Fungsi Khusus Lanjutan (PDB) MATEMATIKA FISIKA II JURDIK FISIKA FPMIPA UPI Bandung
Fungsi Khusus dalam bentuk PDB terdiri atas : Polinomial Legendre dalam berbagai jenis Fungsi Bessel dalam berbagai bentuk Polinomial Hermite Polinomial Laguarre
Semua point di atas diperoleh dari solusisolusi Persamaan Differensial (PD) Laguarre, PD Bessel, dst
Diperlukan pengetahuan tentang metodemetode untuk mencari solusi PD :
Telah dipelajari metode analitik untuk mencari solusi PDB orde I dengan PDB orde II dikenal :
Metode Metode Metode Metode Metode Metode
pemisahan variable linier orde I PD homogen Bernoulli reduksi orde Variasi parameter
PDB ORDE I
PDB ORDE II
Metode aproksimasi dengan deret pangkat
Mencari Solusi PDB dengan metode deret pangkat
Solusi PDB = hubungan eksplisit antara variabel terikat dan variabel bebas yang jika kita substitusikan ke PDB yang bersangkutan akan menghasilkan suatu identitas. Dengan metode deret pangkat kita misalkan : ∝
y = ∑ a x = a + a x + a x + a x + a x + ... + a x n=0
n
n
2
o
1
3
2
4
3
4
n
y ' = 0 + a + 2a x + 3a x + 4a x + ... + na x 2
1
2
3
3
4
2
3
4
n −1
n
y ' ' = 0 + 0 + 2a + 6a x + 12a x + ... + n(n − 1)a x 2
n
n −2
n
Sudah dibahas dalam deret pangkat
Persamaan Diferensial Legendre (1 − x ) y ' '−2 xy '+l(l + 1) y = 0 → metode deret pangkat y = ∑ an x 1
2
n =0
Solusi : l(l + 1) + (l − 2)(l + 3) l(l + 1) y = a 1 − x + x − ... 2! 4! (l − 1)(l − 2) (l + 1) + (l + 2)(l − 3)(l − 4) +a x− x + x − ... + ... 3! 5! 2
4
0
3
5
1
Dengan menggunakan tes rasio maka deret ini memiliki selang konvergensi x 2 < 1 dan tidak konvergensi untuk
x =1 2
n
Polinomial Legendre l → suatu konstanta sebarang l = 0 ⇒ y = a + deret pangkat dengan koefisien a 0
1
l = 1 ⇒ y = a x + deret pangkat dengan koefisien 1
a
0
l = 2 ⇒ y = a0 (1 − 3 x 2 ) + deret pangkat dengan koefisien
5 l = 3 ⇒ y = a ( x − x ) + deret pangkat dengan koefisien 3 3
1
a
1
a
0
Secara umum setiap nilai l , dihasilkan suatu deret pangkat dan lainnya suatu polinomial dimana deret pangkat yang dihasilkan bersifat divergen pada nilai
x =1 2
. Selanjutnya jika nilai-nilai
a
0
dan
a
1
Pada setiap polinomial dipilih sedemikian rupa sehingga nilai
y = 1 untuk x = 1 2
Maka akan dihasilkan suatu polinomial yang disebut polynomial legendre ditulis dengan
P (x ) l
Polynomial Legendre
∴ l=0⇒ y =a
0
y = 1, x = 1
1= a ⇒ a =1 0
0
P0 ( x) = 1
∴ l =1⇒ y = a x 1
y = 1, x = 1
1 = a ⋅1 ⇒ a = 1 1
P1 ( x) = x
1
∴ l = 2 ⇒ y = a (1 − 3x ) 2
0
y = 1, x = 1
1 = a (1 − 3(1) 0
2
)
1 = a ( −2) 1 a =− 2
3
1
5 1 = a 1 − 3 3 a =− 2 3 5 P ( x) = − x − x 2 3 35 P ( x) = x − x 23 3 5 P ( x) = x − x 2 2 1
