PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
A. PENGERTIAN Persamaan yang mengandung variabel dan beberapa fungsi turunan terhadap variabel tersebut. CONTOH : dy + 5x − 5 = 0 dx
disebut PD orde I
d2y + 6x + 7 = 0 dx 2
disebut PD orde II
B. PEMBENTUKAN PERSAMAAN DEFERENSIAL Contoh (1) : Y = A.Sin x + B cos x
Bentuklah PD nya.
A dan B konstanta sembarang.
Jawab
:
dy = A. cos x - B sin x dx d2y = - A Sin x - B cos x dx 2 d2y = - (A Sin x + B cos x) dx 2
Jadi
d2y = - y atau dx 2 d2y +y=0 dx 2
Persamaan Diferensial Orde 1
1
Contoh 2 : Bentuklah persamaan Deferensial dari fungsi : y = x +
A x
Jawab : dy = 1 − Ax − 2 dx
dy A = 1− 2 dx x
A maka A = x (y-x) x
y = x+
jika
x.( y − x) dy = 1− dx x2 = 1−
( y − x) x
=
x − ( y − x) 2 x − y = x x
dy 2 x − y dy = atau x . = 2 x − y dx x dx
KESIMPULAN : Jika suatu persamaan terdiri dari atas 1 Konsatanta sembarang menghasilkan PD Orde I Jika suatu persamaan terdiri dari atas 2 konstanta sembarang menghasilkan PD Orde II
Persamaan Diferensial Orde 1
2
Contoh 3 Jawab
: :
Persamaan
y = Ax2 + Bx
bentuk PD-nya
dy = 2 Ax + B ……………(1) dx
d2y = 2A dx 2
d2y A = 1/ 2 dx 2
d2y A = 1/ 2 dimasukkan ke pers (1) dx 2 dy d2y = 2 x.1 / 2. 2 + B dx dx
dy d2y =x +B dx dx dy d 2 y B= x − dx dx 2 Harga A dan B dimasukkan ke soal
Y = Ax 2 + Bx d 2 y 2 dy d 2 y = 1 / 2 2 x + − 2 . x x dx dx dx
d2y dy d 2 y 2 = 1/ 2 x +x − 2 .x dx 2 dx dx 2
dy 1 2 d 2 y Y = x − 2x . 2 dx dx
Persamaan Diferensial Orde 1
3
Kesimpulan : Persamaan diferensial Ored ke N diturunkan dari fungsi yang mempunyai N buah konstanta sembarang.
C. PEMECAHAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Prinsipnya : Menghilangkan Koefisien Deferensialnya sehingga tinggal hubungan antara y dan x nya. Pemecahan PD dapat dilakukan dengan cara : Integrasi Langsung (paling mudah) Pemisahan Variabel Substitusi Y=V.X Persamaan Linier (Penggunaan FI) 1. PEMECAHAN DENGAN INTEGRASI LANGSUNG → dy/dx = f(x) Contoh 1 Pecahkanlah persamaan Jawab:
dy = 3x 2 − 6x + 5 dx
Y = ∫ (3x 2 − 6 x + 5)dx Y = x3 - 3x2 + 5x + c
Jawaban ini disebut dengan jawaban umum karena masih memuat unsur c (constanta). Jika sudah tidak memuat unsur c disebut dengan jawaban khusus. Persamaan Diferensial Orde 1
4
Contoh 2 Pecahkanlah permaan
dy = 2 x + 4 , dengan y = 8, x = 1 dx
Jawab Y = ∫ ( 2 x + 4) dx Y= x2 + 4x +c 8=1+4+c c=3 Jadi Y = x2 + 4x + 3
( Jawaban Khusus)
2. DENGAN PEMISAHAN VARIABEL→ dy/dx = f(x,y) Contoh
dy 2x = dx ( y + 1) ,
Prinsipnya F(y), dipindah ke Ruas Kiri (ke Ruas
Jawab :
dy ) dx
( y + 1) dy = 2 x dx
Kedua ruas di integrasikan terhadap x
∫ ( y + 1) dx dx = ∫ 2 x.dx dy
∫ ( y + 1)dy = ∫ 2 x . dx y2 + y = x2 + c 2 Bentuk Umum
∫ f ( y ).dy = ∫ f ( x ).dx Persamaan Diferensial Orde 1
5
3. PERSAMAAN HOMOGEN DENGAN SUBSTITUSI Y = v . x Contoh :
dy x + 3y = soal ini susah memisahkan Y-nya. dx 2x
Jawab : Y = v . x , disubstitusikan ke persamaan : dy x + 3(v.x) x + 3vx 1 + 3v = = = dx 2x 2x 2
Jadi :
dy 1 + 3v = …………… persamaan (1) dx 2
Kita lihat Rumus : Y = v . x, maka turunannya :
dy dv = v .1+ x . dx dx
……. persamaan (2)
Catatan : Ingat rumus Y=U.V maka Y’=U.V’+V.U’ Jika persamaan (1) dimasukkan ke persamaan (2)
1 + 3v dv = v+x. 2 dx x.
