Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3

Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Tim Ilmu Komputasi

Coordinator contact: Dr. Putu Harry Gunawan [email protected]

Week 6: Separasi Variabel untuk Persamaan Gelombang Orde dua dan Koesien Fourier

1 Motivasi 2 Persamaan Gelombang 1D orde dua 3 Separasi Variabel 4 Contoh 5 Koesien Fourier 6 Selanjutnya

Motivasi

Gelombang melingkar

Figure : Gelombang menyebar secara melingkar. (Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Isotropic_radiator)

Motivasi

Gelombang air

Figure : Gelombang air. (Original Image Source: http://science.kennesaw.edu)

Motivasi

Gelombang acoustic pada gitar

Figure : Gelombang acoustic pada gitar. (Original Image Source: http://www.mediacollege.com/audio/01/sound-waves.html and https://en.wikipedia.org/wiki/Guitar)

Persamaan Gelombang 1D orde dua

Persamaan Gelombang Vibrasi senar merupakan sistem sik yang sangat rumit untuk dimodelkan.

Persamaan Gelombang 1D orde dua

Persamaan Gelombang Vibrasi senar merupakan sistem sik yang sangat rumit untuk dimodelkan. Suatu senar akan bervibrasi jika senar diganggu dengan kedua ujungnya diikat dengan kencang.

Persamaan Gelombang 1D orde dua

Persamaan Gelombang Vibrasi senar merupakan sistem sik yang sangat rumit untuk dimodelkan. Suatu senar akan bervibrasi jika senar diganggu dengan kedua ujungnya diikat dengan kencang. Misalkan sebuah senar diikat dengan kencang secara horisontal sehingga membentuk kongurasi setimbang yang diilustrasikan pada Gambar beikut. Dalam hal ini kita misalkan salah satu senar yang ada pada instrumen musik yaitu gitar.

Figure : Gangguan pada senar gitar.

Persamaan Gelombang 1D orde dua

Persamaan Gelombang Dari model vibrasi senar di atas, model matematika vibrasi senar berupa persamaan gelombang. Diberikan masalah nilai awal dan nilai batas persamaan gelombang berikut 2 ∂2u 2∂ u = c , x ∈ (0, L), t > 0 ∂t 2 ∂x 2 u (x , 0) = f (x ), ut (x , 0) = g (x ), x ∈ [0, L]

u (0, t ) = 0, u (L, t ) = 0. t ≥ 0

Selanjutnya akan dibahas mengenai solusi persamaan di atas menggunakan metode separasi variabel.

(2.1) (2.2) (2.3)

Separasi Variabel

Separasi variabel Solusi separasi untuk persamaan (2.1-2.3) diberikan sebagai berikut

u (x , t ) = X (x )T (t ).

Separasi Variabel

Separasi variabel Solusi separasi untuk persamaan (2.1-2.3) diberikan sebagai berikut

u (x , t ) = X (x )T (t ). Substitusikan ansatz ke dalam persamaan gelombang (2.1), didapat

X (x )T 00 (t ) = c 2 X 00 (x )T (t )

(3.1)

Separasi Variabel

Separasi variabel Solusi separasi untuk persamaan (2.1-2.3) diberikan sebagai berikut

u (x , t ) = X (x )T (t ). Substitusikan ansatz ke dalam persamaan gelombang (2.1), didapat

atau

X (x )T 00 (t ) = c 2 X 00 (x )T (t )

(3.1)

T 00 (t ) X 00 (x ) = c 2 T (t ) X (x )

(3.2)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Seperti pada pembahasan persamaan panas 1D sebelumnya, persamaan (3.2) harus sama dengan suatu konstanta, yakni

T 00 (t ) X 00 (x ) = = −λ c 2 T (t ) X (x ) untuk λ ∈ R.

(3.3)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Dari (3.3), kita mendapatkan dua buah persamaan diferensial biasa (PDB):

X 00 (x ) + λX (x ) = 0, T 00 (t ) + λc 2 T (t ) = 0. Tugas sekarang adalah mencari solusi dari PDB di atas!

