PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL (PDP) MATEMATIKA FISIKA II JURDIK FISIKA FPMIPA UPI BANDUNG
PDP: Persamaan yang pada suku-sukunya mengandung bentuk turunan (diferensial) parsial yaitu turunan terhadap lebih dari satu variabel bebas. Dalam persoalan fisika banyak sekali di jumpai bahwa perubahan nilai suatu besaran dipengaruhi oleh beberapa faktor (variabel) besas, baik variabel ruang maupun waktu, beberapa contoh fisika yang terumuskan dalam PDP adalah:
∇ U =0 2
Persamaan Laplace :
U adalah Skalar
1 du , Persamaan Difusi : ∇ U = 2 α dt 2
α
2
= Difusivitas
2 1 ∂ u 2 Persamaan Gelombang : ∇ U = 2 2 v ∂t
v = Kecepatan Gelombang
Kompetensi yang ingin dicapai adalah mampu mencari solusi umum dan khusus PDP terkait persoalan fisika yang ditinjau
Kasus Fisika :
Persamaan Laplace
Kasus Fisika : Distribusi keadaan mantap temperatur dalam ruang yang dibatasi oleh pelat semi tak hingga.
Pelat semi tak hingga y
T=0oC
0
∞
T=0oC
T=0oC
• T=?
T=100
10
x
Pelat semi tak hingga y
y = ∞ T=0oC
T=0oC • T=?
0
T=100oC 10
T=0oC
x
Karena T tergantung pada x dan y tapi tidak bergantung pada z maka persamaan Laplacenya:
∇ 2T = 0 ∂ 2T ∂ 2T + 2 =0 2 ∂x ∂y
T(x,y) PDP
Untuk mencari solusi umum dari PDP ini dimisalkan T(x,y) = P(x) Q(y), Dengan demikian PDP dapat dituliskan sebagai :
∂ P ( x)Q ( y ) ∂ P ( x)Q ( y ) + =0 2 2 ∂x ∂y ∂P ( x) ∂Q ( y ) Q( y ) + P ( x) =0 ∂x ∂y 2
2
atau
1 ∂P( x 1 ∂Q( y ) =− P( x) ∂x Q( y ) ∂y
Ruas kiri fungsi x saja, sedangkan ruas kanan fungsi y Saja. Kedua ruas akan sama jika keduanya merupakan konstanta yang sama, misalkan: – k2. Sehingga:
1 ∂P( x) 1 ∂Q ( y ) − = −k 2 P ( x) ∂x Q( y ) ∂y
atau
1 ∂P ( x) = −k 2 P( x) ∂x
dP ( x ) + k 2 P( x) = 0 dx
1 ∂Q( y ) = k2 Q( y ) ∂y
dQ( y ) − k 2 Q( y ) = 0 dy
Solusi I P(x) = A cos kx + B sin kx Solusi II Q(y)= Ceky + De-ky Dengan demikian, T(x,y) = P(x)Q(y) T(x,y) = (A cos kx + B sin kx)( Ceky +De-ky) Ini solusi umum dari PDP terkait kasus fisika yang ditinjau
Dari solusi umum ini selanjutnya dapat dicari solusi khusus, dengan cara meninjau syaratsyarat batas (Sb) yang diberikan pada kasus fisika yang ditinjau:
Sb Sb Sb Sb
I : II : III : IV :
T(x,∞) = 0oC T(0,y) = 0oC T(10,y) = 0oC T(x,0) = 100oC
Terapkan syarat batas I : T(x,∞ ∞) = ( A cos kx + B sin kx) (Ce∞+De-∞∞) = 0 C= 0, D tidak sama dengan 0 T(x,y) = ( A cos kx + B sin kx) (De-ky) Terapkan Syarat batas II : T(0,y) = (A cos 0 + B sin 0) ( De–ky) =0 A=0, B tidak sama dengan 0 T(x,y) =(B sin kx )(D e-ky) Atau T(x,y) = BD sin kx e-ky
Terapkan syarat batas III: T(10,y) = BD sin 10k ke-ky = 0 Sin 10k = 0 atau 10k = nπ π atau
nπ k= 10
Sehingga :
nπx T ( x, y ) = ∑ BD sin e 10 n =0 ∞
− nπy 10
Terapkan syarat batas IV : ∞
T ( x,0) = ∑ BD sin n =0
nπx −0 e = 100 o C 10
nπx 100 C = ∑ BD sin 10 n =0 ∞ nπx f ( x ) = ∑ bn sin Deret Fourier Sinus (Fungsi ganjil) L n=0 0
∞
2 nπx BD = bn = ∫ 100 sin dx 10 0 10 10
2 nπx bn = ∫ f ( x) sin dx L0 L L
nπx 10 BD = bn = 20 − cos 10 0 nπ 200 (cos nπ − 1) BD = bn = − nπ
10
BD = 0,
400 , n = ganjil nπ n = genap
sehingga
400 nπx T ( x, y ) = ∑ sin e 10 n =1 nπ ∞
−
nπy 10
Inilah Solusi Khusus dari persoalan yang kita tinjau
Atau jika kita cek pada T(5,5) : πy 3πy 400 πy − 10 1 nπ − 10 sin e + sin T ( x, y ) = e + L 3 10 π 10 3π π − π2 1 3π − 2 T (5,5) = 127 sin e + sin e + L = 26,42o C 2 3 2
Pelat segi empat y T=0oC 10
T=0oC T=0oC • T=?