0
0
1
1 P ( x) = − (1 − 3 x ) 2 1 P ( x) = (3 x − 1) 2 1 3 P ( x) = x − 2 2 2
2
2
2
2
2
5 ∴l = 3 ⇒ y = a ( x − x ) 3 y = 1, x = 1
3
3
3
3
3
3
Formula Rodriguez : l
1 d l 2 (x − 1) Pl ( x) = l l 2 l! dx 1 d0 2 0 ( ) P0 ( x) = 0 x − 1 2 0! dx 0
= 1 ⇒ P ( x) = 1
1 d1 2 1 1 (x − 1) = (2 x) P1 ( x) = 1 1 2 1! dx 2
0
⇒ P1 ( x) = x
1 d2 2 1 d 2 1 d 2 2 ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) P2 ( x) = 2 x x x x x − 1 = 2 − 1 2 = 4 − 1 2 2 2! dx 8 dx 8 dx
((
)
)
(
)
(
1 1 1 2 2 2 P2 ( x) = 4 x − 1 + 4 x(2 x ) = 4 x −4 + 8 x = 12 x 2 −4 8 8 8 3 2 1 ⇒ P2 ( x) = x − 2 2
)
Fungsi Pembangkit Polinomial Legendre Fungsi pembangkit polinomial legendre dirumuskan sebagai berikut :
φ ( x, h ) = (1 − 2 xh + h
2
)
−
1 2
, h <1
Disebut fungsi pembangkit polinomial legendre karena dari fungsi ini dapat dibangkitkan polinomial legendre. Misalkan : Maka
2 xh − h 2 = y
φ ( y ) = (1 − y )
1 3 2 φ ( y ) = 1 + y + y + ... 2 8
−
1 2
gunakan uraian deret binomial
(1 + x )
p
Substitusi kembali: y = 2 xh − h 2 1 2 3 2 2 φ ( x, h ) = 1 + xh − h + (2 xh − h ) + ... 2 8 1 2 3 φ ( x, h ) = 1 + xh − h + (4 x 2 h 2 − 4 xh 3 + 4h 4 ) + ... 2 8 1 2 3 2 φ ( x, h ) = 1 + xh + h x − + ... 2 2
φ ( x, h ) = P0 ( x) + hP1 ( x) + h P2 ( x) + ... 2
Fungsi Pembangkit Polinomial Legendre berguna untuk mencari hubungan-hubungan rekursif polinomial legendre: a) lPl ( x) = (2l − 1)xPl −1 ( x) − (l − 1)Pl − 2 ( x ) b)
xP 'l ( x ) − P 'l −1 ( x) = lPl ( x )
c)
P 'l ( x) − xP 'l −1 ( x ) = lPl −1 ( x)
d)
(1 − x )P'
e)
(2l + 1)P ( x) = P '
2
l
l
( x) = lPl −1 ( x ) − lxPl ( x) l +1
( x ) − P 'l −1 ( x )
Buktikan hubungan rekursif a)
φ = (1 − 2 xh + h
2
)
−
1 2
3 ∂φ 1 2 −2 = − (1 − 2 xh + h ) (− 2 x + 2h ) ∂h 2
∂φ 1 − 2 xh + h = ( x − h )φ ∂h
(
2
∞
Tetapi
)
φ = ∑ h Pl ( x) l =0
l
Maka: ∞ ∂ ∞ l l (1 − 2 xh + h ) ∑ h Pl ( x) = ( x − h )∑ h Pl ( x ) l =0 ∂h l =0 2
(1 − 2 xh + h )∑ lh 2
∞
l =0
l −1
Pl ( x) = ( x − h )∑ h l Pl ( x) ∞
l =0
lh Pl (x) − 2xhlh Pl (x) + h lh Pl (x) = xh Pl (x) − hh Pl (x) l−1
l−1
2
l−1
l
l
lh l −1 Pl ( x ) − 2 xlh l Pl ( x) + lh l +1 Pl ( x) = xh l Pl ( x) − h l +1 Pl ( x )
lhl−1Pl (x) − 2x(l −1)hl−1Pl−1(x) + (l − 2)hl−1Pl−2 (x) = xhl−1Pl−1(x) − hl−1Pl−2 (x)
lPl ( x ) − 2 x(l − 1)Pl −1 ( x ) + (l − 2 )Pl − 2 ( x) = xPl −1 ( x ) − Pl −2 ( x )
Atau: lPl ( x ) = (2l − 1)xPl −1 ( x) − (l − 1)Pl − 2 ( x )
P0 ( x) = 1 l = 2 → 2 P2 ( x) = (2 ⋅ 2 − 1)xP1 ( x) − (1) P0 ( x)
2 P2 ( x) = 3x ⋅ x − 1
P1 ( x) = x
3 2 1 P2 ( x) = x − 2 2
Nyatakan
x−x
3
dalam kombinasi linier polinomial-polinomial
legendre!
