Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3

Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Tim Ilmu Komputasi

Coordinator contact: Dr. Putu Harry Gunawan [email protected]

Week 3: Pengantar, konsep dasar dan klasikasi PDP

1 Kontrak kuliah 2 Pendahuluan

Konsep Dasar Kehomogenan Orde Kelinieran

3 Klasikasi PDP 4 Aplikasi

Kontrak kuliah

Batasan materi

Batasan kuliah ini

Pendahuluan

Konsep dasar

Denisi (PDP) Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan sebuah persamaan yang memfokuskan pada hubungan antara sebuah fungsi yang

belum diketahui u (x1 , x2 , · · · , xn ) berdimensi n ≥ 2, dan turunan parsial fungsi terhadap variabel-variabel bebasnya.

Pendahuluan

Konsep dasar

Denisi (PDP) Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan sebuah persamaan yang memfokuskan pada hubungan antara sebuah fungsi yang

belum diketahui u (x1 , x2 , · · · , xn ) berdimensi n ≥ 2, dan turunan parsial fungsi terhadap variabel-variabel bebasnya. Bentuk umum dari PDP diberikan sebagai berikut:

∂u ∂u ∂2u ∂2u x1 , x2 , · · · xn , u , ,··· , , ,··· , ,··· ∂ x1 ∂ xn ∂ x1 x1 ∂ x1 xn

 F



= 0.

Pendahuluan

Contoh Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua variabel bebas: ∂ 2 u (x , y ) ∂ 2 u (x , y ) + = 0, persamaan ∂x 2 ∂y 2

Laplace

(2.1)

Pendahuluan

Contoh Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua variabel bebas: ∂ 2 u (x , y ) ∂ 2 u (x , y ) + = 0, persamaan ∂x 2 ∂y 2

Laplace

∂ u (t , x ) ∂ 2 u (t , x ) −α = 0, persamaan ∂t ∂x 2

difusi

(2.1) (2.2)

Pendahuluan

Contoh Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua variabel bebas: ∂ 2 u (x , y ) ∂ 2 u (x , y ) + = 0, persamaan ∂x 2 ∂y 2

Laplace

∂ u (t , x ) ∂ 2 u (t , x ) −α = 0, persamaan ∂t ∂x 2 2 ∂ 2 u (t , x ) 2 ∂ u (t , x ) − c = 0, persamaan ∂t 2 ∂x 2

difusi

gelombang

(2.1) (2.2) (2.3)

dengan ∂ u /∂ t , ∂ 2 u /∂ x 2 menyatakan turunan partial terhadap variabel waktu orde satu dan ruang orde dua secara berurutan.

Pendahuluan

Contoh

Biasanya, dalam beberapa kajian pustaka, secara singkat PDP dapat juga ditulis dalam bentuk: + uyy = 0,

(2.4)

ut

− αuxx = 0,

(2.5)

utt

− c 2 uxx = 0,

(2.6)

uxx

dengan subscript menyatakan turunan parsial.

Pendahuluan

Contoh Beberapa contoh lain PDP yang terkenal selain tiga contoh diatas adalah ut

+ ux = 0,

ut

+ ux − αuxx = 0,

ut

+ uux = 0,

uxx ut iut

+ uyy = f (x , y ),

+ uux + uxxx = 0, + uxx = 0.

persamaan transport persamaan reaksi-difusi persamaan

inviscid

Burger

persamaan Poisson persamaan KdV persamaan Schrödinger

(2.7) (2.8) (2.9) (2.10) (2.11) (2.12)

Pendahuluan

Notasi umum gradien (grad (u ) = ∇u )

Gradien grad (u ) = ∇u : Notasi untuk menyatakan vektor gradien dari suatu fungsi u (x1 , x2 , · · · , xn ) pada n-dimensi ruang Euclidean.

Pendahuluan

Notasi umum gradien (grad (u ) = ∇u )

Gradien grad (u ) = ∇u : Notasi untuk menyatakan vektor gradien dari suatu fungsi u (x1 , x2 , · · · , xn ) pada n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya:  ∇u (x1 , x2 , · · · , xn ) =

∂ ∂ ∂ , ,··· , ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn

 u (x1 , x2 , · · ·

, xn ).

Misalkan terdapat fungsi u (x , y ), maka ∇u (x , y ) = (ux , uy ).

Pendahuluan

Notasi umum divergent (div (u ) = ∇ · u ) Divergent div (u ) = ∇ · u : Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi u (x1 , x2 , · · · , xn ) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari suku-suku vektor gradiennya).

Pendahuluan

Notasi umum divergent (div (u ) = ∇ · u ) Divergent div (u ) = ∇ · u : Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi u (x1 , x2 , · · · , xn ) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari suku-suku vektor gradiennya). Contohnya:  ∇ · u (x1 , x2 , · · · , xn ) =

∂ ∂ ∂ + + ··· + ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn

 u.

