Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3

Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Tim Ilmu Komputasi

Coordinator contact: Dr. Putu Harry Gunawan [email protected]

Week 5: Separasi Variabel untuk Persamaan Panas Orde Satu - Koesien Fourier

1 Review Problem

2 Koesien Fourier

3 Latihan

Review Problem

Review problem

Solusi umum PDP panas

∂u ∂2u = µ 2, ∂t ∂x u (x , 0) = f (x ),

u (0, t ) = 0,

x ∈ (0, 1), t > 0

x ∈ [0 , 1 ] u (1, t ) = 0. t ≥ 0

Bagaimana jika fungsi awal f , merupakan bukan kombinasi linear k πx berhingga dari fungsi eigen {sin L }? Misalkan diberikan fungsi awal berupa konstanta f (x ) = 1. (1.1)

Review Problem

Review problem


Untuk mengatasi hal ini, diperlukan jumlah tak hingga kombinasi linier dari kondisi awal, yakni

f (x ) = dengan membuat umumnya

∞ X

k =1

Ak sin

k πx L

=1

(1.2)

N menuju tak hingga, dan kita dapatkan solusi

u (x , t ) =

∞ X

k =1

Ak e

x 2 −( k π L ) t

k πx sin L

.

(1.3)

Review Problem

Review problem


Jadi problem yang akan kita bahas pada pertemuan ini adalah mencari koesien

Ak

dari kondisi awal sebuah konstan, yakni

k πx f (x ) = Ak sin L k =1 ∞ X

Koesien Fourier

Koesien Fourier Koesien Fourier

Kita mulai dengan solusi umum PDP untuk persamaan panas 1-D, yakni

u (x , t ) =

∞ X

k =1

Ak e

x 2 −( k π L ) t

k πx sin L

.

(2.1)

Koesien Fourier



u (x , t ) =

∞ X

k =1

Ak e

x 2 −( k π L ) t

k πx sin L

.

(2.1)

Solusi di atas kana memenuhi nilai awal yang dapat ditulis sebagai berikut ∞

u (x , 0) = f (x ) =

X k =1

Ak sin

k πx L

.

(2.2)

Koesien Fourier



u (x , t ) =

∞ X

k =1

Ak e

x 2 −( k π L ) t

k πx sin L

.

(2.1)

Solusi di atas kana memenuhi nilai awal yang dapat ditulis sebagai berikut ∞

u (x , 0) = f (x ) =

X k =1

Ak sin

k πx L

.

Kembali lagi pertanyaannya adalah bagaimana menentukan koesien Ak ?

(2.2)

Koesien Fourier

Pause

Sebelum kita masuk lebih dalam bagaimana menentukan koesien Ak ?, maka kita akan mempelajari fungsi orthogonal.

Koesien Fourier

Orthogonal pada selang −L ≤ x ≤ L Lema 1.2

Lema

Fungsi {sin

k π x }∞ k =1 L

memenuhi persamaan berikut

mπ x 0 k 6= m, k πx sin sin dx = , L L L k = m, −L

Z L

Proof. Berikut akan dibuktikan lema diatas.

(

(2.3)

Koesien Fourier

Fact

Fungsi genap dan ganjil

Akan dibahas secara singkat mengenai fungsi genap dan ganjil.

Koesien Fourier

Fact


Akan dibahas secara singkat mengenai fungsi genap dan ganjil. Fungsi dikatakan genap jika

f (−x ) = f (x )

Koesien Fourier

Fact



f (−x ) = f (x ) Fungsi dikatakan ganjil jika

f (−x ) = −f (x )

Koesien Fourier

Fact



f (−x ) = f (x ) Fungsi dikatakan ganjil jika

f (−x ) = −f (x ) Contoh: f (x ) = x 2 dan g (x ) = cos (x ) adalah fungsi ? f (x ) = x 3 dan g (x ) = sin(x ) adalah fungsi?

Koesien Fourier

Fact


integral of even/odd function

If f (x ) is an even function then, Z L −L

f (x )dx = 2

Z L 0

f (x )dx

(2.4)

If f (x ) is an odd function then, Z L −L

f (x )d x = 0

(2.5)

Koesien Fourier

Orthogonal

Kita tahu bahwa fungsi {sin k πL x }∞ k =1 merupakan fungsi ganjil. Sehingga perkalian dua buah fungsi ganjil adalah fungsi genap. Jadi

mπ x k πx sin dx = 2 sin L L −L

Z L

Z L 0

mπ x k πx sin sin dx L L

(2.6)

Koesien Fourier

Orthogonal k = m

Untuk kasus

k =m

Z L −L

2

sin

k πx dx = 2 L

k πx sin dx L 0 Z L 2k π x = 1 − cos dx L 0 L =L− sin(2k π) = L 2k π Z L

2

(2.7) (2.8) (2.9)

Koesien Fourier

Orthogonal k 6= m

Untuk kasus

k 6= m

mπ x k πx sin dx = 2 sin L L −L

Z L

Z L = =0

0

cos

(k − m)π x

L

− cos

Z L 0

mπ x k πx sin dx sin L L

(2.10)

(k + m)π x

L

dx

(2.11) (2.12)

Koesien Fourier


Untuk sembarang fungsi f (x ), maka fungsi f (x ) dibentuk menjadi fungsi yang ganjil yaitu penjumalan fungsi sin:


lalu dikalikan dengan sin didapat,

f (x ) sin

mπ x

L

m π x , L

.