2 3 x = P3 ( x) + x 5 5 3 2 3 2 3 x − x = x − P3 ( x ) + x = x − P3 ( x ) − x 5 5 5 5 2 2 = x − P3 ( x) 5 5
5 3 3 P3 ( x) = x − x 2 2
3
2 = (P1 ( x) − P3 ( x) ) 5
Ortogonalitas Polinomial Legendre: Dua buah vektor dikatakan ortogonal jika keduanya saling tegak lurus mengapit sudut 90o . Menurut perkalian titik (dot product) dua vektor yang ortogonal memenuhi :
A • B = A B cos 90
0
A• B = 0 Karena Maka
A = A1iˆ + A2 ˆj + A3 kˆ A ⋅ B = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 = 0 atau 3
∑ Ai Bi = 0 → 3D i =1
Secara umum dua buah vektor yang saling tegak lurus memenuhi
∑ A1 B1 = 0 i =1
Analogi dengan itu jika kita memiliki dua fungsi kontinu yaitu
A(x) dan B(x)
maka kedua fungsi tersebut akan saling ortogonal
dalam selang (a, b) jika memenuhi: b
∫ A( x) B ( x)dx = 0 a
Jika A(x) B(x) merupakan fungsi kompleks maka syarat dan B(x) orthogonal ditulis sebagai berikut : b
∗ A ∫ ( x) B( x)dx = 0 a
A (x) → ∗
kompleks berkonjugat dengan
A(x)
A(x)
Jika kita memiliki himpunan fungsi An (x ) dimana n = 1,2,3,..., dst
0; m ≠ n b
∫ An ( x) Am ( x)dx = a
konstanta jika
m=n ≠0
maka fungsi-fungsi An (x ) disebut himpunan fungsi ortogonal
Contoh : π
∫ sin nxsin mxdx =
−π
0; m ≠ n π ;m = n ≠ 0
Maka sin nx merupakan himpunan fungsi-fungsi yang ortogonal dalam selang (− π , π ) 1
∫ Pl ( x) Pm ( x)dx = 0 kecuali untuk l = m
−1
Pertanyaan apakah?