Pendahuluan

Notasi umum divergent (div (u ) = ∇ · u ) Divergent div (u ) = ∇ · u : Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi u (x1 , x2 , · · · , xn ) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari suku-suku vektor gradiennya). Contohnya:  ∇ · u (x1 , x2 , · · · , xn ) =

∂ ∂ ∂ + + ··· + ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn

Misalkan terdapat fungsi u (x , y , z ), maka didapat  ∇ · u (x , y , z ) =

∂u ∂u ∂u + + ∂x ∂y ∂z

 .

 u.

Pendahuluan

Notasi umum Laplace (∆u = ∇2 u = ∇ · ∇u ) Laplace operator ∆u = ∇2 u = ∇ · ∇u : Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u (x1 , x2 , · · · , xn ) pada n-dimensi ruang Euclidean.

Pendahuluan

Notasi umum Laplace (∆u = ∇2 u = ∇ · ∇u ) Laplace operator ∆u = ∇2 u = ∇ · ∇u : Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u (x1 , x2 , · · · , xn ) pada n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya:  ∆u (x1 , x2 , · · · , xn ) =

∂2 ∂2 ∂2 + + · · · + ∂ xn2 ∂ x12 ∂ x22

 u.

Pendahuluan

Notasi umum Laplace (∆u = ∇2 u = ∇ · ∇u ) Laplace operator ∆u = ∇2 u = ∇ · ∇u : Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u (x1 , x2 , · · · , xn ) pada n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya:  ∆u (x1 , x2 , · · · , xn ) =

∂2 ∂2 ∂2 + + · · · + ∂ xn2 ∂ x12 ∂ x22

Misalkan terdapat fungsi u (x , y , z ), maka didapat  ∆u (x , y , z ) =

∂2u ∂2u ∂2u + + 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂z

 .

 u.

Pendahuluan

Solusi PDP Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan.

Pendahuluan

Solusi PDP Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan. Sebagai contoh, untuk melihat u (x , t ) = e t −x merupakan solusi dari persamaan gelombang utt

− uxx = 0,

(2.13)

Pendahuluan

Solusi PDP Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan. Sebagai contoh, untuk melihat u (x , t ) = e t −x merupakan solusi dari persamaan gelombang utt

− uxx = 0,

(2.13)

secara sederhananya fungsi solusi tersebut kita substitusikan ke dalam persamaan, sehingga didapat: (e t −x )tt − (e t −x )xx = e t −x − e t −x = 0.

Pendahuluan

Latihan

Tunjukkan apakah u (x , t ) = sin(x − t ) merupakan solusi dari persamaan gelombang dibawah ini ? utt

− uxx = 0,

(2.14)

Pendahuluan

Latihan

Tunjukkan apakah u (x , t ) = f (x − ct ) merupakan solusi dari persamaan gelombang dibawah ini ? utt

− c 2 uxx = 0,

(2.15)

Pendahuluan

Kehomogenan Denisi (PDP tak-homogen) Persamaan diferensial parsial (PDP) dengan fungsi yang belum diketahui (u) dikatakan tak-homogen jika dalam persamaan PDP-nya terdapat term/fungsi lain yang tidak bergantung pada fungsi u.

Pendahuluan

Kehomogenan Denisi (PDP tak-homogen) Persamaan diferensial parsial (PDP) dengan fungsi yang belum diketahui (u) dikatakan tak-homogen jika dalam persamaan PDP-nya terdapat term/fungsi lain yang tidak bergantung pada fungsi u.

Sebagai contoh, persamaan

Poisson:

uxx (x , y ) + uyy (x , y )

= f (x , y )

merupakan persamaan tak-homogen karena ada fungsi f (x , y ) yang tidak bergantung pada fungsi u (x , y ).

Pendahuluan

Kehomogenan Denisi (PDP tak-homogen) Persamaan diferensial parsial (PDP) dengan fungsi yang belum diketahui (u) dikatakan tak-homogen jika dalam persamaan PDP-nya terdapat term/fungsi lain yang tidak bergantung pada fungsi u.

Sebagai contoh, persamaan

Poisson:

uxx (x , y ) + uyy (x , y )

= f (x , y )

merupakan persamaan tak-homogen karena ada fungsi f (x , y ) yang tidak bergantung pada fungsi u (x , y ). Sedangkan persamaan Laplace: uxx (x , y ) + uyy (x , y ) = 0 merupakan persamaan yang

homogen.

Pendahuluan

Latihan Tentukan apakah persamaan-persamaan berikut homogen atau non-homogen! ut

+ ux = 0,

ut

+ ux − αuxx = 0,

ut

+ uux = 0,

uxx ut iut

+ uyy = f (x , y ),

+ uux + uxxx = 0, + uxx = 0.

persamaan transport persamaan reaksi-difusi persamaan

inviscid

Burger

persamaan Poisson persamaan KdV persamaan Schrödinger

(2.16) (2.17) (2.18) (2.19) (2.20) (2.21)

Pendahuluan

Orde Denisi (Orde) Orde (order) dari PDP adalah orde dari turunan tertinggi yang ada di dalam persamaan itu sendiri.