(3.4) (3.5)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (3.4)

Sehingga kita akan memiliki persamaan diferensial biasa yakni fungsi X (x ) untuk masalah nilai eigen

X 00 (x ) + λX (x ) = 0, x ∈ (0, L), X (0) = X (L) = 0.

(3.6) (3.7)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (3.4)

Sehingga kita akan memiliki persamaan diferensial biasa yakni fungsi X (x ) untuk masalah nilai eigen

X 00 (x ) + λX (x ) = 0, x ∈ (0, L), X (0) = X (L) = 0.

(3.6) (3.7)

Solusi umum untuk persamaan di atas adalah

X (x ) = A cos(

√

√ λx ) + B sin( λx )

(3.8)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (3.4)

Sehingga kita akan memiliki persamaan diferensial biasa yakni fungsi X (x ) untuk masalah nilai eigen

X 00 (x ) + λX (x ) = 0, x ∈ (0, L), X (0) = X (L) = 0.

(3.6) (3.7)

Solusi umum untuk persamaan di atas adalah

X (x ) = A cos(

√

√ λx ) + B sin( λx )

(3.8)

dengan adanya nilai batas maka

X (0) = A cos(0) + B sin(0) = A = 0 √ X (L) = 0 cos(0) + B sin( λL) = 0

(3.9) (3.10)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (3.4)

Selanjutnya

X (L) = 0 cos(0) + B sin(

√

λL) = 0

(3.11)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (3.4)

Selanjutnya

X (L) = 0 cos(0) + B sin(

√

λL) = 0 √ yang diharapkan bernilai 0 adalah sin( λL) sehingga

(3.11)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (3.4)

Selanjutnya

X (L) = 0 cos(0) + B sin(

√

λL) = 0 √ yang diharapkan bernilai 0 adalah sin( λL) sehingga √ sin( λL) = 0 √ λL = k π, k = 1, 2 . . . √ kπ , k = 1, 2 . . . λ= L  2 kπ λ= , k = 1, 2 . . .

L

(3.11) (3.12) (3.13) (3.14) (3.15)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (3.4)

Selanjutnya

X (L) = 0 cos(0) + B sin(

√

λL) = 0 √ yang diharapkan bernilai 0 adalah sin( λL) sehingga √ sin( λL) = 0 √ λL = k π, k = 1, 2 . . . √ kπ , k = 1, 2 . . . λ= L  2 kπ λ= , k = 1, 2 . . .

L

(3.11) (3.12) (3.13) (3.14) (3.15)

sehingga solusi umumnya adalah

Xk (x ) = Bk sin(

k πx ), k = 1, 2 . . . L

(3.16)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (3.5)

Dilain pihak, fungsi

T (t ) harus memenuhi T 00 (t ) + λk c 2 T (t ) = 0,   k πc 2 00 Tk (t ) = 0 T (t ) + L

(3.17) (3.18)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (3.5)

Dilain pihak, fungsi

T (t ) harus memenuhi T 00 (t ) + λk c 2 T (t ) = 0,   k πc 2 00 Tk (t ) = 0 T (t ) + L

Sehingga solusi umumnya untuk

k πct Tk (t ) = Ck cos L 

dengan

(3.17) (3.18)

T (t ) dapat dibentuk menjadi



k πct + Dk sin L 

 ,

Ck , Dk ∈ R merupakan konstanta sembarang.

(3.19)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi umum PDP gelombang 1D orde dua

Pada akhirnya, kita mendapatkan tak hingga solusi separasi dari persamaan gelombang (2.1-2.3),

u (x , t ) = X (x )T (x ) (3.20)       k πx k πct k πct uk (x , t ) = Bk sin Ck cos + Dk sin , L L L k = 1, 2, · · · ,

k πx uk (x , t ) = sin L 

(3.21)

k πct Ek cos L





k = 1, 2, · · · , dengan

Ek = Bk Ck dan Fk = Bk Dk .



k πct + Fk sin L 

 ,

(3.22)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi umum PDP gelombang 1D orde dua

Solusi separasi variabel dari persamaan gelombang,

k πx uk (x , t ) = sin L 

k πct Ek cos L







k πct + Fk sin L 



(3.23)

memenuhi kondisi awal

k πx uk (x , 0) = Ek sin L 



k = 1, 2, · ·

,

k πx k πc sin dan (uk )t (x , 0) = Fk L L 



(3.24)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi umum PDP gelombang 1D orde dua

Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi merupakan sebuah solusi yakni, N X

k πx u (x , t ) = sin L k =1 

k πct Ek cos L







N juga

k πct + Fk sin L 

k πx u (x , 0) = Ek sin L k =1 

,

(3.25)

dengan kondisi awal N X





N X

k πc k πx dan ut (x , 0) = Fk sin L L k =1 



(3.26)

.