P1 ( x) ortogonal dengan P2 ( x)
P0 ( x) ortogonal dengan P3 ( x)
P2 ( x)
ortogonal dengan
P5 ( x)
Bukti: PD Legendre (1 − x ) y ' '−2 xy '+ l(l + 1) y = 0 2
⇒ y = Pl (x)
(1 − x )P ' ' ( x) − 2 xP ' ( x) − l(l + 1)P ( x) = 0 2
l
l
l
d ⊗ [(1 − x 2 )Pl ' ( x)] + l(l + 1)Pl ( x) = 0 atau dx d ⊗ ⊗ [(1 − x 2 )Pm ' ( x)] + m(m + 1)Pm ( x) = 0 dx d 2 ⊗ Pm ( x) [(1 − x )Pl ' ( x)] + l(l + 1)Pl ( x) = 0 dx
(
)
d 2 ⊗ ⊗ Pl ( x) 1 − x Pm ' ( x) + m(m + 1)Pm ( x ) = 0 dx
Selanjutnya
⊗ dikurangi ⊗ ⊗ didapat : ⊗ ⊗ ⊗
d d 2 Pm (x) [(1− x )Pl ' (x)] − Pl (x) [(1− x2 )Pm ' (x)] +[l(l +1) − m(m+1)]Pm (x)Pl (x) = 0 dx dx dua suku pertama ⊗ ⊗ ⊗ menjadi :
d [(1− x2 )(Pm (x)Pl ' (x) − Pl (x)Pm '(x))] + [l(l +1) − m(m +1)]Pm (x)Pl (x) = 0 dx Kemudian lakukan integrasi
⊗⊗⊗
untuk selang
(−1,1)
d 2 ( ) [ ] [ 1 − x ( P ( x ) P ' ( x ) − P ( x ) P ' ( x ) ) ] + l ( l + 1 ) − m ( m + 1 ) P ( x ) P ( x ) ∫ dx = 0 m l l m m l −1 dx 1
Suku I
Suku II
d [(1 − x 2 )(Pm ( x ) Pl ' ( x ) − Pl ( x ) Pm ' ( x ) )]dx −1 dx 1 2 = [(1 − x )(Pm ( x ) Pl ' ( x ) − Pl ( x ) Pm ' ( x ) )]−1 = 0 1
Suku I = ∫
Suku II = [l(l + 1) − m(m + 1)]∫ Pl ( x)Pm ( x) dx 1
−1
Suku I + Suku II = 0
0 + [l(l + 1) − m(m + 1)]∫ Pl ( x)Pm ( x)dx = 0 1
−1
0 =0 ∫ Pl ( x)Pm ( x) dx = −1 [l(l + 1) − m(m + 1)] 1
Polinomial-polinomial legendre merupakan fungsi-fungsi yang saling ortogonal: 1
∫ Pl ( x)Pm ( x)dx = 0
−1 1
∫ Pl ( x)Pm ( x)dx = 0
P1 ( x) = x
−1
3 2 1 P2 ( x) = x − 2 2 1 1 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 2 3 1 3 1 ∫ x x − dx = ∫ x − xdx = x − x = − − − = 0 −1 2 −1 2 2 2 8 4 −1 8 4 8 4 1
1 1 2 1 3 ∫ P1 ( x) P1 ( x)dx = ∫ x dx = x = − − = −1 −1 3 −1 3 3 3 1
1
2
Normalisasi polinomial legendre Vektor satuan
r ) A u= r A
→
Besarnya satu satuan
disebut proses normalisasi tinjau untuk fungsi b
b
a
a
2 A ( x ) A ( x ) dx = A ( x ) dx = N ∫ ∫ 2
Berapa normalisasi A(x) dalam selang (a, b) ?
Jadi jika
A(x) dinormalisasi dalam selang (a, b) maka
1 A(x) dikali dengan N
setelah dinormalisasi
A( x) nilainya = 1 N 1 N
disebut faktor normalisasi
Contoh: ∫π sin nx sin nxdx = π = ( π )
π
2
−
Normalisasi fungsi sin nx ?
N= π
Faktor normalisasi fungsi sin nx ?