Pendahuluan

Orde Denisi (Orde) Orde (order) dari PDP adalah orde dari turunan tertinggi yang ada di dalam persamaan itu sendiri.

Secara umum, kita dapat menuliskan persamaan umum PDP orde satu untuk (x , y ) sebagai F (x , y , u (x , y ), ux (x , y ), uy (x , y ))

= F (x , y , u , ux , uy ) = 0, (2.22)

sedangkan untuk PDP orde dua adalah: F (x , y , u , ux , uy , uxx , uyy )

= 0.

(2.23)

Pendahuluan

Latihan

Tentukan Orde dari: ut

+ ux = 0 ,

ut

+ uux + uxxx = 0,

persamaan transport persamaan KdV

(2.24) (2.25)

Pendahuluan

Kelinieran PDP dapat ditulis dalam bentuk: L(u ) = 0,

dengan L disebut sebagai sebuah operator.

(2.26)

Pendahuluan

Kelinieran PDP dapat ditulis dalam bentuk: L(u ) = 0,

dengan L disebut sebagai sebuah operator. Maka contoh persamaan reaksi difusi (2.8), dapat kita tulis menjadi 2 L = ∂∂t + ∂∂x + α ∂∂x 2 , dan sehingga Lu sama dengan (2.8).

(2.26)

Pendahuluan

Kelinieran PDP dapat ditulis dalam bentuk: L(u ) = 0,

(2.26)

dengan L disebut sebagai sebuah operator. Maka contoh persamaan reaksi difusi (2.8), dapat kita tulis menjadi 2 L = ∂∂t + ∂∂x + α ∂∂x 2 , dan sehingga Lu sama dengan (2.8).

Denisi (PDP Linier) Operator

L

dikatakan linier jika memenuhi

L(u + v ) = Lu + Lv ,

dan

untuk setiap fungsi u , v dan konstanta c .

L(cu ) = c Lu ,

(2.27)

Pendahuluan

Contoh Sebagai contoh, kita akan menunjukkan bahwa apakah persamaan transport ut + ux linier atau tidak?

Pendahuluan

Contoh Sebagai contoh, kita akan menunjukkan bahwa apakah persamaan transport ut + ux linier atau tidak? Hal ini dapat ditunjukkan dengan, L(u + v ) = (u + v )t + (u + v )x = ut + vt + ux + vx = (ut + ux ) + (vt + vx ) = Lu + Lv

Pendahuluan

Contoh Sebagai contoh, kita akan menunjukkan bahwa apakah persamaan transport ut + ux linier atau tidak? Hal ini dapat ditunjukkan dengan, L(u + v ) = (u + v )t + (u + v )x = ut + vt + ux + vx = (ut + ux ) + (vt + vx ) = Lu + Lv

dan L(cu ) = (cu )t + (cu )x = cut + cux = c Lu .

Sehingga berdasarkan Denisi 2.4, persamaan persamaan linier.

ut

+ ux merupakan

Pendahuluan

Latihan

Tunjukkan apakah PDP-PDP berikut linier apa tidak! 1. ut + ux − αuxx = 0 2. ut + uux = 0 3. uxx + uyy = f (x , y ) 4. ut + uux + uxxx

Klasikasi PDP

Kalsikasi PDP orde dua Pada PDP dengan turunan orde dua, klasikasi PDP dapat ditentukan dengan mudah.

Klasikasi PDP

Kalsikasi PDP orde dua Pada PDP dengan turunan orde dua, klasikasi PDP dapat ditentukan dengan mudah. Diberikan PDP quasilinier orde dua nonhomogen dengan dua variabel bebas: Auxx

+ Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu = G .

(3.1)

Klasikasi PDP

Kalsikasi PDP orde dua Pada PDP dengan turunan orde dua, klasikasi PDP dapat ditentukan dengan mudah. Diberikan PDP quasilinier orde dua nonhomogen dengan dua variabel bebas: Auxx

+ Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu = G .

Klasikasi (3.1) bergantung pada tanda (sign) dari nilai diskriminan, B 2 − 4AC sebagai berikut: B2

− 4AC

Negative Nol Positif

Klasikasi Eliptik Parabolik Hiperbolik

(3.1)

Klasikasi PDP

Latihan

Klasikasikan PDP-PDP berikut ini! 1. ut + ux − αuxx = 0 2. uxx + uyy = f (x , y ) 3. ut + ux + uxx 4. ut t + ux y + uxx

Aplikasi

Aplikasi

Beberapa aplikasi PDP dalam kehidupan sehari-hari: I Penyebaran panas pada suatu medium I Vibrasi senar gitar I Pemberian harga Option (Financial Engineering) I Gelombang air laut I Pertumbuhan bakteri pada media tertentu I Penyebaran polusi virus, atau gossip I dll

End of presentation!