Persamaan Diferensial Febrizal, MT Febrizal, MT
Pendahuluan • Persamaan diferensial dif i l merupakan k persamaan yang berkaitan dengan turunan dari suatu fungsi atau memuat suku‐suku dari fungsi tersebut dan atau turunannya. • Bila fungsi tersebut tergantung pada satu p peubah bebas riil maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB). Sedangkan bila fungsi terdiri dari lebih dari satu peubah bebas maka disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP).
Contoh • Persamaan berikut merupakan PDB dengan peubah bebas x dan peubah tak bebas y.
Contoh • Persamaan berikut merupakan PDP
Orde Persamaan Diferensial • Orde persamaan diferensial adalah besar gg yyang terjadi g j p pada PD turunan tertinggi tersebut. Dari contoh di atas persamaan Bernoulli mempunyai orde 1 sedangkan Bernoulli mempunyai 1 sedangkan persamaan Airy, Bessel dan Van Der Pol berorde 2. 2
Sifat Kelinieran • Berdasarkan sifat kelinieran dari peubah tak bebasnya, persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi PD Linier dan PD tidak linier. PD tidak linier • Bentuk umum PD linier orde n diberikan :
• Bila f(x) = 0 maka disebut PD Linier Homogen il f( ) k di b i i sedang bila f(x) ≠ 0 maka disebut PD Linier tak Homogen. • Bila tidak dapat p dinyatakan y seperti p bentuk di atas dikatakan PD tidak Linier. • Dari contoh Dari contoh terdahulu, persamaan terdahulu persamaan Airy dan Airy dan Bessel merupakan PD Linier ( Homogen ) sedangkan persamaan Bernoulli dan Bernoulli dan Van Der Van Der Pol merupakan PD tidak linier.
Latihan • Klasifikasikan PD berikut berdasarkan: Orde, linier atau tidak linier, homogen atau tidak homogen
Penyelesaian PD Orde PD Orde I • Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, g yyang memenuhi g kita harus mencari fungsi persamaan tsb, artinya yang membuat persamaan tsb menjadi benar. benar • Hal ini berarti bahwa kita harus mengolah persamaan tsb b sedemikian k rupa sehingga h semua koefisien diferensialnya hilang dan tinggallah hubungan antara y dan x.
1 Integral Langsung 1. Integral Langsung • Jika suatu PD dapat disusun dalam bentuk dy = f (x) , maka persamaan tsb bisa diselesaikan dengan dx i t integral sederhana. l d h
• SSetiap i kali kita k li ki mengintegralkan i lk suatu fungsi, konstanta f i k integrasi C harus selalu disertakan. • Seperti S ti yang kita kit ketahui, bahwa k t h i b h nilai il i C tidak C tid k dapat d t ditentukan kecuali jika diberi keterangan tambahan tentang fungsi tsb. tsb • Penyelesaian PD yang masih mengandung konstanta C tersebut disebut sebagai solusi umum PD. • Jika kita diberitahu nilai y untuk nilai x tertentu, maka g y PD yang y g konstanta C bisa dihitung. Penyelesaian diketahui nilai C nya disebut sebagai Solusi Khusus PD
y = −4e − x + 7
2 Pemisahan Variabel 2. Pemisahan • Seringkali dijumpai pada PD order satu, peubah x dan y dapat dipisahkan sehingga peubah x dapat dikelompokan dengan dx dan peubah y dapat y dapat dikelompokan dengan dy pada ruas yang yang berbeda. PD dapat secara langsung dengan • Sehingga solusi umum PD dapat mengintegralkan kedua ruas. • Bentuk umum PD yang bisa y g dipisahkan p variabel nya y adalah:
• Solusi umum PD nya didapat dengan menyelesaikan:
Latihan
3 Dengan Substitusi y = vx 3. Dengan y = vx • Beberapa bentuk PD tak linier order satu dengan peubah tak terpisah namun koefisiennya merupakan f fungsi i homogen h d dengan order sama d d dapat di i dicari solusinya menggunakan metode substitusi sehingga did tk bentuk didapatkan b t k PD peubah PD b h terpisah. t i h • Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n є R sehingga h b l k F(k x,k berlaku (k k y) = k ) knF(x, y). n disebut ( ) d b order d dari fungsi homogen F(x,y). • Solusi PD dicari dengan mensubstitusikan : y = v x dan dy/dx = v + x dv/dx ke dalam PD sehingga didapatkan bentuk PD dengan peubah terpisah.