1
π
sin nx = 1
1 1 = N π
Berapa normalisasi untuk Pl (x ) ? Hubungan Rekursif Polinomial Legendre b) xP 'l ( x) − P 'l −1 ( x) = lPl ( x) Kalikan
⊗ dengan Pl (x)
lPl ( x ) Pl ( x ) = xPl ( x ) P 'l ( x ) − Pl ( x ) P 'l −1 ( x) ⊗ ⊗
⊗⊗
integrasikan untuk selang
(−1,1)
1
1
1
−1
−1
−1
l ∫ Pl ( x) Pl ( x)dx = ∫ xPl ( x) Pl ' ( x)dx − ∫ Pl ( x) Pl−1 ' ( x)dx 1
1
−1
−1
l ∫ Pl ( x) Pl ( x)dx = ∫ xPl ( x) Pl ' ( x)dx bypart
∫ udv
0
u = x → du = dx
dv = Pl ( x) Pl ' ( x)dx = Pl ( x)d (Pl ( x) )
1 2 v = (Pl ( x) ) 2 Ruas kanan dengan integral bypart: 1
11 2 1 2 x(Pl ( x) ) − 2 −∫1 Pl ( x) Pl ( x)dx dengan demikian: −1 1
11 2 1 l ∫ Pl ( x) Pl ( x) dx = x(Pl ( x) ) − ∫ Pl ( x) Pl ( x) dx −1 2 −1 2 −1 1
1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) l + P ( x ) P ( x ) dx = P ( 1 ) + P ( − 1 ) ∫ l l l l − 1 2 2 2
1
Jadi
∫ Pl ( x) Pl ( x)dx =
−1
1 l+
1 2
2 1 ∫ Pl ( x) Pl ( x)dx = 2l + 1 = −1 2l + 1 2 1
Berapa normalisasi untuk Pl (x ) ? N =
Faktor normalisasi ?
1 2l + 1 = N 2
2 2l + 1
Fungsi Legendre yang Diasosiasikan PDB yang mirip dengan Legendre 2 m y = 0 dengan (1 − x 2 ) y ' '−2 xy + l(l + 1) − 2 1− x
m ≤l 2
m d 2 Pl ( x) PDB ini memiliki solusi : y = (1 − x ) m dx m 2
Solusi ini disebut fungsi legendre yang diasosiasikan yang ditulis sebagai :
Pl ( x) = (1 − x m
2
)
m 2
dm Pl ( x) m dx
2
Formula Rodriguez untuk mencari fungsi legendre yang diasosiasikan : l+m m 1 d l m 2 2 2 (x − 1) Pl ( x) = l (1 − x ) l+m 2 l! dx
Untuk
m
negatif fungsi legendre asosiasi dapat ditentukan
dengan formula sebagai berikut : Pl
−m
( l − m )! ( x) = (− 1) P (l + m )! m
m
l
Fungsi Pl m (x ) untuk setiap
( x)
m merupakan himpunan fungsi-
fungsi yang orthogonal pada selang (−1,1) sehingga : 1
m m P ( x ) P ∫ l n ( x)dx = 0, l ≠ n
−1
Normalisasi fungsi Legendre yang diasosiasikan adalah : 2 (l + m )! ∫−1 P ( x)P ( x)dx = 2l + 1 (l − m )! 1
l m
m l
PDB legendre diasosiasikan sering juga ditulis dalam bentuk sebagai berikut :
1 d dy m2 sin θ + l(l + 1) − 2 y = 0 2 sin θ dθ dθ sin θ Fungsi ini diperoleh dengan mengganti
P1 (cosθ ) ? 1
x = cos θ
P1 (cosθ ) ? 1
P1 ( x) = (1 − x 1
P1 ( x) = (1 − x 1
2
)
2
)
1 2
d P1 ( x) dx
d ( x) dx
1 2
P11 ( x) = (1 − x 2 ) ⋅ 1 1 2
P1 ( x) = 1
(1 − x ) 2
P ( x) =
(1 − cos x )
P1 ( x ) =
(sin x )
1 1
1
2
2
P ( x) = sin x 1 1
PDB Bessel x y ' '+ xy '+( x − p ) y = 0 2
2
2
P adalah konstan, tidak perlu bilangan bulat, disebut orde fungsi Bessel. Dengan menggunakan metode deret pangkat, PDB bessel dapat dicari solusinya. Solusi pertama yang memenuhi PDB bessel adalah: 1 1 x 1 1 x x p − y = a0 x Γ(1 + p) + − + ... Γ(1 + p) Γ(2 + p) 2 2!Γ(3 + p) 2 3!Γ(4 + p) 2 2
4
6
atau 1 1 1 1 x x x p x y = a0 2 Γ(1+ p) − + − +... 2 Γ(1)Γ(1+ p) Γ(2)Γ(2 + p) 2 Γ(3)Γ(3+ p) 2 Γ(4)Γ(4 + p) 2 p
2
4
6
Jika dipilih 1 1 y = a0 = p atau a0 = 0 Maka: 2 Γ(1 + p ) 2 P!
