Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3

Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Tim Ilmu Komputasi

Coordinator contact: Dr. Putu Harry Gunawan

[email protected]

Week 11-12: Finite Dierence Method for PDE Wave Eqs

1 Masalah Gelombang order dua 1D 2 Skema Numerik 3 Latihan 4 Algorithm 5 Next

Masalah Gelombang order dua 1D Problem 1D wave

Governing equations

Kita akan membahas PDP tipe hiperbolik yakni persamaan gelombang orde dua dimensi satu. Persamaan pengantur dari persamaan gelombang pada domain [0, L] diberikan sebagai berikut: 2 ∂ 2 u (x , t ) 2 ∂ u (x , t ) = c , x ∈ (0, L), t > 0, ∂t 2 ∂x 2 u (0, t ) = 0, u (L, t ) = 0, t ≥ 0, ∂ u (x , 0) u (x , 0) = f (x ), = g (x ), x ∈ [0, L]. ∂t

(1.1) (1.2) (1.3)

dengan u (x , t ) menyatakan gelombang elastis senar pada posisi x dan waktu t . Konstanta c meyatakan kecepatan gelombang. Karena persamaan (1.1) merupakan persamaan PDP orde dua terhadap waktu, maka pada masalah nilai batas membutuhkan dua buah kondisi awal (1.3).

Skema Numerik Problem 1D wave

Partisi domain 1D

Bentuk diskrit dari gelombang (1.1-1.3) dengan menggunakan metode beda hingga skema eksplisit akan diberikan.

Figure : Partisi domain perhitungan Ω satu-dimensi. Untuk mempermudah dan menyederhanakan masalah, misalkan domain spasial kita Ω = [0, 1] yaitu dengan panjang domain L = 1 dan domain waktu [0, T ]. Tahap pertama, diskrit dari domain spasial M = {1, 2, 3, · · · , M − 1} dibentuk dengan membagi domain Ω menjadi M buah partisi, dengan M ∈ Z+ (lihat Gambar 1).


Partisi domain 1D

Tahap pertama, diskrit dari domain spasial dalam M = {1, 2, 3, · · · , M − 1} dibentuk dengan membagi domain Ω menjadi M buah partisi, dengan M ∈ Z+ (lihat Gambar di atas). Untuk grid batas hanya ada dua yakni {0, M }, jadi diskrit domain keseluruhan dapat ditulis sebagai M + {0, M }. Tahap kedua, diskrit domain waktu didenisikan sebagai T = {0, 1, 2, 3, · · · , Tn }, dengan Tn ∈ Z+ adalah banyaknya partisi waktu.


Partisi domain 1D

Selanjutnya kita akan bertumpu pada lattice untuk mengampiri solusi secara numerik.

Jika ukuran partisi/grid untuk spasial dan waktu seragam, maka ukuran grid dapat kita notasikan dengan ∆x dan ∆t berurutan.


Partisi domain 1D

Sehingga titik grid (xk , t n ) dapat dipilih sebagai:

xk = k ∆x ,

k ∈ M,

t n = n ∆t ,

n∈T

∆x = ∆t =

1 , M

T ,. Tn

Ganti notasi u (t , x ) pada persamaan (1.1-1.3) dengan notasi v (xk , t n ) = vkn untuk solusi numerik.


Diskritisasi 1D wave

Sehingga metode beda hingga skema eksplisit untuk persamaan (1.1) adalah

n n n vkn+1 − 2vkn + vkn−1 2 vk +1 − 2vk + vk −1 = c , ∆t 2 ∆x 2

k ∈ M,

n∈T, (2.1) n n dengan v (xk , t ) = vk menyatakan solusi numerik untuk u (x , t ).



Akan tetapi, untuk memulai proses perhitungan, kita memerlukan nilai v pada dua level waktu pertama. Yaitu kita perlu mengetahui 1 M nilai {vk0 }M k =0 dan {vk }k =0 . Dengan jelas kita dapat menggunakan nilai untuk level waktu n = 0 dengan

vk0 = f (xk ),

k ∈ M + {0, M }.

(2.2)



Sedangkan, untuk mencari nilai pada level waktu n = 1, kita dapat menggunakan expansi Taylor orde dua terhadap waktu dan persamaan ut = g (x ) pada (1.3) yaitu

u (x , ∆t ) = u (x , 0) + (∆t )ut (x , 0) + = f (x ) + (∆t )g (x ) +

∆t 2

2

∆t 2

2

utt (x , 0) + O (∆t )3

f 00 (x ) + O (∆t )3 .

dengan f 00 (x ) dapat dicari melalui persamaan (1.1) yaitu utt (x , 0) = uxx (x , 0) = f 00 (x ).



Sehingga kita dapat menghitung nilai vk1 untuk menghampiri u (xk , ∆t ) dengan

vk1 − vk0 ∆t = g (xj ) + (v 0 − 2vk0 + vk0−1 ), ∆t 2∆x 2 k −1

k ∈ M. (2.3)


Diskritisasi nilai awal 1D wave

Untuk n=0

vk0 = f (xk ),

k ∈ M + {0, M }.

(2.4)

vk1 − vk0 ∆t = g (xj ) + (v 0 − 2vk0 + vk0−1 ), ∆t 2∆x 2 k −1

k ∈ M. (2.5)

Untuk n=1

Latihan Problem 1D wave

Latihan 1D wave

Diberikan masalah nilai awal dan batas untuk persamaan panas seperti berikut: 2 ∂2u 2∂ u = c , x ∈ (0, 1), t > 0 ∂t 2 ∂x 2 u (x , 0) = f (x ), ut (x , 0) = g (x ), x ∈ [0, 1]

u (0, t ) = a(t ),

u (1, t ) = b(t ),

t≥0

dengan f (0) = a(0), dan f (1) = b(0). 1. Tentukan nilai v (k ∆x , n∆t ) untuk n = 0, 1, 2, · · · 5, dengan f (x ) = sin(2π x ), g (x ) = 0, a = b = 0, M = 10, c = 1, dan ∆t = 3 × 10−2 ! 2. Sama dengan pertanyaan (a), akan tetapi gunakan ∆t = 5 × 10−2 !

Algorithm Problem 1D wave

Algorithm

Algorithm Problem 1D heat

Demo

Buatlah program dari Algoritma 1 menggunakan MATLAB ! Gunakan nilai dan parameter pada masalah PDP di Home Work sebelumnya!

Algorithm Problem 1D wave

Home Work!

Diberikan PDP untuk memodelkan getaran senar gitar secara vertikal dengan nilai awal dan batas seperti berikut: 2 ∂2u 2∂ u = c , x ∈ (0, 1), t > 0 ∂t 2 ∂x 2 u (x , 0) = f (x ), ut (x , 0) = g (x ), x ∈ [0, 1]

u (0, t ) = a(t ),

u (1, t ) = b(t ),

t≥0

dengan f (0) = a(0), dan f (1) = b(0). Tentukan nilai v (k ∆x , n∆t ) untuk n = 0, 1, 2, · · · 5, dengan f (x ) = sin π x , g (x ) = 0, a = b = 0, M = 20, c = 1, dan ∆t = 5 × 10−2 ! Bandingkan hasilnya dengan ∆t = 5.26 × 10−2 !

Next Coming up next!

Siap-siap untuk tugas besar! Presentasi akan diadakan di minggu ke 14, jadwal dan lokasi akana ditentukan kemudian. Good luck, sampai ketemu di lain kesempatan.

End of presentation!

Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3

Recommend Documents