contoh • Perhatikan persamaan berikut:
• Sekilas p persamaan tersebut tanpak p sederhana, ttp p ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor x dan faktor y nya sehingga kita tidak bisa menyelesaikan persamaan tsb dengan cara integral langsung. • Untuk menyelesaikannya kita substitusikan persamaan tsb dengan y = v x dan dy/dx = v + x dv/dx
• Sehingga persamaan menjadi:
• Dalam bentuk yg terahir, kita terahir kita bisa menyele‐ saikan persamaan tsb dengan cara pemisahan variabel i b l
Latihan
4 Menggunakan Faktor Integral 4. Menggunakan • PD yang bisa bi diselesaikan di l ik dengan d f k integral faktor i l adalah PD linier orde pertama yang berbentuk: d /d + Py dy/dx P = Q . Q • Dengan P dan Q adalah fungsi dari x (atau konstanta. • Cara penyelesaiannya yaitu dengan mengalikan kedua ruas PD tsb dgn faktor integral (FI) yang berbentuk e∫P dx. • sehingga didapat solusi PD tsb adalah: y y.FI = ∫ Q. FI dx ∫Q
contoh
• Sehingga solusi PD nya adalah:
Latihan
Penyelesaian PD Bernoulli Penyelesaian PD Bernoulli • PD Bernoulli adalah PD yang berbentuk dimana P dan Q adalah fungsi x atau konstanta. • Langkah2 penyelesaian: Langkah2 penyelesaian: – Bagi kedua ruasnya dengan yn, sehingga diperoleh – Misalkan z = y1‐n – Sehingga dengan mendiferensialkannya, akan diperoleh Sehingga dengan mendiferensialkannya akan diperoleh
• Jika kita kalikan (ii) dengan (1‐n), maka suku pertamanya akan menjadi dz/dx. j /
• Dan persamaan tsb bisa ditulis menjadi: • dz/dx + (1‐n)P / ( ) 1z = (1‐n)Q ( )Q1 • Sehingga persamaan tsb bisa diselesaikan dengan menggunakan faktor integrasi.
contoh • Selesaikanlah PD S l ik l h PD • Jawab: 2, sehingga diperoleh: • Bagi kedua ruas dengan y k d d h d l h
• Misalkan z = y1‐n, dlm hal ini z = y1‐2 = y‐1
• Kalikan persamaan tsb dg ‐1, agar suku pertama menjadi dz/dx
• Persamaan tsb menjadi Persamaan tsb menjadi • Persamaan Persamaan ini bisa diselesaikan dengan menggunakan ini bisa diselesaikan dengan menggunakan faktor integrasi.
Contoh 2 Contoh 2 • Selesaikan • Jawaban • Pertama‐tama kita haru menuliskannya dalam bentuk
• Apa yang harus dilakukan?
• Sehingga diperoleh:
• Bagilah Bagilah persamaan diatas dengan faktor pangkat y yang ada persamaan diatas dengan faktor pangkat y yang ada diruas kanan, sehingga diperoleh....
• Selanjutnya gunakan substitusi z = y j y g y1‐n yyang dalam contoh ini g adalah z = y1‐4 = y‐3 • z = y‐3, berarti dz/dx = .....
• Kalikan persamaan dengan ‐3, agar suku pertamanya menjadi dz/dx, maka kita dapatkan..
Contoh 3 Contoh 3 • selesaikannlah
Contoh 4 Contoh 4 • selesaikanlah
Latihan ddy * + y = xy 3 dx dy * + y = ex y4 dx dy * 2 + y = y 3 ( x − 1) dx dy * − 2 y tan x = y 2 tan 2 x d dx