m ∈ {1, 2, 3, · · · }, sehingga

mπ x k πx = Ak sin sin . L L k =1 ∞ X

(2.13)

(2.14)

Koesien Fourier


Selanjutnya dapat kita integralkan kedua sisi persamaan dari x = −L sampai dengan x = L, sehingga didapat, Z L −L

f (x ) sin

mπ x

L

dx =

mπ x k πx Ak sin sin dx . L L −L k =1

Z LX ∞

(2.15)

Thanks to Calculus, Z L −L

f (x ) sin

mπ x

L

mπ x k πx dx = Ak sin sin dx . L L −L k =1 ∞ X

Z L

(2.16)

Koesien Fourier


Dari Lema 2.1, kita lihat bahwa integral disebelah kanan bernilai tidak nol jika memenuhi k = m, yaitu bernilai L.

Koesien Fourier


Dari Lema 2.1, kita lihat bahwa integral disebelah kanan bernilai tidak nol jika memenuhi k = m, yaitu bernilai L. Sehingga untuk kasus k = m, didapat Z L −L

f (x ) sin

mπ x

L

dx = Am L.

(2.17)

Koesien Fourier


Dari Lema 2.1, kita lihat bahwa integral disebelah kanan bernilai tidak nol jika memenuhi k = m, yaitu bernilai L. Sehingga untuk kasus k = m, didapat Z L −L

f (x ) sin

mπ x

L

dx = Am L.

(2.17)

Sehingga dapat ditulis sebagai berikut

Am =

1

L

Z L −L

f (x ) sin

mπ x

L

dx .

(2.18)

Koesien Fourier

Pause

Pause...

Koesien Fourier


Kembali lagi ke hasil sebelumnya, kita dapatkan koesien m ∈ {1, 2, · · · } sebagai berikut

Am =

1

L

Z L −L

f (x ) sin

mπ x

L

dx .

Am , (2.19)

Koesien Fourier


Kembali lagi ke hasil sebelumnya, kita dapatkan koesien m ∈ {1, 2, · · · } sebagai berikut

Am =

1

L

Z L −L

f (x ) sin

mπ x

L

dx .

Am , (2.19)

k πx dengan membuat fungsi f (x ) = Ak sin , maka dapat L k =1 ∞ X

dibentuk

Am =

2

L

Z L 0

f (x ) sin

mπ x

L

dx .

(2.20)

Koesien Fourier

Koesien Fourier Kesimpulan

Deret Fourier untuk fungsi f (x ) pada −L ≤ x ≤ L diberikan sebagai


.

(2.21)

mendapatkan

k πx Ak = f (x ) sin dx k ∈ {1, 2, · · · }. L −L L Z k πx 2 L f (x ) sin = dx k ∈ {1, 2, · · · }. L 0 L 1

Z L

(2.22) (2.23)

Koesien Fourier

Koesien Fourier Contoh

Diberikan kembali fungsi awal temperatur pada sebuah batang kawat tipis yaitu f (x ) = 1 dengan panjang kawat L = 1 m.

Koesien Fourier


Diberikan kembali fungsi awal temperatur pada sebuah batang kawat tipis yaitu f (x ) = 1 dengan panjang kawat L = 1 m. Dengan menggunakan (2.22), kita peroleh

Ak = 2

Z 0

1

(1) sin(k π x )

dx =

2

kπ

(1 − cos (k π)).

(2.24)

Koesien Fourier



Ak = 2

Z

1

0

(1) sin(k π x )

dx =

2

kπ

(1 − cos (k π)).

(2.24)

Sehingga didapat

Ak =

(

4

kπ

0

for for

k = 1, 3, 5, · · · , k = 2, 4, 6, · · · ,

(2.25)

Koesien Fourier



Ak = 2

Z

1

0

(1) sin(k π x )

dx =

2

kπ

(1 − cos (k π)).

(2.24)

Sehingga didapat

Ak =

(

4

kπ

0

for for

k = 1, 3, 5, · · · , k = 2, 4, 6, · · · ,

(2.25)

dan dibentuk ke dalam persamaan kondisi awal, didapat

f (x ) = 1 =

∞ 4X

π

k =1

1

2k − 1

sin((2k − 1)π x ).

(2.26)

Koesien Fourier


Jadi solusi umumnya adalah

u (x , t ) =

∞ 4X

π

k =1

1

2k − 1

2

e −((2k −1)π) t sin((2k − 1)πx ).

(2.27)

Koesien Fourier


Figure : SolusiP dari persamaan panas dengan 1 f (x ) = 1 = π4 ∞ k =1 2k −1 sin((2k − 1)π x ) untuk t = 0, 0.01 dan 0.1 dengan berhingga deret N = 100.

Latihan

Latihan Carilah solusi umum untuk masalah PDP panas berikut: ∂u ∂2u = µ 2, ∂t ∂x u (x , 0) = f (x ),

u (0, t ) = 0,

untuk nilai 1. f (x ) = 20 2. f (x ) = 1 − x 3. f (x ) = x 2

x ∈ (0, 1), t > 0

x ∈ [0 , 1 ] u (1, t ) = 0. t ≥ 0

End of presentation!

Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3

Recommend Documents