X 00 (x ) = . µT (t ) X (x )

(2.4)

Separasi Variabel

Separasi variabel


T 0 (t ) X 00 (x ) = . µT (t ) X (x ) Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanya bergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semua bergantung pada x .

(2.4)

Separasi Variabel

Separasi variabel


T 0 (t ) X 00 (x ) = . µT (t ) X (x )

(2.4)

Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanya bergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semua bergantung pada x . Bagaimana mungkin fungsi yang bergantung pada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial?

Separasi Variabel

Separasi variabel


T 0 (t ) X 00 (x ) = . µT (t ) X (x )

(2.4)

Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanya bergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semua bergantung pada x . Bagaimana mungkin fungsi yang bergantung pada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial? Jika variabel x dan t merupakan sembarang variabel bebas, maka tidak dapat menjadi fungsi dari t dan sebaliknya.

x

Separasi Variabel

Separasi variabel

Maka dari itu, kita perlu mengklaim bahwa kedua sisi (2.4) haruslah sama dengan suatu konstanta yang sama, yakni

X 00 (x ) T 0 (t ) = −λ = , µT (t ) X (x )

(2.5)

dengan λ adalah sembarang bilangan konstan yang disebut dengan konstanta separasi (the separation constant).

Separasi Variabel

Separasi variabel

Maka dari itu, kita perlu mengklaim bahwa kedua sisi (2.4) haruslah sama dengan suatu konstanta yang sama, yakni

X 00 (x ) T 0 (t ) = −λ = , µT (t ) X (x )

(2.5)

dengan λ adalah sembarang bilangan konstan yang disebut dengan konstanta separasi (the separation constant). Tanda negatif diberikan untuk mempermudah dalam pencarian solusi, kita akan bahas selanjutnya mengapa tanda minus ini berguna.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Dari (2.5), kita mendapatkan dua buah persamaan diferensial biasa (PDB):

X 00 (x ) + λX (x ) = 0, T 0 (t ) + λµT (t ) = 0. Tugas sekarang adalah mencari solusi dari PDB di atas!

(2.6) (2.7)

Separasi Variabel

Separasi variabel Solusi PDB persamaan (2.6) cara I

Misalkan λ = β 2 , dengan β > 0 sehingga

X 00 (x ) + λX (x ) = 0, memiliki solusi,

(2.8)

Separasi Variabel


Misalkan λ = β 2 , dengan β > 0 sehingga

X 00 (x ) + λX (x ) = 0,

(2.8)

X (x ) = A cos(β x ) + B sin(β x ).

(2.9)

memiliki solusi,

Separasi Variabel



(2.10)

Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0) ke rumus (2.10) didapat:

Separasi Variabel



(2.10)

Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0) ke rumus (2.10) didapat: 0 = X (0) = A

dan

0 = X (L) = B sin(β L).

Separasi Variabel



(2.10)


dan

0 = X (L) = B sin(β L).

Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidak akan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(β L) = 0.

Separasi Variabel



(2.10)


dan

0 = X (L) = B sin(β L).

Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidak akan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(β L) = 0. Jadi dapat dilakukan dengan mengubah akar fungsi sinusoidal β L = k π , untuk k = 1, 2, · · · . Sehingga didapat 2

λk = β =

kπ L

2 ,

dan

k πx Xk (x ) = sin L

. (2.11)

Separasi Variabel

Separasi variabel Solusi PDB persamaan (2.6) cara II

Seperti dijelaskan sebelumnya, kita menggunakan tanda minus pada λ pada persamaan (2.5) untuk mempermudah solusi dan menetapkan bahwa konstanta yang dipilih adalah konstanta positif λ > 0, jadi persamaan (2.6) dapat dibentuk menjadi −X 00 (x ) = λX (x ), LX = λ X .

Sehingga fungsi λk =

kπ L

X (x ) merupakan fungsi eigen, yang memiliki solusi 2 ,

dan

k πx Xk (x ) = sin L

.

(2.12)

(Masalah nilai eigen dapat di review kembali pada matakuliah PDB/PDA)

Separasi Variabel

Masalah Nilai Eigen (Review) Lema 1.1

Lema

Nilai dan fungsi eigen dari masalah −u 00 (x ) = f (x ),

x ∈ (0, L),

u (0) = u (L) = 0

(2.13)

diberikan sebagai berikut λk =

kπ L

2

dan

k πx uk (x ) = sin L

∀k = 1, 2, · · · ,

(2.14)

Proof.

Bukti dari lema ini dapat ditemukan di buku Tveito, et al. untuk lebih lengkapnya.