0
T=100oC
10
x
Pelat segiempat y
T=0oC 10
T=0oC
0
• T=?
T=100oC
T=0oC
10
x
Sama seperti sebelumnya kita mulai dari solusi umum
T(x,y) = (A cos kx + B sin kx)( Ceky +De-ky)
Dari solusi umum ini selanjutnya dapat dicari solusi khusus, dengan cara meninjau syaratsyarat batas (Sb) yang diberikan pada kasus fisika yang ditinjau:
Sb Sb Sb Sb
I : II : III : IV :
T(x,10) = 0oC T(0,y) = 0oC T(10,y) = 0oC T(x,0) = 100oC
Untuk kasus seperti ini, kita harus mengeliminasi suku eky, karena pelat kita tingginya tidak tak hingga, sehingga : T(x,y) = (A cos kx + B sin kx)( De-ky ) Kemudian lakukan modifikasi bentuk suku e-ky dengan bentuk lain sedemikian rupa sehingga memenuhi syarat batas I : T(x,10) = 00C. Bentuk yang dimaksud adalah kombinasi linier :
e − ky = ae − ky + be ky yang nilainya 0 ketika y = 10.
Salah satu pilihan yang tepat adalah :
1 10 k a= e 2
1 −10 k b=− e 2
sehingga
e
− ky
e
− ky
1 10 k − ky 1 −10 k ky = e e − e e 2 2
1 k (10− y ) 1 − k (10− y ) = e − e 2 2
Pada y = 10, nilainya sama dengan nol, seperti persoalan kita.
e
− ky
1 k (10− y ) 1 − k (10− y ) = e − e 2 2
1 k (10−10 ) 1 − k (10−10 ) 1 1 e − e = − =0 2 2 2 2
Dengan demikian :
T (x, y ) = ( A cos kx + B sin kx )C sinh k (10 − y ) Terapkan Sb II, seperti sebelumnya, didapat :
T ( x, y ) = ( A cos 0 + B sin 0)C sinh k (10 − y ) = 0
A = 0, Sehingga :
B≠0
T (x, y ) = B C sin kx sinh k (10 − y )
Terapkan syarat batas III:
T (10, y ) = B C sin 10k sinh k (10 − y ) = 0 Sin 10k = 0 atau 10k = nπ π atau
nπ k= 10
Sehingga :
nπx nπ (10 − y ) T ( x, y ) = ∑ BC sin sinh 10 10 n =0 ∞
Terapkan syarat batas IV :
nπx nπ (10 − 0) = 100o C T ( x,0) = ∑ BC sin sinh 10 10 n =0 ∞ nπx 100 = ∑ BC sinh nπ sin 10 n =0 ∞
nπx f ( x) = ∑ bn sin L n =0 ∞
2 nπx bn = ∫ f ( x) sin dx L0 L L
Deret Fourier Sinus (Fungsi ganjil)
2 nπx bn = ∫ 100 sin dx 10 0 10 10
nπx 10 bn = 20 − cos 10 0 nπ 200 (cos nπ − 1) bn = − nπ
10
BC sinh nπ = bn = 0,
400 , n = ganjil nπ n = genap
sehingga
bn BC = = sinh nπ 0,
400 , n = ganjil nπ sinh nπ n = genap
Dengan demikian :
400 nπx nπ (10 − y ) T ( x, y ) = ∑ sin sinh 10 10 n =1, ganjil nπ sinh nπ ∞
Solusi khusus untuk persoalan keadaan mantap temperatur dalam plat segiempat
Persamaan Difusi : Difusi Kalor 1 ∂U ∇U= 2 α ∂T 2
Kasus Fisika : Difusi kalor pada batang logam, berarti T = suhu T=0
l
0 t=0
T=0
T=0
T=100
x
l
0 t>0
x
Difusi kalor terjadi dari tempat yang temperaturnya lebih tinggi ke tempat yang temperaturnya lebih rendah. Jika dibatasi arah difusi hanya ke sb x saja, maka temperatur di setiap titik pada batang logam akan bergantung pada posisi x dan waktu t.