Contoh

Contoh separasi variabel

Contoh

Diberikan masalah gelombang (2.1-2.3) dengan f (x ) = 2 sin(πx ) dan g (x ) = − sin(2πx ).

c = 1, L = 1,

Contoh

Contoh separasi variabel

Contoh

Diberikan masalah gelombang (2.1-2.3) dengan c = 1, L = 1, f (x ) = 2 sin(πx ) dan g (x ) = − sin(2πx ). Data awal dengan bentuk (3.26) diberikan sebagai berikut

E1 = 2 , dan

F2 = −

1 , 2π

Ek = 0 , Fk = 0,

untuk untuk

k >1 k 6= 2

Contoh

Contoh separasi variabel

Contoh

Diberikan masalah gelombang (2.1-2.3) dengan c = 1, L = 1, f (x ) = 2 sin(πx ) dan g (x ) = − sin(2πx ). Data awal dengan bentuk (3.26) diberikan sebagai berikut

E1 = 2 , dan

F2 = −

1 , 2π

Ek = 0 , Fk = 0,

untuk untuk

k >1 k 6= 2

Sehingga solusinya u (x , t ) diberikan sebagai

u (x , t ) = 2 sin(πx ) cos(πt ) −

1 sin(2π x ) sin(2π t ) 2π

Contoh

Contoh separasi variabel

Figure : Solusi u (x , t ) pada contoh diatas untuk (x , t ) ∈ ([0, 1] × [0, 3]).

Contoh

Latihan

Andaikan diberikan kondisi awal persamaan gelombang 1D orde dua utt − uxx = 0 sebagai berikut, tentukanlah solusi umum persamaan gelombang! 1. f (x ) = 3 sin(4π x ) dan g (x ) = 5 sin(7πx ), x ∈ [0, 1]. 2. f (x ) = 3 sin(4π x ) + 2 sin(2π x ) dan g (x ) = 5 sin(7π x ), x ∈ [0, 1]

Koesien Fourier

Koesien Fourier Bagaimana jika nilai awal yang diberikan f (x ) dan g (x ) merupakan subuah konstanta?

Koesien Fourier

Koesien Fourier Bagaimana jika nilai awal yang diberikan f (x ) dan g (x ) merupakan subuah konstanta? Contoh nilai awal sebagai berikut

u (x , 0) = f (x ) = 1, ut (x , 0) = g (x ) = 0

(5.1) (5.2)

Koesien Fourier

Koesien Fourier Bagaimana jika nilai awal yang diberikan f (x ) dan g (x ) merupakan subuah konstanta? Contoh nilai awal sebagai berikut

u (x , 0) = f (x ) = 1, ut (x , 0) = g (x ) = 0

(5.1) (5.2)

Tentu saja dengan menggunakan solusi N X

k πx u (x , t ) = sin L k =1 tidak bisa.



k πct Ek cos L







k πct + Fk sin L 

 ,

(5.3)

Koesien Fourier

Koesien Fourier

Dengan menggunakan cara yang sama pada persamaan panas 1D, yaitu membentuk nilai awal konstan menjadi deret sin yaitu N X

k πx u (x , 0) = f (x ) = 1 = Ek sin L k =1 N X





k πx ck π ut (x , 0) = g (x ) = 0 = Fk sin L L k =1 

(5.4)

, 

(5.5)

Koesien Fourier

Koesien Fourier

Dengan menggunakan cara yang sama pada persamaan panas 1D, yaitu membentuk nilai awal konstan menjadi deret sin yaitu N X

k πx u (x , 0) = f (x ) = 1 = Ek sin L k =1 N X





(5.4)

,

k πx ck π ut (x , 0) = g (x ) = 0 = Fk sin L L k =1 

Sehingga tugas terakhir adalah mencari nilai koesien



(5.5)

Ek dan Fk !