dv 1 + 3v = −v dx 2
x.
dv 1 + 3v 2v = − dx 2 2
x.
dv 1 + v = dx 2
2 dv 1 . = (1 + v ) dx x
Persamaan Diferensial Orde 1
Sudah dinyatakan dalam bentuk V dan X
6
Kemudian masing-masing ruas diintegrasikan ke x 2 dv
1
∫ 1 + v dx dx = ∫ x . dx 2 n(1 + v ) = n x + c Jika Constanta C diganti bentuk lain yaitu : C = n A 2 n(1 + v ) = n x + n A 2
n (1+ v) = n (A . x)
(1+ v)2 = A . x………………….(3) Jika Y=v.x V=
1 +
y maka persamaan (3) dapat ditulis menjadi x
2
y = A x apabila semua ruas dikalikan x2 maka x
1 + 2 yx + y 2 = Ax 3
(x + y )2 = Ax 3
Catatan :
dy x + 3y = Persamaan dalam soal di atas yaitu dx 2 x disebut sebagai “PERSAMAAN DEFERENSIAL HOMOGEN”. Artinya X dan Y mempunyai pangkat yang derajatnya sama , yaitu 1.
Persamaan Diferensial Orde 1
7
4. PERSAMAAN LINIER (Penggunaan Faktor Integral) Metode penggunaan FI ini dipakai apabila metode nomor 1-3 sulit untuk diterapkan.
dy + py = Q Bentuk umum dari Persamaan Linier Orde Pertama adalah dx
Contoh1 :
x
dy + y = x3 dx
Jawab : Soal diatas dibuat menjadi berbentuk persamaan linier orde pertama
x
dy + y = x 3 , semua dibagi dengan x dx
dy y + = x 2 atau dx x dy dy 1 + . y = x 2 , persamaan ini sama dengan +py=Q dx dx x
P, Q = Konstanta fungsi x dari persamaan tsb. Harga P =
1 x
Harga Q = x2
Persamaan Diferensial Orde 1
8
Rumus Faktor Integral (IF)
IF = e ∫ P.dx Karena P =
1 maka x
Sehingga IF = Karena
IF = e
1 ∫ . dx x
en x
e n x = x
Maka IF = x
Kembali ke soal diatas
dy 1 + . y = x 2 → semua ruas dikalikan dengan IF dx x
x .
dy + 1 . y = x 3 ..................... persamaan (1) dx
bentuk persamaan (1) tersebut sama saja dengan y = u . v
dy du dv = u. +v. dx dx dx
atau y1 = u . v1 + v . u1
Jadi harga
dy +1. y dx ↓ ↓ ↓ ↓ x .
u
v1 + u1 v
Persamaan Diferensial Orde 1
dapat ditulis dengan
d ( y.x ) d (u . v ) atau dx dx
9
dy d ( y. x ) x . + 1 . = y Atau dx dx ………………..persamaan (2) Jika persamaan (1) = persamaan (2)
d ( yx ) = x3 dx 3 Maka yx = ∫ x
masing-masing ruas kemudian diintegrasikan ke x maka, d ( yx ) 3 ∫ dx dx = ∫ x dx
∫ d ( yx ) = ∫ x dx 3
Ingat jika
∫ d ( x) = x
maka
∫ d ( yx ) = yx , sehingga
1 4 yx = x + c 4
Persamaan Diferensial Orde 1
10
Jika soal diatas dikerjakan dengan menggunakan rumus FI maka akan lebih singkat :
y . FI = ∫ Q . FI . dx Dari penyelesaian diatas diketahui FI=x dan Q=x2 sehingga
yx = ∫ x 2 . x.dx
yang menghasilkan
1 4 yx = x + c 4
Persamaan Diferensial Orde 1
11
contoh 2 : Pecahkanlah x
dy − 5y = x7 dx
Jawab
x
dy − 5 y = x 7 masing-masing dibagi x dx
dy 5 y − = x 6 sudah berbentuk persamaan linier ordopertama dy + py = Q dx dx x P= −
dengan
5 x
Q = x6 5
p dx ∫ − x dx ∫ e Faktor Integral (FI) = e =
Dimana
∫−
Jadi (FI) = e
5 5 dx = − ∫ dx = -5 ln x = ln x-5 x x ln( x −5 )
1 =x = 5 x -5
Rumus Faktor integral
y . FI = ∫ Q . FI . dx
y . FI = ∫ Q . FI . dx y.
1 6 1 = x . 5 .dx 5 ∫ x x
Persamaan Diferensial Orde 1
⇔
y = ∫ x.dx 5 x 12
y 1 2 = x +c x5 2
jika semua ruas dikalikan x5
1 7 y = x + c. x 5 2
Persamaan Diferensial Orde 1
13