y
disebut sebagai Fungsi Bessel
Jenis pertama yang ditulis sebagai
J p (x)
Dengan demikian : ∞ (−1) 1 1 1 x x x x Jp(x) = − + − = ... ∑ ( ) Γ(1)Γ(1+ p) 2 Γ(2)Γ(2+ p) 2 Γ(3)Γ(3+ p) 2 Γ + Γ + + ( n 1 ) n 1 p 2 n=0 p
2+p
4+p
n
Solusi kedua yang memenuhi PDB Bessel menghasilkan fungsi bessel jenis kedua sebagai berikut : 2 n− p n ∞ ( − 1) x J − p ( x) = ∑ n = 0 Γ ( n + 1) Γ (n − p + 1) 2
2n+p
Hubungan J p (x)
dan
J − p (x) → J − p ( x) = (− 1) J p ( x) p
→ p=0 0
2
4
1 1 1 x x x J 0 ( x) = − + − ... Γ(1)Γ(1) 2 Γ(2)Γ(2 ) 2 Γ(3)Γ(3) 2 x2 x4 x6 = 1− + − + ... 4 64 64 ⋅ 36
Hubungan Rekursif Fungsi Bessel : a)
b) c)
d p p [x J p ( x)] = x J p−1 ( x) dx d −p −p [x J p ( x)] = − x J p+1 ( x) dx 2p J p −1 ( x) + J p +1 ( x) = J p ( x) x
d)
J p−1 ( x) − J p+1 ( x) = 2 J p ' ( x)
e)
p p J p ' ( x) = − J p ( x) + J p −1 ( x) = J p ( x) − J p +1 ( x) x x
PDB umum yang solusinya mengandung fungsi bessel 2 2 2 a − p c 1 − 2a 2 c −1 y ' '+ y '+ (bcx ) + y=0 2 x x
Solusinya
y = xa J p (bxc )
1 1 y ' '− y '+ 4 + 2 y = 0 x x
x =x 0
y = xJ 0 (2 x)
2 c−2
1 − 2a = −1 b c = 4 2a = 2 b 2 (1) = 4 b = ±2 a =1 2
2
2c − 2 = 0 2c = 2 c =1
a 2 − p 2c 2 = 1 (1) 2 − p 2 (1) 2 = 1 p2 = 0 p=0
Jenis-jenis lain fungsi bessel: a) Fungsi Bessel jenis ketiga disebut fungsi Henkel
H p(1) ( x) = J p ( x) + iN p ( x) H p( 2 ) ( x) = J p ( x) − iN p ( x) N p ( x) = Y p ( x ) =
di sini
Bandingkan dengan
cos(πp )J p ( x) − J − p ( x)
b) Fungsi Bessel Hiperbolik I p ( x) = i − p Jp (ix) K p ( x) =
π 2
i p +1 H p(1) (ix)
sin (πp )
e ± ix = cos x ± i sin x
c) Fungsi Bessel Sperik
J n ( x) = Yn ( x ) =
π
1 d J ( 2 n +1) ( x ) = x − 2x 2 x dx
π
n
1 d Y( 2 n +1) ( x ) = − x − 2x 2 x dx n
hp ( x ) = J n ( x ) + iY p ( x) (1 )
hp ( x ) = J n ( x) − iYp ( x ) (2)
n
sin x x n
cos x x
Ortogonalitas Fungsi Bessel 1
∫ xJ p (ax) J p (bx)dx = 0; a ≠ b 0
a dan b
pembuat nol J p (x)
2 sin x πx 2 Dengan menggunakan hubungan rekursif b) Fungsi Bessel. Cari !
