BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) Banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dalam persamaan diferensial. Untuk menyelesaikan masalah tersebut kita perlu menyelesaikan pula persamaan diferensialnya. Dalam bab ini persamaan diferensial yang diberikan dibatasi pada persamaan diferensial tingkat satu khususnya sampai pada persamaan diferensial eksak. TIK : Setelah mengikuti pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat menyelesaikan persamaan diferensial yang diberikan. 8.1. Pengertian Persamaan Diferensial Secara matematis, ersamaan diferensial (PD) adalah persamaan yang memuat hasil bagi diferensial atau didalamnya terdapat turunan-turunan. Secara fisis, persamaan diferensial adalah persamaan yang menyatakan hubungan antara turunan (derivatif) dari satu variabel tak bebas terhadap satu/lebih variabel bebas. Banyak permasalahan dalam berbagai bidang teknik, fisika maupun bidang – bidang kehayatan yang dapat dimodelkan ke dalam bentuk persamaan diferensial. Berikut diberikan beberapa contoh fenomena di alam yang dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial. Fenomena Peluruhan zat radioaktif
Persamaan Diferensial dm km , dengan m = massa zat, t = waktu, dan k adalah dt
konstanta pembanding Hukum Newton tentang gerak
Fm
d 2s , dengan F gaya, m massa benda, dt 2
s jarak, dan t = waktu. Model logistik menurut Verhulst
dP a bP P , dengan P besar populasi, t waktu, dt
dan a, b konstanta. Laju perubahan tekanan uap suatu zat
dP P k , dengan P tekanan uap dan T suhu. dT T
Model ayunan (bandul)
d 2 g sin 0 , dengan sudut perpindahan bandul, l dt 2
sederhana
g konstanta gravitasi, dan l panjang tali bandul Berdasarkan banyaknya variabel bebas, persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu: 1. Persamaan Diferensial Biasa, yaitu persamaan diferensial yang mengandung hanya satu variabel bebas Contoh :
1.
dy kx dx
2. y 3 y 2 sin x 50
3. y y 1 x 2. Persamaan diferensial parsial, yaitu persamaan diferensial yang mengandung lebih dari satu variabel bebas. Contoh :
1.
y y x y x z
2.
z z x z 0. x y
Beberapa istilah penting dalam PD : Tingkat (Orde) suatu PD adalah tingkat turunan tertinggi yang muncul dalam PD tersebut. Derajat (degree) suatu PD adalah pangkat dari turunan orde tertinggi jika PD tersebut ditulis sebagai polinomial dalam turunan. Contoh : 1.
dy kx dx
PD tingkat 1 derajat 1
2. y 3 y 2 sin x
PD tingkat 2 derajat 1
3. y ( y ) 2 y
PD tingkat 3 derajat 1
4. y y 1 x
PD tingkat 2 derajat 2
Suatu persamaan yang tidak lagi memuat turunan dan memenuhi suatu persamaan diferensial disebut penyelesaian atau selesaian persamaan diferensial. Contoh :
Persamaan y x 2 x C merupakan selesaian dari PD: y y 2 x 3 sebab
y 2 x 1 dan y 2 sehingga y y ( 2 x 1 ) 2 2 x 3 .