Separasi Variabel

Separasi variabel Solusi PDB persamaan (2.7)

Solusi PDB, berupa

T 0 (t ) + λµT (t ) = 0,

Separasi Variabel

Separasi variabel Solusi PDB persamaan (2.7)

Solusi PDB, berupa

T 0 (t ) + λµT (t ) = 0, T (t ) = Ae −λµt ,

dan dapat dibentuk menjadi kπ 2

Tk (t ) = Ak e −λk µt = Ak e −( L ) µt dengan

Ak adalah sembarang konstan.

for

k = 1, 2, · · · , (2.15)

Separasi Variabel

Separasi variabel Solusi umum PDP panas

Pada akhirnya, terdapat tak hingga banyaknya solusi separasi untuk persamaan panas (1.4-1.5),

Separasi Variabel


Pada akhirnya, terdapat tak hingga banyaknya solusi separasi untuk persamaan panas (1.4-1.5),

uk (x , t ) = Ak e

2

−( kLπ ) µt

k πx sin L

for

k = 1, 2, · · · . (2.16)

Separasi Variabel


Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi merupakan sebuah solusi yakni,

N juga

Separasi Variabel



u (x , t ) =

N X k =1

Ak e

2

−( kLπ ) µt

k πx sin L

N juga

,

(2.17)

Separasi Variabel



u (x , t ) =

N X k =1

Ak e

2

−( kLπ ) µt

k πx sin L

N juga

,

(2.17)

dengan asumsi bahwa fungsi awal f merupakan kombinasi linear berhingga dari fungsi eigen {sin k πL x }, N X

k πx f (x ) = Ak sin L k =1

.

(2.18)

Contoh

Contoh separasi variabel

Contoh

Andaikan kita memiliki masalah difusi sebagai berikut, ∂2u ∂u = µ 2 , x ∈ (0, 1), t > 0 ∂t ∂x u (0, t ) = 0, u (1, t ) = 0. t ≥ 0

u (x , 0) = 3 sin(πx ) + 5 sin(4πx ), x ∈ [0, 1] maka solusinya adalah

(3.1) (3.2) (3.3)

Contoh


Contoh

Andaikan kita memiliki masalah difusi sebagai berikut, ∂2u ∂u = µ 2 , x ∈ (0, 1), t > 0 ∂t ∂x u (0, t ) = 0, u (1, t ) = 0. t ≥ 0

u (x , 0) = 3 sin(πx ) + 5 sin(4πx ), x ∈ [0, 1]

(3.1) (3.2) (3.3)

maka solusinya adalah 2

2

u (x , t ) = 3e −π t sin(πx ) + 5e −16π t sin(4πx ).

(3.4)

Contoh


Solusi diatas dapat digambarkan sebagai fungsi bawah ini, pada saat t = 0, 0.01 dan 0.1.

x pada gambar di

Figure : Solusi dari persamaan panas dengan f

(x ) = 3 sin(π x ) + 5 sin(4π x )

untuk t

= 0, 0.01

dan 0.1.

Latihan

Latihan separasi variabel

Latihan

Selesaikan masalah difusi sebagai berikut, ∂u ∂2u = µ 2 , x ∈ (0, L), t > 0 ∂t ∂x u (0, t ) = 0, u (L, t ) = 0. t ≥ 0

u (x , 0) = f (x ), x ∈ [0, L] 1. f (x ) = 6 sin πLx 2. f (x ) = 12 sin 9πLx − 7 sin

4π x

L

(4.1) (4.2) (4.3)

Perhatian!

Perhatian! Solusi umum PDP panas

Solusi umum persamaan panas,

u (x , t ) =

N X k =1

Ak e

2

−( kLπ ) µt

k πx sin L

,

(5.1)

hanya untuk fungsi awal f , merupakan kombinasi linear berhingga dari fungsi eigen {sin k πL x }, N X

k πx f (x ) = Ak sin L k =1

.

(5.2)

Perhatian!


Bagaimana jika fungsi awal f , merupakan bukan kombinasi linear k πx berhingga dari fungsi eigen {sin L }?

Perhatian!


Bagaimana jika fungsi awal f , merupakan bukan kombinasi linear k πx berhingga dari fungsi eigen {sin L }?

Misalkan diberikan fungsi awal berupa konstanta

f (x ) = 1.

(5.3)

Perhatian!


Untuk mengatasi hal ini, diperlukan jumlah tak hingga kombinasi linier dari kondisi awal, yakni

k πx f (x ) = Ak sin L k =1 ∞ X

dengan membuat umumnya

=1

(5.4)

N menuju tak hingga, dan kita dapatkan solusi

u (x , t ) =

∞ X

k =1

Ak e

x 2 −( k π L ) t

k πx sin L

.

(5.5)

Pada pertemuan berikutnya, akan dijelaskan bagaimana mencari Ak (yaitu koesien Fourier) yang dapat dihitung dari fungsi f (x ), yakni fungsi yang bukan merupakan kombinasi linier fungsi sinusoidal.

End of presentation!

Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3

Recommend Documents