Diketahui
J 1 ( x) =
J 3 ( x) kemudian cari J 0 ( x), J 1 ( x) 2
J 3 ( x) = ? 2
J 3 ( x) = 2
1 − d − 12 2 x J ( x ) = − x J 3 ( x) 1 dx 2 2
J 3 ( x) = − x 2
1 − d − 12 2 sin x = − x 2 J 3 ( x) x dx πx 2 1 − d − 12 − 12 2 2 x x sin x = − x J 3 ( x) dx π 2
−x
1 2
J 3 ( x) = 2
1 2
2 x cos x − sin x 2 x π
2 sin x − cos x πx x
π
π 2 sinx J0 (x) = J1 (x) = sinx = 2x 2 2x πx x
2 d sin x = J 3 ( x) π dx x 2 π
π
2 x cos x − sin x − x cos x + sin x J1 ( x) = J 3 ( x) = ⋅ − x = 2 2x 2 2x π x 2 1 2
Fungsi Hermite Persamaan Differensial untuk fungsi hermite :
yn ''−x2 yn = −(2n +1) yn ; n = 0,1,2,3 n x d −x e Solusi PDB ini adalah y n = e 2 disebut sebagai fungsi Hermite n dx 2
2
Jika fungsi hermite ini dikalikan dengan akan didapat polinomial hermite x2 2
n
d −x H n ( x) = (− 1) e e n dx n
2
(− 1) e n
x2 2
Untuk
n = 0,1,2,...
didapat
H 0 ( x) = 1 H 1 ( x) = 2 x H 2 ( x) = 4 x − 2 2
Polinomial hermite memenuhi persamaan differensial hermite
y n ' '−2 xy '+2ny = 0 Ortogonalitas polinomial hermite ∞
∫e
−∞
− x2
H n ( x)H m ( x)dx = 0; n ≠ m = 0
Normalisasi polinomial hermite ∞
∫ e H n ( x)H m ( x)dx = π 2 n!; n = m − x2
n
−∞
Fungsi pembangkit polinomial hermite
φ ( x, h ) = e
2 xh − h
2
n
h = ∑ H n ( x) n =0 n! ∞
Hubungan rekursif polinomial hermite : a) b)
H n ' ( x) = 2nH n −1 ( x)
H n+1 ( x) = 2 xH n ( x) − 2nH n −1 ( x)
H 2 ( x) = 2 x(2 x) − 2 = 4 x 2 − 2
Fungsi Laguarre Polinomial laguarre merupakan solusi dari PDB :
xy' '+(1 − x) y '+ ny = 0 Dapat dicari dengan formula Rodriguez sebagai berikut :
1 x d n n −x (x e ) Ln ( x) = e n n! dx Untuk
n = 0,1,2,...
didapat:
L0 ( x) = 1 L1 ( x) = 1 − x x2 L2 ( x) = 1 − 2 x + 2
Ortogonalitas polinomial laguarre ∞
∫ e Ln ( x) Lk ( x)dx = 0; n ≠ k −x
0
Normalisasi polinomial laguarre ∞
−x e ∫ Ln ( x) Lk ( x)dx = 1; n = k 0
Fungsi pembangkit polinomial laguarre −
xh (1− h )
∞ e φ ( x, h ) = = ∑ Ln ( x)h n 1 − h n =0
Hubungan rekursif polinomial laguarre : a)
L'n +1 ( x) − L'n ( x) + Ln ( x) = 0
b)
( n + 1) Ln+1 ( x) − (2n + 1 − x )Ln ( x) + nLn −1 ( x) = 0
c)
xL'n ( x) − nLn ( x) + nLn−1 ( x) = 0
HAVE FINISHED… Go to the next concept…