Penyelesaian suatu persamaan diferensial dibedakan menjadi 2 yaitu : a. Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial (PUPD) adalah selesaian PD yang masih memuat konstanta penting (konstanta sebarang). b. Penyelesaian Partikulir/Khusus Persamaan Diferensial (PPPD/PKPD) adalah selesaian PD yang diperoleh dari PUPD dengan mengganti konstanta penting dengan konstanta yang memenuhi syarat awal atau syarat batas yang diberikan. Contoh : PD
d2y d dy 0 ditulis 0 sehingga 2 dx dx dx
Jika kedua ruas diintegralkan, diperoleh
dy d 0dx . dx dy
d dx 0 dx sehingga
dy C1 . dx
Persamaan terakhir diubah bentuk menjadi dy C1dx . Dengan mengintegralkan kembali kedua ruas diperoleh PUPD : y C1 x C 2 , dengan C1 dan C2 konstanta sebarang. Jika diberikan syarat awal dan syarat batas pada PD tersebut misalnya y 1 untuk x 0 dan y 4 untuk x 1, maka diperoleh C1 = 3 dan C2 = 1, sehingga PPPD : y = 3x + 1. 51
Jenis PD yang akan dibahas di sini adalah PD tingkat satu derajat satu yang meliputi PD terpisah, PD tak terpisah tetapi dapat dipisahkan, PD homogen, serta PD eksak. 8.2. PD Terpisah : Bentuk umum : f(x) dx + g(y) dy = 0. Cara menyelesaikan adalah dengan mengintegralkan kedua ruas terhadap variabel yang muncul dalam diferensialnya masing-masing. Contoh: Selesaikan PD 1. x3dx + (y+1)dy = 0 2. ex dx +
ey dy 0 ey 1
Penyelesaian : 1. x3dx + (y+1)dy = 0 3
x dx ( y 1 )dy 0dx 1 4 1 x ( y 1 ) 2 C1 atau x 4 2( y 1 ) 2 C 4 2
2. ex dx +
e
x
dx
ex +
ey dy 0 ey 1
e
ey dy 0dx 1
y
d( e y 1 ) C ey 1
ex + ln (ey + 1) = C 8.3. PD yang Dapat Dipisahkan Bentuk umum : f ( x ).g( y )dx p( x ).q( y )dy 0 PD di atas bukan PD terpisah, tetapi dapat dipisahkan dengan cara membagi kedua ruas persamaan dengan g( y ).p( x ) sehingga diperoleh PD terpisah. Contoh : Selesaikan : 1. x 2 ( y 1 )dx y 2 ( x 1 )dy 0 2. 4 x dy y dx x 2 dy Penyelesaian : 1. x 2 ( y 1 )dx y 2 ( x 1 )dy 0 x2 y2 dx dy 0 x 1 y 1
x2 1 1 y2 1 1 dx dy 0 x 1 y 1
52
( x 1 )( x 1 ) 1 ( y 1 )( y 1 ) 1 dx dy 0 x 1 y 1 [ x 1
1 1 ] dx [ y 1 ] dy 0 x 1 y 1 1
1
[ x 1 x 1 ] dx [ y 1 y 1 ] dy 0 1 1 ( x 1 ) 2 ln | x 1 | ( y 1 ) 2 ln | y 1 | C 2 2
2. 4 x dy y dx x 2 dy ( 4 x x 2 )dy y dx 0
x( 4 x ) dy y dx 0 dy dx 0 y x( 4 x ) 1 A B x( 4 x ) x 4 x
A(4 – x) + Bx = 1 x = 0 4A = 1 A =
1 4
x = 4 4B = 1 B =
1 4
1 1 1 1 A B 1 = + x( 4 x ) x 4 x 4 x 4 4 x
dy dx 0 y x( 4 x )
ln |y| +
1 4
1
ln |y| +
1 1 ln |x| – ln |4 – x| = C 4 4
x dx +
1 4
1
4 x dx = C
8.5. PD Homogen PD: M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 disebut PD homogen, jika M(x,y) dan N(x,y) masing-masing merupakan fungsi homogen berderajat sama. f(x,y) disebut fungsi homogen derajat n, jika f(x, y) = nf(x,y) Contoh: Tentukan apakah fungsi di bawah ini homogen. 1. f(x,y) = x4 – x3y 2. f(x,y) = x2 + sin x cos y Penyelesaian 1. f(x,y) = x4 – x3y 53