Koesien Fourier

Koesien Fourier

Sama dengan proses mencari koesien Fourier pada kasus persamaan panas, didapat

k πx f (x ) sin , Ek = L 0 L   Z L 2 k πx Fk = g (x ) sin ck π 0 L 2

Z L





(5.6) (5.7)

Koesien Fourier

Contoh Koesien Fourier Misalkan diberikan nilai awal untuk persamaan gelombang 1D orde dua utt − uxx = 0 pada selang x ∈ [0, 1] seperti berikut

u (x , 0) = f (x ) = 1, ut (x , 0) = g (x ) = 0 Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang!

(5.8) (5.9)

Koesien Fourier

Contoh Koesien Fourier Misalkan diberikan nilai awal untuk persamaan gelombang 1D orde dua utt − uxx = 0 pada selang x ∈ [0, 1] seperti berikut

u (x , 0) = f (x ) = 1, ut (x , 0) = g (x ) = 0

(5.8) (5.9)

Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang! Pertama kita tentukan koesien Fourier

Ek = 2 Fk =

1

Z

2

kπ

1 sin

0

Z 0

1



0 sin

k πx



1



k πx 1

, 

(5.10) (5.11)

Koesien Fourier

Contoh Koesien Fourier Untuk Koesien

Ek :

Koesien Fourier

Contoh Koesien Fourier Untuk Koesien Ek : Pertama kita tentukan koesien Fourier

Ek = 2 Ek = Ek = Ek =

1

Z



k πx

 ,

(5.12)

[−cos (k π x )]10 ,

(5.13)

2

(1 − cos (k π)) ,

(5.14)

4

, ∀k ganjil, Ek = 0, ∀k genap

(5.15)

2

0

kπ kπ kπ

1 sin

1

Koesien Fourier

Contoh Koesien Fourier Untuk Koesien Ek : Pertama kita tentukan koesien Fourier

Ek = 2 Ek = Ek = Ek = Untuk Koesien

1

Z



k πx

 ,

(5.12)

[−cos (k π x )]10 ,

(5.13)

2

(1 − cos (k π)) ,

(5.14)

4

, ∀k ganjil, Ek = 0, ∀k genap

(5.15)

2

0

kπ kπ kπ

1 sin

1

Fk didapatkan Fk =

2

kπ

Z 0

1

0 sin



k πx 1



=0

(5.16)

Koesien Fourier

Contoh Koesien Fourier Sehingga solusinya didapatkan N X

k πx u (x , t ) = sin L k =1 u (x , t ) = u (x , t ) =

N X



k =1

k πx L

N X

4

k =1

sin



k πct Ek cos L







k πct + Fk sin L 

 ,

(5.17) 

4

k πct L



+ 0 sin

(2k − 1)π x





kπ

cos





k πct L



, ∀k ganjil,

(5.18) (2k − 1)π

sin



L

cos

(2k − 1)π ct

L

 ,

(5.19)

Koesien Fourier

Latihan Koesien Fourier

Misalkan diberikan nilai awal untuk persamaan gelombang 1D orde dua utt − 4uxx = 0 pada selang x ∈ [0, 3] seperti berikut

u (x , 0) = f (x ) = 10, ut (x , 0) = g (x ) = 0 Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang!

(5.20) (5.21)

Koesien Fourier

Homework

Andaikan diberikan kondisi awal persamaan gelombang 1D orde dua utt − uxx = 0 sebagai berikut

f (x ) = x (1 − x )

dan

g (x ) = 0 .

(5.22)

Tentukanlah solusi umum dari persamaan gelombang! (Hint: Gunakan metode koesien Fourier untuk menentukan fungsi f (x ) menjadi fungsi sinusoidal!)

Selanjutnya

Next

Selanjutnya, akan dibahas contoh soal-soal untuk menghadapi UTS.

End of presentation!