Dalam kasus ini u = T (temperatur) dan T=f(x,t) dengan demikian persamaan difusi menjadi :
d 2T 1 dT = 2 2 dx α dt Misalkan:
T(x,t) = P(x) S(t) Maka persamaan difusi menjadi:
atau
kedua ruas akan sama jika merupakan suatu konstanta yang sama –k2, jadi :
Solusi *
P(x) = (A cos kx + B Sin kx) Solusi **
S (t ) = Ce
− k 2α 2t
Sehingga
T(x, t) = (A cos kx + B sin kx)(Ce Solusi umum persamaan difusi
-k 2α 2t
)
Syarat awal dan syarat batas : Syarat awal: (pada t = 0)
100 SA : T ( x,0) = x l Syarat Batas : t > 0 SB I : T(0,t) = 0oC SB II : T(l,t) = 0oC
Terapkan SB I diperoleh :
Terapkan SB II diperoleh:
T ( x, t ) = BC sin kle
kl = nπ
atau
−α 2 k 2 t
=0 nπ k= l
Dengan demikian :
nπx T ( x, l) = ∑ BC sin e l n =1 ∞
nπ −α 2 t l 2
Terapkan Syarat Awal :
nπx 0 100 x T ( x,0) = ∑ BC sin l = l l n =1 ∞
Atau :
100 x nπx = ∑ BC sin l l n =1 ∞
↓ nπx f ( x) = ∑ bn sin l n =1 ∞
2 nπx BC = bn = ∫ f ( x) sin dx l0 l l
2 100x nπx BC = ∫ sin dx l0 l l l
200 nπx BC = x sin dx ∫ l 0 l l
l
l 200 l nπx nπx = M ( n) BC = 2 x − − (1) − sin cos 2 l nπ l l 0 (nπ ) 2
nπx T ( x, t ) = ∑ M ( n ) sin e l n =1 ∞
nπ −α t l 2
2
Persamaan Gelombang 1 ∂ u ∇ u= 2 2 v ∂t 2
2
v = kecepatan Gelombang
Sebuah dawai yang panjangnya h diikat kedua ujungnya sehingga setiap sudut tetap karena disimpangkan padabagian tengahnya sejauh h seperti pada gambar.Jika kemudian pada t > 0 dawai dilepaskan maka dawaitersebut akan bergetar, akibatnya akan membentuk gelombang dalam hal ini u = y yang merupakan simpangan dan y bergantung pada posisi x dan waktu t, Y = f (x,t)
Kasus Fisika y(x,0)
t=0 Kondisi Awal
h x l/2
l
Sebuah dawai yang panjangnya h diikat kedua ujungnya. sehingga setiap sudut tetap karena disimpangkan pada bagian tengahnya sejauh h seperti pada gambar di atas. Jika kemudian pada t > 0 dawai dilepaskan maka dawai tersebut akan bergetar, akibatnya akan membentuk gelombang dalam hal ini u = y yang merupakan simpangan. Nilainya y bergantung pada posisi (x) dan waktu t. Y = f (x,t)
Misalkan : y(x,t) = M(x) N(t) Persamaan gelombang menjadi:
d2y 1 d2y = 2 2 2 dx v dt 2
PDP
2
d M ( x) N (t ) 1 d M ( x) N (t ) = 2 2 dx v dt d M (x ) 1 d N (t ) N (t ) = 2 M ( x) 2 2 dx v dt 2
2
1 Ruas kiri dan kanan dikali dengan M ( x) N (t ) 2
2
1 d M ( x) 1 1 d N (t ) 2 = 2 = −k 2 2 M ( x) dx v N (t ) dt Didapat : 2