f(x,y) = (x)4 – (x)3 (y) = 4x4 - 3x3. y = 4x4 - 4x3y = 4 (x4 - x3y) Jadi f(x,y) merupakan fungsi homogen derajat 4. 2. Sebagai latihan Penyelesaian PD homogen adalah dengan substitusi : y = vx, sehingga akan menjadi PD terpisah dalam variabel v dan x. Contoh : Selesaikan PD (x3 + y3) dx + 3xy2 dy = 0 Penyelesaian : (x3 + y3) dx – 3xy2 dy = 0 M(x,y) = x3 + y3, N(x,y) = 3xy2 masing-masing merupakan fungsi homogen berderajat 3, jadi PD di atas merupakan PD homogen. Substitusi y = vx dy = v.dx + x.dv, maka PD menjadi (x3 + v3x3) dx + 3xv2x2 (v dx + x dv) = 0 x3(1 + v3) dx + 3x3v3 dx + 3x4v2 dv = 0 (1 + v3) dx + 3v3 dx + 3xv2 dv = 0 (1 + 4v3) dx + 3xv2 dv = 0 Kedua ruas dibagi dengan (1 + 4v3). x sehingga menjadi dx 3v 2 dv 0 x 1 4v 3
dx 1 d ( 1 4v 3 ) C x 4 1 4v 3
ln x
1 ln( 1 4v 3 ) C 4
ln x
1 y ln[ 1 4( ) 3 ] C 4 x
8.6. PD Eksak PD berbentuk M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 disebut PD Eksak, jika
M N . y x
Penyelesaian PD eksak: Misalkan penyelesaiannya berbentuk : F(x,y) = C (C=konstanta) Jika diambil turunan totalnya, maka dF =
F F dx + dy = 0 y x
Berdasarkan bentuk umum PD eksak, maka diperoleh M = Misalkan
F F dan N = . y x
F dx = M dx x
54
F(x,y) =
Mdx
+ (y), dengan (y) adalah fungsi sebarang yang akan dicari dengan
x
cara menyamakan turunan F(x,y) terhadap y dengan N(x,y), yaitu F = ( Mdx ) + ’(y) = N(x,y) y x y
Contoh : Carilah SUPD dari PD : 1. (4x3y3 – 2xy) dx + (3x4y2 – x2) dy = 0 2. (2x3 + 3y) dx + (3x + y – 1) dy = 0 Penyelesaian : 1. (4x3y3 – 2xy) dx + (3x4y2 – x2) dy = 0 M(x,y) = 4x3y3 – 2xy N(x,y) = 3x4y2 – x2
M 12 x 3 y 2 2 x y
N 12 x 3 y 2 2 x x
PD di atas adalah PD eksak. Penyelesaian berbentuk F(x,y) = C1 Misalkan
F = M(x,y) = 4x3y3 – 2xy x
F(x,y) = ( 4 x 3 y 3 2 xy ) dx x 4 y 3 x 2 y ( y ) x
F 3 x 4 y 2 x 2 ' ( y ) y
N(x,y) = 3x4y2 – x2 Karena
F = N(x,y), maka diperoleh ’(y) = 0, sehingga (y) = C2. y
Jadi penyelesaiannya adalah 3x 4 y 2 x 2 C 2 C1 atau 3 x 4 y 2 x 2 C dengan C = C1-C2. 2.
(2x3 + 3y) dx + (3x + y – 1) dy = 0 M(x,y) = 2x3 + 3y
M 3 y
N(x,y) = 3x + y – 1
N 3 x
PD di atas adalah PD eksak. Penyelesaian berbentuk F(x,y) = C1 Misalkan
F = N(x,y) = 3x + y – 1 y
F(x,y) = ( 3x y 1 ) dy 3 xy y
1 2 y y ( x ) 2
55
F 3 3 y ' ( x ) , sedangkan M(x,y) = 2x + 3y x
Karena
F 1 = M(x,y), maka diperoleh ’(x) = 2x3, sehingga (x) = x 4 . x 2
Jadi penyelesaiannya PD eksak di atas adalah 3xy
1 2 1 y y + x 4 = C. 2 2
Soal Latihan Untuk soal no. 1-6, selesaikan PD di bawah ini 1.
dy 4y dx x( y 3 )
2. (1 + x3) dy – x2y dx = 0 3. (2x + 3y) dy + (3x + 2y) dx = 0 x
x
x y
4. (1 + 2 e y ) dx + 2 e y (1 – 2 ) dy = 0 5. (y2 e
xy 2
+ 4x3) dx + (2xy e
xy 2
– 3y2)dy = 0
6. (x3 + xy2 + x2) dx + x2y dy = 0 7. Diketahui banyaknya obat berkurang dengan laju tetap. Jika banyaknya obat semula adalah 100 ml dan setelah 4 jam obat yang tersisa 90 ml, maka tentukan saat obat habis terserap (untuk kasus ini kinetika obat dikatakan mengikuti reaksi orde ke nol). 8. Diketahui banyaknya obat berkurang dengan laju sebanding dengan banyaknya obat yang tersisa. Jika banyaknya obat semula adalah 100 ml dan diketahui waktu paruh obat adalah 4 jam, tentukan: a. waktu obat tinggal 10 ml b. pernahkah obat habis terserap ?
56
57