1 d M ( x) 2 = − k M ( x) dx 2 2
1 1 d N (t ) 2 = − k v 2 N (t ) dt 2
d 2 M ( x) 2 = k M ( x) = 0 2 dx d 2 N (t ) 2 2 + k v N (t ) = 0 2 dt
Didapat solusi untuk masing-masing :
M ( x) = A cos kx + B sin kx N (t ) = C cos kvt + D sin kvt y ( x, t ) = [ A cos kx + B sin kx ] [C cos kvt + D sin kvt ] Solusi umum persamaan getaran dawai
Syarat batas dan awal : Sb I : y(0,t) = 0 Sb II : y(l, t ) = 0
Solusi khusus
dy SA I : = 0 dt t =0 SA II = y (x,0) = seperti pada gambar
y ( x ,0 ) =
2 hx l + 0; 0< x < l 2 − 2 hx l + 2 h; < x
Terapkan sb I: y (0, t) = ( A cos 0 + B sin 0 ) ( C cos kvt + D sin kvt )=0 A = 0, B ≠ 0 y (x, t) = (B sin kx) (C cos kvt + D sin kvt )=0 Terapkan sb II: y(l,t) = (B sin kl)(C cos kvt + D sin kvt)=0
kl = nπ nπ k= l
nπx y ( x, t ) = B sin (C cos kvt + D sin kvt ) = 0 l nπx nπ nπ y ( x, t ) = B sin vt + D sin vt C cos l l l
Terapkan SA I :
n πx nv π nπ nv π nπ dy = B sin sin vt + D cos vt = 0 −C dt l l l l l dy n πx nv π nv π = B sin sin 0 + D cos 0 = 0 −C dt t = 0 l l l C ≠ 0, D = 0 n πx n πvt y ( x , t ) = ∑ BC sin cos l l n =1 ∞
Terapkan SA II: l 2 hx ; 0 < < x n πx 2 y ( x ,0 ) = ∑ BC sin cos 0 = l2 hx l − + < x
∞ nπx = ∑ BC sin l n=1 ∞ nπx f (x) = ∑bn sin l n=1
2hx l , 0<x< l 2 l 2hx − +2h, <x
L/ 2 L 2 2hx nπx 2hx nπx BC = bn = ∫ sin dx+ ∫ − + 2hsin dx L 0 l l l l L/ 2
BC = bn = L BC = bn = L BC = bn = M (x) n πx n πvt y ( x , t ) = ∑ M ( x ) sin cos l l n =1 ∞
Pada Dawai Piano t=0 Diberikan kecepatan awal dengan cara piano tuts ditekan v(x,0)
y(x,0)
h x 0
l
0
l/2
l
x
SB I: y (0,t) = 0 SB II: y (l,t) = 0 SA I : y (x,0) = 0 SA II : v (x,0) = lihat gambar
Mulai dari solusi umum :
y ( x, t ) = [ A cos kx + B sin kx ] [C cos kvt + D sin kvt ] Terapkan SB I dan SB II didapat :
nπx y ( x, t ) = B sin l
nπ nπ C cos l vt + D sin l vt
Terapkan SA I:
nπx [C cos 0 + D sin 0] = 0 y ( x,0) = B sin l
C = 0,
D ≠0
Sehingga : ∞
y ( x, t ) = ∑ n =1
nπx nπvt sin B D sin l l
Terapkan SA II :
dy ∞ nπv nπx cos nπvt = ∑ BD sin cos dt n =1 l l l
∞ dy nπv nπx = ∑ BD sin cos 0 = dt t =0 n =1 l l L L
}
{
L L
nπv nπx = ∑ BD sin l l n =1 ∞
nπx f ( x) = ∑ bn sin l n =1 ∞
l/2 l 2 2hx 2hx bn = ∫ sin nπvdx + ∫ − + 2h sin nπvdx l0 l l l/2
nπv BD = bn l l BD = bn = R(n) nπv ∞
y ( x, t ) = ∑ n =1
Solusi khusus
nπx nπvt R(n) sin sin l l
